bab 5 program linear

BAB 5PROGRAM LINEARPENERBIT ERLANGGA

KOMPETENSI DASAR

Membuat grafi k himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.

Menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal).

Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear.

Menerapkan garis selidik.

A. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR

Program linear adalah suatu cara atau metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi.

Aplikasi Program Linear dalam Kehidupan sehari hari :

1. Memaksimalkan keuntungan sebuah perusahaan

2. Meminimumkan pengeluaran suatu perusahaan

B. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Pertidaksamaan Linear yang akan dibahas pada Bab ini terbagi menjadi 2 yaitu :a. Pertidaksamaan linear satu variabelb. Pertidaksamaan linear dua variabel

Grafik pertidaksamaan linear satu variabel ialah pertidaksamaan yang hanya mengandung 1 variabel sehingga representasi dalam grafik tidak terbatas

Grafik pertidaksamaan 2 variabelPerhatikan garis 3x + 5y = 15 di samping.

Nampak bahwa daerah pada diagram kartesius terbagi menjadi 2, yaitu daerah di atas garis dan daerah di bawah garis.

X

Y

3

5

Jika kita substitusikan sembarang titik di bawah garis 3x + 5y = 15 ke ruas kiri persamaan tersebut (yaitu 3x + 5y), maka ternyata hasilnya kurang dari 15.Contoh diambil titik O(0,0).O(0,0) 3.0 + 5.0 = 0 < 15Ini berarti, daerah di bawah garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y < 15 dan sebaliknya daerah di atas garis 3x + 5y = 15 merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 3x + 5y 15.

Sistem Pertidaksamaan LinearContoh : Tunjukkan daerah penyelesaian (DP)

pertidaksamaan 2x + 3y 6sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!

Jawab :

X

Y

Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (3, 0) dan (0, 2)

2x + 3y = 6

x 0 3

y 2 0

(0, 2) (3, 0)

Daerah Himpunan

Penyelesaian2

3

Sistem Pertidaksamaan LinearContoh : Tunjukkan daerah penyelesaian (DP)

pertidaksamaan 2x - 3y 6sebagai daerah yang bersih (tanpa arsiran)!

Jawab :

X

Y

-2

Garis 2x + 3y = 6 melalui titik (3, 0) dan (0, -2)

2x - 3y = 6

X 0 3

y -2 0

(0, -2) (3, 0)

3

Daerah Himpunan

Penyelesaian

C. MODEL MATEMATIKA

Model matematika ialah kalimat matematika yang menunjukkan masalah pada kehidupan sehari hari .

Fungsi Objektif : Fungsi linear yang dicari optimumnya

Contoh :Anton ingin membeli dua jenis Apel, Apel A

dengan harga Rp 6.000,00 per kg dan Apel B dengan harga Rp 4.000,00 per kg. Ia hanya mempunyai uang Rp 50.000,00, sedangkan kapasitas keranjang yang ia bawa hanya 10 kg. Buatlah model matematika dari masalah ini!

Jawab :Model matematika dari permasalahan diatas ialah

6.000 x + 4.000 y < 50.000 atau 3x + 2y < 25x + y < 10x > 0; y > 0

D. NILAI OPTIMUM SUATU FUNGSI

Nilai Optimum suatu Fungsi ialah Nilai yang ingin dicari untuk memecahkan model matematika yang ada

Ada 3 cara untuk mecari Nilai Optimum suatu Fungsi : Metode Uji titik Pojok Metode Garis Selidik

1. Metode Uji titik Langkah langkah yang ditempuh ialah :

a. Ubah persoalan verbal (Kalimat matematika) ke dalam model matematika(sistem pertidaksamaan) dan tentukan fungsi objektifnya

b. Gambar daerah penyelesaian (daerah feasible) sistem pertidaksamaan yang diperoleh pada langkah a.

c. Identifikasikan dan tentukan titik Koordinat dari setiap titik pojok pada daerah penyelesaian

d. Hitung nilai dari bentuk objektif yang bersesuaian dengan titik pojok yang diperoleh sebelumnya sehingga didapatkan nilai optimum (maksimum atau minimum)

Contoh Seorang pedagang di ITC akan membeli baju dan celana.

Harga sepasang baju Rp 15.000,00 dan harga sepasang celana Rp 30.000,00. Modal yang ia miliki Rp 600.000,00. Kiosnya hanya cukup menampung 30 pasang baju dan celana. Jika keuntungan sepasang baju Rp 4.000,00 dan celana Rp 5.000,00 maka tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.

Jawab :Model matematika

x + 2y < 40x + y < 30x > 0, y > 0Fungsi obyektif f(x,y) = 4.000x + 5.000y

X

Y

30

20

4030

HP

(20, 10)

Titik (x, y) f(x, y)= 4.000x + 5.000y

(0, 0) 0

(30, 0) 120.000

(20, 10) 130.000

(0, 20) 100.000

Maka dapat dilihat dari tabel bahwa Pedagang mendapatkan keuntungan maksimum ketika dia menjual 20 baju dan 10 celana

2. Metode Garis SelidikLangkah langkah yang dilakukan untuk mencari nilai optimum dari fungsi objektif menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut.

a. Buatlah garis acuan ax+by=kb. Buatlah gari garis sejajar ax+by=k dengan cara

mengambil nilai k yang berbeda atau menggeser garis ax+by=k ke kiri atau ke kanan

(i) jika ax+by=k1 adalah garis paling kiri yang melalui titik (x1,y1) pada daerah penyelesaian maka k1=ax1+by1 merupakan nilai minimum

(ii) Jika ax+by=k2 adalah garis yang paling kanan yang melalui titik (x2,y2) pada daerah penyelesaian maka k2=ax2+by2 merupakan nilai maksimum fungsi objektif

Nilai Optimum Fungsi ObyektifContoh :Tentukan nilai maksimum dari z = x + 3y pada daerah yang diarsir berikut

Garis selidik x + 3y = 0 melalui titik (0, 0) dan (3, -1)

x + y = 77x + 2y = 14

2x - 5y = 0

y = x + 1

X

Y

Maksimumy = x + 1

x + y = 7

Diperoleh x = 3 dan y = 4Sehingga nilai maksimumZ = 3 + 3(4) = 15

SUMBER

Kasmina, Suhendra,dkk (2008).  Matematika Program Keahlian Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK kelas X, Jakarta: Penerbit Erlangga.

Program Linear oleh Santosa S.P

Dibuat Oleh : Wilsan Wijaya