geomtri analitik lecture 2

Geometri Analitik (lecture 2)

M. Januar Ismail, M.Si.

UIN SGD

Juli 2012

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 1 / 31

n

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 2 / 31

Outline

1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutubElips dan HiperbolPersamaan Baku ElipsContoh 1 dan 2

Persamaan Baku HiperbolContoh 3 dan 4

Latihan soal lecture 1 dan 2

2 Daftar pustaka

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 2 / 31

Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 3 / 31

Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.

3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 3 / 31

Review lecture 1

1 jPF j = e jPLj .

2 p > 0, karena p adalah jarak antara puncak dan fokus parabol.3 e > 1 adalah hiperbol dan 0 < e < 1 adalah elips.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 3 / 31

Pendahuluan

Dalam kasus Elips dan hiperbol, kedua konik tersebut memiliki duapuncak yang kita namakan A0 dan A.

Sebutlah titik tengah antara A0 dan A yang terletak pada sumbupanjang sebagai pusat konik.

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elipsdan hiperbol dinamakan konik terpusat.

Akan kita buktikan bahwa Elips dan Hiperbol letaknya simetristerhadap pusatnya.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 4 / 31

Pendahuluan

Dalam kasus Elips dan hiperbol, kedua konik tersebut memiliki duapuncak yang kita namakan A0 dan A.

Sebutlah titik tengah antara A0 dan A yang terletak pada sumbupanjang sebagai pusat konik.

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elipsdan hiperbol dinamakan konik terpusat.

Akan kita buktikan bahwa Elips dan Hiperbol letaknya simetristerhadap pusatnya.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 4 / 31

Pendahuluan

Dalam kasus Elips dan hiperbol, kedua konik tersebut memiliki duapuncak yang kita namakan A0 dan A.

Sebutlah titik tengah antara A0 dan A yang terletak pada sumbupanjang sebagai pusat konik.

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elipsdan hiperbol dinamakan konik terpusat.

Akan kita buktikan bahwa Elips dan Hiperbol letaknya simetristerhadap pusatnya.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 4 / 31

Pendahuluan

Dalam kasus Elips dan hiperbol, kedua konik tersebut memiliki duapuncak yang kita namakan A0 dan A.

Sebutlah titik tengah antara A0 dan A yang terletak pada sumbupanjang sebagai pusat konik.

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya, sehingga elipsdan hiperbol dinamakan konik terpusat.

Akan kita buktikan bahwa Elips dan Hiperbol letaknya simetristerhadap pusatnya.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 4 / 31

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya

Untuk menurunkan persamaan konik yang terpusat ini, akan dilakukanbeberapa langkah berikut :

1 Letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya dan titik asal kitapilih sebagai pusat konik.

2 pilih c , k, dan a bernilai positif3 Kita misalkan F (c , 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,puncak konik tersebut kita pilih A0 (�a, 0) dan A (a, 0).

4 Jelas bahwa A berada antara F (c , 0) dan x = k.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 5 / 31

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya

Untuk menurunkan persamaan konik yang terpusat ini, akan dilakukanbeberapa langkah berikut :

1 Letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya dan titik asal kitapilih sebagai pusat konik.

2 pilih c , k, dan a bernilai positif

3 Kita misalkan F (c , 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,puncak konik tersebut kita pilih A0 (�a, 0) dan A (a, 0).

4 Jelas bahwa A berada antara F (c , 0) dan x = k.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 5 / 31

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya

Untuk menurunkan persamaan konik yang terpusat ini, akan dilakukanbeberapa langkah berikut :

1 Letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya dan titik asal kitapilih sebagai pusat konik.

2 pilih c , k, dan a bernilai positif3 Kita misalkan F (c , 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,puncak konik tersebut kita pilih A0 (�a, 0) dan A (a, 0).

