9/11/2014
DESCRIPTION
BAB. 3 ( Skalar, Vektor ). 9/11/2014. 1. Pendahuluan. Di dalam F isika , pembicaraan suatu gejala [peris - tiwa ( alam )], dip e rlukan pengertian dasar yang disebut besaran. Da lam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
04/24/23 1
BAB. 3 (Skalar, Vektor)
04/24/23 2
Di dalam Fisika, pembicaraan suatu gejala [peris-tiwa (alam)], diperlukan pengertian dasar yang disebut besaran.
Dalam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran
arah)dan (nilai vektor 2.(nilai)skalar 1.
fisikaBesaran
Pendahuluan.
kita dapat membicarakan (gejala alam) yang bersangkutan dengan kaitan tertentu.
04/24/23 3
1. Besaran Skalar
Besaran skalar: besaran fisis yang hanya memi-liki besar (kuantitas) saja, (satu dimensi yaitu nilai).
Suhu, kelajuan, energi dan lain sebagainya.
Contoh.
04/24/23 4
2. Besaran VektorBesaran vektor: besaran fisis yang memiliki dua
pengertian dasar yaitu besar (ku-antitas) dan arah.
Besaran vektor digambarkan sebagai anak panah (), (misal A → B).
A titik tangkap vektor, panjang panah (panjang AB, nilai, besaran skalar) besar vektor, dan arah panah (arah vektor), B ujung vektor.
Contoh: gerak mobil, besaran vektornya yaitu ke-cepatan (terdapat arah perpindahan, nilai kelajuan).
04/24/23 5
Besaran vektor yang tidak dikaitkan dengan sis-tem koordinat disebut vektor planimetrik.
Jika titik tangkap vektor digeser sepanjang garis kerja vektor tersebut, maka pengaruh vektor tersebut tidak berubah.
A ,A ditulis,Vektor
A , A
AA atau A ,A ditulis,tor Skalar vek
Lanjutan.
A BB!A!
04/24/23 6
A menjadi Avektor dari satuanvektor Sehingga , tanda dengan ditulis satuanVektor
ˆˆ
AAA ˆ
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan
BA
AAB ˆ
Vektor B lawan vektor A, besar vektor A = vektor B, hanya arah-nya berlawanan.
Vektor A ditulis dengan vektor satuan menjadi
Lanjutan.
04/24/23
0perasi Vektor1. Perkalian vektor dengan tetapan (k), hasilnya
vektor dengan besar k kali besar awal vektor.
VkVVkVk ˆ A
k = 3, menjadi 3A
k = - 2, menjadi - 2A
Perkalian skalar dengan vektor dapat digunakan untuk mencari linieritas.
04/24/23 8
Contoh.Tentukan nilai y dan z agar ketiga titik A (1, 2, 5); B (4, y, 9) dan C (7, 10, z) menjadi satu garis lurus !
Penyelesaian.Garis AC dinyatakan sebagai vektor, A = 6 i + 8 j + (z - 5) kGaris AB dinyatakan sebagai vektor, B = 3 i + (y - 2) j + 4 k.Tiga titik akan segaris jika AC = k AB atau A = k B,6 i + 8 j + (z - 5) k = k [3 i + (y - 2) j + 4 k]. Dihasilkan persm, 6 = 3 k k = 2 ;
04/24/23 9
8 = 2 (y - 2) y = 6 z - 5 = 8 z = 13. Dengan demikian jika koordinat titik,
A (1, 2, 5); B (4, 6, 9) dan C (7, 10, 13) akan se-garis.
Lanjutan.
04/24/23 10
2. Penjumlahan dua vektor, (hasilnya vektor)
A
B
C2 = A2 + B2 + 2 A B cos A + B = B + A = C
A
B C
A + BB + A
04/24/23 11
Contoh.
3
Jadi panjang (besar) vektor C = 12,- satuan
Diketahui dua buah vektor, besar masing-ma-sing 5 dan 8 satuan. Berapakah besar jumlah dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
C2 = 52 + 82 + 2 (5)(8) cos 30o
= 25 + 64 + 80 (1/2 ) satuan = (89 + 40 ) satuan = 157,- satuan
Penyelesaian.
3
04/24/23 12
Contoh.Gunakan kaidah penjumlahan vektor. Buktikan bahwa dua garis berat pada suatu segitiga ber-potongan dengan perbandingan panjang 2 : 1!Penyelesaian.
A B
C
DF
E
b
c
AB = cAC = bb + CB = c, CB = C - bAD = AC + ½ CBAD = b + ½ (c – b)CE = CA + AE = - b + ½ c
04/24/23 13
Sambungan.
AF = k AD = ½ k c + ½ k bCF = ℓ CE = ½ ℓ c - ½ ℓ bAkhirnya dihasilkan ½ k c = ½ ℓ c → k = ℓ .Diperoleh pernyataan ½ k b = (1 - ℓ) b atau → ½ k = 1 - ℓ = 1 - kDengan demikian dihasilkan 1½ k = 1 atau k = 2/3
Sehingga AF = 2/3 AD akhirnya diperoleh FD = 1/3 AD.Sehingga terbukti jika AF : FD = 2 : 1 atau
21
AFFD
04/24/23 14
Penjumlahan Beberapa Vektor.
