92009-13-321563308459(2)

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

1/11

MODUL PERKULIAHAN PROGRAM STUDI S1 SISTEM INFORMASI

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

Mata Kuliah : MATE MATIKA DASAR

Dosen Pena!"u : Mu#iono Sa$i%in ST&' MT&' (ISA

Q

)III& A"li%asi Inte*al +olu!e ,en$a Puta* -an $i.atasi /unsi

1. Metoda Cincin

Jika daerah yang dibatasi kurvay =f(x), sumbuX, garis-garisx = a danx = b diputar

mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi

dapat dicari sebagai berikut.

Dibuat partisiP = x!, x", x#, $,xn% pada &a,b'. ntuk setiap i = ", #, $, n dipilih

satu titik wi &xi-", xi', selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan

lebar xi =xixi-". Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbuX, maka diperoleh

silinder hampiran dengan volume

*kibatnya diperoleh jumlahan +iemann

Matematika DasarMujiono Sadikin ST., MT., CISA Pusat Pengembangan Bahan Ajar

Universitas Mercu Buana

121

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

2/11





Q

*pabila P ! maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu

Jadi

elanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurvay= f (x) dany

= g(x) serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di baah ini diputar

mengelilingi sumbuX sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah



122

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

3/11





Q

Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurvax = (y), sumbu Y, garis-garisy =

c dany = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda

putar yang terjadi adalah.

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurvax = (y) danx = (y)

serta garis-garisy = c dany = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar,

maka volume benda yang terjadi adalah

Contoh 1

/entukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh

kurvay = , sumbuX dan garisx = 0 diputar mengelilingi sumbuX.

Penyelesaian1



123

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

4/11





Q

Contoh 2

/entukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh

kurva y = 23, sumbu Y dan garisx = 3 diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian1

Contoh 3

/entukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh dua

kurva y=2#dan y#=42 diputar mengelilingi sumbuX.

Penyelesaian1

Dapat dicari baha perpotongan kedua kurva adalah di (!, !) dan (#, 0). Jika y=2 #dan y#=42

maka y = . 5erhatikan gambar berikut.



124

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

5/11





Q

2. Metoda Kulit Tabung

5erhatikan gambar di atas , 6olume benda pejal (ruang tabung besar dan kecil) adalah



125

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

6/11





Q

+umusan ini dapat ditulis sebagai

Dengan

7isalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurvay =f(x), sumbuX serta garis-garisx = a

dan x = b. *pabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu

putarnya, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

Dibuat partisiP = x!, x", x#, $,xn% pada &a,b'. ntuk setiap i = ", #, $, n dipilih

satu titik , selanjutnya dibuat persegi panjang dengan

panjang f(wi) dan dan lebar xi = xi xi-". Jika persegi panjang ini diputar terhadap

sumbu Y, maka diperoleh tabung hampiran dengan volume

*kibatnya diperoleh jumlahan +iemann

*pabila P ! maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu



126

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

7/11





Q

Jadi

elanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurvay =f (x) dany

= g (x) serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di baah ini diputar

mengeliling sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva x = 8(x), sumbu

Y serta garis-garis y = c dan y = d. *pabila daerah tersebut diputar mengelilingi

sumbuX sebaga benda putar yang terjadi adalah



127

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

8/11





Q

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurvax =(y) danx =(y)

serta garis-garis y = c dany = d seperti gambar di baah ini diputar mengelilingi

sumbuX sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah



128

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

9/11





Q

Contoh 4

/entukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

y= , sumbu X, dan garis 2 = # diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian1

Contoh 5

Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis, sumbuX, dan garisx = t.

Dalam hal ini r> !, dan t > ! . Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X,

tentukan volume benda yang terjadi dengan dua cara.

/entukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

y= , sumbu X, dan garis 2 = # diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian1

Cara Metode Cincin



129

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

10/11





Q

Cara Metode Kulit Tabung

+e9erensi

1. /ony :artono ;agyo,Modul Kalkulus Dasar, niversitas

7/21/2019 92009-13-321563308459(2)

11/11





Q



1211

92009-13-321563308459(2)

Documents