(4) invers matriks - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · invers matriks agustina...

INVERS MATRIKS

Agustina Pradjaningsih, M.Si.

Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

agustina.fmipa@unej.ac.id

Jika A matriks bujursangkar, dan jika dapat

dicari matriks B sehingga

AB = BA = I,

Maka A dikatakan invertible dan B

dinamakan invers (inverse) dari A. [B=A-1]

IAAAA 11

Definisi : INVERS

Jika B & C adalah invers matriks A,

maka B=C.

Bukti

Karena B dan C invers matriks A sehingga

AB = BA = I dan AC = CA = I

Ambil (BA)C maka (BA)C = IC = C……(1)

Tetapi (BA)C = B(AC) = BI = B………...(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh B = C ■

Ketunggalan Invers

D

E

F

I

N

I

S

I

Jika A, B matriks-matriks invertible

dan berordo sama, maka

1. AB invertible

2. (AB)-1 = B-1A-1

3. A-1 invertible dan (A-1)-1 = A

4. An invertible & (An)-1=(A-1)n, n= 0,1,2,..

111 A)A( kk

5. Setiap skalar k0, maka kA invertible &

Matriks Invertible

S

I

F

A

T

Bukti 1

Karena A & B matriks invertible, berlaku

AB=BA=I → B=A-1 dan BA=AB =I → A=B-1

AB = B-1 A-1 = BA = A-1 B-1 = I

(AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB)

= B-1(A-1A)B = B-1IB = I

Dari (AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I

Maka AB invertible ■

Bukti 2

Karena AB invertible maka

(AB)(B-1A-1) = (B-1A-1)(AB) = I

Jadi (AB)-1 = B-1A-1 ■

Bukti 3

Karena A invertible, berlaku A A-1 = A-1 A=I

Jadi A-1 invertible & A invers A-1 → (A-1)-1 =A ■

n11n

nnn1n1n

1111

11111

faktorn

111

faktorn

n1n

)(A)(A sehingga

invertible AIA)(A)(AA

IAIAA(I)AA)(AIAA

AA(I)AAAA)(AAAA

)AAA)(AAA()(AA

4 Bukti

111

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11

)A(A Jadi

I)A)(A()A)(A( Dari

II1)AA(

A)A(A)A()A)(A(

II1)AA(

A)A(A)A()A)(A(

5 Bukti

k

kk

k

kkk

k

kkk

k

kk

k

kkk

k

kkk

Sebuah matriks bujursangkar A

invertible det(A)≠0

Bukti )

A invertible maka

AA-1=I

det(A)det(A-1)=det(I)=1.

Jadi det(A)0■

T

E

O

R

E

M

A

) Bukti

det(A)0. Ditunjukkan AI

(A matriks elementer → A invertible)

Misal R matriks eselon baris ter-

reduksi dari A, maka dapat dicari

matriks-matriks elementer E1,…,Ek

sehingga

Ek…E1A = R

A = E1-1 … Ek

-1R

det(A)=det(E1-1)…det(Ek

1)det(R)

Karena det(A)0det(R)0,

jadi R tidak mempunyai

barisan bilangan nol, dan

matriks tersebut dapat

direduksi menjadi matriks

identitas shg R=I. Jadi A

invertible■

Suatu matriks invertible

dapat diuraikan atas

matriks-matriks

elementer [dapat

dinyatakan sebagai hasil

ganda matriks-matriks

elementer]

S

I

F

A

T

Bukti :

Misalkan matriks A invertible maka

dengan menggunakan sejumlah

transformasi pada baris dan

kolomnya, matriks A dapat dijadikan

matriks identitas. Hasil dari

transformasi-transformasi itu dapat

dicapai dengan menggandakan A dari

kiri [R] dan menggandakan A dari

kanan [K]

1-

1

1-

2

1

t

1-

s

1-

2

1-

1

1-

1

1-

2

1

tt2112s

1-

s

1-

2

1-

1

1

t21

1

12s

1

t21t2112s

1

12s

t2112s

KKKIRRRKKKKKKARRRRRR

)KK(KI)RR(R)KK(KKKKARRR)RR(R

IKKKARRR

1-

1

1-

2

1

t

1-

1

1-

2

1

t

1-

1

1-

2

1

t

1-

1

1-

2

1

t

1-

1

1-

2

1

t

1-

1

1-

2

1

t

-1

1

-1

2

1

t

1

s

1-

2

1-

1

1

s

1-

2

1-

1

1

s

1-

2

1-

1

1-

111

1-

1

1

s

1-

2

1-

1

1-

111

1-

1

1

s

1-

2

1-

1

1-

1

1-

22112

1-

2

1-

1

1

s

1-

2

1-

1

1-

1

1-

22112

1-

2

1-

1

1

s

-1

2

-1

1

-1

1

-1

2

1

tt2112s

-1

s

-1

2

-1

1

KKK

KKK

KKK

KKK

KKK

KKK

KKK

IRRRA

IRRRIAI

IRRRKKARR

IRRRKIKARIR

IRRRKKKKARRRR

IRRRKKIKKARRIRR

IRRRKKKKKKARRRRRR

terbukti■

Jadi (1) matriks invertible [A invertible →

AA-1 = A-1A = I → A-1 invertible] dpt

diuraikan atas matriks-matriks elementer &

(2) matriks elementer diperoleh dr operasi

baris elementer tunggal pd I. [definisi]

