geometri analitik bidang & ruang · i. garis kutub (polar) suatu lingkaran ... tentukan...
Post on 26-Aug-2018
494 Views
Preview:
TRANSCRIPT
HANDOUT (BAHAN AJAR)
GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG
Sofyan Mahfudy
IAIN Mataram
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
i
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta’ala yang dengan rahmat dan
karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan handout yang sederhana ini.
Handout ini masih sangat banyak kekurangannya dikarenakan keterbatasan
waktu penulisan. Salah satunya adalah materi yang diambil hanya satu sub
materi yaitu lingkaran. Tentunya ke depan handout ini dapat disempurnakan
dan dikembangkan lagi sehingga lebih baik. Tujuan pembuatan handout ini
adalah sebagai upaya dan ikhtiar penulis untuk membuat referensi mata
kuliah bagi mahasiswa sehingga mudah dipahami dan didapatkan oleh
mahasiswa. Saran dan masukan yang positif tentunya sangat dibutuhkan oleh
penulis bagi sempurnanya handout ini ke depan. Akhirnya, semoga karya
sederhana ini dapat memberikan manfaatkan khususnya bagi mahasiswa yang
sedang menempuh mata kuliah Geometri Analitik Bidang.
Mataram, Juli 2016
Penulis
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..........................................................................................................................i
DAFTAR ISI ........................................................................................................................................ ii
LINGKARAN ....................................................................................................................................... 1
A. Tentang Lingkaran ........................................................................................................... 1
B. Definisi Lingkaran ............................................................................................................ 1
C. Persamaan Umum Lingkaran...................................................................................... 1
D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain ............................................................. 2
E. Garis singgung Lingkaran ............................................................................................. 3
F. Persamaan garis singgung dengan gradien (𝑚) tertentu ............................. 4
G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran ................................................. 5
H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran ............................ 6
I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran ...................................................................... 9
J. Garis singgung melalui di luar lingkaran............................................................ 11
K. SOAL-SOAL LATIHAN .................................................................................................. 14
REFERENSI ..................................................................................................................................... 15
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
1
LINGKARAN
A. Tentang Lingkaran
Sejak lebih dari 2500 tahun silam bentuk lingkaran dianggap sebagai bentuk
yang paling sempurna. Lingkaran memiliki beberapa sifat yang istimewa
diantaranya adalah:
Diantara bangun datar yang memiliki luas sama, maka lingkaran-lah yang
memiliki keliling paling minimum. Pada dimensi 3 padanannya adalah
bola.
Selain identik dengan roda, lingkaran cocok untuk penutup saluran air
karena ia tidak akan jatuh ke dalam lubangnya.
Perbandingan keliling dan diameter selalu konsisten, selanjutnya
perbandingan tersebut disebut dengan 𝜋 (Archimedes menemukan
pendekatan 𝜋 ini 287-212 SM).
B. Definisi Lingkaran
Definisi lingkaran secara persis adalah “himpunan titik-titik pada bidang
sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu
sama panjangnya”. Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan
titik tertentu disebut pusat lingkaran.
