3 vektor posisi

11

VEKTOR POSISIVEKTOR POSISISimon Patabang

22

PERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTOR Perkalian titik (Dot Product) Hasilnya skalarHasilnya skalar

AProyeksi B pada A

AB

B

Proyeksi A pada B

ABcosBABA

ABcosABAB

ABBA

33

Perkalian Silang Hasilnya vektorHasilnya vektor

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

NAB asinBABA

A B

A

AB B

B A

ABBA

44

SISTEM KOORDINAT KARTESIANSISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik Dinyatakan

dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)

P(1, 2, 3) Q(2, -2, 1)

55

Vektor Dinyatakan dengan Dinyatakan dengan

tiga buah vektor tiga buah vektor satuan satuan ax, ay dan az

r = x + y + z r = x ax + y ay + z az

r = vektor posisi = vektor posisi dari sebuah titik dari sebuah titik dalam ruang dalam ruang

Vektor PosisiVektor Posisi

Vektor yang mengarah ke titik (x,y,z) dari titik asal disebut dengan vektor posisi:

• Besarnya

r adalah jarak dari titik asal, dan vektor satuan ř mengarah radial keluar dari permukaan bidang x,y,z

77

Contoh :rrPP = = aaxx + 2 + 2 aayy + 3 + 3 aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik P)P)rrQQ = 2 = 2 aaxx - 2 - 2 aayy + + aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik Q)Q)

88

Vektor antara 2 titikRPQPQ = = rrQQ – – rrPP = [2 - 1] = [2 - 1] aaxx + [- 2 - (2)] + [- 2 - (2)] aayy + [1 - 3] + [1 - 3] aazz = = aaxx - 4 - 4 aayy – 2 – 2 aazz

Vektor SatuanVektor SatuanVektor satuan adalah verktor posisi dibagi dengan bersarnya vektor tersebut.

Contoh : Carilah vektor satuan dari vektor posisi : 2i + 4j – 4kJawab :Besar vektor =>

Vektor satuan =>

99

2 2 2

36 62 4 4r

r

2 4 4| | 60,5 0,667 0,667

pr i j krr

r i j k

Contoh :Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). a. Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P

dan di titik Q. b. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta

besar dan arah vektor perpindahan tersebut.

Penyelesaian :Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,

8).a. Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah:

rP = 3i + 2jrQ = 11i + 8j

b. Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut

Δr  = rQ – rP 

Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j) Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)

Δr = 8i + 6j

Besar vektor perpindahan : ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j |

r = √(8² + 6²) = 10

Vektor satuan :

1212

Titik asal O(0, 0, 0) Bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang

ZOX), z = 0 (bidang XOY)ZOX), z = 0 (bidang XOY)

Bidang Vektor

1313

Elemen Luas (vektor) dy dz dy dz aaxx dx dz dx dz aayy dx dy dx dy aazz

1414

Elemen Volume (skalar) dx dy dzdx dy dz

1515

Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az

B = Bx ax + By ay + Bz azA B = Ax Bx + Ay By + Az BzA B = ABcos AB

B

A

AB

2z

2y

2x

2z

2y

2x

BBBB

AAAA

222zyx

BBBB

BBBa

Proyeksi vektor A pada vektor B

BBBAB a)aA(acosA

1616

Contoh Soal 1Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1)Tentukan :

a. RAB RAC

b. Sudut antara RAB dan RAC

c. Proyeksi vektor RAB pada RAC

Jawab :RAB = ax – 7 ay + 5 az

RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az

1717

RAB = ax – 7 ay + 5 az RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az

a). RAB RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20

899,44416660,825491 ACAB RRb).

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20RRRRcos

c).zyx

zyx

AC

ACAC a408,0a408,0a816,0

899,4a2a2a4

RRa

Proyeksi RAB pada RAC :(RAB aAC) aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC

= 4,08 (- 0,816 ax – 0,408 ay + 0,408 az) = - 3,330 ax – 1,665 ay + 1,665 az

1818

Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az

B = Bx ax + By ay + Bz az

A x B = ABsin AB aN A B

A

AB B

A B = (AyBz – AzBy ) ax + (AzBx – AxBz ) ay + (AxBy – AyBx ) az

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

1919

a. RBC RBAb. Luas segitiga ABCc. Vektor satuan yang tegak lurus pada

bidang segitiga

Contoh :

Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)Tentukan :

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

Jawab :

2020

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

zyx

z

y

x

zyx

BABC

a26a6a24a)]5)(1()7)(3[(

a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(

375313

aaa

RR

a).

2121

944,172888,35

226624

2RR

ABC

222

BABC

zyxBABC a26a6a24RR

b).

ABCLuas2)AD)(BC(

)sinBA)(BC(

sinRRRR BABCBABC

A

AB

C B

D

RBC RBA

2222

A

AB

C B

D

RBC RBA

zyx

zyx

BABC

BABCN

a725,0a167,0a669,0888,35

a16a6a24

RRRRa

c).

Soal Latihan :

Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah a.Vektor RAB dan RAC b.Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC c.Luas Segitiga tersebutd.Vektor satuan dari vektor A dan C