bab vi sifat-sifat lanjutan integral riemann · pdf filesifat-sifat lanjutan integral riemann...
Post on 06-Feb-2018
261 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
1 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
BAB VI
SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN
Teorema 6.1
Jika f π [π, π] dan f π [π, π] dengan π < π < π maka f π [π, π]. Lebih lanjut
π π π₯ ππ₯
π
π
= π π π₯ ππ₯
π
π
+ (π ) π π₯ ππ₯
π
π
Bukti
f π [π, π] dan f π [π, π], misalkan (π ) π π₯ ππ₯π
π = π΄1 dan (π ) π π₯ ππ₯
π
π =π΄2. Diberikan sembarang
bilangan ν > 0, maka terdapat πΏ1 > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann π1 pada [π, π] dengan
π1 < πΏ1 berlaku
π1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄1 <ν
4.
dan juga terdapat πΏ2 > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann π2 pada [π, π] dengan π2 < πΏ2
berlaku
π2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄2 <ν
4.
Dipilih πΏ = min{πΏ1, πΏ2}, akibatnya jika P sembarang partisi pada [π, π] dengan sifat π < πΏ maka
terdapat dua kemungkinan;
(i) c merupakan salah satu titik partisi P
(ii) c bukan merupakan salah satu titik partisi P
Kemungkinan (i)
Jika c merupakan salah satu titik partisi P, maka P terbagi atas π1 pada interval bagian [π, π]
dan π2 pada interval bagian [π, π]. Karena πΏ = min{πΏ1 , πΏ2} dan π < πΏ, maka berlaku pula
π1 < πΏ1 dan π2 < πΏ2 , sehingga
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
= π1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
+ π2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
= π1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄1 + π2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄2
β€ π1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄1 + π2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄2
<ν
4+
ν
4 < ν
Kemungkinan (ii)
Jika c bukan merupakan salah satu titik partisi Riemann P, maka dapat dibuat partisi Riemann
πν pada pada [π, π] dengan c sebagai salah satu titik partisinya, sehingga πν menjadi penghalus
partisi P. Selanjutnya dengan cara seperti pada kemungkinan (i) diperoleh;
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
2 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
= πν1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
+ πν2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
= πν1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄1 + πν2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄2
β€ πν1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄1 + πν2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β π΄2
<ν
4+
ν
4=
ν
2
Jadi
πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2) <ν
2
dan karena
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
<ν
2
maka
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
= π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
+ πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
β€ π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
+ πν π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π΄1 + π΄2)
<ν
2+
ν
2= ν.
Dengan demikian terbukti f (π )[π, π] dan
π π π₯ ππ₯
π
π
= π π π₯ ππ₯
π
π
+ (π ) π π₯ ππ₯
π
π
Teorema 6.2
Jika f : [π, π] R fungsi terbatas dan π π₯ = 0 kecuali di beberapa titik yang banyaknya
berhingga pada interval [π, π]maka f π [π, π] dan
(π ) π π₯ ππ₯
π
π
= 0.
Bukti
Dibentuk himpunan π = π₯ β π, π : π π₯ β 0 yang mempunyai anggota sebanyak berhingga.
Selanjutnya untuk setiap bilangan ν > 0 dipilih bilangan πΏ dengan sifat
0 < πΏ <ν
π(π₯) π₯βπ
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
3 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Ambil sembarang partisi Riemann P pada [π, π] dengan π < πΏ, maka diperoleh
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β 0 = π π π₯π β π₯πβ1
π
π=11
+ π π π₯π β π₯πβ1
π
π=12
(1)
dengan
1 adalah jumlah bagian dari (π) dengan semua interval bagian yang tidak memuat titik
anggota X.
2 adalah jumlah bagian dari (π) dengan semua interval bagian yang memuat titik anggota X.
Pada 2 ini dipilih titik tagnya adalah salah satu titik anggota X tersebut. Oleh karenanya pada
(1) di atas menjadi
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β 0 β€ π π π₯π β π₯πβ1
π
π=11
+ π π π₯π β π₯πβ1
π
π=12
β€ 0 + π π π₯π β π₯πβ1
π
π=12
< π π ν
π(π₯) π₯βπ
π
π=12
β€ ν
Terbukti f π [π, π] dan
(π ) π π₯ ππ₯
π
π
= 0.
