52224136 transformasi fourier waktu diskrit ppt

1Bab 3aTransformasi Fourier Waktu-DiskritKuliah PSD 01 (MFS4617)agfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit2Latar Belakang Sistem LTI dinyatakan dalam tanggapan terhadap masukan cuplikan satuan (tanggap cuplikan satuan unit impulse response h(n)): Bentuknya Konvolusi: sembarang sinyal bisa dinyatakan dengan kombinasi linear cuplikan satuan yang terskala dan yang tertunda ; Sembarang sinyal diskrit kombiasi sinyal dasar tiap sinyal dasar penyajian sinyal baru punya kelebihan dan kelemahan; Ada satu cara penyajian yang sangat bermanfaat berbasis sinyal eksponensial kompleks ejnDTFT;agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit3DTFT DTFT = Discrete-time Fourier TransformTransformasi Fourier dalam Waktu-diskrit; Rumus DTFT: Rumus IDTFT:2agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit4Contoh 3.1 & Solusinya Tentukan DTFT dari x(n) = 0.5n u(n)!agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit5Contoh 3.2 & Solusinya Karena X(ejn) merupakan sebuah fungsi nilai-kompleks perlu digambarkan bagian besaran dan sudut-nya (bagian nyata dan imajiner-nya) terhadap w secara terpisah untuk mendeskripsikan X(ejn) secara visual; Menggunakan nilaiantara 0 hingga ;agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit62 (dua) Sifat Penting Periodisitas: DTFT X(ejn) bersifatperiodikdalamranah-; dengan periode2;hanya dibutuhkan satu periode saja (;e[0,2>] atau[->,>]) untuk analisa: Simetris: untuk nilai-nyata x(n), X(ejn) bersifatsimetrikkonjugat: Ataudituliskan:3agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit72 (dua) Sifat Penting Implikasi Simetrik untuk menggambar X(ejn) hanya perlu diperhatikan setengah periode-nya saja secara umum periode ini adalahe [0,] Contoh 3.3: untuk persamaan x(n) = 0.5n u(n)!agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit8Solusi Contoh 3.3w = [0:1:500]*pi/500;% [0, pi] axis divided into 501 points.X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));magX = abs(X); angX = angle(X);realX = real(X); imagX = imag(X);% --subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part'); ylabel('Magnitude')% --subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part'); ylabel('Radians')% --subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Real Part'); ylabel('Real')% --subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part'); ylabel('Imaginary')agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit9Solusi Contoh 3.30 0.2 0.4 0.6 0.8 10.511.52frequency in pi unitsMagnitude PartMagnitude0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8-0.6-0.4-0.20frequency in pi unitsAngle PartRadians0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.511.52frequency in pi unitsReal PartReal0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.8-0.6-0.4-0.20frequency in pi unitsImaginary PartImaginary4agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit10Komputasi Numerik DTFT Misalkan x(n) memiliki N cuplikan (data) antara n1 E n En2 (tidak perlu dalam jangkauan [0,N-1]) dan akan dievaluasi X(ejn) pada: yang panjangnya (M+1) antara [0,t] sehingga persamaan (3.1) dituliskan: Jika {x(nl)} dan {X(ejn)} disusun dalam vektor kolom masing-masing x dan X, maka:agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit11Komputasi Numerik DTFT Dengan W adalah matriks (M+1) x N: Jika kita susun {k} dan {nl} masing-masing sebagai vektor baris kdan n, maka: Di MATLAB, disajikan sebagaivetkor baris, sehingga persamaan (3.3)menjadi: Bentuk nTk merupakan matriks N x (M+1). Sekarang persamaan (3.4) dapat dituliskan dalam MATLAB:agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit12Contoh 3.4 & Solusinya Hitunglah DTFT dari deret di contoh 3.2 secara numerik dengan MATLAB! Solusinya:n = -1:3; x = 1:5;% sequence x(n)k = 0:500; w = (pi/500)*k;% [0, pi] axis divided into 501 points.X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector productmagX = abs(X); angX = angle(X);realX = real(X); imagX = imag(X);subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Magnitude Part'); ylabel('Magnitude')subplot(2,2,3); plot(w/pi,angX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Angle Part'); ylabel('Radians')subplot(2,2,2); plot(w/pi,realX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Real Part'); ylabel('Real')subplot(2,2,4); plot(w/pi,imagX); gridxlabel('frequency in pi units'); title('Imaginary Part');ylabel('Imaginary')5agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit13Contoh 3.4 & Solusinya0 0.2 0.4 0.6 0.8 1051015frequency in pi unitsMagnitude PartMagnitude0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4-2024frequency in pi unitsAngle PartRadians0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5051015frequency in pi unitsReal PartReal0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10-505frequency in pi unitsImaginary PartImaginaryagfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit14Contoh 3.5 & Solusinya Diketahui persamaan x(n)=(0.9 e(j/3))n.untuk 0n10. Tentukan X(ejn) dan periksalah periodisitas-nya! Solusi: Karena merupakan deret bilangan kompleks hanya memenuhi sifat periodisitas; Hanya untuk satu periode saja (hingga 2>); Akan digambarkan sebanyak 401 titik antara dua periode [- 2>, 2>] untuk melihat periodisitas-nya;agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit15Contoh 3.5 & Solusinyasubplot(1,1,1)n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n;k = -200:200; w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X); angX =angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,8])xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('|X|')title('Magnitude Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gridaxis([-2,2,-1,1]);xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi');title('Angle Part');6agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit16Contoh 3.5 & Solusinya-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 202468frequency in units of pi|X|Magnitude Part-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1-0.500.51frequency in units of piradians/piAngle Partagfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit17Contoh 3.6 & Solusinya Diketahui persamaan x(n)=(-0.9)nuntuk-5EnE5. Periksalah sifat simetrik konjugat pada DTFT-nya! Solusi: Terlihat bahwa persamaan merupakan bilangan nyata (real) sehingga ada sifat simetrik konjugat-nyaagfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit18Contoh 3.6 & Solusinyasubplot(1,1,1)n = -5:5; x = (-0.9).^n;k = -200:200; w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X); angX =angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,15])xlabel('frequency in units of pi'); ylabel('|X|')title('Magnitude Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX)/pi;gridaxis([-2,2,-1,1])xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi')title('Angle Part')7agfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit19Contoh 3.6 & Solusinya-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2051015frequency in units of pi|X|Magnitude Part-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3-2-10123frequency in units of piradians/piAngle Partagfi@ugm.ac.id III.A. Transformasi Fourier Waktu Diskrit20Bersambung Berikutnya... 3B: Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)!1Kuliah PSD 01 (MFS4617)agfi@ugm.ac.id3B Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 2Linearitas1. Linearity (Linearitas): TransformasiFourier waktu-diskritmerupakansuatubentuk transformasiyanglinear,halinidicirikan melalui persamaan berikut:agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 3Penggeseran waktu dan frekuensi2. Time Shifting (Pergeseran Waktu): suatu perpindahan dalam ranah waktu ditujukan untuk perpindahan fase, hal ini dinyatakan dengan persamaan berikut:3. Frequency shifting (Pergeseran Frekuensi):Perkalian dengan sebuah eksponensial kompleks merupakan suatu penggeseran dalam ranah frekuensi:2agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 44. Conjugation (konjugasi): Konjugasi dalam ranah waktu merupakan lipatan dan konjugasi dalam ranah frekuensi:5. Folding (pelipatan): Lipatan dalam ranah waktu merupakan lipatan dalam ranah frekuensiKonjugasi dan Pelipatanagfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 56. Simetri dalam deret nyata:Implikasi:Jikaurutanx(n)adalahrealdangenap, hanyasatuplot[0,t] yangdapatdigunakanuntuk penyajian lengkap.Simetri dalam deret nyataagfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 67. Convolution(Konvolusi): ini merupakan salah satu dari sifat-sifat yang sangat berguna dalam analisis sistem yang sesuai dalamranahfrekuensi8. Multiplication(Perkalian): inimerupakansuatusifatkonvolusi rangkapduaConvolution (konvolusi) seperti operasi diatas disebut dengankonvolusiperiodik (periodicconvolution).Konvolusi vs. Perkalian3agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 7Energi sinyal9. Energy (energi): Energi dari sinyal x(n) dituliskan dengan persamaan