grup yang lainnya
Post on 06-Jul-2018
225 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
1/13
1. Buktikan bahwa
{ }, H y y G dan ya ay= ∈ = adalah suatu subgrup dari G, jika
, xG
suatu grup dan
Ga ∈
.
Penyelesaian :
• Diketahui:
, xG
grup dan
,Ga ∈ { }, H y y G dan ya ay= ∈ =
• Akan dibuktikan: H subgrup dari G.
Misalkan e adalah elemen identitas di grup
, xG
, dan untuk
Ga ∈
berlaku:
ea ae=. Ini berarti
H e ∈, jadi
φ ≠ H .
Berdasarkan pendefinisian dari menunjukkan bahwa
.G H ⊆
!elanjutn"a, :
#i$ Ambil
H q p ∈,
sebarang,
berarti
pa ap=
dan
qa aq=
%s"arat keangg&taan di '
(erhatikan bahwa
# x $ # x $ p q a p q a=
%sifat ass&siatif di G'
)
# x $ p a q
%karena
H q ∈
'
)
# x $x p a q
%sifat ass&siatif di G'
)
# x $a p q
%karena
H p ∈
'
)# x $a p q
%sifat ass&siatif di G'
karena pengambilan
H q p ∈,
sebarang, dan memenuhi
# x $ # x $ p q a a p q=
,
maka dapat disimpulkan bahwa
, x . p q H berlaku p q H ∀ ∈ ∈
*adi
, x H
memenuhi sifat tertutup.
#ii$ Ambil H c ∈
sebarang,
1
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
2/13
karena
G H ⊆, maka
Gc ∈.
+arena G grup danGc ∈
, makaGc ∈−1
.
H c ∈ berarti
x xc a a c= %s"arat keangg&taan di '
1 1# x $ # x $c c a c a c− −=
%masingmasing di&perasikan
1−cdari
kiri'
1 1# x $ # x $c c a c a c− −=
%sifat ass&siatif di G'
1x # x $e a c a c−=
%sifat in-ers di G, "aitu
1xc c e− =
'
1# x $a c a c−=
%sifat identitas di G, "aituxe a a=
'
1 1 1x # x $x xa c c a c c− − −=
%di&perasikan
1−cdari kanan'
1 1 1x # x $x# x $a c c a c c− − −=
%sifat ass&siatif di G'
1 1x # x $a c c a e− −=
%sifat in-ers di G, "aitu
1xc c e− ='
1 1x xa c c a− −=
%sifat identitas di G,
1 1# x $ xe a e e a− −=
'
karena pengambilan H c ∈
sebarang, dan memenuhi,
1 1x xc a a c− −=
maka
dapat disimpulkan bahwa
.1 H cberlaku H c ∈∈∀ −
Dari #i$ dan #ii$ dengan menggunakan e&rema I,
disimpulkan bahwa
, x H
adalah subgrup dari
, xG
.
2
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
3/13
/. jika R¿= R− {0} adalah grupterhadapoperasi perkalian dan Q¿=Q−{0 }
adalah⊂ R¿
,tunjukanbahwaQ¿
subgrupdari R¿terhadap operasi perkalian .
Penyelesaian :
Bukti : *elas bahwa Q¿⊆ R
¿
ambil
a
b ,
c
d ∈Q
¿
a
b. c
d=
ac
bd
ac
bd ∈Q
¿
#tertutup$
ambil
a
b ,
c
d ∈Q
¿
maka akandibuktikan a
b. c
d=1=
c
d .
a
b
a
b .
c
d=1
cd=b
a
1=c
d .
a
b
1=b
a .
a
b
1=1
ini berartiQ¿
adalah grup . Jadi , terbukti bahwaQ¿
subgrup R¿
3
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
4/13
0.
Ζ ∈+= baba D ,
. erhadap &perasi penambahan dan perkalian seharihari.