C. Persamaan Umum Lingkaran
Pada gambar 1.a, misalkan diketahui sebuah titik tertentu adalah (𝑎, 𝑏) dan
jaraknya adalah sebesar 𝑟, maka dengan konsep jarak dua titik diperoleh:
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2
Maka persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari 𝑟 adalah
𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
2
Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai 𝑎 = 0 dan 𝑏 =
0, sehingga diperoleh:
𝐿 ∶ (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2= 𝑟2
𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2= 𝑟2
Latihan Soal A
Carilah persamaan lingkaran dengan ketentuan sebagai berikut:
1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3
2. Pusat P (−2,3) dan jari-jari 2
3. Pusat P (−5, −1) dan melalui (−2,2)
D. Persamaan Lingkaran dalam Bentuk lain
Apabila lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan jari-jari r yang berbentuk:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2
diuraikan, maka diperoleh bentuk:
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2= 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2= 0
Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , maka diperoleh:
Gambar 1
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
3
𝐴 = − 2𝑎 ⟹ 𝑎 = −1
2 𝐴 ; 𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 ⟹ 𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 − C
𝐵 = − 2𝑏 ⟹ 𝑏 = −1
2 𝐵 ; 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶 =√
1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶
Jadi lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 memiliki:
Pusat (−1
2 𝐴 , −
1
2 𝐵)
r = √1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶
Latihan Soal B
Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dan sketsalah:
1. 𝐿1 : 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 10𝑦 − 2 = 0
2. 𝐿2 : 𝑥2 + 𝑦2 + 20𝑥 + 36 = 0
3. 𝐿3 : 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 − 9 = 0
E. Garis singgung Lingkaran
Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran
tersebut sedemikian sehingga titik persekutuan garis dan lingkaran ada satu
dan hanya satu titik. Dari gambar 2 di bawah ini 𝑔1 menyinggung lingkaran
di titik D.
Gambar 2
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
4
F. Persamaan garis singgung dengan gradien (𝒎) tertentu
Pada gambar 3 di atas garis 𝑔1 dan 𝑔2 memiliki gradien (𝑚) yang sama dan
keduanya merupakan garis singgung dari lingkaran 𝐿. Bagaimana mencari
persamaan garis 𝑔1 dan 𝑔2 jika gradien dan persamaan lingkaran yang
disinggungnya diketahui??
Jika garis 𝑔1 dan 𝑔2 memiliki persamaan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 dan menyinggung
lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, maka dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 ke
𝑥2 + 𝑦2= 𝑟2 diperoleh:
𝑥2 + (𝑚𝑥 + 𝑝)2= 𝑟2
𝑥2 + 𝑚2𝑥2 + 2𝑚𝑝𝑥 + 𝑝2 = 𝑟2
(𝑚2+1)𝑥2 + 2𝑚𝑝𝑥 + (𝑝2 − 𝑟2) = 0
Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titik
persekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut
bernilai nol (𝐷 = 0)
𝐷 = 0
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0
(2𝑚𝑐)2 − 4(𝑚2 + 1) (𝑝2 − 𝑟2) = 0
4𝑚2𝑝2 − 4(𝑚2𝑝2 − 𝑚2𝑟2+ 𝑝2 − 𝑟2) = 0
4𝑚2𝑝2 −4𝑚2𝑝2 + 4𝑚2𝑟2 − 4𝑝2 + 4𝑟2 = 0
Gambar 3
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
5
𝑚2𝑟2 − 𝑝2 + 𝑟2 = 0
𝑝2 = 𝑟2(1+𝑚2) ⇒ 𝑝 = ± 𝑟 √1 + 𝑚2
Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat
𝑂 (0,0) dengan gradient 𝑚 adalah:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟 √1 + 𝑚2
Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran
𝐿: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 dengan gradien m adalah:
(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 √1 + 𝑚2
Latihan Soal C
1. Carilah persamaan singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 dengan gradien (𝑚) = 2
3
2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 10𝑦 − 2 =
0 dengan gradien (𝑚) = −2
G. Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran
Kedudukan garis terhadap lingkaran memiliki 3 kemungkinan seperti pada
gambar 4 di atas. Setiap kemungkinan memiliki ketentuan sebagai berikut:
Gambar 4
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
6
1. Memotong (𝐷 > 0)
2. Tidak memotong dan tidak menyinggung (𝐷 < 0)
3. Menyinggung (𝐷 = 0)
𝐷 adalah nilai diskriminan (𝑏2 − 4𝑎𝑐) dari persamaan kuadrat yang
diperoleh dari substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran
H. Persamaan Garis Singgung melalui Titik pada Lingkaran