4 Jelas bahwa A berada antara F (c , 0) dan x = k.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 5 / 31

Elips dan Hiperbol letaknya simetris terhadap pusatnya

Untuk menurunkan persamaan konik yang terpusat ini, akan dilakukanbeberapa langkah berikut :

1 Letakkan sumbu x sepanjang sumbu panjangnya dan titik asal kitapilih sebagai pusat konik.

2 pilih c , k, dan a bernilai positif3 Kita misalkan F (c , 0) adalah fokus dan garis arah adalah x = k,puncak konik tersebut kita pilih A0 (�a, 0) dan A (a, 0).

4 Jelas bahwa A berada antara F (c , 0) dan x = k.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 5 / 31

Ilustrasi formula sebelumnya

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 6 / 31

Elips dan Hiperbol

Apabila dalam syarat jPF j = e jPLj kita pilih terlebih dahulu P = Adan kemudian P = A0, maka kita peroleh berturut-turut

a� c = e (k � a) = ek � eaa+ c = e (k + a) = ek + ea

bila kedua persamaan di atas kita selesaikan untuk c dan k, makadiperoleh

c = ea dan k =ae

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 7 / 31

Elips dan Hiperbol

Apabila dalam syarat jPF j = e jPLj kita pilih terlebih dahulu P = Adan kemudian P = A0, maka kita peroleh berturut-turut

a� c = e (k � a) = ek � eaa+ c = e (k + a) = ek + ea

bila kedua persamaan di atas kita selesaikan untuk c dan k, makadiperoleh

c = ea dan k =ae

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 7 / 31

Akibat terhadap dua kasus tersebut

Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k = ae > a. Jadi untuk kasus

Elips, F berada di kiri titik puncak A dan garis arah x = k berada dikanan A

Jika e > 1, maka c = ea > a dan k = ae < a. Jadi untuk kasus

hiperbol, garis arah x = k berada di kiri A dan fokus F berada dikanan A.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 8 / 31

Akibat terhadap dua kasus tersebut

Jika 0 < e < 1 maka c = ea < a dan k = ae > a. Jadi untuk kasus

Elips, F berada di kiri titik puncak A dan garis arah x = k berada dikanan A

Jika e > 1, maka c = ea > a dan k = ae < a. Jadi untuk kasus

hiperbol, garis arah x = k berada di kiri A dan fokus F berada dikanan A.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 8 / 31

Ilustrasi kedua kasus tersebut

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 9 / 31

Persamaan baku Elips dan Hiperbol

Misalkan P (x , y) adalah sebuah titik pada elips, maka L (a/e, y)adalah proyeksinya pada garis arah. Jadi syarat jPF j = e jPLj menjadiq

(x � ae)2 + y2 = er�

x � ae

�2

Ilustrasi,

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 10 / 31

Persamaan baku Elips dan Hiperbol

Misalkan P (x , y) adalah sebuah titik pada elips, maka L (a/e, y)adalah proyeksinya pada garis arah. Jadi syarat jPF j = e jPLj menjadiq

(x � ae)2 + y2 = er�

x � ae

�2Ilustrasi,

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 10 / 31

Persamaan baku Elips dan Hiperbol

Setelah dikuadratkan dan disederhanakan kita peroleh

x2 � 2aex + a2e2 + y2 = e2�x2 � 2a

ex +

a2

e2

��1� e2

�x2 + y2 = a2

�1� e2

�

Jika kita bagi kedua ruas dengan a2�1� e2

�, maka diperoleh

x2

a2+

y2

a2 (1� e2) = 1 ((1))

Oleh karena dalam persamaan terakhir ini terdapat hanya suku-sukux dan y yang genap pangkatnya, elips (atau hiperbol) letaknyasimetris terhadap sumbu x , sumbu y , dan titik asal.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 11 / 31

Persamaan baku Elips dan Hiperbol

Setelah dikuadratkan dan disederhanakan kita peroleh

x2 � 2aex + a2e2 + y2 = e2�x2 � 2a

ex +

a2

e2

��1� e2

�x2 + y2 = a2

�1� e2

�Jika kita bagi kedua ruas dengan a2

�1� e2

�, maka diperoleh

x2

a2+

y2

a2 (1� e2) = 1 ((1))