berikut:agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 8HalinijugadikenalsebagaiTeoremaParseval.Dari (3.13)spektrumdensitasenergidarix(n)didefinisikan sebagai berikutSelanjutnyaenergidarix(n)dalampitaataujangkauan[e1,e2] dinyatakan denganCatatan Sifat-sifat TFWDagfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 9Contoh soal 3.7 Dalam contoh ini akan dibuktikan sifat linearitas menggunakan sinyal/deret real durasi-terbatas x1(n) dan x2(n), yang merupakan dua deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk jangkauan 0 s n s 10. Selanjutnya kita dapat menggunakan prosedur TFWD sebagai berikut(Matlab):4agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 10x1 = rand(1,11); x2 = rand(1,11); n = 0:10;alpha = 2; beta = 3;k = 0:500; w = (pi/500)*k;X1 = x1 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT of x1X2 = x2 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT of x2x = alpha*x1 + beta*x2;% Linear combination of x1 & x2X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT of x% verificationX_check = alpha*X1 + beta*X2;% Linear Combination of X1 & X2error = max(abs(X-X_check))% Differenceerror =7.9441e-015Contoh soal 3.7 Solusi Matlabagfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 11Contoh soal 3.8 x(n) merupakan deret acak yang didistribusikan antara [0,1] untuk jangkauan 0 s n s 10 dan y(n) = x(n 2). Selanjutnya kita dapat membuktikan contoh sifat penggeseran sebagai berikutagfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 12Contoh soal 3.8 Solusi Matlabx = rand(1,11); n = 0:10;k = 0:500; w = (pi/500)*k;X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);% DTFT of x% signal shifted by two samplesy = x; m = n+2;Y = y * (exp(-j*pi/500)).^(m'*k);% DTFT of y% verificationY_check = (exp(-j*2).^w).*X; % multiplication by exp(-j2w)error = max(abs(Y-Y_check))% Differenceerror =8.4843e-0155agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 13Contoh soal 3.9 Untuk membuktikan sifat penggeseran frekuensi kita akan menggunakan pendekatan grafik (visualisasi)agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 14Contoh soal 3.9 Solusi Matlabn = 0:100; x = cos(pi*n/2);k = -100:100; w = (pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x%y = exp(j*pi*n/4).*x;% signal multiplied by exp(j*pi*n/4)Y = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of y% Graphical verificationsubplot(1,1,1)subplot(2,2,1); plot(w/pi,abs(X)); grid; axis([-1,1,0,60])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|X|')title('Magnitude of X')subplot(2,2,2); plot(w/pi,angle(X)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('radiands/pi')title('Angle of X')subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(Y)); grid; axis([-1,1,0,60])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|Y|')title('Magnitude of Y')subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(Y)/pi); grid; axis([-1,1,-1,1])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('radians/pi')title('Angle of Y')agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 15-1 -0.5 0 0.5 10102030405060frequency in pi units|X|Magnitude of X-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51frequency in pi unitsradiands/piAngle of X-1 -0.5 0 0.5 10102030405060frequency in pi units|Y|Magnitude of Y-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51frequency in pi unitsradians/piAngle of Y6agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 16Contoh soal 3.10 Membuktikan sifat konjugasi diketahui sinyal x(n) merupakan sinyal acak bilangan kompleks untuk 5 s n s 10 yang secara umum didistribusikan antara [0,1]. agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 17Contoh soal 3.10 Solusi Matlabn = -5:10; x = rand(1,length(n)) + j*rand(1,length(n));k = -100:100; w = (pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x% conjugation propertyy = conj(x); % signal conjugationY = y * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of y% verificationY_check = conj(fliplr(X)); % conj(X(-w))error = max(abs(Y-Y_check))% Differenceerror =1.1382e-013agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 18Contoh soal 3.11 Untuk membuktikan sifat pelipatan, diketahui sinyal x(n) merupakan sinyal acak untuk 5 s n s 10 yang secara umum didistribusikan antara [0,1].7agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 19Contoh soal 3.11 Solusi Matlabn = -5:10; x = rand(1,length(n));k = -100:100; w = (pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x% folding propertyy = fliplr(x); m = -fliplr(n); % signal foldingY = y * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k);% DTFT of y% verificationY_check = fliplr(X); % X(-w)error = max(abs(Y-Y_check))% Differenceerror =1.6012e-015agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 20 Dalam masalah ini akan dibuktikan sifat simetri dari sinyal real kemudian menggunakan fungsi evenodd.m (pada Bab 2), dapat dihitung bagian genap dan ganjil-nya, kemudian dievaluasi TFWD-nyaContoh soal 3.12agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 21Contoh soal 3.12 Solusi Matlabn = -5:10; x = sin(pi*n/2);k = -100:100; w = (pi/100)*k;% frequency between -pi and +piX = x * (exp(-j*pi/100)).