3 vektor posisi
TRANSCRIPT
11
VEKTOR POSISIVEKTOR POSISISimon Patabang
22
PERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTOR Perkalian titik (Dot Product) Hasilnya skalarHasilnya skalar
AProyeksi B pada A
AB
B
Proyeksi A pada B
ABcosBABA
ABcosABAB
ABBA
33
Perkalian Silang Hasilnya vektorHasilnya vektor
aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)
NAB asinBABA
A B
A
AB B
B A
ABBA
44
SISTEM KOORDINAT KARTESIANSISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik Dinyatakan
dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)
P(1, 2, 3) Q(2, -2, 1)
55
Vektor Dinyatakan dengan Dinyatakan dengan
tiga buah vektor tiga buah vektor satuan satuan ax, ay dan az
r = x + y + z r = x ax + y ay + z az
r = vektor posisi = vektor posisi dari sebuah titik dari sebuah titik dalam ruang dalam ruang
Vektor PosisiVektor Posisi
Vektor yang mengarah ke titik (x,y,z) dari titik asal disebut dengan vektor posisi:
• Besarnya
r adalah jarak dari titik asal, dan vektor satuan ř mengarah radial keluar dari permukaan bidang x,y,z
77
Contoh :rrPP = = aaxx + 2 + 2 aayy + 3 + 3 aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik P)P)rrQQ = 2 = 2 aaxx - 2 - 2 aayy + + aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik Q)Q)
88
Vektor antara 2 titikRPQPQ = = rrQQ – – rrPP = [2 - 1] = [2 - 1] aaxx + [- 2 - (2)] + [- 2 - (2)] aayy + [1 - 3] + [1 - 3] aazz = = aaxx - 4 - 4 aayy – 2 – 2 aazz
Vektor SatuanVektor SatuanVektor satuan adalah verktor posisi dibagi dengan bersarnya vektor tersebut.
Contoh : Carilah vektor satuan dari vektor posisi : 2i + 4j – 4kJawab :Besar vektor =>
Vektor satuan =>
99
2 2 2
36 62 4 4r
r
2 4 4| | 60,5 0,667 0,667
pr i j krr
r i j k
Contoh :Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). a. Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P
dan di titik Q. b. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta
besar dan arah vektor perpindahan tersebut.
Penyelesaian :Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,
8).a. Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah:
rP = 3i + 2jrQ = 11i + 8j
b. Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut
Δr = rQ – rP
Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j) Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δr = 8i + 6j
Besar vektor perpindahan : ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j |
r = √(8² + 6²) = 10
Vektor satuan :
1212
Titik asal O(0, 0, 0) Bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang
ZOX), z = 0 (bidang XOY)ZOX), z = 0 (bidang XOY)
Bidang Vektor
1313
Elemen Luas (vektor) dy dz dy dz aaxx dx dz dx dz aayy dx dy dx dy aazz
1414
Elemen Volume (skalar) dx dy dzdx dy dz
1515
Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz azA B = Ax Bx + Ay By + Az BzA B = ABcos AB
B
A
AB
2z
2y
2x
2z
2y
2x
BBBB
AAAA
222zyx
BBBB
BBBa
Proyeksi vektor A pada vektor B
BBBAB a)aA(acosA
1616
Contoh Soal 1Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1)Tentukan :
a. RAB RAC
b. Sudut antara RAB dan RAC
c. Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :RAB = ax – 7 ay + 5 az
RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az
1717
RAB = ax – 7 ay + 5 az RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az
a). RAB RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20
899,44416660,825491 ACAB RRb).
o
ACAB
ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(
20RRRRcos
c).zyx
zyx
AC
ACAC a408,0a408,0a816,0
899,4a2a2a4
RRa
Proyeksi RAB pada RAC :(RAB aAC) aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC
= 4,08 (- 0,816 ax – 0,408 ay + 0,408 az) = - 3,330 ax – 1,665 ay + 1,665 az
1818
Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A x B = ABsin AB aN A B
A
AB B
A B = (AyBz – AzBy ) ax + (AzBx – AxBz ) ay + (AxBy – AyBx ) az
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
1919
a. RBC RBAb. Luas segitiga ABCc. Vektor satuan yang tegak lurus pada
bidang segitiga
Contoh :
Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)Tentukan :
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
Jawab :
2020
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
zyx
z
y
x
zyx
BABC
a26a6a24a)]5)(1()7)(3[(
a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(
375313
aaa
RR
a).
2121
944,172888,35
226624
2RR
ABC
222
BABC
zyxBABC a26a6a24RR
b).
ABCLuas2)AD)(BC(
)sinBA)(BC(
sinRRRR BABCBABC
A
AB
C B
D
RBC RBA
2222
A
AB
C B
D
RBC RBA
zyx
zyx
BABC
BABCN
a725,0a167,0a669,0888,35
a16a6a24
RRRRa
c).
Soal Latihan :
Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah a.Vektor RAB dan RAC b.Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC c.Luas Segitiga tersebutd.Vektor satuan dari vektor A dan C