R = A + B + C + D
Penjumlahan dengan cara poligon vektor.
04/24/23 15
Hukum Penjumlahaan.
R = A + B = B + A
Hukum komutatif
04/24/23 16
Hukum Asosiatif, A + (B + C) = (A + B) + C
Lanjutan.
04/24/23 17
3. Pengurangan dua vektor, hasilnya vektor
A
B
D2 = A2 + B2 + 2 A B cos D2 = A2 + B2 - 2 A B cos
Pengurangan, adalah penjumlahan dengan lawan vektornya.
A
B
- A
D
B - A
B + (- A) = D
04/24/23 18
A – B = A + (- B) = - (B – A)
Hukum Pengurangan, vektor Anti Komutatif
A
B
- A
D
- BA - B
B - A
04/24/23 19
Contoh.
3
Jadi panjang (besar) vektor D = 4,- satuan
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing (A), 5 dan (B), 8 satuan. Berapakah besar selisih (A – B), jika kedua vektor tersebut membentuk sudut apit 30o ?
D2 = 52 + 82 - 2 (5)(8) cos 30o
= 25 + 64 - 80 (1/2 ) satuan = (89 - 40 ) satuan = 20,- satuan
Penyelesaian.
3
Tabel Penjumlahan Vektor
Vektor Besar sudut dengan sb.sb x sb y sb z
Fx Fy Fz
ΣFx ΣFy ΣFz222zyx FFFR
RFxcos dst.
04/24/23 21
4. Dot product dua vektor, hasilnya skalar.
A . B = A B cos
A . B, hasilnya = besar vektor A kali vektor B dan cos sudut antara A dan B
A
B cos
B
A
04/24/23 22
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8 satuan). Hitunglah nilai A . B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
Contoh.
A . B = (5)(8) cos 30o = 20 satuan
Penyelesaian.
3
04/24/23 23
4. Cross product dua vektor, hasilnya vektor.
A x B = CC A dan C BC = A B sin
A
B
C
B x A = - C
04/24/23 24
A x B didefinisikan sebagai vektor (C) dengan C te-gak lurus pada kedua vektor (A dan B) dan nilainya sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B.
B sin
B
A
A
Lanjutan.
04/24/23 25
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8) satuan. Berapa A x B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
Contoh.
A x B = C
Penyelesaian.
C = (5)(8) sin 30o = 20 satuan
C A dan C B
AB
C
04/24/23 26
Sistem Koordinat Cartesian.
0 X
Y
A (x, y)
(y)(x)
Cartesian dua dimensi
Letak titik A ditentukan oleh nilai x dan y.
04/24/23 27
Sistem Koordinat Cartesian.
Cartesian tiga dimensi
0 Y
Z
A (x, y, z)
(y) (x)X
(z)
Letak titik A ditentukan oleh nilai x, y dan z.
04/24/23 28
Vektor dan sistem Koordinat.
0A vektor posisi V = A i + B j + C k i, j, k vektor satuan dalam arah sumbu X+, Y+, Z+
Cartesian tiga dimensi
0 Y
Z
A (x, y, z)
(B j) (A i)X
(C k)V
04/24/23 29
Dalam sistem koordinat letak suatu titik dapat dinyatakan sebagai vektor.
Vektor yang menyatakan letak suatu titik dise-but dengan vektor letak (vektor posisi).
(0A) = R = x i + y j + z k
Letak titik A, dinyatakan dengan sistem koordi-nat kartesian tiga dimensi persm-nya menjadi,
Y0
A(x, y, z)
R
X
Z
xy
z
Lanjutan.
04/24/23 30
A = Ax i + Ay j + Az k
0perasi vektor dengan sistem koordinat.
Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k
1. Penjumlahan.
B = Bx i + By j + Bz k
04/24/23 31
A = 5 i + 8 j + 2 k
Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (5 + 1) i + (8 + 3) j + (2 - 4) k
Contoh.
B = i + 3 j - 4 k
= 6 i + 11 j - 2 k
Hitung A + B ?
Penyelesaian.
04/24/23 32
A = Ax i + Ay j + Az k
Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai
D = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k
2. Pengurangan.
B = Bx i + By j + Bz k
04/24/23 33
A = 5 i + 3 j + k
Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai
D = (5 - 7) i + (3 - 2) j + (1 - 4) k
Contoh.
B = 7 i + 2 j + 4 k
= - 2 i + j - 3 k
Hitung A – B ?
Penyelesaian.