^(n'*k);% DTFT of x% signal decomposition[xe,xo,m] = evenodd(x,n);% even and odd partsXE = xe * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k);% DTFT of xeXO = xo * (exp(-j*pi/100)).^(m'*k);% DTFT of xo% verificationXR = real(X);% real part of Xerror1 = max(abs(XE-XR)) % DifferenceXI = imag(X);% imag part of Xerror2 = max(abs(XO-j*XI)) % Difference8agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 22Contoh soal 3.12 Solusi Matlab% graphical verificationsubplot(1,1,1)subplot(2,2,1); plot(w/pi,XR); grid; axis([-1,1,-2,2])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Re(X)');title('Real part of X')subplot(2,2,2); plot(w/pi,XI); grid; axis([-1,1,-10,10])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Im(X)');title('Imaginary part of X')subplot(2,2,3); plot(w/pi,real(XE)); grid; axis([-1,1,-2,2])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('XE');title('Transform of even part')subplot(2,2,4); plot(w/pi,imag(XO)); grid; axis([-1,1,-10,10])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('XO');title('Transform of odd part')agfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 23-1 -0.5 0 0.5 1-2-1012frequency in pi unitsRe(X)Real part of X-1 -0.5 0 0.5 1-10-50510frequency in pi unitsIm(X)Imaginary part of X-1 -0.5 0 0.5 1-2-1012frequency in pi unitsXETransform of even part-1 -0.5 0 0.5 1-10-50510frequency in pi unitsXOTransform of odd partagfi@ugm.ac.id III.B. Sifat2 TFWD 24Bersambung Berikutnya... 3C: Penyajian sistem LTI dalam Ranah-Frekuensi!13C Penyajian Sistem LTI dalam Ranah FrekuensiKuliah PSD 01 (MFS4617)agfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi2Tanggap Eksponensial Kompleks x(n)=ejonmerupakan suatu masukan terhadap sistem LTI yang dinyatakan dengan tanggap impuls h(n)agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi3Definisi-1: Tanggap Frekuensi TFWD dari suatu tanggap impuls disebut tanggap frekuensi (Fungsi Alih) dari suatu sistem LTI dan dinyatakan dengan persamaan Dengan demikian persamaan (3.15) dapat dituliskan sebagai n j n je n h e He e) ( ) (2agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi4Definisi-1: Tanggap Frekuensi Hasil selanjutnya dapat diperluas dengan kombinasi linear antar eksponensial kompleks menggunakan linearitas sistem LTI PadaumumnyatanggapfrekuensiH(ej) adalahsuatu fungsikompleksdarie. Magnitude|H(ej)|dariH(ej)disebutsebagaifungsitanggapmagnitude(ataugain)dan sudut ZH(ej) disebut fungsi tanggap fase.agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi5Tanggap thd Deret Sinusoidal x(n)=A.cos(0n+0) sebagai masukan ke sistem LTI h(n). Maka dari persamaan (3.17) dapat ditunjukkan bahwa tanggap y(n) merupakan sinusoid lain dari frekuensi ;0yang sama, dengan amplitudo yang dikuatkan |H(ej)|sebesar dan fase yang digeser sebesar ZH(ej),sehinggaagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi6Tanggap thd Deret Sinusoidal Tanggap ini (persamaan 3.18) disebut dengan Tanggap Kondisi-Tetap (Steady State) dan dinyatakan dengan yss(n).Persamaan tersebut dapat diperluas menjadi sebuah kombinasi linear deret sinusoidal:3agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi7Tanggap thd Sembarang Deret Persamaan 3.17 dapat digeneralisasi ke bentuk deret yang dapat secara absolut-dijumlahkan (absolute summable).Jika X(ejn)=F[x(n)] dan Y(ejn)=F[y(n)], maka dengan menggunakan Sifat konvolusi diperoleh Dengan demikian, sebuah sistem LTI dapat dinyatakan dalam ranah frekuensi sebagaiagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi8Contoh Soal 3.13 Tentukan tanggap frekuensi H(ej) dari suatu sistem yang dicirikan dengan h(n)=(0.9)nu(n). Gambarkan besaran dan tanggap fase-nyaagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi9Contoh Soal 3.13 - Solusi4agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi10Contoh Soal 3.13 - Solusi Untuk menggambarkan tanggap