Berdasarkan Teorema 6.2 di atas dapat diperoleh akibat sebagai berikut.
Teorema 6.3
Jika f π [π, π], g: [π, π] R fungsi terbatas dan π π₯ = π π₯ kecuali di beberapa titik yang
banyaknya berhingga pada interval [π, π] maka g π [π, π] dan
π π π₯ ππ₯
π
π
= π π π₯ ππ₯
π
π
.
Bukti sebagai latihan.
Selanjutnya berdasarkan Akibat 6.3 untuk integral Riemann, dapat didefinisikan relasi β=β dengan
f = g pada interval [π, π] dimaksudkan π π₯ = π(π₯) kecuali di beberapa titik yang banyaknya
berhingga pada interval [π, π]. Mudah ditunjukkan bahwa relasi β=β tersebut merupakan relasi
ekuivalensi pada π [π, π]. Oleh karena itu π [π, π] dapat dipartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi.
Teorema 6.4
Jika f π [π, π], g π [π, π] dan π π₯ β€ π π₯ kecuali di beberapa titik yang banyaknya
berhingga pada interval [π, π] maka
π π π₯ ππ₯
π
π
β€ π π π₯ ππ₯
π
π
.
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
4 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Bukti
Berdasarkan Akibat 6.3, tanpa mengurangi keumuman bukti, dapat diasumsikan bahwa
π π₯ β€ π π₯ untuk setiap π₯ β [π, π]. Selanjutnya diberikan bilangan ν > 0 sembarang. Oleh karena
π β π [π, π], maka terdapat bilangan πΏ1 > 0 sehingga untuk setiap partisi
π1 = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
} pada [π, π] dengan sifat π1 < πΏ1 berlaku
π1 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π ) π
π
π
<ν
2.
Demikian juga π β π [π, π], maka terdapat bilangan πΏ2 > 0 sehingga untuk setiap partisi
π2 = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
} pada [π, π] dengan sifat π2 < πΏ2 berlaku
π2 π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π ) π
π
π
<ν
2.
Dipilih πΏ = min{πΏ1, πΏ2}, jika P sembarang partisi pada [π, π] dengan sifat π < πΏ maka π < πΏ1
dan π < πΏ2 sehingga berlaku
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π ) π
π
π
<ν
2 atau π π
π
π
β ν
2< π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
< π π
π
π
+ ν
2
dan juga
π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β (π ) π
π
π
<ν
2 atau π π
π
π
β ν
2< π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
< π π
π
π
+ ν
2.
Akibatnya diperoleh
π π
π
π
β ν
2< π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
β€ π π π π₯π β π₯πβ1
π
π=1
< π π
π
π
+ ν
2
sehingga
π π π₯ ππ₯
π
π
< π π π₯ ππ₯
π
π
+ ν.
Karena ν bilangan positif sembarang maka terbukti
π π π₯ ππ₯
π
π
β€ π π π₯ ππ₯
π
π
.
A. Keterinegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton
Selanjutnya diberikan keterintegralan fungsi bernilai real yang kontinu dan fungsi bernilai real
yang monoton pada interval [π, π] sebagai berikut.
Teorema 6.5
Setiap fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [π, π], terintegral Riemann pada [π, π].
Bukti
Diberikan sembarang f fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [π, π], berdasarkan teorema
kekontinuan seragam, maka f kontinu seragam. Selanjutnya diberikan sembarang bilangan ν > 0.
Karena f kontinu seragam, maka terdapat bilangan πΏ > 0 sehingga jika
π = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
} sembarang partisi pada [π, π] dengan sifat π < πΏ
berlaku
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
5 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
ππ β ππ <ν
(π β π)2π
Sehingga diperoleh
π π; π β πΏ π; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
β ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= (ππ β ππ)(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
< ν
π β π 2π(π β π)
π
π=1
= ν
Berdasarkan criteria Riemann f terintegral Darboux pada [π, π] sehingga ia terintegral Riemann
pada [π, π].
Teorema 6.6
Setiap fungsi bernilai real, monoton dan terbatas pada interval [π, π], terintegral Riemann pada
[π, π].
