AKAR PERSAMAAN NON AKAR PERSAMAAN NON LINEARLINEAR

Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :

02 =++ cbxax

acbb 42 −±−Solusi :a

acbbx2

412

−±−=

Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :

03)( 23

=−= + xexf xx

Maka timbulah solusi dengan metode Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode numerik, dengan pembagian metode

b b kb b ksebagai berikut :sebagai berikut :

1. GRAFIS2. BISECTION2. BISECTION3. REGULA FALSI4 SECANT4. SECANT5. NEWTON RHAPSON6 ITERASI FIXED POINT6. ITERASI FIXED POINT

1 GRAFIS1 GRAFIS1. GRAFIS1. GRAFISMerupakan metode mencari akar Merupakan metode mencari akar

dengan cara menggambar fungsi yang bersangkutanyang bersangkutan

C t h Contoh :Y = 2x2 – 3x -2Berapa akar dari persamaan tsb ?

Jawab:Jawab:Jawab:Jawab:Dengan memasukkan harga “x” didapat nilai fungsi

f( )x f(x)

-1.40 6.12-1.20 4.48

f(x)

8.00

-1.00 3.00-0.80 1.68-0.60 0.52-0.40 -0.48 2.00

4.00

6.00

f(x)

-0.20 -1.320.00 -2.000.20 -2.520.60 -3.08 -4.00

-2.00

0.00

f

0.90 -3.081.20 -2.721.50 -2.001.80 -0.922 10 0 2

-2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

X

2.10 0.522.40 2.322.70 4.48

2 BISECTION2 BISECTION2. BISECTION2. BISECTION• Metode ini melakukan pengamatan • Metode ini melakukan pengamatan

terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x yang mempunyai perbedaan nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.

• Taksiran akar diperhalus dengan • Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebutmempunyai beda tanda tersebut.

F(x)

x

x1x4 x5

xx2x3

Algoritma :

1) Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk ) 1 2 pakar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :memastikan :

0)().( 21 <xfxf

2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :

21 xx +2

21x r =

3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda :interval mana akar berbeda :* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval

bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2* Jik f( 1) f( 2) 0 k b d d b i * Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian

interval atas , maka x1 = xr , dan kembali kelangkah 2kelangkah 2* Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr,

perhitungan dihentikan, atau bisa juga :

ε<)().( 21 xfxfDimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.

Contoh :Contoh :

Carilah akar persamaan dari :

0010033)( 23 df 001,0 ,033)( 23 ==−−+= εdenganxxxxf

Penyelesaian:

Hitung nilai )(xf

pada interval antara 2 titikuntuk x=1, 43)1(3)1()1()1( 23 −=−−+==xf

untuk x=2 33)2(3)2()2()2( 23 =−−+==xf

Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahant d d i f i t 1 d 2 ktanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akanmemotong sumbu x paling tidak satu kali. titikperpotongan antar sumbu x dan fungsip p g gmerupakan akar-akar persamaan.

hitung nilai rx , kemudian hitung fungsi )( rxf

512121 ++ xx 5,122

21 ===xr

87513)51(3)51()51()51( 23 +xf 875,13)5,1(3)5,1()5,1()5,1( −=−−+==rxfLangkah selanjutnya adalah membuat setengahinterval berikutnya untuk membuat interval yanginterval berikutnya untuk membuat interval yangsemakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasilperhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:No. x f(x)

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

1 1.5 -1.8752 1.75 0.1718753 1.625 -0.9433594 1.6875 -0.4094245 1.71875 -0.1247866 1 734375 0 022036 1.734375 0.022037 1.726563 -0.0517558 1.730469 -0.0149579 1 732422 0 0035139 1.732422 0.003513

10 1.731445 -0.00572811 1.731934 -0.00110912 1 732178 0 00120112 1.732178 0.00120113 1.732056 4.6E-05

HOME WORKHOME WORKHOME WORKHOME WORK• Y = Sin X + 3x +2• Y = Sin X + 3x +2• Y = X3 + 2x2 -x +2

3. Metode Regula Falsi 3. Metode Regula Falsi (I t l i Li i )(I t l i Li i )(Interpolasi Linier)(Interpolasi Linier)

• Kekurangan metode bisection adalah • Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1dengan x2 menjadi dua bagian yang dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan Misalnya jika f(x1) lebih diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.

y

f(x2)

x1

x2x

f(x1)

Algoritma :Algoritma :Algoritma :Algoritma :1) Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar,

sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0

2. Taksir akar xr, ditentukan oleh:

)()()(

12

1222 xfxf

xxxfxxr −−

−=

a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : b) Jika , maka akar berada pada bagian

interval bawah maka kembali ke langkah 20)().( 1 <rxfxf

interval bawah, maka , kembali ke langkah 2.c) Jika maka akar berada pada bagian

interval atas, maka , kembali ke langkah 2.

