9/11/2014

04/24/23 1

BAB. 3 (Skalar, Vektor)

04/24/23 2

Di dalam Fisika, pembicaraan suatu gejala [peris-tiwa (alam)], diperlukan pengertian dasar yang disebut besaran.

Dalam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran

arah)dan (nilai vektor 2.(nilai)skalar 1.

fisikaBesaran

Pendahuluan.

kita dapat membicarakan (gejala alam) yang bersangkutan dengan kaitan tertentu.

04/24/23 3

1. Besaran Skalar

Besaran skalar: besaran fisis yang hanya memi-liki besar (kuantitas) saja, (satu dimensi yaitu nilai).

Suhu, kelajuan, energi dan lain sebagainya.

Contoh.

04/24/23 4

2. Besaran VektorBesaran vektor: besaran fisis yang memiliki dua

pengertian dasar yaitu besar (ku-antitas) dan arah.

Besaran vektor digambarkan sebagai anak panah (), (misal A → B).

A titik tangkap vektor, panjang panah (panjang AB, nilai, besaran skalar) besar vektor, dan arah panah (arah vektor), B ujung vektor.

Contoh: gerak mobil, besaran vektornya yaitu ke-cepatan (terdapat arah perpindahan, nilai kelajuan).

04/24/23 5

Besaran vektor yang tidak dikaitkan dengan sis-tem koordinat disebut vektor planimetrik.

Jika titik tangkap vektor digeser sepanjang garis kerja vektor tersebut, maka pengaruh vektor tersebut tidak berubah.

A ,A ditulis,Vektor

A , A

AA atau A ,A ditulis,tor Skalar vek

Lanjutan.

A BB!A!

04/24/23 6

A menjadi Avektor dari satuanvektor Sehingga , tanda dengan ditulis satuanVektor

ˆˆ

AAA ˆ

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan

BA

AAB ˆ

Vektor B lawan vektor A, besar vektor A = vektor B, hanya arah-nya berlawanan.

Vektor A ditulis dengan vektor satuan menjadi

Lanjutan.

04/24/23

0perasi Vektor1. Perkalian vektor dengan tetapan (k), hasilnya

vektor dengan besar k kali besar awal vektor.

VkVVkVk ˆ A

k = 3, menjadi 3A

k = - 2, menjadi - 2A

Perkalian skalar dengan vektor dapat digunakan untuk mencari linieritas.

04/24/23 8

Contoh.Tentukan nilai y dan z agar ketiga titik A (1, 2, 5); B (4, y, 9) dan C (7, 10, z) menjadi satu garis lurus !

Penyelesaian.Garis AC dinyatakan sebagai vektor, A = 6 i + 8 j + (z - 5) kGaris AB dinyatakan sebagai vektor, B = 3 i + (y - 2) j + 4 k.Tiga titik akan segaris jika AC = k AB atau A = k B,6 i + 8 j + (z - 5) k = k [3 i + (y - 2) j + 4 k]. Dihasilkan persm, 6 = 3 k k = 2 ;

04/24/23 9

8 = 2 (y - 2) y = 6 z - 5 = 8 z = 13. Dengan demikian jika koordinat titik,

A (1, 2, 5); B (4, 6, 9) dan C (7, 10, 13) akan se-garis.

Lanjutan.

04/24/23 10

2. Penjumlahan dua vektor, (hasilnya vektor)

A

B

C2 = A2 + B2 + 2 A B cos A + B = B + A = C

A

B C

A + BB + A

04/24/23 11

Contoh.

3

Jadi panjang (besar) vektor C = 12,- satuan

Diketahui dua buah vektor, besar masing-ma-sing 5 dan 8 satuan. Berapakah besar jumlah dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?

C2 = 52 + 82 + 2 (5)(8) cos 30o

= 25 + 64 + 80 (1/2 ) satuan = (89 + 40 ) satuan = 157,- satuan

Penyelesaian.

3

04/24/23 12

Contoh.Gunakan kaidah penjumlahan vektor. Buktikan bahwa dua garis berat pada suatu segitiga ber-potongan dengan perbandingan panjang 2 : 1!Penyelesaian.

A B

C

DF

E

b

c

AB = cAC = bb + CB = c, CB = C - bAD = AC + ½ CBAD = b + ½ (c – b)CE = CA + AE = - b + ½ c

04/24/23 13

Sambungan.

AF = k AD = ½ k c + ½ k bCF = ℓ CE = ½ ℓ c - ½ ℓ bAkhirnya dihasilkan ½ k c = ½ ℓ c → k = ℓ .Diperoleh pernyataan ½ k b = (1 - ℓ) b atau → ½ k = 1 - ℓ = 1 - kDengan demikian dihasilkan 1½ k = 1 atau k = 2/3

Sehingga AF = 2/3 AD akhirnya diperoleh FD = 1/3 AD.Sehingga terbukti jika AF : FD = 2 : 1 atau

21

AFFD

04/24/23 14

Penjumlahan Beberapa Vektor.