Oleh karena dalam persamaan terakhir ini terdapat hanya suku-sukux dan y yang genap pangkatnya, elips (atau hiperbol) letaknyasimetris terhadap sumbu x , sumbu y , dan titik asal.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 11 / 31

Persamaan baku Elips dan Hiperbol

Setelah dikuadratkan dan disederhanakan kita peroleh

x2 � 2aex + a2e2 + y2 = e2�x2 � 2a

ex +

a2

e2

��1� e2

�x2 + y2 = a2

�1� e2

�Jika kita bagi kedua ruas dengan a2

�1� e2

�, maka diperoleh

x2

a2+

y2

a2 (1� e2) = 1 ((1))

Oleh karena dalam persamaan terakhir ini terdapat hanya suku-sukux dan y yang genap pangkatnya, elips (atau hiperbol) letaknyasimetris terhadap sumbu x , sumbu y , dan titik asal.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 11 / 31

Catatan

1 Karena kesimetrisan ini, harus ada fokus kedua (�ae, 0) dan adagaris arah kedua x = �a/e.

2 Sumbu yang memuat kedua puncak (dan kedua fokus) dinamakansumbu panjang dan sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus padasumbu panjang dinamakan sumbu pendek.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 12 / 31

Catatan

1 Karena kesimetrisan ini, harus ada fokus kedua (�ae, 0) dan adagaris arah kedua x = �a/e.

2 Sumbu yang memuat kedua puncak (dan kedua fokus) dinamakansumbu panjang dan sumbu yang melalui pusat dan tegak lurus padasumbu panjang dinamakan sumbu pendek.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 12 / 31

Persamaan Baku Elips

Untuk elips 0 < e < 1, sehingga 1� e2 > 0.Misalkanb = a

p1� e2sehingga persamaan (1) menjadi

x2

a2+y2

b2= 1

yang disebut persamaan baku elips.

Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang dan 2b garis tengahpendek.

Karena c = ae maka a, b, c memenuhi hubungan Pythagorasa2 = b2 + c2.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 13 / 31

Persamaan Baku Elips

Untuk elips 0 < e < 1, sehingga 1� e2 > 0.Misalkanb = a

p1� e2sehingga persamaan (1) menjadi

x2

a2+y2

b2= 1

yang disebut persamaan baku elips.

Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang dan 2b garis tengahpendek.

Karena c = ae maka a, b, c memenuhi hubungan Pythagorasa2 = b2 + c2.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 13 / 31

Persamaan Baku Elips

Untuk elips 0 < e < 1, sehingga 1� e2 > 0.Misalkanb = a

p1� e2sehingga persamaan (1) menjadi

x2

a2+y2

b2= 1

yang disebut persamaan baku elips.

Bilangan 2a dinamakan garis tengah panjang dan 2b garis tengahpendek.

Karena c = ae maka a, b, c memenuhi hubungan Pythagorasa2 = b2 + c2.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 13 / 31

Ilustrasi

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 14 / 31

Catatan

1 Apabila e mendekati 1, maka b = ap1� e2 adalah kecil dibanding

dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.

2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebutgemuk dan hampir berbentuk lingkaran.

3 Persamaan x 2a2 +

y 2

b2 = 1 untuk elips mendatar dany 2

a2 +x 2b2 = 1 untuk

elips tegak.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 15 / 31

Catatan

1 Apabila e mendekati 1, maka b = ap1� e2 adalah kecil dibanding

dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebutgemuk dan hampir berbentuk lingkaran.

3 Persamaan x 2a2 +

y 2

b2 = 1 untuk elips mendatar dany 2

a2 +x 2b2 = 1 untuk

elips tegak.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 15 / 31

Catatan

1 Apabila e mendekati 1, maka b = ap1� e2 adalah kecil dibanding

dengan a, elips yang bersangkutan bentuknya tipis dan memanjang.2 Apabila e mendekati 0, maka b hampir sama dengan a, elips tersebutgemuk dan hampir berbentuk lingkaran.