berakibat (3) matriks invertible dpt direduksi

menjadi matriks identitas I dgn melakukan

operasi elementer pada baris-barisnya.

Untuk mereduksi A menjadi I dan

mendapatkan A-1 dapat dikerjakan

bersama. Sebab R1I adalah hasil jika

operasi ke-1 dikerjakan pada baris-baris I.

Kemudian R2(R1I) adalah hasil jika

operasi ke-2 dikerjakan pada R1I.

Demikian seterusnya.

kk

k

ijij

kii

jiijij

I)(I 3.

I)(I 2.

III 1.

1

11

1

SIFAT Matriks Elementer

Setiap matriks elementer adalah invertible

dan inversnya merupakan matriks

elementer.

3 jenis )(I)(I I)(I)(I

2 jenis )(I)(I I)(I)(I

1 jenis I)I( I)I(I

11

111

11

kkkk

kkk

ijijijij

kiiii

ijijijij

Bukti :

T E O R E M A

CONTOH – 1

Uraikan matriks berikut atas matriks-

matriks elementer

24

13A

Dengan memakai

a. Operasi baris

b. Operasi baris dan satu kolom

c. Operasi baris dan dua kolom

d. Operasi baris dan tiga kolom

e. Operasi kolom

a. Operasi baris

231

12

31

23

2

32

31

21

31

31

1

10

01)(

10

1)(

0

1)4(

24

1)(

24

13

III

II

)()()4()3(24

13

)()()4()(24

13

10

01)( )4( )()(

24

13

24

13 )( )4( )()(

10

01

31

1232

2211

1

31

12

1

23

2

1

21

1

31

1

1

31

12123

231

12

kiri dari

31

12123

231

12

IIII

IIII

IIII

IIII

10

1

0

01

14

01

10

03

24

13 31

32

b. Operasi baris dan satu kolom

231

21

31

23

2

32

31

21

31

31

1

10

01)(

10

1)(

0

1)4(

24

1)(

24

13

III

II

)()()4()3(24

13

)()()4()(24

13

)(10

01)( )4( )(

24

13

)(24

13 )( )4( )(

10

01

31

2132

2211

1

31

21

1

23

2

1

21

1

31

1

1

31

21

1

31

12123

2

kanan dari

31

21

kiri dari

31

12123

2

IIII

IIII

IIII

IIII

10

1

0

01

14

01

10

03

24

1331

32

c. Operasi baris dan dua kolom

223

2

323

121

32

31

21

31

31

1

10

01)(

0

01)(

0

1)4(

24

1)(

24

13

III

II

Uraikan matriks berikut atas matriks-

matriks elementer

24

13A

)()()4()3(24

13

)()()4()(24

13

)()(10

01)( )4(

24

13

)()(24

13 )( )4(

10

01

31

2132

2211

1

31

21

1

23

2

1

21

1

31

1

1

23

231

21

1

31

121

kanan dari

23

231

21

kiri dari

31

121

IIII

IIII

IIII

IIII

10

1

0

01

14

01

10

03

24

1331

32

d. Operasi baris dan tiga kolom

21223

2

323

121

31

31

1

10

01)4(

14

01)(

4

01)(

24

1)(

24

13

III

II

)()()4()3(24

13

)()()4()(24

13

)4()()(10

01)(

24

13

)4()()(24

13 )(

10

01

31

2132

2121

1

31

21

1

23

2

1

12

1

31

1

1

1233

231

21

1

31

1

kanan dari

1223

231

21

kiri dari

31

1

IIII

IIII

IIII

IIII

10

1

0

01

14

01

10

03

24

1331

32

e. Operasi kolom

234

12

342

32

32

3421

343

11

10

01)(

1

01)(

01)1(

2

11)(

24

13

III

II

)3()1()()(24

13

)()1()()(24

13

)()()1()(10

01

24

13

)()()1()(24

13

10

01

12132

234

12

1

31

1

1

21

1

23

2

1

34

12

1

34

1223

22131

1

kanan dari

34

1223

22131

1

IIII

IIII

IIII

IIII

10

03

10

11

0

01

1

01

24

13

32

34

Invers : TRANSFORMASI ELEMENTER

Invers matriks A [invertible], dapat

diperoleh melalui urutan transformasi

elementer yang mereduksi A menjadi

matriks identitas I dan kemudian

melakukan urutan transformasi yang

sama pada I untuk mendapatkan A-1.

