HIPERBOLATUJUAN KHUSUS :

1. Mahasiswa dapat memahami pengertian Hiperbola.

2. Mahasiswa dapat memahami asal terbentuknya Hiperbola.

3. Mahasiswa dapat membedakan persamaan Hiperbola yang berpusat di (0,0) dan

(p,q).

4. Mahasiswa dapat menentukan persamaan Hiperbola jika diketahui unsur-unsur

hiperbola.

5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan garis singgung hiperbola.

6. Mahasiswa dapat menentukan kedudukan garis terhadap hiperbola.

A. Pengertian Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik di dalam sebuah bidang yang selisih

jaraknya terhadap dua titik tertentu pada bidang itu adalah tetap.

B. Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O ( 0,0 )

Perhatikan Gambar, yakni sebuah hiperbola yang ber[usat di O (0,0).

Jika kita menentukan dua

titik tertentu, yang

dinamakan fokus, di F1 (-

c,0) dan F2 (c,0) dan jika

konstanta tersebut sama

dengan 2a, maka sebuah

titik P (x,y) terletak pada

hiperbola itu jika dan

hanya jika :

Karena c > 0, maka c2> a2, sehingga c2 – a2> 0. Misalkan kita tentukan

sehingga persamaan menjadi :

Persamaan di atas adalah persamaan hiperbola.

Sifat-sifat hiperbola :

1. Perpotongan antara sumbu koordinat dengan hiperbola disebut puncak.

Koordinat-koordinat puncak adalah (-a,0) dan (a,0).

2. Ruas garis yang menghubungkan kedu fokus di sebut sumbu mayor. Pada

gambar sumbu mayornya adalah AA’ yang panjangnya 2a.

3. Ruas garis yang melalui titik pusat hiperbola dan memotong tegak lurus

sumbu mayor di sebut sumbu minor. Pada gambar sumbu minornya adalah

BB’ yang panjangnya 2b.

4. Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y. Sumbu simetri yang melalui F1

dan F2 disebut sumbu utama atau sumbu nyata. Sedangkan sumbu simetri

yang melalui titik tengah F1 dan F2 serta tegak lurus sumbu mayor disebut

sumbu sekawan atau sumbu imajiner.

5. Persamaan hiperbola di atas mempunyai asimtot : y=b

ax dan y=−b

ax

Pada hiperbola terdapat dua buah garis yang membatasi kurva

sedemikian sehinggakurva tidak memotong garis tersebut. Persamaan garis

tersebut dinamakan persamaan asimtot dan dapat diperoleh dari proses

berikut ini.

b2x2 – a2y2 = a2b2

b2x2 – a2b2 = a2y2

b2 (x2−a2)a2 = y2

b2 a2

a2 (1−a2

x2 )= y2

y2

x2 =b2

a2 (1− a2

x2 )yx=± b

a √(1−a2

x2 )untuk

x→∞ , maka a2

b2mendekati 0 sehingga

yx=±b

a⇔ y=±b

ax

Perhatikan gambar :

Terlihat bahwa garis tersebut membatasi

daerah grafik darimasing-masing cabang

hiperbola.

6. Panjang latus rectum hiperbola adalah :

L = 2b2

a

Besarnya Eksentrisitashiperbola adalah :

e= ca=√a2+b2

a, e>1

Persamaan garis direktriks hiperbola adalah :

g’ : x= a

e atau g’ : x=a2

c

g’’ :

x=−ae atau g’’ :

x=− a2

c

Contoh soal :

Diketahui persamaan hiperbola 4x2 – 9y2 = 36. Tentukanlah :

a. Koordinat pusat e. Persamaan garis asimtot

b. Koordinat titik puncak f. Panjang latus rectum

c. Koordinat titik focus g. eksentrisitas

d. Persamaan garis direktriks h. sketsa grafiknya

Penyelesaian:

4x2 – 9y2 = 36 ⇔ x2

9− y2

4=1

a2 = 9 3 a

b2 = 4 ⇔b=2

a. koordinat titik pusatnya adalah ( 0,0 )

b. koordinat titik puncaknya (a,0) dan (-a,0) adalah (3,0) dan (-3,0)

c. c=√a2+b2=√9+4=√13

koordinat titik fokusnya F1 ( -c,0) dan F2 (c,0) adalah F1 (-√13 ,0) dan F2 (

√13 ,0)

d. Persamaan garis direktriksnya adalah

x=a2

c =

9√13 =

913 √13

dan x=− a2

c = -

913 √13

e. persamaan garis asimtotnya adalah

y=ba

x =23

x dan y=− ba

x=− 23

x

f. panjang latus rectum :

L = 2b2

a =

2. 43

=83

g. nilai eksentrisitas : e= c

a=√13

3

h. sketsa grafiknya adalah :

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

Hiperbola dengan pusat di O (0,0) yang lain diperlihatkan di dalam gambar

berikut: y = - (a/b)x y y = (a/b)x

F2 (0,c)

A(0,a) g1

0 x

A’ (0,a) g2

F1(0.-c)

Koordinat titik fokusnya F1 (0,-c) dan F2 (0,c).