R = A + B + C + D

Penjumlahan dengan cara poligon vektor.

04/24/23 15

Hukum Penjumlahaan.

R = A + B = B + A

Hukum komutatif

04/24/23 16

Hukum Asosiatif, A + (B + C) = (A + B) + C

Lanjutan.

04/24/23 17

3. Pengurangan dua vektor, hasilnya vektor

A

B

D2 = A2 + B2 + 2 A B cos D2 = A2 + B2 - 2 A B cos

Pengurangan, adalah penjumlahan dengan lawan vektornya.

A

B

- A

D

B - A

B + (- A) = D

04/24/23 18

A – B = A + (- B) = - (B – A)

Hukum Pengurangan, vektor Anti Komutatif

A

B

- A

D

- BA - B

B - A

04/24/23 19

Contoh.

3

Jadi panjang (besar) vektor D = 4,- satuan

Diketahui dua buah vektor besar masing-masing (A), 5 dan (B), 8 satuan. Berapakah besar selisih (A – B), jika kedua vektor tersebut membentuk sudut apit 30o ?

D2 = 52 + 82 - 2 (5)(8) cos 30o

= 25 + 64 - 80 (1/2 ) satuan = (89 - 40 ) satuan = 20,- satuan

Penyelesaian.

3

Tabel Penjumlahan Vektor

Vektor Besar sudut dengan sb.sb x sb y sb z

Fx Fy Fz

ΣFx ΣFy ΣFz222zyx FFFR

RFxcos dst.

04/24/23 21

4. Dot product dua vektor, hasilnya skalar.

A . B = A B cos

A . B, hasilnya = besar vektor A kali vektor B dan cos sudut antara A dan B

A

B cos

B

A

04/24/23 22

Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8 satuan). Hitunglah nilai A . B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?

Contoh.

A . B = (5)(8) cos 30o = 20 satuan

Penyelesaian.

3

04/24/23 23

4. Cross product dua vektor, hasilnya vektor.

A x B = CC A dan C BC = A B sin

A

B

C

B x A = - C

04/24/23 24

A x B didefinisikan sebagai vektor (C) dengan C te-gak lurus pada kedua vektor (A dan B) dan nilainya sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B.

B sin

B

A

A

Lanjutan.

04/24/23 25

Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8) satuan. Berapa A x B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?

Contoh.

A x B = C

Penyelesaian.

C = (5)(8) sin 30o = 20 satuan

C A dan C B

AB

C

04/24/23 26

Sistem Koordinat Cartesian.

0 X

Y

A (x, y)

(y)(x)

Cartesian dua dimensi

Letak titik A ditentukan oleh nilai x dan y.

04/24/23 27

Sistem Koordinat Cartesian.

Cartesian tiga dimensi

0 Y

Z

A (x, y, z)

(y) (x)X

(z)

Letak titik A ditentukan oleh nilai x, y dan z.

04/24/23 28

Vektor dan sistem Koordinat.

0A vektor posisi V = A i + B j + C k i, j, k vektor satuan dalam arah sumbu X+, Y+, Z+

Cartesian tiga dimensi

0 Y

Z

A (x, y, z)

(B j) (A i)X

(C k)V

04/24/23 29

Dalam sistem koordinat letak suatu titik dapat dinyatakan sebagai vektor.

Vektor yang menyatakan letak suatu titik dise-but dengan vektor letak (vektor posisi).

(0A) = R = x i + y j + z k

Letak titik A, dinyatakan dengan sistem koordi-nat kartesian tiga dimensi persm-nya menjadi,

Y0

A(x, y, z)

R

X

Z

xy

z

Lanjutan.

04/24/23 30

A = Ax i + Ay j + Az k

0perasi vektor dengan sistem koordinat.

Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai

C = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

1. Penjumlahan.

B = Bx i + By j + Bz k

04/24/23 31

A = 5 i + 8 j + 2 k

Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai

C = (5 + 1) i + (8 + 3) j + (2 - 4) k

Contoh.

B = i + 3 j - 4 k

= 6 i + 11 j - 2 k

Hitung A + B ?

Penyelesaian.

04/24/23 32

A = Ax i + Ay j + Az k

Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai

D = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k

2. Pengurangan.

B = Bx i + By j + Bz k

04/24/23 33

A = 5 i + 3 j + k

Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai

D = (5 - 7) i + (3 - 2) j + (1 - 4) k

Contoh.

B = 7 i + 2 j + 4 k

= - 2 i + j - 3 k

Hitung A – B ?

Penyelesaian.

04/24/23 34

A = Ax i + Ay j + Az k

0perasi A . B, hasilnya skalar dan skalar tersebut dinyatakan sebagai

A . B = [Ax i + Ay j + Az k] . [Bx i + By j + Bz k]

3. Dot product.

B = Bx i + By j + Bz k

= (Ax)(Bx) i . i + (Ax)(By) i . j + (Ax)(Bz) i . k+ (Ay)(Bx) j . i + (Ay)(By) j . j + (Ay)(Bz) j . k

+ (Az)(Bx) k . i + (Az)(By) k . j + (Az)(Bz) k . k

04/24/23 35

A . B hasilnya menjadi, = (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz)

i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0o = 1 i . j = i . k = j . i = j . k = k . i = k . j =(1)(1) cos 90o = 0

= skalarA . B = B . A

Lanjutan.