1-AIdan IA

1AIbariselementer operasiIA

Cari invers dari

Dengan transformasi elementer

801

352

321

A

100

010

001

801

352

321

IA

CONTOH-2

Jawab

101-

012-

001

520

310

321

Kalikan baris ke-3 dengan-1

Tambahkan –2 kali bariske-1 pada baris ke-2 dan–1 kali baris ke-1 padabaris ke-3

125-

012-

001

100

310

321

Tambahkan 2 kali bariske-2 pada baris ke-3

1-2-5

012-

001

100

310

321

1-2-5

3-5-13

3614-

100

010

021Tambahkan 3 kali kalibaris ke-3 pada baris ke-2 dan –3 kali baris ke-3pada baris ke-1

1-2-5

3-5-13

91640-

100

010

001Tambahkan -2 kali bariske-2 pada baris ke-1

1-2-5

3-5-13

91640-

A 11AI

Jika Anxn sebarang matriks bujursangkar

dan Cij adalah kofaktor aij, maka

matriks

nnnn

n

n

CCC

CCC

CCC

21

22221

11211

dinamakan matriks kofaktor A.

Transpos matriks ini dinamakan adjoin

A dan dinyatakan dengan adj(A).

Invers : ADJOIN MATRIKS

nnnn

n

n

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

CCC

CCC

CCC

21

22221

11211

21

22212

12111

adj(A)

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

Pada ekspansi determinan yang

berhubungan dengan adjoin,

berlaku “jika unsur suatu

baris/kolom dikalikan kofaktor

unsur baris/kolom yang lain

diperoleh nilai nol, sedangkan jika

unsur suatu baris/kolom

dikalikan kofaktor unsur

baris/kolom yang sama diperoleh

nilai det(A)(│A│)

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

Aadj(A)

adj(A)A

0000

0000

0000

0000

0000

AA00

A0A0

A00A

1212111

2122121211

2222121

1212111

1221221121

2211

2222221221

1121121111

nnnnn

nn

nnnnn

nnnnn

nn

nnnnnnnn

nn

nn

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

AaAaAa

AIA

A00

0A0

00A

Aadj(A)adj(A)A

SIFAT ADJOIN 1

1n

n

1n

Aadj(A)

A

A000

00A0

000A

adj(A)A

IAadj(A)A

IAadj(A)A dari

Aadj(A)

SIFAT ADJOIN 2

Dari Sifat Adjoin 1 diperoleh

0AA

adj(A)AA

A

adj(A)I

AIAA

adj(A)AA

IA

adj(A)A

skalar AIAadj(A)A

11

111-

Untuk matriks A invertible berlaku

A

1A1AA

IAA

IAA dari

11

1-

-1

SIFAT ADJOIN 3

A

1A 1

Untuk matriks-matriks A dan B

yang invertible berlaku

SIFAT ADJOIN 4

adj(A)adj(B)adj(AB)

A)adj(B)adj(AAadj(B)adj(AB)

adj(B)AAadj(AB)I

ABBA)AA(BBadj(AB)

ABABAadj(AB)ABB

ABIAB)adj(AB)(AB)(AB)adj(AB

1

1

1111

1111

CONTOH-3

Jawab

132

310

81

315

81

322A

det(A) ekspansi kofaktor sepanjang kolom

kedua dari A.

Cari invers dari

Dengan metode adjoin

801

352

321

A

Matriks kofaktor A

139

2516

51340

125

3513

91640

adj(A)

125

3513

91640

adj(A)A

1A 1

125

3513

91640

A 1

Untuk ukuran matriks lebih besar

dari 3x3, menghitung invers dengan :

(1) Bantuan transformasi elementer

lebih baik tetapi tidak berguna

untuk menelaah sifat-sifat

inversnya.

(2) Bantuan determinan sering

digunakan untuk mendapatkan

sifat-sifat invers.

Matriks bujursangkar A non-singularjika dan hanya jika A mempunyaiinvers

SIFAT

Misal A non-singular maka ada

matriks P dan Q non-singular yang

memenuhi PAQ=I

Bukti ()

QPAQPA

IQPPAQQP11-1

-11-1-1

() Bukti

A punya invers → A-1 ada

A A-1=I mempunyai rank n.

Andaikan A singular → det(A)=0

Padahal det(I)=det(A)det(A-1)=10

Kontradiksi.

Jadi A non-singular