7730_bab_6

7/28/2019 7730_Bab_6

1/11

Mata kuliah KOMPUTASI ELEKTRO

BAB 6

INTERPOLASI

Pada analisis regresi, kurve atau fungsi yang dibuat digunakan untuk mempresentasikan

suatu rangkaian titik data dalam koordinatx-y. Kurve atau garis lurus yang terbentuk tidak

melalui semua titik data akan tetapi hanya kecenderungan (trend) saja dari sebaran data,

sedang pada interpolasi dicari suatu nilai yang berada diantara beberapa titik data yang

telah diketahui nilainya. Untuk dapat memperkirakan nilai tersebut, pertama kali dibuat

suatu fungsi atau persamaan yang melalui titik-titik data, setelah persamaan garis atau

kurve terbentuk, kemudian dihitung nilai fungsi yang berada di antara titik-titik data.

Pada Gambar 6.1, menunjukkan sket kurve yang dibuat dari data yang sama dengan cara

regresi (Gambar 6.1a) dan interpolasi (Gambar 6.1b dan Gambar 6.1c). Kurve pada

Gambar 6.1a, tidak melalui semua titik pengukuran, tetapi hanya mengikuti trenddari data

menurut garis lurus. Gambar 6.1b, menggunakan segmen garis lurus atau interpolasi linier

untuk menghubungkan titik-titik data, sedang Gambar 6.1c, menggunakan kurve untuk

menghubungkan titik-titik data.

Gambar 6.1. Perbedaan antara regresi (a) dan interpolasi (b, c)

Metode interpolasi yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial. Persamaan

polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabel x

berpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum persamaan polinomial ordern adalah:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anx

n (6.1)

dengan a0,a1, a2, , an adalah parameter yang akan dicari berdasarkan titik data, n adalah

derajat (order) dari persamaan polinomial, danx adalah variabel bebas.

Untuk (n + 1) titik data, hanya terdapat satu atau kurang polinomial ordern yang melalui

semua titik. Misalnya, hanya ada satu garis lurus (polinomial order 1) yang

menghubungkan dua titik (Gambar 6.2a), demikian juga tiga buah titik dapat dihubungkan

oleh fungsi parabola (polinomial order 2), sedang untuk 4 titik dapat dilalui kurve

polinomial order 3, seperti terlihat dalam Gambar 6.2b dan Gambar 6.2c. Di dalam operasi

Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta 67

7/28/2019 7730_Bab_6

2/11


interpolasi ditentukan suatu persamaan polinomial ordern yang melalui (n + 1) titik data,

yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai diantara titik data tersebut.

Pada polinomial berderajat satu, diperoleh bentuk interpolasi linier yang sudah banyak

dikenal. Interpolasi linier memberikan hasil yang kurang teliti, sedang interpolasi

polinomial dengan derajat lebih besar dari satu yang merupakan fungsi tidak linier

memberikan hasil yang lebih baik.

6.1 Interpolasi Linier

Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data

dengan garis lurus. Metode ini disebut dengan interpolasi linier yang dapat dijelaskan

dengan Gambar 6.3.

Gambar 6.2. Interpolasi polinomial

Gambar 6.3. Interpolasi linier

Diketahui nilai suatu fungsi di titikx0 dan x1, yaitu f (x0) dan f (x1). Dengan metode

interpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titikx, yaitu f1(x). Indeks 1 pada f1(x)

menunjukkan bahwa interpolasi dilakukan dengan interpolasi polinomial order satu.

Dari dua segitiga sebangun ABCdanADEseperti tampak dalam Gambar 6.3, terdapat

hubungan berikut:


7/28/2019 7730_Bab_6

3/11


AD

DE

AB

BC=

01

01

0

01 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

=

)()()()()( 001

0101 xx

xxxfxfxfxf

+= (6.2)

Persamaan (6.2) adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk interpolasi

polinomial order satu. Suku [f (x1) f (x0)] / (x1x0) adalah kemiringan garis yang

menghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan

pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik.

Contoh soal:

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 =

1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untukmembandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak

dari ln 2 = 0,69314718).

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (6.2), dihitung dengan interpolasi linier nilai ln pada

x = 2 berdasar nilai ln dix0 = 1 danx1 = 6.

)()()(

)()(0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

+=

f1(2) = 0 + 1607917595,1

(2 1) = 0,3583519.

Besar kesalahan adalah:

Et =69314718,0

35835190,069314718,0 100 % = 48,3 %.

Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilaix0 = 1 danx1 = 4, maka:

)()()(

)()( 001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

+=

f1(2) = 0 + 14

03862944,1

(2 1) = 0,46209813.


Et =69314718,0

0,4620981369314718,0 100 % = 33,3 %.

Dari contoh nampak bahwa dengan menggunakan interval yang lebih kecil didapat

hasil yang lebih baik (kesalahan lebih kecil). Gambar 6.4, menunjukkan prosedur

hitungan dalam contoh secara grafis.


7/28/2019 7730_Bab_6

4/11


Gambar 6.4. Interpolasi linier mencari ln 2

6.2 Interpolasi Kuadrat

Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan dengan

menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data. Apabila terdapat

tiga titik data, maka perkiraan dapat dilakukan dengan polinomial order dua. Untuk

maksud tersebut persamaan polinomial order dua dapat ditulis dalam bentuk:

f2(x) = b0 + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1) (6.3)

meskipun tampaknya persamaan (6.3) berbeda dengan persamaan (6.1), tetapi

sebenarnya kedua persamaan adalah sama. Hal ini dapat ditunjukkan dengan

mengalikan suku-suku persamaan (6.3) sehingga menjadi:

f2(x) = b0 + b1x b1x0 + b2x2 + b2x0x1 b2xx0 b2xx1

atau

f2(x) = a0 + a1x + a2x2

dengan

a0 = b0 b1x0 + b2x0x1

a1 = b1 b2x0 b2x1

a2 = b2

terlihat bahwa persamaan (6.3) sama dengan persamaan (6.1).

Selanjutnya untuk keperluan interpolasi, persamaan polinomial ditulis dalam bentuk

persamaan (6.3). Berdasarkan titik data yang ada kemudian dihitung koefisien b0, b1,dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan nilai dari koefisien-koefisien

tersebut.

Koefisien b0 dapat dihitung dari persamaan (6.3), dengan memasukan nilaix =x0.

f(x0) = bo + b1 (xo x0) + b2 (x0 x0) (x0 x1)

bo= f(x0) (6.4)

bila persamaan (6.4) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3), kemudian dimasukkan

ke dalam nilaix =x1, maka akan diperoleh koefisien b1:


7/28/2019 7730_Bab_6

5/11


f(x1) =f(x0) + b1(x1 x0) + b2(x1 x0)(x1 x1)

b1 =01

01 )()(

xx

xfxf

(6.5)

bila persamaan (6.4) dan persamaan (6.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (6.3) dan

nilaix =x2, maka akan diperoleh koefisien b2:

f(x2) =f(x0) +01

01)()(

xx

xfxf

(x2 x0) + b2(x2 x0)(x2 x1)

b2(x2 x0)(x2 x1) =f(x2) f(x0) 01

01 )()(

xx

xfxf

[(x2 x1) + (x1 x0)]

=f(x2) f(x0) 01

01 )()(

xx

xfxf

(x2 x1) f(x1) +f(x0)

=f(x2) f(x1) 01

01 )()(xx

xfxf

(x2 x1)

atau

b2 =

)()(

)()()(

)()(

1202

12

01

0112

xxxx

xxxx

xfxfxfxf

b2 =

02

01

01

12

12 )()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

(6.6)

Dengan memperhatikan persamaan (6.3), persamaan (6.4), persamaan (6.5) dan

persamaan (6.6) terlihat bahwa dua suku pertama dari persamaan (6.3) adalah ekivalen

dengan interpolasi linier dari titikx0 kex1 seperti yang diberikan oleh persamaan (6.2).

Sedangkan suku terakhir, b2(x x0)(x x1) merupakan tambahan karena digunakannya

kurve order 2.

Koefisien b1 dan b2 dari interpolasi polinomial order 2 persamaan (6.5) dan persamaan

(6.6) adalah mirip dengan bentuk beda hingga untuk turunan pertama dan kedua,

dengan demikian penyelesaian interpolasi polinomial dapat dilakukan dengan

menggunakan bentuk beda hingga.

Contoh soal:

Dicari nilai ln 2 dengan metode polinomial order dua berdasar data nilai ln 1 = 0 dan

nilai dari ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 =

1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung pula besar kesalahan

(diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).

Penyelesaian:

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944


7/28/2019 7730_Bab_6

6/11


x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

Interpolasi polinomial dihitung dengan menggunakan persamaan (6.3), dan koefisien

b0, b1, dan b2, dihitung dengan persamaan (6.4), persamaan (6.5) dan persamaan (6.6).

