Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

1 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

BAB VI

SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

Teorema 6.1

Jika f 𝑅[𝑎, 𝑐] dan f 𝑅[𝑐, 𝑏] dengan 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 maka f 𝑅[𝑎, 𝑏]. Lebih lanjut

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑐

𝑎

+ (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐

Bukti

f 𝑅[𝑎, 𝑐] dan f 𝑅[𝑐, 𝑏], misalkan (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎 = 𝐴1 dan (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐 =𝐴2. Diberikan sembarang

bilangan 휀 > 0, maka terdapat 𝛿1 > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann 𝑃1 pada [𝑎, 𝑐] dengan

𝑃1 < 𝛿1 berlaku

𝑃1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴1 <휀

4.

dan juga terdapat 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann 𝑃2 pada [𝑐, 𝑏] dengan 𝑃2 < 𝛿2

berlaku

𝑃2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴2 <휀

4.

Dipilih 𝛿 = min{𝛿1, 𝛿2}, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 maka

terdapat dua kemungkinan;

(i) c merupakan salah satu titik partisi P

(ii) c bukan merupakan salah satu titik partisi P

Kemungkinan (i)

Jika c merupakan salah satu titik partisi P, maka P terbagi atas 𝑃1 pada interval bagian [𝑎, 𝑐]

dan 𝑃2 pada interval bagian [𝑐, 𝑏]. Karena 𝛿 = min{𝛿1 , 𝛿2} dan 𝑃 < 𝛿, maka berlaku pula

𝑃1 < 𝛿1 dan 𝑃2 < 𝛿2 , sehingga

𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

= 𝑃1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

+ 𝑃2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

= 𝑃1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴1 + 𝑃2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴2

≤ 𝑃1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴1 + 𝑃2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴2

<휀

4+

휀

4 < 휀

Kemungkinan (ii)

Jika c bukan merupakan salah satu titik partisi Riemann P, maka dapat dibuat partisi Riemann

𝑃휀 pada pada [𝑎, 𝑏] dengan c sebagai salah satu titik partisinya, sehingga 𝑃휀 menjadi penghalus

partisi P. Selanjutnya dengan cara seperti pada kemungkinan (i) diperoleh;

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

2 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

= 𝑃휀1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

+ 𝑃휀2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

= 𝑃휀1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴1 + 𝑃휀2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴2

≤ 𝑃휀1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴1 + 𝑃휀2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝐴2

<휀

4+

휀

4=

휀

2

Jadi

𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2) <휀

2

dan karena

𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

<휀

2

maka

𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

= 𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

+ 𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

≤ 𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

+ 𝑃휀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝐴1 + 𝐴2)

<휀

2+

휀

2= 휀.

Dengan demikian terbukti f (𝑅)[𝑎, 𝑏] dan

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑐

𝑎

+ (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐

Teorema 6.2

Jika f : [𝑎, 𝑏] R fungsi terbatas dan 𝑓 𝑥 = 0 kecuali di beberapa titik yang banyaknya

berhingga pada interval [𝑎, 𝑏]maka f 𝑅[𝑎, 𝑏] dan

(𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 0.

Bukti

Dibentuk himpunan 𝑋 = 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓 𝑥 ≠ 0 yang mempunyai anggota sebanyak berhingga.

Selanjutnya untuk setiap bilangan 휀 > 0 dipilih bilangan 𝛿 dengan sifat

0 < 𝛿 <휀

𝑓(𝑥) 𝑥∈𝑋

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

3 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

Ambil sembarang partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿, maka diperoleh

𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 0 = 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=11

+ 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=12

(1)

dengan

1 adalah jumlah bagian dari (𝑃) dengan semua interval bagian yang tidak memuat titik

anggota X.

2 adalah jumlah bagian dari (𝑃) dengan semua interval bagian yang memuat titik anggota X.

Pada 2 ini dipilih titik tagnya adalah salah satu titik anggota X tersebut. Oleh karenanya pada

(1) di atas menjadi

𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− 0 ≤ 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=11

+ 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=12

≤ 0 + 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=12

< 𝑓 𝑖 휀

𝑓(𝑥) 𝑥∈𝑋

𝑛

𝑖=12

≤ 휀

Terbukti f 𝑅[𝑎, 𝑏] dan

(𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 0.

Berdasarkan Teorema 6.2 di atas dapat diperoleh akibat sebagai berikut.

Teorema 6.3

Jika f 𝑅[𝑎, 𝑏], g: [𝑎, 𝑏] R fungsi terbatas dan 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 kecuali di beberapa titik yang

banyaknya berhingga pada interval [𝑎, 𝑏] maka g 𝑅[𝑎, 𝑏] dan

𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

.

Bukti sebagai latihan.

