Download - 9/11/2014
![Page 1: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/1.jpg)
04/24/23 1
BAB. 3 (Skalar, Vektor)
![Page 2: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/2.jpg)
04/24/23 2
Di dalam Fisika, pembicaraan suatu gejala [peris-tiwa (alam)], diperlukan pengertian dasar yang disebut besaran.
Dalam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran
arah)dan (nilai vektor 2.(nilai)skalar 1.
fisikaBesaran
Pendahuluan.
kita dapat membicarakan (gejala alam) yang bersangkutan dengan kaitan tertentu.
![Page 3: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/3.jpg)
04/24/23 3
1. Besaran Skalar
Besaran skalar: besaran fisis yang hanya memi-liki besar (kuantitas) saja, (satu dimensi yaitu nilai).
Suhu, kelajuan, energi dan lain sebagainya.
Contoh.
![Page 4: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/4.jpg)
04/24/23 4
2. Besaran VektorBesaran vektor: besaran fisis yang memiliki dua
pengertian dasar yaitu besar (ku-antitas) dan arah.
Besaran vektor digambarkan sebagai anak panah (), (misal A → B).
A titik tangkap vektor, panjang panah (panjang AB, nilai, besaran skalar) besar vektor, dan arah panah (arah vektor), B ujung vektor.
Contoh: gerak mobil, besaran vektornya yaitu ke-cepatan (terdapat arah perpindahan, nilai kelajuan).
![Page 5: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/5.jpg)
04/24/23 5
Besaran vektor yang tidak dikaitkan dengan sis-tem koordinat disebut vektor planimetrik.
Jika titik tangkap vektor digeser sepanjang garis kerja vektor tersebut, maka pengaruh vektor tersebut tidak berubah.
A ,A ditulis,Vektor
A , A
AA atau A ,A ditulis,tor Skalar vek
Lanjutan.
A BB!A!
![Page 6: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/6.jpg)
04/24/23 6
A menjadi Avektor dari satuanvektor Sehingga , tanda dengan ditulis satuanVektor
ˆˆ
AAA ˆ
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan
BA
AAB ˆ
Vektor B lawan vektor A, besar vektor A = vektor B, hanya arah-nya berlawanan.
Vektor A ditulis dengan vektor satuan menjadi
Lanjutan.
![Page 7: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/7.jpg)
04/24/23
0perasi Vektor1. Perkalian vektor dengan tetapan (k), hasilnya
vektor dengan besar k kali besar awal vektor.
VkVVkVk ˆ A
k = 3, menjadi 3A
k = - 2, menjadi - 2A
Perkalian skalar dengan vektor dapat digunakan untuk mencari linieritas.
![Page 8: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/8.jpg)
04/24/23 8
Contoh.Tentukan nilai y dan z agar ketiga titik A (1, 2, 5); B (4, y, 9) dan C (7, 10, z) menjadi satu garis lurus !
Penyelesaian.Garis AC dinyatakan sebagai vektor, A = 6 i + 8 j + (z - 5) kGaris AB dinyatakan sebagai vektor, B = 3 i + (y - 2) j + 4 k.Tiga titik akan segaris jika AC = k AB atau A = k B,6 i + 8 j + (z - 5) k = k [3 i + (y - 2) j + 4 k]. Dihasilkan persm, 6 = 3 k k = 2 ;
![Page 9: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/9.jpg)
04/24/23 9
8 = 2 (y - 2) y = 6 z - 5 = 8 z = 13. Dengan demikian jika koordinat titik,
A (1, 2, 5); B (4, 6, 9) dan C (7, 10, 13) akan se-garis.
Lanjutan.
![Page 10: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/10.jpg)
04/24/23 10
2. Penjumlahan dua vektor, (hasilnya vektor)
A
B
C2 = A2 + B2 + 2 A B cos A + B = B + A = C
A
B C
A + BB + A
![Page 11: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/11.jpg)
04/24/23 11
Contoh.
3
Jadi panjang (besar) vektor C = 12,- satuan
Diketahui dua buah vektor, besar masing-ma-sing 5 dan 8 satuan. Berapakah besar jumlah dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
C2 = 52 + 82 + 2 (5)(8) cos 30o
= 25 + 64 + 80 (1/2 ) satuan = (89 + 40 ) satuan = 157,- satuan
Penyelesaian.