Pada gambar 5 terlihat titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 dan
garis 𝑔 adalah garis singgung lingkaran 𝐿 di titik 𝑃. Titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada
lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, sehingga berlaku 𝑥12 + 𝑦1
2 = 𝑟2
Dari ilustrasi pada gambar 5 terlihat bahwa 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑔
Jika 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ kita anggap sebagai sebuah garis yang memiliki gradien m OP̅̅̅̅ , maka
m OP̅̅̅̅ =
y1
x1
Karena 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑔 maka berlaku
m OP̅̅̅̅ . mg = −1
mg = −1
m OP̅̅̅̅ sehingga mg = −
x1
y1
Jika persamaan garis 𝑔 adalah:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Gambar 5
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
7
𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1
𝑦1 (𝑥 − 𝑥1)
𝑦𝑦1 − 𝑦12 = −𝑥𝑥1 + 𝑥1
2
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑥12 + 𝑦1
2
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2
Jadi diperoleh persamaan garis singung titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran 𝐿 ∶
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 adalah
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan, jika titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran
𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2, maka garis singgung lingkaran L melalui
𝑃 (𝑥1, 𝑦1) adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2. Pembuktiannya
adalah sebagai berikut:
Dari gambar 6 di atas terlihat bahwa titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran
𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 dan garis 𝑔 adalah garis singgung lingkaran 𝐿
di titik 𝑃. Titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran 𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2,
sehingga berlaku (𝑥1 − 𝑎)2 + (𝑦1 − 𝑏)2 = 𝑟2
Karena 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ⊥ 𝑔 maka berlaku
m OP̅̅̅̅ . mg = −1
Gambar 6
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
8
mg = −1
m OP̅̅̅̅
Karena m OP̅̅̅̅ =
𝑦1−𝑏
𝑥1−𝑎 sehingga mg = −
𝑥1−𝑎
𝑦1−𝑏
Jika persamaan garis 𝑔 adalah:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1 − 𝑎
𝑦1 − 𝑏 (𝑥 − 𝑥1)
(𝑦 − 𝑦1)(𝑦1 − 𝑏) = −(𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑥1)
𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑦12 + 𝑏𝑦1 = −𝑥𝑥1 + 𝑥1
2 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1
𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 = 𝑥12 − 𝑎𝑥1 + 𝑦1
2 − 𝑏𝑦1
𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 + (−𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 + 𝑎2 + 𝑏2)
= 𝑥12 − 𝑎𝑥1 + 𝑦1
2 − 𝑏𝑦1 + (−𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 + 𝑎2 + 𝑏2)
(𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1 + 𝑎2) + (𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦1 + 𝑏2)
= (𝑥12 − 2𝑎𝑥1 + 𝑎2) + (𝑦1
2 − 2𝑏𝑦1 + 𝑏2)
(𝑥𝑥1 − 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥1 + 𝑎2) + (𝑦𝑦1 − 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦1 + 𝑏2) = (𝑥1 − 𝑎)2 + (𝑦1 − 𝑏)2
(𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2
Jadi diperoleh persamaan garis singung titik 𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada lingkaran
𝐿 ∶ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)+ (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2
Jika lingkaran dinyatakan dalam persamaan
𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, maka persamaan garis yang melalui titik
𝑃 (𝑥1, 𝑦1) pada 𝐿 adalah:
𝑥𝑥1 + y𝑦1 + 1
2𝐴(𝑥 + 𝑥1) +
1
2𝐵(𝑦 + 𝑦1) + 𝐶 = 0 (*)
Latihan Soal D
Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagai berikut:
1. Titik 𝐴 (2, −√5) pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 9
2. Titik 𝑃 (−3,7) pada lingkaran (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 17
3. Titik 𝑄 (5, −6) pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
9
I. Garis Kutub (polar) suatu Lingkaran
Jika titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) terletak di luar lingkaran 𝐿 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, maka dari titik
𝑃 dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran 𝐿 seperti ditunjukkan pada
gambar 7. Garis singgung tersebut menyinggung lingkaran 𝐿 di titik 𝐴 (𝑥1, 𝑦1)
dan 𝐵 (𝑥2, 𝑦2). Karena titik 𝐴 dan 𝐵 pada 𝐿, maka persamaan garis singgung
yang melalui A dan B berturut-turut adalah 𝑔1: 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2 dan 𝑔2: 𝑥𝑥2 +
𝑦𝑦2 = 𝑟2.