Dengan menggunakan persamaan (6.4) diperoleh nilai b0, yaitu (b0 = 0), koefisien b1dapat dihitung dengan persamaan (6.5):

b1 =01

01)()(

xx

xfxf

b1 = 14

03862944,1

= 0,46209813.

Persamaan (6.6) digunakan untuk menghitung koefisien b2:

b2 =

02

01

01

12

12 )()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b2 =

16

46209813,046

3862944,17917595,1

= 0,051873116.

Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (6.3):

f2(x) = b0 + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1)

f2(x) = 0 + 0,46209813(x 1) + (0,051873116)(x 1)(x 4)

Untukx = 2, maka diperoleh nilai fungsi interpolasi:

f2(2) = 0 + 0,46209813(2 1) + (0,051873116)(2 1)(2 4) = 0,56584436.


Et =69314718,0

56584436,069314718,0 100 % = 18,4 %.

Dari contoh tersebut terlihat bahwa dengan menggunakan interpolasi polinomial order

2 didapat hasil yang lebih baik (kesalahan lebih kecil).

Gambar 6.5. Interpolasi polinomial order 2


7/28/2019 7730_Bab_6

7/11


6.3 Bentuk Umum Interpolasi Polinomial

Prosedur seperti dijelaskan diatas dapat digunakan untuk membentuk polinomial order

n dari (n + 1) titik data. Bentuk umum polinomial ordern adalah:

fn(x) = bo + b1(x x0) + + bn(x x0)(x x1) ... (x xn 1) (6.7)

Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data dapat dilakukandengan evaluasi koefisien b0, b1, ..., bn.

Untuk polinomial ordern, diperlukan (n + 1) titik datax0,x1,x2, ...,xn.

Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut digunakan

untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ..., bn.

b0 =f(x0) (6.8)

b1 =f[x1,x0] (6.9)

b2 =f[x2,x1,x0] (6.10)

bn =f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0] (6.11)

Dengan definisi fungsi berkurung ([.]) adalah pembagian beda hingga.

Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah:

f[xi,xj] =ji

ji )()(

xx

xfxf

(6.12)

Pembagian beda hingga kedua adalah:

f[xi,xj, xk] =ki

kjji ],[],[

xx

xxfxxf

(6.13)

Pembagian beda hingga ke n adalah:

f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0] =0n

02n1n11nn )...,,,[]...,,,[

xx

xxxfxxxf

(6.14)

Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi

koefisien-koefisien dalam persamaan (6.8) sampai persamaan (6.11) yang kemudian

disubstitusikan ke dalam persamaan (6.7) untuk mendapatkan interpolasi polinomial

ordern.

fn(x) =f(x0) +f[x1,x0](x x0) +f[x2,x1,x0](x x0)(x x1) + +

f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0](x x0)(x x1) (x xn 1) (6.15)

Persamaan (6.12) sampai persamaan (6.14) adalah berurutan, artinya pembagian beda

yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, secara

skematis bentuk yang berurutan tersebut ditunjukkan dalam Tabel 6.1.


7/28/2019 7730_Bab_6

8/11


Tabel 6.1. Langkah skematis pembagian beda hingga

Contoh soal:

Dalam contoh sebelumnya, titik data x0 = 1, x1 = 4 dan x2 = 6 digunakan untuk

memperkirakan ln 2 dengan fungsi parabola. Sekarang dengan menambah titik ke

empat yaitux3 = 5 dengan nilaif(x3 = 5) = 1,6094379, hitung ln 2 dengan interpolasi

polinomial order tiga.

Penyelesaian:

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944

x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

x3 = 5 f(x3) = 1,6094379

Persamaan polinomial order tiga didapat dengan memasukkan nilai n = 3 ke dalam

persamaan (6.7):

f3(x) = bo + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1) + b3(x x0)(x x1)(x x2) (c.1)

Pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan (6.12):

f[xi,xj] =ji

ji )()(

xx

xfxf

(c.2)

f[x1,x0] = 14

03862944,1

= 0,46209813.

f[x2,x1] =46

3862944,17917595,1

= 0,20273255.

f[x3,x2] = 65

7917595,16094379,1

= 0,1823216.

Pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan (6.13):

f[xi,xj, xk] =ki

kjji ],[],[

xx

xxfxxf

(c.3)

f[x2,x1, x0] = 16

46209813,020273255,0

= 0,051873116.