3
![Page 12: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/12.jpg)
04/24/23 12
Contoh.Gunakan kaidah penjumlahan vektor. Buktikan bahwa dua garis berat pada suatu segitiga ber-potongan dengan perbandingan panjang 2 : 1!Penyelesaian.
A B
C
DF
E
b
c
AB = cAC = bb + CB = c, CB = C - bAD = AC + ½ CBAD = b + ½ (c – b)CE = CA + AE = - b + ½ c
![Page 13: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/13.jpg)
04/24/23 13
Sambungan.
AF = k AD = ½ k c + ½ k bCF = ℓ CE = ½ ℓ c - ½ ℓ bAkhirnya dihasilkan ½ k c = ½ ℓ c → k = ℓ .Diperoleh pernyataan ½ k b = (1 - ℓ) b atau → ½ k = 1 - ℓ = 1 - kDengan demikian dihasilkan 1½ k = 1 atau k = 2/3
Sehingga AF = 2/3 AD akhirnya diperoleh FD = 1/3 AD.Sehingga terbukti jika AF : FD = 2 : 1 atau
21
AFFD
![Page 14: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/14.jpg)
04/24/23 14
Penjumlahan Beberapa Vektor.
R = A + B + C + D
Penjumlahan dengan cara poligon vektor.
![Page 15: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/15.jpg)
04/24/23 15
Hukum Penjumlahaan.
R = A + B = B + A
Hukum komutatif
![Page 16: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/16.jpg)
04/24/23 16
Hukum Asosiatif, A + (B + C) = (A + B) + C
Lanjutan.
![Page 17: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/17.jpg)
04/24/23 17
3. Pengurangan dua vektor, hasilnya vektor
A
B
D2 = A2 + B2 + 2 A B cos D2 = A2 + B2 - 2 A B cos
Pengurangan, adalah penjumlahan dengan lawan vektornya.
A
B
- A
D
B - A
B + (- A) = D
![Page 18: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/18.jpg)
04/24/23 18
A – B = A + (- B) = - (B – A)
Hukum Pengurangan, vektor Anti Komutatif
A
B
- A
D
- BA - B
B - A
![Page 19: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/19.jpg)
04/24/23 19
Contoh.
3
Jadi panjang (besar) vektor D = 4,- satuan
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing (A), 5 dan (B), 8 satuan. Berapakah besar selisih (A – B), jika kedua vektor tersebut membentuk sudut apit 30o ?
D2 = 52 + 82 - 2 (5)(8) cos 30o
= 25 + 64 - 80 (1/2 ) satuan = (89 - 40 ) satuan = 20,- satuan
Penyelesaian.
3
![Page 20: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/20.jpg)
Tabel Penjumlahan Vektor
Vektor Besar sudut dengan sb.sb x sb y sb z
Fx Fy Fz
ΣFx ΣFy ΣFz222zyx FFFR
RFxcos dst.
![Page 21: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/21.jpg)
04/24/23 21
4. Dot product dua vektor, hasilnya skalar.
A . B = A B cos
A . B, hasilnya = besar vektor A kali vektor B dan cos sudut antara A dan B
A
B cos
B
A
![Page 22: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/22.jpg)
04/24/23 22
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8 satuan). Hitunglah nilai A . B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
Contoh.
A . B = (5)(8) cos 30o = 20 satuan
Penyelesaian.
3
![Page 23: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/23.jpg)
04/24/23 23
4. Cross product dua vektor, hasilnya vektor.
A x B = CC A dan C BC = A B sin
A
B
C
B x A = - C
![Page 24: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/24.jpg)
04/24/23 24
A x B didefinisikan sebagai vektor (C) dengan C te-gak lurus pada kedua vektor (A dan B) dan nilainya sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B.
B sin
B
A
A
Lanjutan.
![Page 25: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/25.jpg)
04/24/23 25
Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8) satuan. Berapa A x B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ?
Contoh.
A x B = C
Penyelesaian.
C = (5)(8) sin 30o = 20 satuan
C A dan C B
AB
C
![Page 26: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/26.jpg)
04/24/23 26
Sistem Koordinat Cartesian.