Selanjutnya berdasarkan Akibat 6.3 untuk integral Riemann, dapat didefinisikan relasi “=” dengan

f = g pada interval [𝑎, 𝑏] dimaksudkan 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) kecuali di beberapa titik yang banyaknya

berhingga pada interval [𝑎, 𝑏]. Mudah ditunjukkan bahwa relasi “=” tersebut merupakan relasi

ekuivalensi pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu 𝑅[𝑎, 𝑏] dapat dipartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi.

Teorema 6.4

Jika f 𝑅[𝑎, 𝑏], g 𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 kecuali di beberapa titik yang banyaknya

berhingga pada interval [𝑎, 𝑏] maka

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

≤ 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

.

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

4 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

Bukti

Berdasarkan Akibat 6.3, tanpa mengurangi keumuman bukti, dapat diasumsikan bahwa

𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya diberikan bilangan 휀 > 0 sembarang. Oleh karena

𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿1 > 0 sehingga untuk setiap partisi

𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

} pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃1 < 𝛿1 berlaku

𝑃1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝑅) 𝑓

𝑏

𝑎

<휀

2.

Demikian juga 𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi

𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

} pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃2 < 𝛿2 berlaku

𝑃2 𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝑅) 𝑔

𝑏

𝑎

<휀

2.

Dipilih 𝛿 = min{𝛿1, 𝛿2}, jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 maka 𝑃 < 𝛿1

dan 𝑃 < 𝛿2 sehingga berlaku

𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝑅) 𝑓

𝑏

𝑎

<휀

2 atau 𝑅 𝑓

𝑏

𝑎

− 휀

2< 𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

< 𝑅 𝑓

𝑏

𝑎

+ 휀

2

dan juga

𝑃 𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

− (𝑅) 𝑔

𝑏

𝑎

<휀

2 atau 𝑅 𝑔

𝑏

𝑎

− 휀

2< 𝑃 𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

< 𝑅 𝑔

𝑏

𝑎

+ 휀

2.

Akibatnya diperoleh

𝑅 𝑓

𝑏

𝑎

− 휀

2< 𝑃 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑃 𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

< 𝑅 𝑔

𝑏

𝑎

+ 휀

2

sehingga

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

< 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

+ 휀.

Karena 휀 bilangan positif sembarang maka terbukti

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

≤ 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

.

A. Keterinegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton

Selanjutnya diberikan keterintegralan fungsi bernilai real yang kontinu dan fungsi bernilai real

yang monoton pada interval [𝑎, 𝑏] sebagai berikut.

Teorema 6.5

Setiap fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diberikan sembarang f fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], berdasarkan teorema

kekontinuan seragam, maka f kontinu seragam. Selanjutnya diberikan sembarang bilangan 휀 > 0.

Karena f kontinu seragam, maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga jika

𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿

berlaku

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

5 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 <휀

(𝑏 − 𝑎)2𝑖

Sehingga diperoleh

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

− 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= (𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

< 휀

𝑏 − 𝑎 2𝑖(𝑏 − 𝑎)

𝑛

𝑖=1

= 휀

Berdasarkan criteria Riemann f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sehingga ia terintegral Riemann

pada [𝑎, 𝑏].

Teorema 6.6

Setiap fungsi bernilai real, monoton dan terbatas pada interval [𝑎, 𝑏], terintegral Riemann pada

[𝑎, 𝑏].

Bukti

Pada buku ini hanya dibuktikan untuk fungsi f yang monoton naik pada interval [𝑎, 𝑏]. Untuk fungsi

monoton turun, bukti sebagai latihan.

Ambil sembarang 휀 > 0, dan karena f monoton naik pada [𝑎, 𝑏] maka (𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) > 0,

sehingga berdasarkan sifat Archimides maka terdapat bilangan asli n sehingga

𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) < 휀.

Diberikan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] yang membagi

[𝑎, 𝑏] menjadi sebanyak n sub interval yang sama panjang. Jelas untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 berlaku

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =𝑏 − 𝑎

𝑛.

Karena f monoton naik pada [𝑎, 𝑏] maka ia monoton naik pada [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

sehingga

𝑀𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 dan 𝑚𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖−1

Oleh karenanya

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

− 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= (𝑀𝑖 − 𝑚𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= {𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 }(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= {𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 }𝑏 − 𝑎

𝑛

𝑛

𝑖=1

=𝑏 − 𝑎

𝑛 {𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 }

𝑛

𝑖=1

=𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) < 휀.

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

6 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

Jadi f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], sehingga ia terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

B. Contoh Perhitungan Nilai Integral

Telah ditegaskan pada bab sebelumnya bahwa integral Riemann ekuivalen dengan integral

Darboux. Beberapa contoh berikut menjelaskan penghitungan nilai integral Riemann dengan

menggunakan definisi atau teorema-teorema dalam integral Darboux.

