document3

Finite Grup & Subgrup

[email protected]

Free powerpoint template: www.brainybetty.com2


Finite Grup

Definisi order dari grup• Bilangan pada suatu anggota grup disebut dengan order.

Order dari grup G dinotasikan dengan |G|.

Dengan demikian, grup Z dari bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan mempunyai order yang tidak terbatas. Sehingga disebut infinite grup.

• Grup U(10) = {1, 3, 7, 9} terhadap operasi perkalian modulo 10 mempunyai order 4. Sehingga disebut finite grup.



Definisi order dari anggota grup

Order dari anggota g sebuah grup G merupakan bilangan bulat terkecil positif n dengan

• gn = e (untuk grup terhadap operasi perkalian). • Untuk grup terhadap operasi penjumlahan dinyatakan

dengan ng = 0. Jika tidak memenuhi definisi di atas, maka disebut dengan infinite order.

• Order dari anggota g sebuah grup G dinotasikan dengan |g|.


Contoh

Diberikan U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} terhadap operasi perkalian modulo 15.

• Grup ini mempunyai order grup 8.• Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung

gn = e.• Order dari 1 : 11 = 1, 12 = 1, …….. Jika diteruskan hasilnya

berulang 1. • Order dari 2 : 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 1• Order dari 4 : 41 = 4, 42 = 1• Dengan perhitungan yang sama akan didapat :• |7| = 4, |8| = 4, |11| = 2, |13| = 4, |14| = 2



Subgrup

Definisi :• Suatu subhimpunan tak kosong H dalam grup G dinamakan

subgrup dari G, jika terhadap operasi yang sama di G, subhimpunan H sendiri merupakan grup.

(Muhlisah, 2005:45)

Contoh :• Apabila Z = himpunan bilangan bulat adalah grup terhadap

operasi penjumlahan. Sedangkan Z adalah subhimpunan dari Q = himpunan bilangan rasional yang juga merupakan grup terhadap penjumlahan, maka Z dinamakan subgrup dari

grup Q.



Lemma 1

A nonempty subset H of the group G is a subgroup of G if and only if:


Bukti Lemma 1:

Jika H subgroup dari G, maka H subhimpunan tidak kosong dari G.

Menurut definisi, H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan G. Dengan demikian H memenuhi (a) dan (b).


Anggaplah syarat (a) dan (b) berlaku dalam H. Untuk menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka harus dapat ditunjukkan dua syarat lagi, yaitu:1.dalam H berlaku sifat asosiatif.

Sifat asosiatif dipenuhi karena H merupakan subhimpunan G.1.adanya unsur identitas dalam H

Jadi H merupakan subgroup dari G.


9

Contoh

Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, H subgrup dari G yaitu hmpunan semua bilangan bulat kelipatan 3.Buktikan bahwa H subgrup dari G.


Bukti:Berdasarkan lemma 1, maka harus dibuktikan jika H

memenuhi sifat tertutup dan memiliki invers. Namun

perlu dibuktikan juga bahwa H tidak sama dengan

nol, dengan demikian:

1. H tidak kosong, karena ada 0 = 3(0) G, yang

berarti 0 di H.

2. Ambil sembarang a,b H, misalkan a = 3n1 dan b = 3n2,

untuk n1, n2 Z. Akan dibuktikan a + b anggota Z


Lanjutan Bukti:

a + b = 3n1 + 3n2

= (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) + (n1 + n2) = 3 (n1 + n2)

Karena n1, n2 Z maka n1 + n2 Z, dengan demikian a + b Z

Sehingga H terhadap operasi penjumlahan dalam G bersifat tertutup.


Lanjutan Bukti:3.Ambil sembarang a = 3n1 di H, akan ditunjukkan bahwa

invers dari a yaitu –a juga di H.

Misalkan n1 G, maka ada – n1 di G

Akan dibuktikan jika 3(-n1) juga di H

-a = - (3n1)

= - (n1 + n1 + n1)

= (-n1) + (n1) + (-n1)

= 3(-n1)

Jadi, 3(-n1) anggota H atau -a anggota H

Berdasarkan penjelasan di atas dapat dibuktikan bahwa H

subgrup dari G.


Lemma 2

Bila H subhimpunan berhingga yang tak kosong dalam G dan H tertutup terhadap perkalian, maka H merupakan subgrup dalam G.

(Muhlisah, 2005:47)


Bukti Lemma 2Dari lemma 2 ini, sudah diketahui bahwa H adalah

himpunan yang tidak kosong dan bersifat tertutup.

Dengan demikian, hanya perlu ditunjukkan bahwa

jika a H maka a-1 anggota H.

Ambil a H sembarang, karena H tertutup maka a2 = a.a anggota H,

a3 = a.a2 anggota H ,….., am anggota H


Lanjutan Bukti Lemma 2

Tetapi, H himpunan berhingga, karena itu harus

terdapat r > s > 0 sedemikian hingga :ar = as

ar . a-s = as . a-s

ar . a-s = e ar-s = e

Karena r - s > 0, berarti ar-s = e H , sehingga H memuat identitasSelanjutnya r - s - 1 0, berarti ar-s-1 H dan a-1 = ar-s-1


Lanjutan Bukti Lemma 2

Karena r - s > 0, berarti ar-s = e H , sehingga H memuat identitasSelanjutnya r - s - 1 0, berarti ar-s-1 H dan a-1 = ar-s-1

Dari: a-1 = ar-s-1

a.a-1 = ar-s-1 a e = ar-s

maka a-1 anggota H

Teorema

Let G be a group and H a nonempty subset of G. If ab-1 is in H whenever a and b are in H, then H is a subgroup of G.

(Gallian, 2010:59)

Contoh 6:• Misalkan G grup komutatif dan H = {x G | x2 = e}

merupakan subhimpunan dalam G. Buktikan H subgrup dari G.


Bukti :• Pertama kali tunjukkan bahwa H tidak kosong. • Karena e G berarti e.e = e2 = e H jadi H tak kosong. Misalkan

a,b sembarang unsur H, berarti a2 = e dan b2 = e• Akan ditunjukkan bahwa ab-1 H

(ab-1)2 = (ab-1) (ab-1)

= a2 (b-1)2

= a2 (b2)-1

= e e-1

= e


Dari uraian tersebut didapat : (ab-1) = e, karena e H maka terbukti ab-1 H

Sehingga dapat disimpulkan bahwa H subgrup G.

document3

Documents