3 vektor posisi

23
1 VEKTOR POSISI VEKTOR POSISI Simon Patabang

Upload: simon-patabang

Post on 11-Apr-2017

654 views

Category:

Education


42 download

TRANSCRIPT

Page 1: 3 Vektor Posisi

11

VEKTOR POSISIVEKTOR POSISISimon Patabang

Page 2: 3 Vektor Posisi

22

PERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTOR Perkalian titik (Dot Product) Hasilnya skalarHasilnya skalar

AProyeksi B pada A

AB

B

Proyeksi A pada B

ABcosBABA

ABcosABAB

ABBA

Page 3: 3 Vektor Posisi

33

Perkalian Silang Hasilnya vektorHasilnya vektor

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

NAB asinBABA

A B

A

AB B

B A

ABBA

Page 4: 3 Vektor Posisi

44

SISTEM KOORDINAT KARTESIANSISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik Dinyatakan

dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)

P(1, 2, 3) Q(2, -2, 1)

Page 5: 3 Vektor Posisi

55

Vektor Dinyatakan dengan Dinyatakan dengan

tiga buah vektor tiga buah vektor satuan satuan ax, ay dan az

r = x + y + z r = x ax + y ay + z az

r = vektor posisi = vektor posisi dari sebuah titik dari sebuah titik dalam ruang dalam ruang

Page 6: 3 Vektor Posisi

Vektor PosisiVektor Posisi

Vektor yang mengarah ke titik (x,y,z) dari titik asal disebut dengan vektor posisi:

• Besarnya

r adalah jarak dari titik asal, dan vektor satuan ř mengarah radial keluar dari permukaan bidang x,y,z

Page 7: 3 Vektor Posisi

77

Contoh :rrPP = = aaxx + 2 + 2 aayy + 3 + 3 aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik P)P)rrQQ = 2 = 2 aaxx - 2 - 2 aayy + + aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik Q)Q)

Page 8: 3 Vektor Posisi

88

Vektor antara 2 titikRPQPQ = = rrQQ – – rrPP = [2 - 1] = [2 - 1] aaxx + [- 2 - (2)] + [- 2 - (2)] aayy + [1 - 3] + [1 - 3] aazz = = aaxx - 4 - 4 aayy – 2 – 2 aazz

Page 9: 3 Vektor Posisi

Vektor SatuanVektor SatuanVektor satuan adalah verktor posisi dibagi dengan bersarnya vektor tersebut.

Contoh : Carilah vektor satuan dari vektor posisi : 2i + 4j – 4kJawab :Besar vektor =>

Vektor satuan =>

99

2 2 2

36 62 4 4r

r

2 4 4| | 60,5 0,667 0,667

pr i j krr

r i j k

Page 10: 3 Vektor Posisi

Contoh :Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). a. Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P

dan di titik Q. b. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta

besar dan arah vektor perpindahan tersebut.

Penyelesaian :Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,

8).a. Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ) adalah:

rP = 3i + 2jrQ = 11i + 8j

Page 11: 3 Vektor Posisi

b. Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut

Δr  = rQ – rP 

Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j) Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)

Δr = 8i + 6j

Besar vektor perpindahan : ṝ = | rQ – rP | = | 8i + 6j |

r = √(8² + 6²) = 10

Vektor satuan :

Page 12: 3 Vektor Posisi

1212

Titik asal O(0, 0, 0) Bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang

ZOX), z = 0 (bidang XOY)ZOX), z = 0 (bidang XOY)

Bidang Vektor

Page 13: 3 Vektor Posisi

1313

Elemen Luas (vektor) dy dz dy dz aaxx dx dz dx dz aayy dx dy dx dy aazz

Page 14: 3 Vektor Posisi

1414

Elemen Volume (skalar) dx dy dzdx dy dz

Page 15: 3 Vektor Posisi

1515

Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az

B = Bx ax + By ay + Bz azA B = Ax Bx + Ay By + Az BzA B = ABcos AB

B

A

AB

2z

2y

2x

2z

2y

2x

BBBB

AAAA

222zyx

BBBB

BBBa

Proyeksi vektor A pada vektor B

BBBAB a)aA(acosA

Page 16: 3 Vektor Posisi

1616

Contoh Soal 1Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-2, 3, 1)Tentukan :

a. RAB RAC

b. Sudut antara RAB dan RAC

c. Proyeksi vektor RAB pada RAC

Jawab :RAB = ax – 7 ay + 5 az

RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az

Page 17: 3 Vektor Posisi

1717

RAB = ax – 7 ay + 5 az RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az

a). RAB RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20

899,44416660,825491 ACAB RRb).

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20RRRRcos

c).zyx

zyx

AC

ACAC a408,0a408,0a816,0

899,4a2a2a4

RRa

Proyeksi RAB pada RAC :(RAB aAC) aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC

= 4,08 (- 0,816 ax – 0,408 ay + 0,408 az) = - 3,330 ax – 1,665 ay + 1,665 az

Page 18: 3 Vektor Posisi

1818

Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesianA = Ax ax + Ay ay + Az az

B = Bx ax + By ay + Bz az

A x B = ABsin AB aN A B

A

AB B

A B = (AyBz – AzBy ) ax + (AzBx – AxBz ) ay + (AxBy – AyBx ) az

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

Page 19: 3 Vektor Posisi

1919

a. RBC RBAb. Luas segitiga ABCc. Vektor satuan yang tegak lurus pada

bidang segitiga

Contoh :

Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)Tentukan :

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

Jawab :

Page 20: 3 Vektor Posisi

2020

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

zyx

z

y

x

zyx

BABC

a26a6a24a)]5)(1()7)(3[(

a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(

375313

aaa

RR

a).

Page 21: 3 Vektor Posisi

2121

944,172888,35

226624

2RR

ABC

222

BABC

zyxBABC a26a6a24RR

b).

ABCLuas2)AD)(BC(

)sinBA)(BC(

sinRRRR BABCBABC

A

AB

C B

D

RBC RBA

Page 22: 3 Vektor Posisi

2222

A

AB

C B

D

RBC RBA

zyx

zyx

BABC

BABCN

a725,0a167,0a669,0888,35

a16a6a24

RRRRa

c).

Page 23: 3 Vektor Posisi

Soal Latihan :

Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2, -1, 2), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah a.Vektor RAB dan RAC b.Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC c.Luas Segitiga tersebutd.Vektor satuan dari vektor A dan C