0 X
Y
A (x, y)
(y)(x)
Cartesian dua dimensi
Letak titik A ditentukan oleh nilai x dan y.
![Page 27: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/27.jpg)
04/24/23 27
Sistem Koordinat Cartesian.
Cartesian tiga dimensi
0 Y
Z
A (x, y, z)
(y) (x)X
(z)
Letak titik A ditentukan oleh nilai x, y dan z.
![Page 28: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/28.jpg)
04/24/23 28
Vektor dan sistem Koordinat.
0A vektor posisi V = A i + B j + C k i, j, k vektor satuan dalam arah sumbu X+, Y+, Z+
Cartesian tiga dimensi
0 Y
Z
A (x, y, z)
(B j) (A i)X
(C k)V
![Page 29: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/29.jpg)
04/24/23 29
Dalam sistem koordinat letak suatu titik dapat dinyatakan sebagai vektor.
Vektor yang menyatakan letak suatu titik dise-but dengan vektor letak (vektor posisi).
(0A) = R = x i + y j + z k
Letak titik A, dinyatakan dengan sistem koordi-nat kartesian tiga dimensi persm-nya menjadi,
Y0
A(x, y, z)
R
X
Z
xy
z
Lanjutan.
![Page 30: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/30.jpg)
04/24/23 30
A = Ax i + Ay j + Az k
0perasi vektor dengan sistem koordinat.
Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k
1. Penjumlahan.
B = Bx i + By j + Bz k
![Page 31: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/31.jpg)
04/24/23 31
A = 5 i + 8 j + 2 k
Jika A + B = C, maka C dinyatakan sebagai
C = (5 + 1) i + (8 + 3) j + (2 - 4) k
Contoh.
B = i + 3 j - 4 k
= 6 i + 11 j - 2 k
Hitung A + B ?
Penyelesaian.
![Page 32: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/32.jpg)
04/24/23 32
A = Ax i + Ay j + Az k
Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai
D = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k
2. Pengurangan.
B = Bx i + By j + Bz k
![Page 33: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/33.jpg)
04/24/23 33
A = 5 i + 3 j + k
Jika A - B = D, maka D dinyatakan sebagai
D = (5 - 7) i + (3 - 2) j + (1 - 4) k
Contoh.
B = 7 i + 2 j + 4 k
= - 2 i + j - 3 k
Hitung A – B ?
Penyelesaian.
![Page 34: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/34.jpg)
04/24/23 34
A = Ax i + Ay j + Az k
0perasi A . B, hasilnya skalar dan skalar tersebut dinyatakan sebagai
A . B = [Ax i + Ay j + Az k] . [Bx i + By j + Bz k]
3. Dot product.
B = Bx i + By j + Bz k
= (Ax)(Bx) i . i + (Ax)(By) i . j + (Ax)(Bz) i . k+ (Ay)(Bx) j . i + (Ay)(By) j . j + (Ay)(Bz) j . k
+ (Az)(Bx) k . i + (Az)(By) k . j + (Az)(Bz) k . k
![Page 35: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/35.jpg)
04/24/23 35
A . B hasilnya menjadi, = (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz)
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0o = 1 i . j = i . k = j . i = j . k = k . i = k . j =(1)(1) cos 90o = 0
= skalarA . B = B . A
Lanjutan.
![Page 36: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/36.jpg)
04/24/23 36
A = 5 i + 3 j + k
Hitung A . B ?
C = (5)(7) + (3)(2) + (1)(4)
Contoh.
B = 7 i + 2 j + 4 k
= 35 + 6 + 4 = 45
Penyelesaian.
A . B = C, maka C dinyatakan sebagai
![Page 37: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/37.jpg)
04/24/23 37
A = Ax i + Ay j + Az k
0perasi A x B, hasilnya vektor dan vektor terse-but dinyatakan sebagai
A x B = [Ax i + Ay j + Az k] x [Bx i + By j + Bz k]
4. Cross product.
B = Bx i + By j + Bz k
= (Ax)(Bx) i x i + (Ax)(By) i x j + (Ax)(Bz) i x k
+ (Ay)(Bx) j x i + (Ay)(By) j x j + (Ay)(Bz) j x k+ (Az)(Bx) k x i + (Az)(By) k x j + (Az)(Bz) k x k
![Page 38: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/38.jpg)
04/24/23 38
i x i = j x j = k x k = (1)(1) sin 0o = 0 i x j = - j x i = k J x k = - k x j = ik x i = - i x k = j Dengan demikian A x B menjadi,
A x B = i [(Ay)(Bz) - (Az)(By)]
+ j [(Az)(Bx) - (Ax)(Bz)]
+ k [(Ax)(By) - (Ay)(Bx)]
Lanjutan.