3 Persamaan x 2a2 +

y 2

b2 = 1 untuk elips mendatar dany 2

a2 +x 2b2 = 1 untuk

elips tegak.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 15 / 31

Contoh 1

Gambar gra�k persamaan

x2

36+y2

4= 1

dan tentukan fokus serta keeksentrikannya

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 16 / 31

Contoh 2

Buatlah Sketsa gra�k persamaan

x2

16+y2

25= 1

dan tentukan fokus dan keeksentrikannya

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 17 / 31

Sketsa jawaban contoh

Contoh 1

Contoh 2

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 18 / 31

Sketsa jawaban contoh

Contoh 1

Contoh 2

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 18 / 31

Persamaan Baku Hiperbol

Untuk Hiperbol e > 1, sehingga e2 � 1 > 0.Misalkanb = a

pe2 � 1sehingga persamaan (1) menjadi

x2

a2� y

2

b2= 1

yang disebut persamaan baku hiperbol.

Karena c = ae maka diperoleh c2 = b2 + a2.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 19 / 31

Persamaan Baku Hiperbol

Untuk Hiperbol e > 1, sehingga e2 � 1 > 0.Misalkanb = a

pe2 � 1sehingga persamaan (1) menjadi

x2

a2� y

2

b2= 1

yang disebut persamaan baku hiperbol.

Karena c = ae maka diperoleh c2 = b2 + a2.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 19 / 31

Asimtot pada hiperbol

Untuk menafsirkan arti b, kita nyatakan y dalam x . Kita peroleh

y = �ba

px2 � a2.

Untuk nilai x yang besar, nilaipx2 � a2 hampir sama dengan x

(buktikan).

Sehingga

y = �bax .

Tepatnya, garis-garis tersebut adalah asimtot.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 20 / 31

Asimtot pada hiperbol

Untuk menafsirkan arti b, kita nyatakan y dalam x . Kita peroleh

y = �ba

px2 � a2.

Untuk nilai x yang besar, nilaipx2 � a2 hampir sama dengan x

(buktikan).

Sehingga

y = �bax .

Tepatnya, garis-garis tersebut adalah asimtot.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 20 / 31

Ilustrasi

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 21 / 31

Catatan

1 Pada ilustrasi gambar di atas ada segitiga penting yang dapatdigunakan untuk menentukan letak asimtot, diperoleh dari hubunganc2 = b2 + a2.

2 Bila x dan y kita pertukarkan maka persamaan y 2

a2 �x 2b2 = 1

merupakan persamaan hiperbol tegak.3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antarapuncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidakdiperhatikan.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 22 / 31

Catatan

1 Pada ilustrasi gambar di atas ada segitiga penting yang dapatdigunakan untuk menentukan letak asimtot, diperoleh dari hubunganc2 = b2 + a2.

2 Bila x dan y kita pertukarkan maka persamaan y 2

a2 �x 2b2 = 1

merupakan persamaan hiperbol tegak.

3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antarapuncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidakdiperhatikan.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 22 / 31

Catatan

1 Pada ilustrasi gambar di atas ada segitiga penting yang dapatdigunakan untuk menentukan letak asimtot, diperoleh dari hubunganc2 = b2 + a2.

2 Bila x dan y kita pertukarkan maka persamaan y 2

a2 �x 2b2 = 1

merupakan persamaan hiperbol tegak.3 Baik untuk elips maupun hiperbol, a selalu merupakan jarak antarapuncak dan pusat. untuk elips a > b, untuk hiperbol tidakdiperhatikan.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 22 / 31

Contoh 3

Gambarlah gra�kx2

9� y

2

16= 1

gambarlah juga asimtot, tentukan persamaan dan letak fokus hiperboltersebut.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 23 / 31

Contoh 4

Tentukan fokus hiperbol

�x2

4+y2

9= 1

dan buatlah gra�knya.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 24 / 31

Sketsa jawaban contoh

Contoh 3

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 25 / 31

Sketsa jawaban contoh

Contoh 4

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 26 / 31

Latihan soal parabol

Tentukan persamaan parabol yang puncaknya berada di titik asal, jikaparabol ini melalui titik (3,�1) dan sumbu simetrinya adalah sumbux . Buatlah sketsa gra�knya.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabol x2 = 4ydi titik (4, 4).