Karena 𝑔1 dan 𝑔2 melalui titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0), maka berlaku:
𝑥0𝑥1 + 𝑦0𝑦1 = 𝑟2 dan 𝑥0𝑥2 + 𝑦0𝑦2 = 𝑟2
Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat
titik 𝐴 (𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵 (𝑥2, 𝑦2) memenuhi persamaan: 𝑥0𝑥 + 𝑦0𝑦 = 𝑟2 (*).
Selanjutnya, persamaan garis (*) disebut persamaan garis kutub (polar)
lingkaran 𝐿. Garis polar tersebut melalui titik 𝐴 dan 𝐵 seperti terlihat pada
gambar 8 di bawah ini.
P (x0,y
0)
B (x2,y
2)
A (x1,y
1)
Gambar 7
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
10
Selanjutnya dengan cara yang sama (buktikan sendiri) persamaan garis
kutub (polar) titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) terhadap lingkaran
L : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah
(𝑥0 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦0 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑟2
Sedangkan persamaan garis kutub (polar) titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) terhadap lingkaran
L : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 adalah:
𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 + 1
2𝐴(𝑥 + 𝑥0) +
1
2𝐵(𝑦 + 𝑦0) + 𝐶 = 0
Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Jika titik P di luar lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa
tali busur (memotong lingkaran di dua titik berbeda)
2. Jika titik P pada lingkaran, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa
garis singgung lingkaran di titik tersebut
3. Jika titik P di dalam lingkaran, maka garis kutub (polar) nya tidak memotong
lingkaran
Latihan Soal E
Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap
lingkaran yang diketahui:
Gambar 8
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
11
1. Titik A (5, −4) terhadap lingkaran x2+ y2 = 25
2. Titik P (1, −2) terhadap lingkaran (x − 4)2+ (y − 2)2 = 25
3. Titik P (−1,4) terhadap lingkaran (x − 4)2+ (y − 2)2 = 16
4. Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 3 = 0
5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x − 4)2+ (y − 2)2 = 16
J. Garis singgung melalui di luar lingkaran
Misalkan titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) adalah titik di luar lingkaran 𝐿 dengan pusat (𝑎, 𝑏)
seperti sketsa pada gambar 9.
Akan ditentukan persamaan garis singgung yang melalui titik 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) dan
menyinggung lingkaran 𝐿. Cara menentukan persamaan garisnya adalah
dengan memanfaatkan persamaan garis polar suatu lingkaran. Langkah-
langkahnya adalah seperti berikut ini:
1. Tentukan persamaan garis polar 𝑃 (𝑥0, 𝑦0) tersebut terhadap lingkaran
2. Potongkan garis polar (yang diperoleh dari langkah 1) terhadap
lingkaran, sehingga diperoleh dua titik potong
Gambar 9
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
12
3. Selanjutnya dengan titik-titik potong yang diperoleh pada langkah 2
dapat ditentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan
persamaan garis singgung pada lingkaran. Akan diperoleh dua garis
singgung yang berbeda sebagaimana pada gambar 9.
Contoh Soal
Diketahui lingkaran 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 = 16 dan titik 𝑃(−3,4). Tentukanlah persamaan-
persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 yang melalui titik 𝑃.
Solusi
Mudah ditunjukkan bahwa titik P berkedudukan di luar lingkaran L. Sehingga
langkah pertama adalah menentukan persamaan garis polar lingkaran 𝐿 di titik 𝑃.
Persamaan polarnya adalah 𝑔: − 3𝑥 + 4𝑦 = 16. Selanjutnya potongkan garis polar
𝑔 dengan lingkaran 𝐿.