Koordinat titik puncaknya A (0,a) dan A’ (0,-a)

Hiperbola ini mempunyai persamaan :

y2

a2 − x2

b2 =1

Sifat-sifat hiperbola ini adalah :

1. Sumbu nyatanya adalah sumbu Y, sedangkan sumbu kawannya adalah sumbu

X.

2. Persamaan garis asimtotnya y=a

bx dan y=−a

bx

3. Persamaan garis direktriksnya adalah

x=a2

c dan x=−a2

c

Contoh soal :

Diketahui hiperbola dengan persamaan

Tentukan:

Koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor, dan koordinat fokus.

Nilai eksentrisitas,persamaan direktris,persamaan asimtot.

Panjang latus rectum dan grafiknya.

Penyelesaian :

Koordinat titik puncak

Koordinat titik ujung sumbu minor

Koordinat fokus

Nilai eksentrisitas

Persamaan direktris

Persamaan asimtot

Panjang latus rectum

C. Persamaan Hiperbola yang Berpusat di M ( p,q )Perhatikan gambar berikut yaitu sebuah hiperbola dengan pusat (p,q).

y sumbu sekawan

g h

F2 A’ (p,q) A F1 sumbu utama

0 e

Pada Gambar diperlihatkan hiperbola yang berpusat di M (p,q), sumbu

utama sejajar dengan sumbu X,panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu

minor 2b.Dengan menggunakan devinisi hiperbola,dapat ditunjukkan bahwa

persamaan hiperbola itu adalah:

( x−p )2

a2 −( y−q )2

b2 =1

Hiperbola ini mempunyai sifat :

a. Koordinat titik puncaknya adalah A(p+a, q) dan A’ (p-a, q),koordinat titik

ujung sumbu minor adalah B (p, q-b) dan B’ (p, q+b).

c. Koordinat titik fokus di F1 (p-c, q) dan F2 (p+c, q).

d. Nilai eksentrisistas e= c

a

e. Persamaan direktriks adalah x=p+ a

e dan x= p−a

e

f. Persamaan asimtot adalah y=b

a( x−p )+q

dan y=−b

a( x−p )+q

g. Panjang latus rectum : L =2 b2

a

Hiperbola dengan pusat di (p,q) yang lain diperlihatkan dalam gambar berikut :

y

F2

A

A’

F1

0 g x

Hiperbola ini berpusat di M (p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu Y,

panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan

definisi hiperbola, dapat ditunjukkan bahwa persamaan hiperbola itu adalah :

( y−q)2

a2 −( x−p)2

b2 =1

Hiperbola ini mempunyai sifat :

a.Persamaan sumbu utama dan sumbu nyata adalah x= p sedangkan persamaan

sumbu sekawan atau sumbu imajiner adalah y= q.

b. Koordinat titik puncak adalah A(p, q+a) dan A’ (p, q-a),koordinat titik ujung

sumbu minor adalah B1(p-b, q) dan B’ (p, q+c).

c. Koordinat titik fokus di F1 (p, q-c) dan F2 (p, q+c).

d. Nilai eksentrisistas e= c

a

e.Persamaan direktris adalah y=q−a

e dan y=q+ a

e

f. Persamaan asimtot adalah y=a

b( x− p )+q

dan y=−a

b( x−p )+q

g. Panjang latus rectum

D. Bentuk Umum Persamaan Hiperbola

Jika bentuk baku dari suatu persamaan hiperbola dijabarkan ,maka kita akan

memperoleh bentuk umum persamaan hiperbola.