Buktikan bahwa kedua garis singgung parabol di ujung-ujungtalibusur fokus saling tegak lurus.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 27 / 31

Latihan soal parabol

Tentukan persamaan parabol yang puncaknya berada di titik asal, jikaparabol ini melalui titik (3,�1) dan sumbu simetrinya adalah sumbux . Buatlah sketsa gra�knya.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabol x2 = 4ydi titik (4, 4).

Buktikan bahwa kedua garis singgung parabol di ujung-ujungtalibusur fokus saling tegak lurus.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 27 / 31

Latihan soal parabol

Tentukan persamaan parabol yang puncaknya berada di titik asal, jikaparabol ini melalui titik (3,�1) dan sumbu simetrinya adalah sumbux . Buatlah sketsa gra�knya.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal parabol x2 = 4ydi titik (4, 4).

Buktikan bahwa kedua garis singgung parabol di ujung-ujungtalibusur fokus saling tegak lurus.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 27 / 31

Latihan soal parabol

Talibusur yang melalui fokus (talibusur fokus) dan tegak lurus sumbuparabol disebut Latus rektum. Pada parabol y2 = 4px (gambar dibawah), F adalah fokus, R adalah sebarang titik pada parabol sisebelah kiri latus rektum, dan G adalah titik potong latus rektumdengan garis yang melalui R sejajar sumbu. Carilah jFR j+ jRG j.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 28 / 31

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Gambarlah gra�k persamaan yang diketahui dengan menyebutkan puncak,fokus dan asimtot

x 210 +

y 2

4 = 1.

4x2 � 25y2 = 100.

Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggappusatnya berada di titik asal.

Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.

Hiperbol dengan asimtot 2x � 4y = 0 dan puncak di (8, 0) .

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 29 / 31

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Gambarlah gra�k persamaan yang diketahui dengan menyebutkan puncak,fokus dan asimtot

x 210 +

y 2

4 = 1.

4x2 � 25y2 = 100.Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggappusatnya berada di titik asal.

Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.

Hiperbol dengan asimtot 2x � 4y = 0 dan puncak di (8, 0) .

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 29 / 31

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Gambarlah gra�k persamaan yang diketahui dengan menyebutkan puncak,fokus dan asimtot

x 210 +

y 2

4 = 1.

4x2 � 25y2 = 100.Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggappusatnya berada di titik asal.

Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.

Hiperbol dengan asimtot 2x � 4y = 0 dan puncak di (8, 0) .

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 29 / 31

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Gambarlah gra�k persamaan yang diketahui dengan menyebutkan puncak,fokus dan asimtot

x 210 +

y 2

4 = 1.

4x2 � 25y2 = 100.Tentukanlah persamaan irisan kerucut yang bersangkutan. Anggappusatnya berada di titik asal.

Elips dengan fokus (0, 3) dan panjang diameter pendeknya 8.

Hiperbol dengan asimtot 2x � 4y = 0 dan puncak di (8, 0) .

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 29 / 31

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Diketahui elips x2

a2 +y 2

b2 = 1. Berapakah panajang latus rektum(talibusur fokus yang tegak lurus dengan sumbu panjang) elips?

Buktikan bahwa�p

x2 � a2 � x�! 0 apabila x ! ∞.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 30 / 31

Latihan Soal Elips dan Hiperbol

Diketahui elips x2

a2 +y 2

b2 = 1. Berapakah panajang latus rektum(talibusur fokus yang tegak lurus dengan sumbu panjang) elips?

Buktikan bahwa�p

x2 � a2 � x�! 0 apabila x ! ∞.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 30 / 31

Daftar pustaka

Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2, Erlangga.

M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 2) Juli 2012 31 / 31