Apakah
+, D
dan
×, D
membentuk struktur G23(4
Penyelesaian:
I. Adt
+, D
membentuk GRUP.
a$ Adt
+, D
grup&id
Ambil
Ζ ∈∈++ d cba Dd cba ,,,5,
Maka
( ( ( ) ( ) d bcad cba +++=+++
+arena
Ζ ∈++Ζ ∈ $#$,#,,, d bcamakad cba
!ehingga:
( ) ( ) Dd bca ∈+++
Jadi karena
+, D
tertutup maka
+, D
grupoid.
b) Adt
+, D
semigrup
Ambil
Ζ ∈∈+++ f ed cba D f ed cba ,,,,,5,,
Maka:
[ ( ( ] ([ ( ) ( ) ] ( )
[ ]
( ) ( ) ( )[ ]$#$#
$#$#
f ed cba
f d ecba
f d beca
f ed bca
f ed cba
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
+++++
4
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
5/13
+arena
[ ] f ed cba f ed cba +++++=+++++
jadi karena
+, D
asosiatif!aka
+, D
semigrup.
") Adt
+, D
monoid
Ambil
Dba ∈+
dan misalkan
Dd c ∈+
unkes di D. Maka:
6
=+
+−+=+
+=∈+
d c
babad c
ba Dd c
maka membuktikan bahwa unkes )6
$#$#6 baba +=++
5 jadi 6 unkes kiri
$#6$# baba +=++
5 jadi 6 unkes kanan.
#arena unkes kiri $ unkes kanan maka
+, D
monoid.
d) Adt
+, D
mempunyai in%ers
Ambil
Dba ∈+
dan misalkan
Dba ∈+− $#
in-ers di D. Maka harus
ditunjukan:
6$#$#$##$# =+++−=+−++ babababa
.
!ehingga:
6$##$# =−−+=+−++ babababa
5
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
6/13
6$#$# =++−−=+++− babababa
+arena
6$#$#$##$# =+++−=+−++ babababa
.
#&'I!PU(A*A:karena
+, D
grupoidsemigrupmemiliki unkes
dan in%ers maka
+, D
merupakan sebua+ GRUP.
II. Adt×, D
membentuk GRUP.
a. Adt
×, D
grupoid
Ambil
Ζ ∈∈++ d cba Dd cba ,,,5,
Maka
bd bcad acd cba +++=++
+arena
Ζ ∈Ζ ∈ bd bcad acmakad cba ,,,,,,
!ehingga:
Z bd bcad ac ∈+++
Jadi karena
×, D
tertutup maka
×, D
grupoid.
b. Adt
×, D
semigrup
Ambil
Ζ ∈∈+++ f ed cba D f ed cba ,,,,,5,,
Maka:
6
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
7/13
[ ( ( ] ([ ] ( )[ ( ) ] ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )[ ]
f ed cba
f ed f ecba
df decf ceba
df decf cebdf decf cea
bdf bdebcf adf bceadeacf acebdf bdebcad f bcad eacf ace
f ebd bcad ac
f ebd bcad ac
f ed cba
+++=
++++=
++++=
+++++++=
+++++++=
+++++++=
++++=
++++=
+++
+arena [ ( ( ] ( ( ( ( f ed cba f ed cba +++=+++
jadi karena
×, D
asosiatif!aka
×, D
semigrup
". Adt
×, D
monoid
Ambil
Dba ∈+
dan misalkan
Dcc ∈+
unkes di D. Maka:
1
c d a b
a bc d
a b
c d
+ = +
++ =
+
+ =
maka membuktikan bahwa unkes ) 1
$#$.#1 baba +=+
5 jadi 1 unkes kiri
$#1.$# baba +=+
5 jadi 1 unkes kanan.
#arena unkes kiri $ unkes kanan maka
×, D
monoid.
7
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
8/13
d. Adt
×, D
mempunyai in%ers
Ambil
Dba ∈+
dan misalkan
Dba
∈
+ $#
1
in-ers di D.
Maka:
1$#$#
1
$#
1$# =+×
+
=
+
×+ bababa
ba
.
!aka
×, D
mempunyai in%ers yaitu
$#
1
ba +
#&'I!PU(A*A:karena
×, D
merupakan
grupoidsemigrupmemiliki unkes dan in%ers maka
×, D
merupakan
sebua+ GRUP
8
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
9/13
7.