Bukti
Pada buku ini hanya dibuktikan untuk fungsi f yang monoton naik pada interval [π, π]. Untuk fungsi
monoton turun, bukti sebagai latihan.
Ambil sembarang ν > 0, dan karena f monoton naik pada [π, π] maka (π β π) π π β π(π) > 0,
sehingga berdasarkan sifat Archimides maka terdapat bilangan asli n sehingga
π β π
π π π β π(π) < ν.
Diberikan π = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
} sembarang partisi pada [π, π] yang membagi
[π, π] menjadi sebanyak n sub interval yang sama panjang. Jelas untuk setiap π = 1, 2, β¦ , π berlaku
π₯π β π₯πβ1 =π β π
π.
Karena f monoton naik pada [π, π] maka ia monoton naik pada [π₯πβ1 , π₯π] untuk setiap π = 1, 2, β¦ , π
sehingga
ππ = π π₯π dan ππ = π π₯πβ1
Oleh karenanya
π π; π β πΏ π; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
β ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= (ππ β ππ)(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= {π π₯π β π π₯πβ1 }(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= {π π₯π β π π₯πβ1 }π β π
π
π
π=1
=π β π
π {π π₯π β π π₯πβ1 }
π
π=1
=π β π
π π π β π(π) < ν.
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
6 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Jadi f terintegral Darboux pada [π, π], sehingga ia terintegral Riemann pada [π, π].
B. Contoh Perhitungan Nilai Integral
Telah ditegaskan pada bab sebelumnya bahwa integral Riemann ekuivalen dengan integral
Darboux. Beberapa contoh berikut menjelaskan penghitungan nilai integral Riemann dengan
menggunakan definisi atau teorema-teorema dalam integral Darboux.
Contoh 6.7
1. Fungsi konstan terintegral Riemann pada interval tertutup
Bukti
Diberikan π π₯ = π , βπ₯ β [π, π] dengan c suatu konstanta.
Ambil sembarang π = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
}, partisi pada [π, π], maka
ππ = π dan ππ = π, β π = 1, 2, . . . , π
Oleh karenanya
π π; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π (π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π π β π .
dan
πΏ π; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π (π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π π β π .
π π = inf { π π; π : P P [π, π]} = π π β π dan πΏ π = sup { πΏ π; π : P P [π, π]} = π π β π .
Jadi π π = πΏ(π), maka f terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann. Lebih lanjut
π π π₯ ππ₯
π
π
= π π β π .
2. Diberikan π π₯ = π₯ , βπ₯ β [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?
Penyelesaian
Ambil sembarang partisi seragam ππ = {0, 1
π , 2
π, β¦ , πβ1
π, 1} pada [0,1]. Karena π π₯ = π₯ , βπ₯ β [0,1],
maka
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
7 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
π₯π β π₯πβ1 =1
π βπ = 1, 2, β¦ , π.
ππ =π
π , β π = 1, 2, . . . , π
π ππ ; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π
π 1
π
π
π=1
= 1
π2 π
π
π=1
= 1
π2 1 + 2 + β― + π
= 1
π2 π(π + 1)
2
= 1
2 1 +
1
π
ππ =π β 1
π , β π = 1, 2, . . . , π
πΏ ππ ; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π β 1
π 1
π
π
π=1
= 1
π2 (π β 1)
π
π=1
= 1
π2 0 + 1 + 2 + β― + π β 1
= 1
π2 π(π β 1)
2
= 1
2 1 β
1
π
Diperoleh
limπββ
π ππ ; π β πΏ(ππ ; π) = limπββ
1
2 1 +
1
π β
1
2 1 β
1
π = 0
Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya
π· π π₯ ππ₯
π
π
= limπββ
π(ππ ; π) = limπββ
1
2 1 +
1
π =
1
2.
3. Diberikan π π₯ = π₯2 , βπ₯ β [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?
Penyelesaian
Ambil sembarang partisi seragam ππ = {0, 1
π , 2
π, β¦ , πβ1
π, 1} pada [0,1]. Karena π π₯ = π₯ , βπ₯ β [0,1],
maka
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
8 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
π₯π β π₯πβ1 =1
π βπ = 1, 2, β¦ , π.