Sebagai contoh:

( x−p )2

a2 −( y−q )2

b2 =1

⇔b2( x-p )2 – a2 ( y-q )2 = a2b2

⇔b2( x2 - 2px + p2 ) - a2 (y2 – 2qy + k2 ) = a2b2

⇔b2x2 - 2b2px + b2p2 - a2y2 + 2a2qy - a2q2 - a2q2 - a2b2 = 0⇔b2x2 - a2y2 - 2b2px + 2a2qy + (b2p2 - a2q2 - a2b2 ) = 0

Dengan menetapkan b2 = A, a2 = B, -2b2p = C, 2a2q = D, dan ( b2p2 – a2q2 - a2b2) =

E, maka bentuk persamaan yang terakhir itu dapat dituliskan menjadi :

Ax2- By2 + Cx + Dy + E = 0

Dengan A, B, C, D dan E merupakan bilangan-bilangan real (A¿ 0, B¿ 0, A¿

B). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan hiperbola.

Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan

( x−2 )2

16−

( y+1)2

9=1

Tentukanlah :

a. Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu

minor, dan koordinat focus.

b. Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor,

dan panjang sumbu minor.

c. Persamaan garis asimtot, nilai eksentrisitas, dan persamaan garis direktris.

d. Panjang latus rectum.

e. Gambarkansketsa hiperbola tersebut.

Penyelesaian :

( x−2 )2

16−

( y+1)2

9=1

merupakan hiperbola horizontal

p = 2, q = -1, a2 = 16 ⇒ a = 4 dan b2 = 9⇒ b=3.

c2=a2+b2,didapat:

c2=16+9=25⇒ c=5

a. Koordinat titik pusatnya di M( 2, -1 )

Koordinat titik puncak di ( 2± 4, -1 ) ⇒ A (6, -1 ) dan A’ ( -2, -1 ).

Koordinat titik ujung sumbu minor ( 2, -1 ± 3 ) ⇒ B(2, -4 ) dan B’ ( 2, 2 ).

Koordinat fokus ( 2 ± 5, -1 ) ⇒ F1 ( -3, -1 ) dan F2( 7, -1 )

b. Persamaan sumbu utama atau sumbu nyata adalah y = -1 dan persamaan

sumbu sekawan atau sumbu imajiner adalah x = 2. Panjang sumbu mayor =

2a = 2 (4) = 8 dan panjang sumbu minor = 2b = 2(3) = 6.

c. persamaan asimtotnya : y - q = ±ba ( x – h ) ⇒ ( y + 1 ) = ±

34( x−2 )

l1¿ y+1=− 34( x−2

) dan l2¿ y+1=34( x−2 )

⇒ l1 ¿4 y+4=−3 x+6dan l2¿4 y+4=3 x−6

⇒ l1¿3 x+4 y−2=0 dan l2¿3 x−4 y−10=0

Nilai eksentrisitas e= c

a= 5

4=1 1

4

Persamaan direktriksnya : x = p ±ae

x=2+ 454

=2+165

=465

dan x=2−16

5=−6

5

d. Panjang latus rectum =2 b2

a=

2(9 )4

= 92

Dengan menggunakan hasil-hasil di atas, sketsa hiperbola

( x−2 )2

16−

( y+1)2

9=1

Diperlihatkan pada gambar berikut :

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

F1 A’ -1 P A F2

E. Perpotongan Antara Garis dengan Hiperbola

Pandang hiperbola dengan persamaan :

x2

a2 − y2

b2 =1

dan garis h dengan persamaan y = mx + n

Bila persamaan hiperbola tersebut di substitusikan ke dalam persamaan garis,

diperoleh :

x2

a2 −(mx+n )2

b2 =1

x2

a2 −(mx+n )2

b2 =1

b2x2 - a2 ( mx + n )2 = a2b2

b2x2 - a2 ( m2x2 + 2mnx + n2 ) - a2b2 = 0

( b2- a2m ) x2 - 2a2mnx - a2 ( n2 + b2 ) = 0

Persamaan yang terakhir merupakan persamaan kuadrat dalam x. Diskriminan

dari persamaan ini adalah :

D = (-2a2 mn)2 - 4( b2 - a2m2 ) – (-a2(n2+b2))

D = 4a4m2n2 + 4a2 ( b2n2+ b4- a2m2n2 - a2b2m2 )

D = 4a2b2 ( n2 + b2 - a2m2 )

Kedudukan garis h terhadap hiperbol ditentukan oleh nilai D di atas, sehingga

ada tiga kemungkinan hubungan antara garis h dengan hiperbol, seperti

diperlihatkan dalam gambar :

Y y y

H h h

0 x 0 x 0

x

Gambar (a) menunjukkan bahwa garis h tidak memotong maupun menyinggung

hiperbol. Hal ini terjadi bila D < 0.

Gambar (b) menunjukkan bahwa garis h menyinggung hiperbol. Hal ini terjadi

bila D = 0.