04/24/23 36

A = 5 i + 3 j + k

Hitung A . B ?

C = (5)(7) + (3)(2) + (1)(4)

Contoh.

B = 7 i + 2 j + 4 k

= 35 + 6 + 4 = 45

Penyelesaian.

A . B = C, maka C dinyatakan sebagai

04/24/23 37

A = Ax i + Ay j + Az k

0perasi A x B, hasilnya vektor dan vektor terse-but dinyatakan sebagai

A x B = [Ax i + Ay j + Az k] x [Bx i + By j + Bz k]

4. Cross product.

B = Bx i + By j + Bz k

= (Ax)(Bx) i x i + (Ax)(By) i x j + (Ax)(Bz) i x k

+ (Ay)(Bx) j x i + (Ay)(By) j x j + (Ay)(Bz) j x k+ (Az)(Bx) k x i + (Az)(By) k x j + (Az)(Bz) k x k

04/24/23 38

i x i = j x j = k x k = (1)(1) sin 0o = 0 i x j = - j x i = k J x k = - k x j = ik x i = - i x k = j Dengan demikian A x B menjadi,

A x B = i [(Ay)(Bz) - (Az)(By)]

+ j [(Az)(Bx) - (Ax)(Bz)]

+ k [(Ax)(By) - (Ay)(Bx)]

Lanjutan.

04/24/23 39

A = 5 i + 3 j + k

Hitung A x B ?

Contoh.

B = 7 i + 2 j + 4 k

Penyelesaian.

A x B hasilnya menjadiA x B = i [(3)(4) - (1)(2)] + j [(1)(7) - (5)(4)] + k [(5)(2) - (3)(7)] A x B = 10 i - 13 j - 11 k

04/24/2340

Contoh.Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor yang masing-masing bentuk sebagai berikut:

A = 5 i + 2 j , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 2, 3)]

Berapakah resultan vektor tersebut dan dimana letak titik tangkapnya ?

B = - j + 2 k , [bertitik tangkap pada koordinat (2, 2, 3)]C = - 4 i - k , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 3, 1)]

04/24/23 41

Penyelesaian.

V = A + B + C = (5 - 4) i + (2 – 1) j + (2 – 1) k = i + j + k

(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) + ( i + 3 j + k) × (- 4 i - k)

(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = i (Y - Z) + j (Z - X) + k (X - Y)

(i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) = - 6 i + 15 j – 8 k(2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) = - 6 i + 3 j + 2 k

04/24/23 42

Sambungan.

(i + 3 j + k) × (- 4 i - k) = - 3 i - 3 j + 12 k

(Y - Z) i + (Z - X) j + (X - Y) k = - 15 i + 15 j + 6 k

Berlaku bentuk persm:

Y - Z = - 15, Z - X = 15 dan X - Y = 6

Dihasilkan X = 3, Y = - 3 dan Z = 18. Dengan demikian titik tangkap resultan vektor ter-sebut menjadi, (3, - 3, 18)

04/24/23 43

Resultan banyak vektor dalam ruang.

R = V1 + V2 + .........+ Vn

Jika rc letak titik tangkap resultan gaya, maka berlaku,

rc x V = r1 x V1 + .............+ rn x Vn

r1 ........rn koordinat letak titik tangkap masing-ma-sing gaya

R = Σ Vi

04/24/23 44

Berat.Berat (w) merupakan salah satu dari bentuk resul-tan gaya-gaya sejajar [arah sama (sejajar)].

w = Σ mi gr1 r2r3

R F2

F3

F1

F

0 Berlaku, R x F = Σ (ri x Fi)

Mizimz

MiYimY

MiXimX

koordinat tiga

dimensi

04/24/23 45

Contoh.

Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor sebagai berikut A = 5 i + 2 j bertitik tangkap pada koordi-nat (1, 2, 3), B = - j + 2 k koordinat (2, 2, 3) dan C = - 4 i – k koordinat (1, 3, 1). Berapakah resul-tan vektornya dan dimana letak titik tangkapnya.Jawaban.R = A + B + C = i + j + k

(x i + y j + z k) x (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) x (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) x (- j + 2 k) + (i + 3 j + k) x (- 4 i - k = - 15 i + 15 j + 8 k

04/24/23 46

Lanjutan.Dari hasil perkalian silang trsebut diperoleh persm,

Dihasilkan nilai x = - 4 , y = 4 dan z = - 19.

y – z = - 15, z – x = 15 dan y – x = 8

Koordinat titik tangkap resultan gaya terletak

pada posisi (- 4, 4, - 19)

04/24/23 47