Contoh 6.7

1. Fungsi konstan terintegral Riemann pada interval tertutup

Bukti

Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑐 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan c suatu konstanta.

Ambil sembarang 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

}, partisi pada [𝑎, 𝑏], maka

𝑀𝑖 = 𝑐 dan 𝑚𝑖 = 𝑐, ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

Oleh karenanya

𝑈 𝑃; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐 𝑏 − 𝑎 .

dan

𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑐 𝑏 − 𝑎 .

𝑈 𝑓 = inf { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P P [𝑎, 𝑏]} = 𝑐 𝑏 − 𝑎 dan 𝐿 𝑓 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P P [𝑎, 𝑏]} = 𝑐 𝑏 − 𝑎 .

Jadi 𝑈 𝑓 = 𝐿(𝑓), maka f terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann. Lebih lanjut

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑐 𝑏 − 𝑎 .

2. Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?

Penyelesaian

Ambil sembarang partisi seragam 𝑃𝑛 = {0, 1

𝑛 , 2

𝑛, … , 𝑛−1

𝑛, 1} pada [0,1]. Karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1],

maka

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

7 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =1

𝑛 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

𝑀𝑖 =𝑖

𝑛 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑖

𝑛 1

𝑛

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛2 𝑖

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛2 1 + 2 + ⋯ + 𝑛

= 1

𝑛2 𝑛(𝑛 + 1)

2

= 1

2 1 +

1

𝑛

𝑚𝑖 =𝑖 − 1

𝑛 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

𝐿 𝑃𝑛 ; 𝑓 = 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑖 − 1

𝑛 1

𝑛

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛2 (𝑖 − 1)

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛2 0 + 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 − 1

= 1

𝑛2 𝑛(𝑛 − 1)

2

= 1

2 1 −

1

𝑛

Diperoleh

lim𝑛→∞

𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 − 𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim𝑛→∞

1

2 1 +

1

𝑛 −

1

2 1 −

1

𝑛 = 0

Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya

𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim𝑛→∞

1

2 1 +

1

𝑛 =

1

2.

3. Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , ∀𝑥 ∈ [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?

Penyelesaian

Ambil sembarang partisi seragam 𝑃𝑛 = {0, 1

𝑛 , 2

𝑛, … , 𝑛−1

𝑛, 1} pada [0,1]. Karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1],

maka

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

8 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =1

𝑛 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

𝑀𝑖 = 𝑖

𝑛

2

, ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑖

𝑛

2

1

𝑛

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛3 𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛3 1 + 4 + 9 + ⋯ + 𝑛2

= 1

𝑛3 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6

= 1

3 1 +

3

2𝑛+

1

2𝑛2

𝑚𝑖 =𝑖 − 1

𝑛 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛

𝐿 𝑃𝑛 ; 𝑓 = 𝑚𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

= 𝑖 − 1

𝑛

2

1

𝑛

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛3 (𝑖 − 1)2

𝑛

𝑖=1

= 1

𝑛3 0 + 1 + 4 + 9 + ⋯ + (𝑛 − 1)2

= 1

𝑛3 𝑛 𝑛 − 1 (2𝑛 − 1)

6

= 1

3 1 −

3

2𝑛+

1

2𝑛2

Diperoleh

lim𝑛→∞

𝑈 𝑃𝑛 ; 𝑓 − 𝐿(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim𝑛→∞

1

3 1 +

3

2𝑛+

1

2𝑛2 −

1

3 1 −

3

2𝑛+

1

2𝑛2 = 0

Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya

𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝑈(𝑃𝑛 ; 𝑓) = lim𝑛→∞

1

3 1 +

3

2𝑛+

1

2𝑛2 =

1

3.

4. Diberikan fungsi Dirichlet pada interval [0,1].

𝑓 𝑥 = 0 , 𝑥 rasional

1 , 𝑥 irrasional

Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

9 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

C. Fungsi Komposisi

Pada bab sebelumnya telah dibuktikan sifat kelinearan integral Riemann. Pada bagian akan

dibuktikan bahwa kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann juga terintegral Riemann.

Teorema 6.8

Diberikan interval [𝑎, 𝑏] dan [𝑐, 𝑑], f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]

dengan sifat 𝑓 𝑎, 𝑏 [𝑐, 𝑑]. Jika g : [𝑐, 𝑑] R fungsi kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka komposisi

fungsi g o f : [𝑎, 𝑏] R terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diberikan sebarang 휀 > 0, cukup dibuktikan terdapat 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

},

partisi pada [𝑎, 𝑏] sehingga

𝑈 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 < 휀.

Jika diketahui g : [𝑐, 𝑑] R fungsi kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka g terbatas pada [𝑐, 𝑑]. Berarti terdapat

bilangan real 𝑀 > 0 sehingga 𝑔(𝑡) ≤ 𝑀 untuk setiap 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑]. Oleh karena itu ada bilangan real K

sehingga 𝐾 = sup{ 𝑔 𝑡 : 𝑡 ∈ 𝑐, 𝑑 }.

g kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka ia kontinu seragam pada [𝑐, 𝑑]. Oleh karenanya terdapat 𝛿 > 0 dengan

𝛿 <휀

𝑏−𝑎+2𝐾 sehingga untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑] dengan 𝑠 − 𝑡 < 𝛿 berlaku

𝑔 𝑠 − 𝑔(𝑡) <휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 .

Karena f terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1

, 2

, … , 𝑛

}, partisi

pada [𝑎, 𝑏] sehingga

𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝛿2 .

Untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

𝑀𝑖 = sup 𝑓 𝑖 : 𝑖∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] ,

𝑚𝑖 = inf 𝑓 𝑖 : 𝑖∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖]

Didefinisikan

𝑀𝑖∗ = sup 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 :

𝑖∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] ,

𝑚𝑖∗ = inf 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 :

𝑖∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖]

dan

𝐴 = 𝑖 ∶ 𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 < 𝛿 dan 𝐵 = 𝑖 ∶ 𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 ≥ 𝛿 .

Dapat dipahami bahwa

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ = sup 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 : 𝑖∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] − inf 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 :

𝑖∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖]

= sup 𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 − 𝑔 𝑜 𝑓 𝜑𝑖 : 𝑖, 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

(i) Jika 𝑖 ∈ 𝐴, ambil sembarang 𝑖, 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] maka 𝑓 𝑖 − 𝑓 𝜑𝑖 < 𝛿, sehingga

𝑔 𝑜 𝑓 𝑖 − 𝑔 𝑜 𝑓 𝜑𝑖 <휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾

Akibatnya

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ ≤휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾

sehingga

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐴

≤휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐴

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

10 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

≤휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾(𝑏 − 𝑎)

(ii) Jika 𝑖 ∈ 𝐵, ambil sembarang 𝑖, 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] maka 𝑀𝑖

∗ − 𝑚𝑖∗ ≤ 2𝐾.

𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐵

≤ 2𝐾 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐵

≤ 2𝐾1

𝛿 𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐵

≤ 2𝐾1

𝛿 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓

< 2𝐾1

𝛿. 𝛿2 = 2𝐾𝛿

< 2𝐾휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

𝑈 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

= 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐴

+ 𝑀𝑖∗ − 𝑚𝑖

∗ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

𝑖∈𝐵

<휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾

휀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾= 휀.

Terbukti.

Akibat 6.9

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka

fungsi nilai mutlak 𝑓 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan

𝑓

𝑏

𝑎

≤ 𝑓

𝑏

𝑎

≤ 𝐾(𝑏 − 𝑎)

dengan K adalah bilangan real sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏], sehingga

ada bilangan 𝐾 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Didefinisikan 𝑔 𝑥 = 𝑥 untuk

𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑓 . Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada R maka

berdasarkan Teorema 6.8 𝑓 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Akibat 6.10

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka

fungsi 𝑓𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑁, terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], Didefinisikan 𝑔 𝑥 = 𝑥𝑛 untuk setiap

𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑓𝑛 . Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada R maka

berdasarkan Teorema 6.8 𝑓𝑛 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

11 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

Akibat 6.11

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], dan

terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≥ 𝛿 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , maka fungsi 1

𝑓 terintegral

Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏] R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏], sehingga

ada bilangan 𝐾 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu 𝛿 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾.

Didefinisikan 𝑔 𝑥 =1

𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝛿, 𝐾] maka 𝑔 𝑜 𝑓 =

1

𝑓. Karena f terintegral Riemann pada

[𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada [𝛿, 𝐾] maka berdasarkan Teorema 6.8 fungsi 1

𝑓 terintegral pada [𝑎, 𝑏].

Teorema 6.12

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏] R dan g : [𝑎, 𝑏] R fungsi-fungsi yang terintegral

Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi f.g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏] R dan g : [𝑎, 𝑏] R fungsi-fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka

berdasarkan sifat linearitas dan Akibat 6.10 dengan mengambil n = 2, diperoleh 𝑓 + 𝑔, 𝑓 + 𝑔 2 , 𝑓2,

𝑔2 masing-masing terintegral pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓. 𝑔 =1

2 𝑓 + 𝑔 2 − 𝑓2 − 𝑔2 terintegral

Riemann pada [𝑎, 𝑏].