,8 Z
di defenisikan
Z bababa ∈∀−+= ,,18
. unjukan apakah
,8 Z
merupakan
suatu G23(.
Penyelesaian:
a. Akan ditunjukan
,8 Z
Grupoid
Ambil
Z ba ∈,
Maka18 −+= baba
+arena
Z ba ∈,
sehingga18 −+= baba
Jadi karena
,8 Z
tertutup maka
,8 Z
Grupoid
b. Akan ditunjukan
,8 Z
'emigrup
Ambil
Z cba ∈,,
Maka
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )cba
cba
cba
cba
cba
cba
cba
88
18
81
11
11
81
88
=
−+=
+−=
−++−=
−+−+=
−+=
=
+arena
Z cba ∈,,
dan
( ) ( )cbacba 8888 =
Jadi karena
,8 Z
asosiatif maka
,8 Z
'emigrup
". Akan ditunjukan
,8 Z
!onoid
Ambil
Z ba ∈,
dan misalkan b adalah unkes di 9
Maka
9
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
10/13
1
61
1
1
8
=
=−
−=−
=−+
=
b
b
aab
aba
aba
Pembuktiannya:
18111181 aaaaa =−+==−+=
!ehingga, 1 adalah unkes di 9
Jadi karena
,8 Z
!emiliki unkes maka
,8 Z
monoid
d. Akan ditunjukan
,8 Z
ada in%ers
Ambil Z ba
∈,
dam misalkan b adalah in-ers dari a
Maka
ab
ba
ba
ba
−=
=+
=−+
=
/
/
11
18
Pembuktiannya:
( ) ( )
11/
1//8
=
−+−=
−−+=−
aa
aaaa
!ehinggaa−/
merupakan in-ers dari a
Jadi
,8 Z
ada in%ers
#&'I!PU(A*A: karena"grupoidsemigrupmonoid dan memiliki
in%ers maka
,8 Z
merupakan suatu GRUP
10
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
11/13
. impunan bilangan rasi&nal p&sitif #;$ dengan &perasi 8, "ang didefenisikan:
+∈∀= Qba
abba ,,
/8
Penyelesaian:
a. Akan ditunjukan
,8+Q
Grupoid
Ambil
+∈ Qba,
Maka/
8 ab
ba =
+arena
+∈Qabba ,,
, sehingga
+
∈ Qab
/
Jadi karena
,8+Q
tertutup maka
,8+Q
Grupoid
b. Akan ditunjukan
,8+Q
'emigrup
Ambil
+∈ Qcba ,,
Maka
( )
( )cba
bca
bca
abc
cab
cab
cba
88
/8
/
/.
/
/
/
./
8/
88
=
=
=
=
=
=
+arena
+∈ Qbcabcba ,,,,
,dan
( ) ( )cbacba 8888 =
Jadi karena
,8+Q
asosiatif maka
,8+Q
'emigrup
11
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
12/13
". Akan ditunjukan
,8+Q
!onoid
Ambil
Z ba ∈,
dam misalkan b adalah unkes di ;
Maka
/
/
/
8
=
=
=
=
b
aab
aab
aba
Pembuktiannya:
aa
aa
a 8//
./
/
/./8 ====
!ehingga, / adalah unkes di ;
Jadi karena
,8+Q
memiliki unkes maka
,8+Q
!onoid
d. Akan ditunjukan
,8+Q
ada in%ers
Ambil
+∈ Qba,
dam misalkan b adalah in-ers dari a
Maka
ab
ab
abba
7
7
//
/8
=
=
=
=
Pembuktiannya:
aa
aaaa
a
aa 8
7
/
.7
/
7.
78 ====
!ehinggaa
7
merupakan in-ers dari a
Jadi
,8+Q
ada in%ers
12
-
8/17/2019 Grup Yang Lainnya
13/13
#&'I!PU(A*A:karena
,8+Q
grupoidsemigrupmonoid dan memiliki
in%ers maka
,8+
Q
merupakan suatu GRUP
13
top related