7/28/2019 7730_Bab_6

9/11


f[x3,x2, x1] = 45

20273255,018232160,0

= 0,020410950. (c.4)

Pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan (6.14):

f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0] = 0n

02n1n11nn )...,,,[]...,,,[

xx

xxxfxxxf

f[x3,x2,x1, x0] = 15

)051873116,0()020410950,0(

= 0,007865541.

Nilai f [x1,x0], f [x2,x1,x0] dan f [x3,x2,x1,x0] adalah koefisien b1, b2, dan b3 dari

persamaan (6.7). Dengan nilai-nilai tersebut dan b0 =f(x0) = 0, maka persamaan (6.7)

menjadi:

fn(x) = bo + b1(x x0) + + bn(x x0)(x x1) ... (x xn 1)

f3(x) = 0+ 0,46209813(x 1) + (0,051873116)(x 1)(x 4) +

0,007865541(x 1)(x 4)(x 6) (c.5)

Hasil interpolasi polinomial order 3 di titikx = 2, akan didapat dengan memasukkan

nilai darix = 2 ke dalam persamaan (c.5) sehingga akhirnya didapat:

f3(2) = 0+ 0,46209813(2 1) + (0,051873116)(2 1)(2 4) +

0,007865541(2 1)(2 4)(2 6)

= 0,62876869.


Et =69314718,0

62876869,069314718,0 100 % = 9,3 %.

6.4 Interpolasi Polinomial Lagrange

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak

menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat

diturunkan dari persamaan Newton.

Bentuk polinomial Newton order satu:

f1(x) =f(x0) + (x x0)f[x1,x0] (6.16)

Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:

f[x1,x0] =01

01)()(

xx

xfxf

f[x1,x0] =10

0

01

1)()(

xx

xf

xx

xf

+

(6.17)

Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:

f1(x) =f(x0) +01

0

xx

xx

f(x1) +10

0

xx

xx

f(x0)


7/28/2019 7730_Bab_6

10/11


Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:

f1(x) =

+

10

0

10

10

xx

xx

xx

xxf(x0) +

01

0

xx

xx

f(x1)

atau

f1(x) =10

1

xx

xx

f(x0) +01

0

xx

xx

f(x1) (6.18)

Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.

Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:

f1(x) =10

1

xx

xx

20

2

xx

xx

f(x0) +

01

0

xx

xx

21

2

xx

xx

f(x1) +

02

0

xx

xx

12

1

xx

xx

f(x2)

(6.19)

Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange ordern adalah:

fn(x) = )(n

0ii xL

=

f(xi) (6.20)

dengan

Li (x) =

==

n

ij0j

ji

j

xx

xx

(6.21)

Simbol merupakan perkalian.

Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitunginterpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order

3, persamaan tersebut adalah:

f3(x) = )(3

0ii xL

=

f(xi) =L0(x)f(x0) +L1(x)f(x1) +L2(x)f(x2) +L3(x)f(x3)

L0(x) = ))()((30

3

20

2

10

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

L1(x) = ))()(( 31

3

21

2

01

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

L2(x) = ))()((32

3

12

1

02

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

L3(x) = ))()((23

2

13

1

03

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:

f3(x) = ))()((30

3

20

2

10

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f(x0) + ))()((

31

3

21

2

01

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f(x1)


7/28/2019 7730_Bab_6

11/11


+ ))()((32

3

12

1

02

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f (x2) + ))()((

23

2

13

1

03

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f (x3)

(6.22)

Contoh soal:

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order satu dan duaberdasar data ln 1 = 0 dan data ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar

data ln 1 dan data ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh,

hitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).

Penyelesaian:

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944

x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

Penyelesaian order satu menggunakan persamaan (6.18):

f1(x) =10

1

xx

xx

f(x0) +01

0

xx

xx

f(x1)

Untukx = 2 dan dengan data yang diketahui maka:

f1(2) =41

42

(0) +14

12

(1,3862944) = 0,462098133.

Untuk interpolasi polinomial Lagrange order dua digunakan persamaan (6.19):

f1(x) =10

1

xx

xx

20

2

xx

xx

f (x0) +

01

0

xx

xx

21

2

xx

xx

f (x1) +

02

0

xx

xx

12

1

xx

xx

f

(x2)

f1(2) =41

42

61

62

(0) +14

12

64

62

(1,3862944) +16

12

46

42

(1,7917595)

= 0,56584437.

Terlihat bahwa kedua hasil diatas memberikan hasil yang hampir sama dengan contohsebelumnya.


7730_bab_6

Documents