![Page 39: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/39.jpg)
04/24/23 39
A = 5 i + 3 j + k
Hitung A x B ?
Contoh.
B = 7 i + 2 j + 4 k
Penyelesaian.
A x B hasilnya menjadiA x B = i [(3)(4) - (1)(2)] + j [(1)(7) - (5)(4)] + k [(5)(2) - (3)(7)] A x B = 10 i - 13 j - 11 k
![Page 40: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/40.jpg)
04/24/2340
Contoh.Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor yang masing-masing bentuk sebagai berikut:
A = 5 i + 2 j , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 2, 3)]
Berapakah resultan vektor tersebut dan dimana letak titik tangkapnya ?
B = - j + 2 k , [bertitik tangkap pada koordinat (2, 2, 3)]C = - 4 i - k , [bertitik tangkap pada koordinat (1, 3, 1)]
![Page 41: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/41.jpg)
04/24/23 41
Penyelesaian.
V = A + B + C = (5 - 4) i + (2 – 1) j + (2 – 1) k = i + j + k
(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) + ( i + 3 j + k) × (- 4 i - k)
(X i + Y j + Z k) × (i + j + k) = i (Y - Z) + j (Z - X) + k (X - Y)
(i + 2 j + 3 k) × (5 i + 2 j) = - 6 i + 15 j – 8 k(2 i + 2 j + 3 k) × (- j + 2 k) = - 6 i + 3 j + 2 k
![Page 42: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/42.jpg)
04/24/23 42
Sambungan.
(i + 3 j + k) × (- 4 i - k) = - 3 i - 3 j + 12 k
(Y - Z) i + (Z - X) j + (X - Y) k = - 15 i + 15 j + 6 k
Berlaku bentuk persm:
Y - Z = - 15, Z - X = 15 dan X - Y = 6
Dihasilkan X = 3, Y = - 3 dan Z = 18. Dengan demikian titik tangkap resultan vektor ter-sebut menjadi, (3, - 3, 18)
![Page 43: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/43.jpg)
04/24/23 43
Resultan banyak vektor dalam ruang.
R = V1 + V2 + .........+ Vn
Jika rc letak titik tangkap resultan gaya, maka berlaku,
rc x V = r1 x V1 + .............+ rn x Vn
r1 ........rn koordinat letak titik tangkap masing-ma-sing gaya
R = Σ Vi
![Page 44: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/44.jpg)
04/24/23 44
Berat.Berat (w) merupakan salah satu dari bentuk resul-tan gaya-gaya sejajar [arah sama (sejajar)].
w = Σ mi gr1 r2r3
R F2
F3
F1
F
0 Berlaku, R x F = Σ (ri x Fi)
Mizimz
MiYimY
MiXimX
koordinat tiga
dimensi
![Page 45: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/45.jpg)
04/24/23 45
Contoh.
Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor sebagai berikut A = 5 i + 2 j bertitik tangkap pada koordi-nat (1, 2, 3), B = - j + 2 k koordinat (2, 2, 3) dan C = - 4 i – k koordinat (1, 3, 1). Berapakah resul-tan vektornya dan dimana letak titik tangkapnya.Jawaban.R = A + B + C = i + j + k
(x i + y j + z k) x (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) x (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) x (- j + 2 k) + (i + 3 j + k) x (- 4 i - k = - 15 i + 15 j + 8 k
![Page 46: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/46.jpg)
04/24/23 46
Lanjutan.Dari hasil perkalian silang trsebut diperoleh persm,
Dihasilkan nilai x = - 4 , y = 4 dan z = - 19.
y – z = - 15, z – x = 15 dan y – x = 8
Koordinat titik tangkap resultan gaya terletak
pada posisi (- 4, 4, - 19)
![Page 47: 9/11/2014](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022081520/56814b1c550346895db83124/html5/thumbnails/47.jpg)
04/24/23 47