Slide 1

Fisika Matematika 3Fungsi KhususFungsi-fungsi trigonometri, logaritmik dan fungsi lainnya seringkali muncul aplikasi fisika, sehingga sangat penting untuk mengetahui dan dapat menggunakan fungsi-fungsi tersebut dengan tepat sesuai kebutuhan. Apakah tujuan mengetahui fungsi-fungsi tersebut?Untuk mendefinisikan dan membuat formula yang lebih sederhana. Fungsi Gamma, Fungsi Beta, Fungsi ErrorFisika Matematika 3Fungsi FaktorialContoh Kasus:Tentukan integral berikut untuk > 0

Fisika Matematika 3Fungsi FaktorialSecara umum dapat dituliskan sebagai:

Tentukan hasil integral jika = 1Fisika Matematika 3Fungsi GammaDefinisi:Untuk p > 0,

Untuk 0 < p < 1, bentuk fungsi ini tidak sesuai karena menjadi tak berhingga pada batas bawah.Untuk p > 0, fungsi menghasilkan integral yang konvergen.Untuk p 0, fungsi menghasilkan integral yang divergen.

Fisika Matematika 3Fungsi Gamma

Hubungan Recursion dari fungsi :Fungsi biasanya diberikan dalam bentuk Tabel untuk 1 p 2.Dengan menggunakan hubungan Recursion maka dapat ditentukan (p) untuk 2 p 3.Untuk (p) untuk 0 p 1, hubungan Recursion dituliskan sebagai :

Contoh :

Fisika Matematika 3Fungsi GammaUntuk p 0,

Contoh :

Fisika Matematika 3Fungsi GammaBeberapa formula penting terkait Fungsi Gamma

Fisika Matematika 3Fungsi BetaDefinisi:

Memiliki sifat transformasi:

Dengan menggunakan definisi

Fisika Matematika 3Fungsi Beta

Dalam bentuk trigonometri:

Jika diberikan

Fisika Matematika 3Fungsi BetaHubungan antara Fungsi Beta dan Fungsi Gamma:

Fisika Matematika 3Fungsi ErrorFungsi error banyak ditemukan teori probabilitas. Sering ditemukan dalam bidang mekanika statistik dan aplikasi dari teori probabilitas.Fungsi error terkait dengan kemiringan sebuah kurva (daerah di bawah kurva).

Definisi:

Fisika Matematika 3Fungsi ErrorBeberapa integral yang seringkali digunakan dalam menentukan Fungsi Error adalah:

Fungsi distribusi (x) normal dan Gaussian

Fisika Matematika 3Fungsi ErrorFungsi Error (complementary) yang digunakan terkait dengan fungsi distribusi normal dan Gaussian adalah

Fungsi error dituliskan dalam bentuk distribusi normal atau Gaussian:

Fisika Matematika 3Fungsi ErrorFungsi error merupakan fungsi ganjil:

Fungsi error pada :

Fisika Matematika 3Fungsi ErrorUntuk nilai x yang sangat kecil, erf (x) dapat didekati dengan mengekspansikan

Persamaan LegendrePersamaan diferensial Legendre :

dengan l = konstanta

Solusi dari persamaan di atas adalah:

Substitusikan pada y sehingga diperoleh:

Diperoleh hubungan pengulangan berupa:

untuk n = 0,1,2,...

Jika a0 = 1 dan a1 = 0, maka diperoleh solusi:

Sedangkan jika a0 = 0 dan a1 = 1, maka solusinya adalah:

Solusi jika l merupakan bilangan bulat, hubungan pengulangan menjadi:

Hasilnya adalah 0 (deret selesai) Solusi berupa Polinomial dari l Polinomial Legendre dari l

Formula Rodrigues

Cara lain untuk menyelesaikan Persamaan Legendre adalah dengan menggunakan Formula Rodrigues:

Persamaan Bessel

Bentuk umum Persamaan Bessel:

Solusi dari Persamaan Bessel adalah: