bab 7 penggunaan turunan
Post on 03-Jul-2015
2.571 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Definisi. Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I
monoton turun pada interval I jika untuk
1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .
Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 x2 x1 x2 (a) monoton turun (b) monoton naik
Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :
'( ) 0f x x I
ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:
'( ) 0f x x I
Contoh Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :
3 213( ) 3 4f x x x x
3 2 213( ) 3 4 '( ) 2 3f x x x x f x x x
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I
2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 3
f x
x x
x x
x x
f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (3, )
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I
2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 3
f x
x x
x x
x x
f(x) monoton turun pada selang ( 1,3)
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
Contoh Tentukan selang kemonotonan
2( 1)( )
xf x
x
Jawab 2 2( 1) 2 1
( )x x x
f xx x
2
2
2 2
2
2
2
(2 2)( ) ( 2 1)(1)'( )
2 2 2 1)
1
x x x xf x
x
x x x x
x
x
x
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I
2
2
2
'( ) 0
10
( 1)( 1)0
f x
x
x
x x
x
f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (1, )
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I
2
2
2
'( ) 0
10
( 1)( 1)0
f x
x
x
x x
x
f(x) monoton naik pada selang ( 1,0) dan (0,1)
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya. Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.
f(c) disebut nilai maksimum
minimum global dari f pada I jika
( ) ( )
( ) ( )
f c f xx I
f c f x
f(c) disebut nilai maksimum
minimum lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga ( ) ( )
( ) ( )
f c f x
f c f x untuk setiap x pada selang
buka tadi.
Minlokal
Maxglobal
Minglobal Max
lokal
a b c d e f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
• Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.
• Ada tiga jenis titik kritis :
a. Titik ujung selang I
b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c )
c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada )
Titik x = a dan x = f merupakan ujung selangTitik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasionerTitik x = e merupakan titik singular
Minlokal
Maxglobal
Minglobal Max
lokal
a b c d e f
Jika '( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang ( , )c c dan
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang ( , )c c ,
maka f(c) merupakan nilai maksimum
minimum lokal f.
c
Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun(f ’<0) dan disebelah kanan cmonoton naik (f’>0)
f(c)
f(c)
Misalkan '( ) 0f c Jika
''( ) 0
''( ) 0
f c
f c maka f(c) merupakan nilai
maksimum
minimum
lokaldari f.
Contoh
Tentukan nilai ekstrim fungsi 3 213( ) 3 4f x x x x
Jawab:
3 2 21( ) 3 4 '( ) 2 3
3f x x x x f x x x
Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner
2
1 2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 dan 3
f x
x x
x x
x x
3 2
3 2
3 2
1( ) 3 4
3
1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 5
3 3 3 3
1 1(3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5
3 3
f x x x x
f
f
Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.
Pada selang ( , 1) , '( ) 0f x
Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x
Jadi 2
( 1) 53
f merupakan nilai maksimum lokal
Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x
Pada selang (3, ) , '( ) 0f x
Jadi (3) 5f merupakan nilai minimum lokal
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I
bila '( )f x naik pada interval I.
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I
bila '( )f x turun pada interval I
Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I
2. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Tentukan selang kecekungan dari 3( )f x x
Jawab 2'( ) 3 dan "( ) 6f x x f x x
f cekung ke atas jika pada "( ) 0 ,f x x I
"( ) 0 6 0
0
f x x
x
Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)
f cekung ke bawah jika pada "( ) 0 ,f x x I
"( ) 0 6 0
0
f x x
x
Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)
• Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadiperubahan kecekungan di x = b, yaitu disebelah kiri x = b cekung ke atas dan disebelah kanan x = b cekung ke bawah atausebaliknya.
• Syarat perlu x = b merupakan absis dari titikbelok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidakdiferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
c
f(c)
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
c
f(c)
(c,f(c)) bukan titik belokKarena disekitar c tidakTerjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar cTerjadi perubahan Kecekungan tapi tidak adaTitik belok karena f tidak terdefinisi di c
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a. 3( ) 2 1f x x
b. 4( )f x x
c. 13( ) 1f x x
a. Dari 3( ) 2 1f x x maka "( ) 12f x x .
Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
Fungsi f kontinu di x = 0.
Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka
"( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
0
- - - - - - - - - - + + + + + + + f ”
b. Dari 4( )f x x maka 2"( ) 12f x x .
Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok
Fungsi f kontinu di x = 0
Untuk x < 0 dan x > 0 maka "( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.
0
+ + + + + + + f ”+ + + + + + +
c. 13( ) 1f x x maka
53
2"( )
9f x
x.
Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
Fungsi f kontinu di x = 0.
Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka
"( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.
0
- - - - - - - - - - + + + + + + + f ”
1. Jika , tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
2( ) 6 5f x x x
2. Jika ,tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
3 2( ) 6 9f x x x x
2. Jika ,tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
3 2( ) 2 3 12 8f x x x x
Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Penggunaan Turunan
1. Grafik fungsi2
2 1
xf x
x monoton turun pada selang ….
a. 0,1 1,
b. 1,0 1,
c. , 1 1,0
d. , 1 1,0
e. , 1 1,
2. Grafik fungsi 2
2 1
xf x
x naik pada selang ….
a. , 1 0,1
b. 1,0 1,
c. , 1 1,0
d. ( , 1] ( 1,0)
e. , 1 1,
3. Nilai minimum dari fungsi 3 23 2f x x x pada selang 1,3 adalah ….
a. -4
b. -2
c. 0
d. 1
e. 2
4. Titik stasioner fungsi 3 212 3 4
3f x x x x adalah ….
a. 1x dan 3x
b. 3x dan 1x
c. 3x dan 1x
d. 1x dan 3x
e. Tidak ada titik stasioner
5. Fungsi 3 212 3 4
3f x x x x monoton turun pada selang ….
a. 1 3x
b. 1 3x x
c. 3x
d. 1x e. 3x
6. Fungsi 3 212 3 4
3f x x x x cekung ke atas pada selang ….
a. ( ,2)
b. (0,2)
c. ( 2, )
d. (2, )
e. ( 2,0)
7. Titik belok fungsi 3 212 3 4
3f x x x x adalah ….
a. (3,4)
b. 23
(1,4 )
c. 23
(2,4 )
d. (0,4)
e. 263
( 2, )
8. Titik ekstrim maksimum fungsi 2
1xf x
xadalah ….
a. 29
(3, )
b. 14
(2, )
c. (1,0)
d. 34
( 2, )
e. ( 1, 2)
9. Fungsi 2
1xf x
xmonoton turun pada selang ….
a. (0,2)
b. ( ,0) (2, )
c. (3, )
d. ( ,0) (0,3)
e. (0,3)
10. Fungsi 2
1xf x
xmonoton naik pada selang ….
a. (0,2)
b. ( ,0) (2, )
c. (3, )
d. ( ,0) (0,3)
e. (0,3)
top related