04/24/23 34
A = Ax i + Ay j + Az k
0perasi A . B, hasilnya skalar dan skalar tersebut dinyatakan sebagai
A . B = [Ax i + Ay j + Az k] . [Bx i + By j + Bz k]
3. Dot product.
B = Bx i + By j + Bz k
= (Ax)(Bx) i . i + (Ax)(By) i . j + (Ax)(Bz) i . k+ (Ay)(Bx) j . i + (Ay)(By) j . j + (Ay)(Bz) j . k
+ (Az)(Bx) k . i + (Az)(By) k . j + (Az)(Bz) k . k
04/24/23 35
A . B hasilnya menjadi, = (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz)
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0o = 1 i . j = i . k = j . i = j . k = k . i = k . j =(1)(1) cos 90o = 0
= skalarA . B = B . A
Lanjutan.
04/24/23 36
A = 5 i + 3 j + k
Hitung A . B ?
C = (5)(7) + (3)(2) + (1)(4)
Contoh.
B = 7 i + 2 j + 4 k
= 35 + 6 + 4 = 45
Penyelesaian.
A . B = C, maka C dinyatakan sebagai
04/24/23 37
A = Ax i + Ay j + Az k
0perasi A x B, hasilnya vektor dan vektor terse-but dinyatakan sebagai
A x B = [Ax i + Ay j + Az k] x [Bx i + By j + Bz k]
4. Cross product.
B = Bx i + By j + Bz k
= (Ax)(Bx) i x i + (Ax)(By) i x j + (Ax)(Bz) i x k
+ (Ay)(Bx) j x i + (Ay)(By) j x j + (Ay)(Bz) j x k+ (Az)(Bx) k x i + (Az)(By) k x j + (Az)(Bz) k x k
04/24/23 38
i x i = j x j = k x k = (1)(1) sin 0o = 0 i x j = - j x i = k J x k = - k x j = ik x i = - i x k = j Dengan demikian A x B menjadi,
A x B = i [(Ay)(Bz) - (Az)(By)]
+ j [(Az)(Bx) - (Ax)(Bz)]
+ k [(Ax)(By) - (Ay)(Bx)]
Lanjutan.
04/24/23 39
A = 5 i + 3 j + k
Hitung A x B ?
Contoh.
B = 7 i + 2 j + 4 k
Penyelesaian.
A x B hasilnya menjadiA x B = i [(3)(4) - (1)(2)] + j [(1)(7) - (5)(4)] + k [(5)(2) - (3)(7)] A x B = 10 i - 13 j - 11 k
04/24/2340
Contoh.Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor yang masing-masing bentuk sebagai berikut:
A = 5 i + 2 j , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 2, 3)]
Berapakah resultan vektor tersebut dan dimana letak titik tangkapnya ?
B = - j + 2 k , [bertitik tangkap pada koordinat (2, 2, 3)]C = - 4 i - k , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 3, 1)]
04/24/23 41
Penyelesaian.
V = A + B + C = (5 - 4) i + (2 – 1) j + (2 – 1) k = i + j + k
(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) + ( i + 3 j + k) × (- 4 i - k)
(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = i (Y - Z) + j (Z - X) + k (X - Y)
(i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) = - 6 i + 15 j – 8 k(2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) = - 6 i + 3 j + 2 k
04/24/23 42
Sambungan.
(i + 3 j + k) × (- 4 i - k) = - 3 i - 3 j + 12 k
(Y - Z) i + (Z - X) j + (X - Y) k = - 15 i + 15 j + 6 k
Berlaku bentuk persm:
Y - Z = - 15, Z - X = 15 dan X - Y = 6
Dihasilkan X = 3, Y = - 3 dan Z = 18. Dengan demikian titik tangkap resultan vektor ter-sebut menjadi, (3, - 3, 18)
04/24/23 43
Resultan banyak vektor dalam ruang.
R = V1 + V2 + .........+ Vn
Jika rc letak titik tangkap resultan gaya, maka berlaku,
rc x V = r1 x V1 + .............+ rn x Vn
r1 ........rn koordinat letak titik tangkap masing-ma-sing gaya
R = Σ Vi
04/24/23 44
Berat.Berat (w) merupakan salah satu dari bentuk resul-tan gaya-gaya sejajar [arah sama (sejajar)].
w = Σ mi gr1 r2r3
R F2
F3
F1
F
0 Berlaku, R x F = Σ (ri x Fi)
Mizimz
MiYimY
MiXimX
koordinat tiga
dimensi
04/24/23 45
Contoh.
Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor sebagai berikut A = 5 i + 2 j bertitik tangkap pada koordi-nat (1, 2, 3), B = - j + 2 k koordinat (2, 2, 3) dan C = - 4 i – k koordinat (1, 3, 1). Berapakah resul-tan vektornya dan dimana letak titik tangkapnya.Jawaban.R = A + B + C = i + j + k
(x i + y j + z k) x (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) x (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) x (- j + 2 k) + (i + 3 j + k) x (- 4 i - k = - 15 i + 15 j + 8 k
04/24/23 46
Lanjutan.Dari hasil perkalian silang trsebut diperoleh persm,
Dihasilkan nilai x = - 4 , y = 4 dan z = - 19.
y – z = - 15, z – x = 15 dan y – x = 8
Koordinat titik tangkap resultan gaya terletak
pada posisi (- 4, 4, - 19)
04/24/23 47