Gambar (c) menunjukkan bahwa garis h memotong hiperbol di dua titik yang

berbeda. Hal ini terjadi bila D > 0.

Contoh:

a). Tentukan nilai a, supaya garis 4x + y + a = 0 menyinggung hiperbola

x2

12− y2

48=1

!

b). Tentukan pula koordinat titik singgungnya !

Penyelesaian :

a) 4x + y + a = 0→ y = -4x - a,Subtitusikan y = -4x - a ke persamaan

hiperbola,didapat:

x2

12−

(−4 x−a )2

48=1

⇔4x2 - (16x2 + 8ax + a2 ) = 48⇔12x2 + 8ax + ( a2 + 48 ) = 0

Nilai diskriminan :

D = (8a)2 – 4(12) (a2 + 48 )⇔ D = 64a2 – 48a2 - 2304⇔ D = 16a2 –2304

Supaya garis menyinggung hiperbola, maka nilai diskriminan D = 0

16a2 - 2304 = 0⇔ a2 -144 = 0⇔ (a + 12 ) ( a – 12 ) = 0⇔ a = -12 atau a = 12

Jadi,supaya garis 4x + y +a = 0 menyinggung hiperbola x2

12− y2

48=1

untuk

nilai a = -12 atau a = 12.

b) Untuk a = -12, substitusi ke 12x2 + 8ax +(a2+48)=0, didapat

12x2 - 96x + (144 + 48) =0⇔x2 – 8x + 16 = 0⇔ (x-4)2 = 0⇔x = 4

Subtitusi a = -12 dan x = 4 ke garis y = -4x – a, didapat y = -4 (4) – ( -12) = -

4 ⇒ titik singgung (4,-4)

Untuk a = 12, subtitusi ke 12x2 + 8ax + (a2 + 48 ) = 0, di dapat

12x2 +96x +(144 + 48 ) = 0⇔ x2 + 8x + 16 = 0⇔ ( x + 4 )2 = 0⇔x = -4

Subtitusi a = 12 dan x = -4 ke garis y = -4x-4, di dapat

y = -4(-4) – 12 = 4 ⇒ titik singgung (-4, 4 )

Jadi, koordinat titik-titik singgungnya adalah ( 4,-4 ) dan (-4, 4 )

F. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Hiperbola

Jika garis h menyinggung hiperbola, maka diskriminan D = 0, sehingga :

4a2b2 ( n2 + b2 – a2m2 ) = 0

n2 + b2 – a2m2 = 0

n2 = a2m2 – b2

n = ±√a2 m2−b2

Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola

x2

a2 − y2

b2 =1

didefinisikan dengan persamaan y=mx±√a2 m2−b2.

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbol

x2

100− y2

64=1

?

Penyelesaian :

x2

100− y2

64=1

, maka a2 = 100, b2 = 64

Gradien m = 1

Persamaan garis singgungnya adalah :

y=mx±√a2m2−b2

y=x±√100 .1−64

y=x±√36y=x±6

G. Persamaan Garis Singgung Melalui Sebuah Titik pada

Hiperbola

Gambar di bawah adalah sebuah garis h yang menyinggung hiperbola

x2

a2 − y2

b2 =1di titik P (x1, y1 ).

y

h

0 P(x1,y1) x

Garis h melalui titik (x1, y1 ) sehingga persamaan garis h adalah ;

y – y1 = m ( x – x1 )

Kita mengetahui bahwa m=dy

dx]( x1 , y1)

Diferensialkan persamaan hiperbola sebagai berikut :

d ( x2

a2−y2

b2 )=d (1)

d ( x2

a2 )−d ( y2

b2 )=0

2 xa2

dx−2 yb2

dy=0

2 yb2

dy=2xa2

dx

dydx

=2 xa2

b2

2 y

dydx

=b2

a2xy

Sehingga gradien garis singgung pada hiperbol

x2

a2 − y2

b2 =1di titik (x1, y1 )

adalah : m=b2

a2

x1

y1

H. Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Hiperbola

Persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik P(x1 , y1) di luar

hiperbola, dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama

seperti persamaan garis singgung yang ditarik di titik P(x1, y1) di luar lingkaran,

di luar elips. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Contoh:

Titik P(1,4) terletak di luar hiperbola x2

12− y2

3=1

. Tentukan persamaan-

persamaan garis singgung yang dapat ditarik melalui titik P(1,4) ke hiperbola

x2

12− y2

3=1

!

Sebutlah titik-titik singgungnya itu adalah A dan B. tentukanlah koordinat titik

A dan B !