rxx =2

0)().( 1 >rxfxf

rxx =1d) Jika , akar setara xr maka hentikan

perhitungan. 0)().( 1 =rxfxf

Contoh:Contoh:Contoh:Contoh:1)( 6 −−= xxxf

dit t k 11 =x

00001.0∈= ditentukan ; 2.12 =x

subtitusikan pada persamaan ;subtitusikan pada persamaan ;

785980121)21()21( 6 =−−=f

111)1( 16 −=−−= xf

78598,012,1)2,1()2,1( =−−=f

maka nilai 11198,1))1(78598,0(

)12,1(78598,02,1 =−−

−−=rx

))(,(

22146,0111198,111198,1)1198,1( 6 −=−−=f

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

N f( )No. x f(x)1 1 -12 1 2 0 7859842 1.2 0.7859843 1.111983 -0.2214294 1.131329 -0.0346415 1.134228 -0.0050996 1.134652 -0.0007447 1 134714 0 0001087 1.134714 -0.0001088 1.134723 -1.58E-05

4 4 Metode SecantMetode Secant4. 4. Metode SecantMetode Secant• Metode ini memerlukan dua taksiran awal Metode ini memerlukan dua taksiran awal

akan tetapi karena f(x) tidak disyaratkan untuk berganti tanda diantara taksiran-taksiran, maka metode ini tidak digolongkan sebagai metode pengurung.

• Persamaan yang dipakai metode secant adalah

)()())((

1

11

−

−+ −

−−=

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

y

f(x1)

f(x2)

x1x2x

x3

Algoritma :Algoritma :• Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran (p )

akar.• Taksir akar xn+1, ditentukan oleh:

)()())((

1

11

−+ −

−−=

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan

)()( 1−nn ff

Contoh:Contoh:Contoh:Contoh:6

1111)1( 6f

01)( 6 =−−= xxxfDitentukan taksiran awalnya adalah :

X1 1 1111)1( 6 −=−−=f61122)2( 6 =−−=f

X1 = 1

X2 = 2

0161291)12(612 =−

−=x 016129,1)1(61

21 =−−

=+nx

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

N f( )

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

No. x f(x)1 1 -12 2 613 1.016129 -0.9153684 1.030675 -0.8319215 1.175689 0.4652276 1.123679 -0.1106337 1.133671 -0.0108068 1.134753 0.0002949 1.134724 -7.48E-07

5 Metode Newton Rhapson5 Metode Newton Rhapson5. Metode Newton Rhapson5. Metode Newton Rhapson• Metode ini paling banyak digunakan • Metode ini paling banyak digunakan

dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan Jika perkiraan dari akar persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi f(xi) Titik dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akardekat dari nilai akar.

y

xx1x2

Algoritma :Algoritma :Algoritma :Algoritma :• Tentukan nilai x1 sebagai terkaan • Tentukan nilai x1 sebagai terkaan

awal• Buat taksiran untuk x dengan • Buat taksiran untuk x1+n dengan

persamaan :)(xf)()(

'1n

nnn xf

xfxx −=+

• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukany g

Contoh :Contoh :Contoh :Contoh :

01)( 6 xxxf 01)( =−−= xxxf

Ditentukan taksiran awal x1 = 2

61122)2( 6 =−−=f5'

Ditentukan taksiran awal x1 2

016)( 5' =−= xxf 1911)2(6)2( 5' =−=f

680628,16122 =−=x ,1912

Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:Tabel hasil perhitungan:

No. x f(x) f'(x)1 2 61 1912 1.680628 19.85294 79.446953 1.430739 6.146795 34.971074 1.254971 1.651657 17.677545 1.161538 0.29431 11.685846 1.136353 0.016826 10.368897 1 134731 6 57E-05 10 287957 1.134731 6.57E-05 10.28795

6. 6. Metode Iterasi Fixed Metode Iterasi Fixed Poi tPoi tPointPoint

• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)

Algoritma :Algoritma :Algoritma :Algoritma :• Tentukan nilai taksiran awal x• Tentukan nilai taksiran awal xn

• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan dengan mempergunakan persamaan;

X ( )Xn+1=g(xn)• Perhitungan dihentikan jika;

ε≤−+ nn xx 1

Contoh:Contoh:Contoh:Contoh:X2 - 3x + 1 = 0 Tabel Hasil PerhitunganX 3x 1 0

3x = x2 + 1 No. Xn Іxn - x n+1І1 2 -

X = 1/3 (x2 +1)

ε = 0,001

1 2 -2 1.6667 0.33333 1.2593 0.40744 0 8619 0 3973,

Ditentukan x0 = 24 0.8619 0.39735 0.5810 0.28096 0.4458 0.13517 0 3996 0 0462X= 1/3(22+1) = 1,667

Іx1 – x0І= 1,667 – 2 = 0,333

7 0.3996 0.04628 0.3866 0.01309 0.3831 0.003410 0 3823 0 00091 0 , , 10 0.3823 0.0009