ini, dapat diimplementasikan fungsi |H(ej)| dan ZH(ej) atau tanggap frekuensi H(ej),kemudian melakukan proses perhitungan besaran dan fase-nya, berikut Matlab-nyaagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi11Contoh Soal 3.13 - Solusiw = [0:1:500]*pi/500;% [0, pi] axis divided into 501pts.X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.9*ones(1,501));magX = abs(X); angX = angle(X);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); grid; axis([0,1,0,10])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|');title('Magnitude Response');subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi); gridxlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians');title('Phase Response');agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi12Contoh Soal 3.13 Visualisasi Matlab0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10246810frequency in pi units|H|Magnitude Response0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4-0.3-0.2-0.10frequency in pi unitsPhaseinpiRadiansPhase Response5agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi13Contoh Soal 3.14 Misalkan masukan ke sistem pada contoh 3.13 adalah 0.1u(n), tentukan tanggap kondisi-tetap (steady-state) yss(n)agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi14Contoh Soal 3.14 - Solusi Masukan bukan deret yang secara absolut-dapat-dijumlahkan TFWD tidak terlalu bermanfaat! Tapi bisa dipakai untuk menghitung tanggap kondisi-tetap (steady-state response)! Dalam kondisi tetap, untuk n U, masukan merupakan konstanta (atau sebuah sinusoidal dengan ;0= V0= 0), dengan demikian keluarannya adalahyss(n) = 0.1 x H(ej0) = 0.1 x 10 = 1 Dengan penguatan sistem pada ;=0 (penguatan DC) adalah H(ej)=10 (dari gambar contoh sebelumnya).agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi15Fungsi Tanggap Frekuensi dari Persamaan Beda Jika sebuah Sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda maka untuk mengevaluasi tanggap frekuensi dari pers 3.16, dibutuhkan tanggap impuls h(n). Namun dengan pers 3.17 dapat dengan mudah diperoleh H(ej) Jika x(n)=ejn, maka y(n) harus , substitusikan ke pers 3.20 diperoleh6agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi16Fungsi Tanggap Frekuensi dari Persamaan Bedaagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi17Contoh Soal 3.15 Sebuah sistem LTI dinyatakan dengan persamaan beda berikuty(n) = 0.8y(n-1) + x(n)1. Tentukan H(ej)2. Hitung dan gambarkan tanggap kondisi-tetap yss(n) untuk x(n)=cos(0.05tn)u(n)agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi18Contoh Soal 3.15 - Solusi Tuliskan kembali persamaan beda menjadiy(n) 0.8y(n-1) = x(n)1. Menggunakan pers 3.21 diperoleh2. Untuk kondisi-tetap, masukannya adalah x(n)=cos(0.05tn) dengan frekuensi e0=0.05tdan u0=0. Tanggap sistemnya adalah 7agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi19Contoh Soal 3.15 Solusi Matlabsubplot(1,1,1)b = 1; a = [1,-0.8];n=[0:100];x = cos(0.05*pi*n);y = filter(b,a,x);subplot(2,1,1); stem(n,x);xlabel('n'); ylabel('x(n)'); title('Input sequence')subplot(2,1,2); stem(n,y);xlabel('n'); ylabel('y(n)'); title('Output sequence')agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi20Contoh Soal 3.15 Visualisasi Matlab0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1-0.500.51nx(n)Input sequence0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-505ny(n)Outputsequence3.424.092agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi21Asumsi vs. Kenyataan Contoh 3.15 persamaan beda orde pertama (1storder) dengan mudah dapat diimplementasikan dengan 3.22 menggunakan Matlab; Kenyataannya orde persamaan lebih tinggi perlu prosedur yang efektif atau singkat untuk implementasi 3.21; Gunakan perkalian vektor matriks sederhana Jika kita evaluasi H(ej) pada frekuensi k=0,1,,K yang sama jaraknya dari [0,t], maka8agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi22Asumsi vs. Kenyataan Jika {bm}, {al} (dengan a0=1), {m=0,..,M}, {l=0,..,N} dan {ek}merupakan larik (atau vektor baris), maka pembilang dan penyebut pada 3.23 menjadiagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi23Asumsi vs. Kenyataan Dengan demikian, larik H(ej) pada 3.23 dapat dihitung menggunakan operasi ./ di dalam Matlabagfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi24Contoh Soal 3.15 Penapis lolos-rendah orde-3 dituliskan sebagai berikut Gambarkan tanggap besaran dan fase dari penapis ini dan verifikasi-lah bahwa persamaan beda tersebut merupakan penapis