heun.ppt

PENGANTAR

Arti fisis diferensial: laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.Contoh:

Menyatakan laju perubahan posisi x terhadap waktu t.

dt

dx

PENGANTAR

Persamaan diferensial dapat menjadi 2 kelompok besar:Persamaan Diferensial Biasa (PDB)Persamaan Diferensial Parsial (PDP)PDB: persamaan diferensial yang hanya mempunyai 1 peubah bebas. Peubah bebas biasanya disimbolkan x

PENGANTARContoh:

Peubah bebas contoh di atas adalah x sedangkan peubah terikat y, atau ditulis y = g(x)

02 2

22'

yyxdxdy

yxy

yxdx

dy

PENGANTARPDP: persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari 1 peubah bebas. Turunan fungsi terhadap setiap peubah bebas dilakukan secara parsial.Contoh:

Peubah bebas adalah x dan y, peubah terikatnya u, sehingga ditulis u = g(x,y)

yxxyey

u

x

u

62

2

2

2

PENGANTAR

Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi diDengan h adalah step setiap iterasi. Terdapat beberapa metode numerik yang sering digunakan untuk menghitung solusi PDB, dari metode yang paling dasar – teliti:

hxx rr 1

Metode EulerMetode Heun

Metode Deret TaylorMetode Runge-Kutta

METODE HEUN

Merupakan modifikasi dari metode Euler. Metode ini memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu pada ujung awal dan akhir. Kedua turunan tesebut kemudian diratakan untuk mendapatkan perkiraan kemiringan yang lebih baik.

METODE EULER

y

x

y = g(x); y’=f(x,y)

y4

y3y2y1

x1=a x2 x3 b= x4

y1 = g(a)

),(.1 rrrr yxfhyy

METODE EULER

Rumus:

METODE HEUN

yr

y

x

y = f(x) yr+1

yr+1

Euler

Heun

xr xr+1h/2

h

)),(,(),(2

)),(,(.2),(.2

1

11

rrrrrrr

rrrrrrrr

yxhfyxfyxfhy

yxhfyxfhyxfhyy

METODE HEUN

Rumus:

METODE HEUN

Hitung y(0.5) dengan metode Heun (h = 0.25), y(0) = 1,

22 yxdx

dy

225.0/)05.0( n

METODE HEUN

25.0

5.0

0

),(

0

22

h

b

xa

yxyxf

METODE HEUN

25.11025.01

),(25.0 0001)0(

1

yxhfyyx

3281.125.125.0102/25.01

),(),(222

1)0(

10001)1(

yxfyxfhyy

METODE HEUN

7847.13281.125.025.03281.1

),(5.022

1112)0(

2

yxhfyyx

9858.1

7847.15.03281.125.02/25.03281.1

),(),(22222

2)0(

21112)1(

yxfyxfhyy

TUGAS

)02.0(Heunmetodedengan)1.0(Hitung

1)0(;/

hy

yyxdxdy