Dengan mengubah −3𝑥 + 4𝑦 = 16 ⇒ 𝑦 = 16+3𝑥
4 ⇒ 𝑦 = 4 +
3
4𝑥, kemudian
subtitusikan ke lingkaran 𝐿. Diperoleh sebagai berikut:
𝑥2 + 𝑦2 = 16
𝑥2 + (4 +3
4𝑥)2 = 16
𝑥2 + 16 + 6𝑥 +9
16𝑥2 = 16
𝑥2 +9
16𝑥2 + 6𝑥 = 0
16𝑥2 + 9𝑥2 + 96𝑥 = 0
25𝑥2 + 96𝑥 = 0
𝑥(25𝑥 + 96) = 0
𝑥 = 0 atau 𝑥 = −96
25
Untuk 𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 4 +3
4(0) = 4. Jadi titik potong (0,4)
Untuk 𝑥 =96
25⇒ 𝑦 = 4 +
3
4(−
96
25) = 4 −
72
25=
28
25. Jadi titik potong (−
96
25,
28
25)
Titik (0,4) dan (−96
25,
28
25) merupakan titik singgung bagi garis singgung yang akan
ditentukan ehingga cara menentukan persamaan garis singgungnya adalah sama
dengan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik pada lingkaran.
Sehingga persamaan-persamaan garis singgungnya adalah:
𝑔1: 𝑥(0) + 𝑦(4) = 16 ⟹ 𝑔1: 4𝑦 − 16 = 0 ⟹ 𝑔1: 𝑦 − 4 = 0
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
13
𝑔2: 𝑥 (−96
25) + 𝑦 (
28
25) = 16 ⟹ 𝑔1: −96𝑥 + 28𝑦 = 400 ⟹ 𝑔1: 24𝑥 − 7𝑦 + 100 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 = 16 dan melalui titik 𝑃(−3,4)
adalah
𝑦 − 4 = 0 dan 24𝑥 − 7𝑦 + 100 = 0
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
14
K. SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik 𝐴 (3, 1) dan
𝐵 (−1, 3) serta titik pusatnya terletak pada garis 𝑔: 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A (3,0), B (0,2), dan
C (2,1)
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat 𝐶 (1, −1) dan
menyinggung garis 𝑔: 5𝑥 − 12𝑦 + 9 = 0
4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
𝐿: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 9 di titik yang berabsis 1
5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan
𝐿: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 9 yang sejajar garis 𝑔: −3𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0
6. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran
𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 + 10𝑥 − 6𝑦 − 2 = 0 yang tegak lurus dengan garis
ℎ: − 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
7. Tentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 =
25 yang melalui titik (−3 , 5)
8. Tentukan persamaan lingkaran dalam segitiga yang titik-titik sudutnya
mempunyai koordinat:
a. (10, 9), (– 4, 11), (– 6, – 3) b. (1, 7), (– 2, 8), (18, 12)
9. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x,
mempunyai pusat pada garis 𝑥 + 𝑦 = 7, dan melalui titik (5, 4)
10. Tentukan persamaan lingkaran yang dibatasi oleh segitiga yang sisi-
sisinya diberikan oleh persamaan 𝑥 + 7𝑦 – 30 = 0; 7𝑥 – 𝑦 – 10 = 0;
dan 4𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0
11. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung garis 3𝑥 – 4𝑦 + 5 =
0 dan 4𝑥 + 3𝑦 – 10 = 0 dan melalui titik (2, 4)
Lingkaran
Handout Geometri Analitik Bidang dan Ruang
15
REFERENSI
Suryadi H.S. Teori dan Soal: Ilmu Ukur Analitik Ruang. Fakultas MIPA
Universitas Indoensia. 2001
Tim FMIPA Universitas Pendidikan Indonesia. Ilmu Ukur Analitik I dan II
(Geometri Analitik Bidang). 1971
Maxime Bocher. Plane Analytic Geometry. Havard University. 1915
top related