kelompok 2 kls d. transformasi fourir diskrit
TRANSCRIPT
MAKALAH
MATA KULIAH METODE TRASFORMASI
TRANFORMASI FOURIRDISKRIT
Kelompok :
NAMA NIMEno Yulian 5150711166Harbinarka 5150711156
Tri Purnomo 5150711173Panji Trisna 5150711159Ibnu fauzi 5150711177Zefanya G. 5150711164
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTROFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, karena berkat rahmat dan karunianya kami dapat menyelesaikan makalah “Trasformasi Fourir” ini guna memenuhi salah satu tugas kelompok.
Tak lupa saya ucapkan terima kasih kepada rekan-rekan yang telah memberi dukungan untuk penyusunan makalah ini.
Besar harapan saya mudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat bagi rekan-rekan, khususnya bagi penulis. Apabila dalam penyusunan makalah ini terdapat kalimat atau bahasa yang kurang berkenan saya mohon maaf yang sebesar-besarnya. Untuk itu kami mengharapkan ritik dan saran yang membangun dari guna mencapai penyempuraan laporan penyusun kedepan.
Penyusun
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR................................................................................ iDAFTAR ISI.............................................................................................. iiBAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah................................................................ 1B. Tujuan Penulisan........................................................................... 1
BAB II PEMBAHASANA. Transformasi Fourier....................................................................... 4 B. Transformasi Fourier Diskrit........................................................... 8
BAB III PENUTUPA. Kesimpulan..................................................................................... 11B. Saran............................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA
BAB IPENDAHULUAN
A. Latar BelakangTransformasi Fourier Diskrit merupakan bagian dari Transformasi Fourier yang
digunakan dalam analisis Fourier. Dalam analisis Fourier dipelajari bagaimana cara merepresentasikan sevuah fungsi dengan penjumlahan beberapa fungsi trionometri yang lebih sederhana. Analisis Fourier dinamakan sesuai dengan penemunya yaitu Joseph Fourier (1768-1830), seorang matematikawan dan fisikawan berkebangsaan Prancis. Beliau menunjukkan bahwa dengan mengubah sebuah fungsi menjadi deret trigonometri akan mempermudah pembelajaran tentang propagasi panas.
Dalam bidang matematika, Transformasi Fourier digunakan untuk menguraikan sebuah sinyal menjadi frekuensinya. Dengan kata lain, Transformasi Fourier mengubah suatu fungsi ke daam bentuk lain. Pada Transformasi Fourier Diskrit, masukan fungsi harus dalam bentuk diskrit. Masukan Transformasi Fourier Diskrit adalah urutan terbatas bilangan riil ataupun bilangan kompleks. Hal ini menyebabkan Transformasi Fourier Diskrit ideal untuk memproses informasi di dalam komputer.
Dalam perkembangannya, para peneliti terus berupaya mengembangkan suatu algoritma yang lebih cepat dan mangkus. Pada tahun 1965, J. W. Cooley dan John Tukey mengenalkan sebuah metode baru yang lebih cepat dan mangkus dalam memproses Transformasi Fourier Diskrit. Algoritma yang diberi nama algoritma Cooley-Tukey ini sebenarnya telah ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss pada sekitar tahun 1805. Karena lebih cepat dalam proses perhitungan, metode ini disebut dengan nama Transformasi Fourier Cepat.
B. Tujuan Penulisan
1. Siswa mampu menyelesaikan konsep dasar transformasi Fourier Waktu Diskrit2. Siswa mampu membawa persoalan dari konsep sinyal waktu kontinyu menjadi sinyal waktu diskrit.
BAB IIPEMBAHASAN
A. TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT
Transformasi Fourier, dikemukakan oleh Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo").
Menurut Buku “Understanding Digital Signal Processing, Second Edition” karangan Richard G. Lyons. Transformasi Fourier Diskrit adalah prosedur yang kuat yang digunakan dalam pemrosesan sinyal digital dan filterisasi digital. Transformasi Fourier Diskrit menungkinkan seseorang untuk menganalisa, memanipulasi dan mensintesis sinyal yang tidak mungkin dapat dilakukan dalam pemrosesan sinyal analog. Sedangkan menurut buku “Handbook of Digital Signal Processing Engineering Applications”, Transformasi Fourier Diskrit merupakan gambaran karakteristik spektrum periodik dari suatu sampel data. Transformasi Fourier Diskrit memiliki spectrum garis yang mewakili periode sekuensial N. Adanya istilah “discrete fourier transform” karena Transformasi Fourier Diskrit memberikan gambaran deret fourier untuk sekuens terbatas.
Gambar 4.1. Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
1. Transformasi Fourier 1D
TransformasiFourier
F()
F(t)
Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan:
F (ω )=∫−∞
∞
f ( t ) .e− jωt dtdimana F() adalah fungsi dalam domain frekwensi
adalah frekwensi radial 0 – 2f, atau dapat dituliskan bahwa
= 2f
Contoh 1Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut:
Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah:
F (ω )=∫−1
1
(3 )e− jωt dt=3∫−1
1
e− jωt dt
=−3jω
e− jωt|−11
¿−3jω
[e− jω−e jω ]=6 sin(ω )ω
Hasil dari transformasi Fourier untuk = 0 s/d 2 adalah :
Gambar 4.2. Contoh hasil transformasi fourier
2. Transformasi Fourier 2DTransformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y) didefinisikan dengan:
F (ω1 ,ω2)=∫−∞
∞
∫−∞
∞
f ( x , y ).e− j (ω1 x+ω2 y ) dxdy
f(t)3
-1 10 t
dimana F(1,2) adalah fungsi dalam domain frekwensif(x,y) adalah fungsi spasial atau citra dan 2 adalah frekwensi radial 0 – 2.
Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra digital adalah transformasi fourier 2D.
Contoh 2.Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:
Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah:
F (ω1 , ω2)=∫−1
1
∫−1
1
(1 ). e− j (ω1x+ω2 y ) dydx
=∫−1
1 [−e− jω1 x
jω2e− jω2 y ]
−1
1
dx =∫−1
1 sin (ω2)ω2
e− jω1 x
dx
=sin(ω2 )ω2
[−e− jω1 x
jω1 ]−1
1
=sin(ω2)ω2
.sin(ω1 )ω1
=sin(ω2 )sin(ω1)ω2 ω1
Hasil dari transformasi fourier untuk 0<1,2<2, adalah sebagai berikut :
Gambar 4.3. Contoh hasil transformasi fourier 2D
11
1f(x,y)
y x
Gambar 4.4. Hasil transformasi fourier dalam surface
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
Transformasi Fourier semacam ini disebut dengan continuous fourier transform, dan sulit dikomputasi karena ada operasi integral dan sifat kontinunya itu sendiri.
B. Transformasi Fourier DiskritTransformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah
model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT didefinisikan dengan :
F (k )=∑n=1
N
f ( n) . e− j2 π knT / N
1. DFT 1DDFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1 dimensi, DFT semacam ini banyak
digunakan dalam pengolahan sinyal digital.
Contoh 4.3 :Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
k=0
F (0)=∑n=0
3
f (n) . e− jn 0=∑n=0
3
f (n)
¿1+1+1+1=4
f(t)
t3210
k=1
F (1)=∑n=0
3
f (n ). e− j2 πn/ 4=
∑n=0
3
f (n ). e−0.5 jn π=0
k=2 F (2)=∑
n=0
3
f (n ) .e− j4 n /4=∑n=0
3
f (n) . e− jn π=0
k=3 F (3)=∑
n=0
3
f (n) . e− j6 nn /4=∑n=0
3
f (n ). e− j 1. 5nπ=0
Hasil dari DFT untuk T (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan dapat digunakan aturan frekwensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekwensi informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimal setengah kali periode dari nilai fungsinya.
Contoh 3 Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :
DFT dengan T=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :
F (k )=∑n=0
7
f (n) . e− j 2π nk /8=∑n=0
7
f (n ). e− jπ nk /8
Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah :k F(k)0 121 02 -2 – 2j3 04 05 06 -2 + 2j7 0
Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur real dan imaginer. Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur real dan imaginer sebagai berikut :
k Real{F(k)} Im{F(k)}0 12 01 0 02 -2 -23 0 04 0 0
0 1 2 3t
f(t)2
1
0 1 2 3
5 0 06 -2 27 0 0
Dan dapat digambarkan sebagai berikut :
Bagian Real Bagian ImaginerGambar 4.5. Contoh DFT real dan imaginer
Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut :
Magnitude : |F (k )|=√ (Re { f (k )})2+( Im { f (k )})2
Phase :Arg {F (k ) }=
Im {F (k )}Re {F (k )}
Magnitude PhaseGambar 4.6. Contoh DFT real dan imaginer
Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah:
k F(k) K F(k)0 12 8 121 0 9 02 -2 – 2j 10 -2 – 2j3 0 11 04 0 12 05 0 13 06 -2 + 2j 14 -2 + 2j7 0 15 0
Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan terjadinya periodik. Ini sebagai akibat dari adanya unsur radial 2 dalam bentuk transformasi fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform).
2. Transformasi Fourier Diskrit 2D
Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2 Dimensi adalah tranformasi fourier diskrit yang dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai berikut :
F (k1 , k2 )=∑n1=0
N1
∑n2=0
N 2
f (n1 , n2 ).e− j 2 πT (k1n1 /N1+k2n2 /N2)
DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan sebagai fungsi 2D.
Contoh 4 :Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut :
0 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1 0
Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :
Gambar 4.7. Contoh citra dalam f(x,y)
DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :
F (k1 , k2 )=∑n1=0
4
∑n2=0
6
f (n1 , n2).e− j 2 πT (k1n1 /4+k2 n2 /6)
Hasil dari DFT adalah sebagai berikut :16 0 -2 - 3.46i 0 -2 +
3.46i0
0 -1.27 - 4.73i
0 0 0 4.73 - 1.27i
0 0 0 0 0 00 -4.73+
1.27i0 0 0 1.27 +
4.73iSecara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :
Bagian Real Bagian ImaginerGambar 4.8. Contoh hasil DFT 2D
Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut :Magnitude = 16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0 0 4.8990 0 0 0 4.8990 0 0 0 0 0 0 0 4.8990 0 0 0 4.8990Phase = 0 0 -2.0944 0 2.0944 0 0 -1.8326 0 0 0 -2.8798 0 0 0 0 0 0 0 2.8798 0 0 0 1.8326
Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :
Magnitude Phase
Gambar 4.9. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase
BAB IIIPENUTUP
A. Kesimpulan
Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.
B. SaranSaran yang dapat penulis sampaikan pelajarilah lebih dalam tentang Transformasi fourir
karena dengan mempelajari lebih dalam lagi maka kita akan mudah memahami tentang Transformasi fourir
DAFTAR PUSTAKA
Douglas F. Elliott, 1987, “Handbook of Digital Signal Processing, Engineering Applications“, Academic Press Inc.
Munir, Rinaldi. Diktat Kuliah IF2091 Struktur Diskrit. Edisi keempat. Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi
Bandung
Richards G. Lyons, 2004, “Understanding Digital Signal Processing“, Prentice-Hall.
http://www.cambridge.org/resources/0521854555/4421_Chapter% 2012%20-%20Discrete%20Fourier%20transform.pdf Waktu akses : 15 Desember
2010 pukul 10.00 WIB