Tentukan persamaan garis AB!

Jawab:

Misalkan garis yang melalui titik P(1,4) mempunyai gradien m, persamaannya

adalah

y - 4 = m (x – 1) y = mx – m + 4

Subtitusi y = mx – m + 4 ke persamaan hiperbola x2

12− y2

3=1

, didapat

x2

12−

(mx−m+4 )2

3=1

⇔ x2−4 (m2 x2+m2+16−2m2 x+8mx−8m )−12=0⇔ (1−4 m2 ) x2−4 (−2m2+8 m ) x−4 ( m2−8m+19 )=0

Nilai diskriminan :

D=(−4 (−2 m2+8 m ) x−4 ( m2−8m )+19)⇔D=−176m2−128 m+304

Karena garis menyinggung hiperbola haruslah D = 0, didapat:

−176m2−128m+304=0

⇔ (11m+19 ) (m−1 )=0

⇔m=−1911

atau m=1

Subtitusi nilai-nilai m ke persamaan y = mx – m + 4

Untuk m = −19

11 , didapat untuk m = 1 , didapat

y=−1911

x+1911

+4

⇔11 y=−19 x+6319 x+11 y−63=0

Jadi, persamaan-persamaan garis singgung yang ditarik melalui titik P(1,4) ke

hiperbola x2

12− y2

3=1

adalah 19x + 11y – 63 = 0 dan x – y + 3 = 0. Kedua garis

singgung tersebut diperlihatkan pada gambar berikut:

Subtitusi m = −19

11 ke persamaan

y=x−1+4⇔ y=x+3⇔ x− y+3=0

(1−4 m2 ) x2−4 (−2 m2+8m ) x−4 ( m2−8 m+19 )=0 , didapat:

{1−4(−1911 )

2}−4 {−2(−1911 )

2+8(−19

11 )}x−4 {(−1911 )−8(−19

11 )+19}=0

⇔(1−144421 )x2−4 (−732

121−152

121 ) x+4 (361121

+15211

+19)=0

⇔1323 x2+9576121

x−17328121

=0 , kedua ruas dikalikan dengan −121

⇔441 x2−3192 x+5776=0 , kedua garis dibagi dengan 3⇔ (21 x−76 )2=0

⇔ x=7621

Untuk x =

7621 didapat;

y= 111 {−19 (76

21 )+63}= 111 (−1444

21+3323

21 )= 111 (−121

21 )=−1121

Koordinat titik A(76

21,−11

21 )Suibtitusi m = 1 ke persamaan

(1−4 m2 ) x2−4 (−2m2+8m ) x−4 ( m2−8 m+19 )=0 maka akan didapat:

(1−4 (1 )2 ) x2−4 (−2 (1 )2+8 (1 ) ) x−4 ( (1 )2−8 (1 )+19 )=0

⇔−3 x2−24 x−48=0⇔ x2+8 x+16=0⇔ ( x+4 )2=0⇔ x=−4Untuk x = -4, didapat :

y = x + 3 = (-4) + 4 = -1

koordinat titik B(-4,-1).

Jadi koordinat titik-titik singgungnya adalah A(76

21,−11

21 ) dan B(-4,-1)

Dengan menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik A(76

21,−11

21 ) dan

B(-4,-1) , persamaan garis AB adalah:

y+1

−1+1121

=x+4

−4−7621

⇔ y+1

−1021

=x+416

⇔16 y+16=x+4⇔ x−16 y−12=0Jadi, persamaan garis AB adalah x – 16y – 12 = 0

Soal-soal Hiperbola1. Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) dan (0,-3) serta

fokusnya (0,5) dan (0,-5) ?

2. Perhatikan hiperbola dengan persamaan 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0.

Tentukan koordinat titik pusat, puncak, fokus, panjang sumbu mayor dan

minor, persamaan asimtot?

3. Tentukan persamaan garis singgung hiperbolax2

3− y2

2=1

melalui titik (3√3,4)?

4. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x2

9− y2

4=1

yang bergradien –

4 ?

5. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola x2 – 4y2 = 12 melalui titik

(1,4) ?

6. Tunjukkan bahwa titik P (2√6 ,2 ) terletak pada hiperbola x2

16− y2

8=1

.

Kemudian tentukan persamaan garis singgung hiperbola itu yang

melalui titik P?

7. Tunjukkan bahwa titik P (0,0) terletak di luar hiperbola x2

9− y2

4=1

.

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola tersebut yang melalui titik

P ?