2 sistem bilangan

BUDIONO

KALKULUSMATEMATIK ITU INDAH

TEKNIK MESIN ADALAH SENI MENNGUNAKAN MATEMATIK

1 2

3

• Sistem bilangan real• Aljabar: Nilai mutlak, bentuk akar,

persamaan, pertidaksamaan• Sistem koordinat Geometri Analitik• Fungsi: real, aljabar, trigonometri• Limit dan kontinuitas fungsi• KALKULUS DIFFERENSIAL• KALKULUS INTEGRAL

Pengantar Kalkulus

SISTEM BILANGANBilangan

Kompleks

Bilangan Imajiner Bilangan Riil

Bilangan Irrasional Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

Bilangan Pecahan

Bilangan PecahanPositif

Bilangan PecahanNegatif

Bilangan NOL

Bilangan Bulat Positif

Bilangan Bulat Negatif

DEFINISI BILANGAN

Bilangan Bulat Positif :

• Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, 5, …

• Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, 8, 10, …

• Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, 9,11, 13, …

• Bilangan Prima : 2, 3, 5, 7, 11, …

• Bilangan Kuadrat : 1, 4, 9, 16, 25, 36, …Bilangan Nol : 0• Bialngan Cacah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, …Bilangan Asli dengan Nol

Bilangan Bulat Negatif : • -1, -2,- 3, -4, -5, …

DEFINISI BILANGAN

Bilangan Pecahan (Rasional) :Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian 2 bilangan Bulat

𝒎𝒏𝒎𝒅𝒂𝒏𝒏 :𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏𝒃𝒖𝒍𝒂𝒕 ,𝒏≠𝟎

•Pecahan sejati : m < n, m > 0, n > 0 :

•Pecahan satuan : m =1, n > 0 :

•Pecahan tak sejati : m ≥ n > 0 :

•Pecahan campuran, yaitu jumlah dari bilangan bulat dan pecahan sejati :

, , ,

•Pecahan desimal, yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, …

Contoh: 0.1987, 0.00876, 21.201

Bilangan Irrasional, yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai hasi bagi dari dua

bilangan bulat.• Notasi bilangan Irrasional: IBilangan Riel, terdiri dari seluruh bilangan-bilangan rasional dan bilangan irrasional• Notasi bilangan Riel: RBilangan Kompleks

7 + 3i , 5 – 2i dimana i = a + bi , dimana a : R dan b : R

a = bagian riel, b = bagian khayal• Notasi bilangan Kompleks: C

DEFINISI BILANGAN

Operasi Hitung :

+ : penjumlahan - : penguranganx : perkalian / : pembagian

Sifat-sifat Operasi Hitung : Komutatif : x + y = y + x x y = y x Assosiatif : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z x ( y z ) = ( x y ) z Distributif : x ( y + z ) = x y + x z x +( y z ) = (x + y)(x

+ z) Identitas : x + 0 = x x . 1 = x Invers : x + ( -x ) = 0 x . (1/x ) = 1

OPERASI HITUNG

Bab

II Se

lang

dan

Per

tidak

sam

aan

KetaksamaanSimbol : < (kurang dari) dan > (lebih besar dari)

bersifat : Jika a dan b bilangan riel, maka berlaku salah satu hubungan a < b, a > b, atau a = b Jika a < b, dan b < c, maka a < c Jika a < b dan c bilangan riel, maka a+c < b+c Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc Jika a ≠ 0, maka a2 > 0 Jika a > 0 dan b > 0, maka a < b j.h.j a2 < b2

Solusi Ketaksamaan : semua himpunan bilangan riel yang membuat ketaksamaan tersebut berlaku/benar, sehingga solusinya merupakan selang bilangan.

Himpunan semua bilangan riel diantara dua bilangan riel tertentu disebut interval Interval terbuka ( ) (a, b) a b Interval tertutup di kiri terbuka di kanan [ ) [a, b) a b Interval tertutup di kanan terbuka di kiri ( ] (a, b] a b Interval tertutup [ ] [a , b ]

SELANG (INTERVAL)

Selang (Interval)

Interval tertutup [ ] [a, b]

a bInterval tak hingga [ [a, +∞) a ) (-∞, b) b• Selang (a, b) yang tidak memuat semua titik ujungnya disebut selang (interval) terbuka.• Selang [a, b] yang memuat semua titik ujungnya disebut selang (interval) tertutup.

PertidaksamaanProsedur penyelesaian pertidak samaan :a) Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas

pertidaksamaanb) Mengalikan dgn bilangan yg sama pada kedua ruas

pertidaksamaan.

Contoh :

a

b

c

Ditambah dgn 1

Dikurangi dgn x

Dikali dgn 3

Ditambah dgn x

Dikurangi dgn 3

Dibagi dgn 7

Dikali dgn (x - 1)

Ditambah dgn 5

Dibagi dgn 5

(- , 4 )

( - , )

[ , )

)

(

[

4

-

𝟏𝟏𝟓

HARGA MUTLAKHarga Mutlak didefinisikan :

√𝒂 :𝒉𝒂𝒓𝒈𝒂𝒅𝒂𝒓𝒊𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌𝒑𝒆𝒓𝒏𝒂𝒉𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒇 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒏𝒚𝒂𝒌𝒂𝒕𝒂𝒍𝒂𝒊𝒏𝒅𝒂𝒓𝒊𝒉𝒂𝒓𝒈𝒂𝒎𝒖𝒕𝒍𝒂𝒌

Aturan yang berlaku pada harga mutlak

(a) (b)

(c )

( )[ ]

[]

1 2

1 2

13

12