ππ = π
π
2
, β π = 1, 2, . . . , π
π ππ ; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π
π
2
1
π
π
π=1
= 1
π3 π2
π
π=1
= 1
π3 1 + 4 + 9 + β― + π2
= 1
π3 π π + 1 (2π + 1)
6
= 1
3 1 +
3
2π+
1
2π2
ππ =π β 1
π , β π = 1, 2, . . . , π
πΏ ππ ; π = ππ(π₯π β π₯πβ1)
π
π=1
= π β 1
π
2
1
π
π
π=1
= 1
π3 (π β 1)2
π
π=1
= 1
π3 0 + 1 + 4 + 9 + β― + (π β 1)2
= 1
π3 π π β 1 (2π β 1)
6
= 1
3 1 β
3
2π+
1
2π2
Diperoleh
limπββ
π ππ ; π β πΏ(ππ ; π) = limπββ
1
3 1 +
3
2π+
1
2π2 β
1
3 1 β
3
2π+
1
2π2 = 0
Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya
π· π π₯ ππ₯
π
π
= limπββ
π(ππ ; π) = limπββ
1
3 1 +
3
2π+
1
2π2 =
1
3.
4. Diberikan fungsi Dirichlet pada interval [0,1].
π π₯ = 0 , π₯ rasional
1 , π₯ irrasional
Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
9 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
C. Fungsi Komposisi
Pada bab sebelumnya telah dibuktikan sifat kelinearan integral Riemann. Pada bagian akan
dibuktikan bahwa kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann juga terintegral Riemann.
Teorema 6.8
Diberikan interval [π, π] dan [π, π], f : [π, π] R fungsi yang terintegral Riemann pada [π, π]
dengan sifat π π, π [π, π]. Jika g : [π, π] R fungsi kontinu pada [π, π], maka komposisi
fungsi g o f : [π, π] R terintegral Riemann pada [π, π].
Bukti
Diberikan sebarang ν > 0, cukup dibuktikan terdapat π = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
},
partisi pada [π, π] sehingga
π π; π π π β πΏ π; π π π < ν.
Jika diketahui g : [π, π] R fungsi kontinu pada [π, π], maka g terbatas pada [π, π]. Berarti terdapat
bilangan real π > 0 sehingga π(π‘) β€ π untuk setiap π‘ β [π, π]. Oleh karena itu ada bilangan real K
sehingga πΎ = sup{ π π‘ : π‘ β π, π }.
g kontinu pada [π, π], maka ia kontinu seragam pada [π, π]. Oleh karenanya terdapat πΏ > 0 dengan
πΏ <ν
πβπ+2πΎ sehingga untuk setiap π , π‘ β [π, π] dengan π β π‘ < πΏ berlaku
π π β π(π‘) <ν
π β π + 2πΎ .
Karena f terintegral pada [π, π], maka terdapat π = {π = π₯0 , π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π = π; 1
, 2
, β¦ , π
}, partisi
pada [π, π] sehingga
π π; π β πΏ π; π < πΏ2 .
Untuk π = 1, 2, β¦ , π
ππ = sup π π : πβ [π₯πβ1 , π₯π] ,
ππ = inf π π : πβ [π₯πβ1 , π₯π]
Didefinisikan
ππβ = sup π π π π :
πβ [π₯πβ1 , π₯π] ,
ππβ = inf π π π π :
πβ [π₯πβ1 , π₯π]
dan
π΄ = π βΆ ππ β ππ < πΏ dan π΅ = π βΆ ππ β ππ β₯ πΏ .
Dapat dipahami bahwa
ππβ β ππ
β = sup π π π π : πβ [π₯πβ1 , π₯π] β inf π π π π :
πβ [π₯πβ1 , π₯π]
= sup π π π π β π π π ππ : π, ππ β [π₯πβ1, π₯π]
(i) Jika π β π΄, ambil sembarang π, ππ β [π₯πβ1 , π₯π] maka π π β π ππ < πΏ, sehingga
π π π π β π π π ππ <ν
π β π + 2πΎ
Akibatnya
ππβ β ππ
β β€ν
π β π + 2πΎ
sehingga
ππβ β ππ
β π₯π β π₯πβ1
πβπ΄
β€ν
π β π + 2πΎ π₯π β π₯πβ1
πβπ΄
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
10 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
β€ν
π β π + 2πΎ(π β π)
(ii) Jika π β π΅, ambil sembarang π, ππ β [π₯πβ1 , π₯π] maka ππ
β β ππβ β€ 2πΎ.
ππβ β ππ
β π₯π β π₯πβ1
πβπ΅
β€ 2πΎ π₯π β π₯πβ1
πβπ΅
β€ 2πΎ1
πΏ ππ β ππ π₯π β π₯πβ1
πβπ΅
β€ 2πΎ1
πΏ π π; π β πΏ π; π
< 2πΎ1
πΏ. πΏ2 = 2πΎπΏ
< 2πΎν
π β π + 2πΎ
Dari (i) dan (ii) diperoleh:
π π; π π π β πΏ π; π π π = ππβ β ππ
β π₯π β π₯πβ1
π
π=1
= ππβ β ππ
β π₯π β π₯πβ1
πβπ΄
+ ππβ β ππ
β π₯π β π₯πβ1
πβπ΅
<ν
π β π + 2πΎ π β π + 2πΎ
ν
π β π + 2πΎ= ν.
Terbukti.
Akibat 6.9
Diberikan interval [π, π], jika f : [π, π] R fungsi yang terintegral Riemann pada [π, π], maka
fungsi nilai mutlak π terintegral Riemann pada [π, π] dan
π
π
π
β€ π
π
π
β€ πΎ(π β π)
dengan K adalah bilangan real sehingga π(π₯) β€ πΎ untuk setiap π₯ β [π, π].
Bukti
Diketahui f : [π, π] R fungsi yang terintegral pada [π, π], maka f terbatas pada [π, π], sehingga
ada bilangan πΎ > 0 sehingga π(π₯) β€ πΎ untuk setiap π₯ β [π, π]. Didefinisikan π π₯ = π₯ untuk
π₯ β [π, π], maka π π π = π . Karena f terintegral Riemann pada [π, π] dan g kontinu pada R maka
berdasarkan Teorema 6.8 π terintegral Riemann pada [π, π].
Akibat 6.10
Diberikan interval [π, π], jika f : [π, π] R fungsi yang terintegral Riemann pada [π, π], maka
fungsi ππ , π β π, terintegral Riemann pada [π, π].
Bukti
Diketahui f : [π, π] R fungsi yang terintegral pada [π, π], Didefinisikan π π₯ = π₯π untuk setiap
π₯ β [π, π], maka π π π = ππ . Karena f terintegral Riemann pada [π, π] dan g kontinu pada R maka
berdasarkan Teorema 6.8 ππ terintegral Riemann pada [π, π].
Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann
11 Thobirin - Herawan : Analisis Real II
Akibat 6.11
Diberikan interval [π, π], jika f : [π, π] R fungsi yang terintegral Riemann pada [π, π], dan
terdapat bilangan πΏ > 0 sehingga π(π₯) β₯ πΏ untuk setiap π₯ β [π, π] , maka fungsi 1
π terintegral
Riemann pada [π, π].
Bukti
Diketahui f : [π, π] R fungsi yang terintegral pada [π, π], maka f terbatas pada [π, π], sehingga
ada bilangan πΎ > 0 sehingga π(π₯) β€ πΎ untuk setiap π₯ β [π, π]. Oleh karena itu πΏ β€ π(π₯) β€ πΎ.
Didefinisikan π π₯ =1
π₯ untuk setiap π₯ β [πΏ, πΎ] maka π π π =
1
π. Karena f terintegral Riemann pada
[π, π] dan g kontinu pada [πΏ, πΎ] maka berdasarkan Teorema 6.8 fungsi 1
π terintegral pada [π, π].
Teorema 6.12
Diberikan interval [π, π], jika f : [π, π] R dan g : [π, π] R fungsi-fungsi yang terintegral
Riemann pada [π, π], maka fungsi f.g terintegral Riemann pada [π, π].
Bukti
Diketahui f : [π, π] R dan g : [π, π] R fungsi-fungsi yang terintegral pada [π, π], maka
berdasarkan sifat linearitas dan Akibat 6.10 dengan mengambil n = 2, diperoleh π + π, π + π 2 , π2,
π2 masing-masing terintegral pada [π, π], sehingga π. π =1
2 π + π 2 β π2 β π2 terintegral
Riemann pada [π, π].
top related