lolos-rendah!9agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi25Contoh Soal 3.15 - Solusib = [0.0181,0.0543, 0.0543,0.0181];a = [1.0000, -1.7600, 1.1829, -0.2781];m = 0:length(b)-1; l = 0:length(a)-1;K = 500; k = 1:1:K;w = pi*k/K;% [0, pi] axis divided into 501 points.num = b * exp(-j*m'*w); % Numerator calculationsden = a * exp(-j*l'*w); % Denominator calculationsH = num ./ den;magH = abs(H); angH = angle(H);agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi26Contoh Soal 3.15 - Solusisubplot(1,1,1);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magH);grid; axis([0,1,0,1])xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|H|');title('Magnitude Response');subplot(2,1,2); plot(w/pi,angH/pi); gridxlabel('frequency in pi units'); ylabel('Phase in pi Radians');title('Phase Response');agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi27Contoh Soal 3.15 Visualisasi Matlab0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.20.40.60.81frequency in pi units|H|Magnitude Response0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1-0.500.51frequency in pi unitsPhaseinpiRadiansPhase ResponseCiri-ciri penapislolos-rendah!10agfi@ugm.ac.id III.C. Penyajian Sistem LTI dalam Ranah Frekuensi28Bersambung Berikutnya 3C: Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog!agfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id 13D Pencuplikan & Rekonstruksi Sinyal AnalogKuliah PSD 01 (MFS4617)agfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog2Pendahuluan Dalam berbagai aplikasi misalnya dunia komunikasidigital sinyal analog dikonversi ke sinyal diskritmenggunakan pencuplikan dan operasi kuantisasi(Konversi Analog ke Digital atau ADC). Sinyal diskrit ini diolah oleh Prosesor Sinyal Digital dansinyal yang diproses dikonversi kembali ke sinyal analog menggunakan operasi rekonstruksi (Konversi Digital keAnalog atau DAC). Menggunakan Analisa Fourier, kita dapat menjelaskan operasi pencuplikan dari sudut pandang ranah-frekuensi, analisa efek dan melakukan operasi rekonstruksi yang tepat.agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog3Pencuplikan xa(t) merupakan sinyal analog. Transformasi Fourier Waktu-Kontinyu diberikan oleh persamaan sebagai berikut: Dimana O adalah frekuensi analog dalam radian/detik. Kebalikan dari Tranformasi Fourier Waktu Kontinyu diberikan denganpersamaan berikut:agfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id 2agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog4 Sekarang kita cuplik xa(t) pada pencuplikan tersendiri Interval Tsdetik untuk memperoleh sinyal waktu diskrit x(n): Transformasi Fourier Waktu Diskrit X(ejn)dari x(n)merupakan jumlah yang dapat dihitung dari skala-amplitudo, skala-frekuensi dan versi terjemahan dari Transformasi Fourier Xa(jO)Pencuplikanagfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog5Pencuplikan Persamaan 3.26 tersebut dikenal dengan Persamaan Aliasing. Frekuensi analog dan digital dihubungkanlewat Ts. Frekuensi Pencuplikan diberikan oleh persamaan berikut:agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog6agfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id 3agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog7agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog8Definisi 2: Sinyal Pita-Terbatas Suatu sinyal memiliki Pita-Terbatas jika terdapat frekuensi Radian terbatas O0sedemikianhingga Xa(jO) adalah 0 untuk |O| > O0. Frekuensi F0=O0/2t disebut lebarpita sinyal dalam Hz. Merujuk gambar 3.10 maka jika t > O0Tsatau Fs/2 > F0maka bentuk persamaannya adalah sebagaiberikut:agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog9Teorema-3: Prinsip Pencuplikan Suatu sinyal pita-terbatas xa(t) dengan lebar pita F0dapatdirekonstruksi dari nilai cuplikannya x(n) = xa(nTs), jikapencuplikan frekuensi Fs= 1/Tslebih besar daripada duakali lebar pita F0dari xa(t).Fs > 2Fo Sebaliknya aliasing akan menghasilkan x(n). Laju pencuplikan 2F0untuk suatu sinyal analog pita-terbatasdisebut Laju Nyquistagfi@ugm.ac.idagfi@ugm.ac.id 4agfi@ugm.ac.id III.D. Pencuplikan dan Rekonstruksi Sinyal Analog10Implementasi MATLAB: Pencuplikan Tidak mungkin menganalisa sinyal analog dengan MATLAB kecuali menggunakan Toolbox Symbolic proses lama; Jika kita mencuplik xa(t) dengan grid yang baik yang memiliki kenaikan waktu yang cukup kecil sedemikian hingga menghasilkan plot yang halus dan waktu maksimum yg cukup besar untuk bisa menampilkan semua data, maka dapat dilakukan analisa pendekatan. Misalkan At sebagai interval grid sedemikian hinggaAt