3.5 Aturan Rantai

Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari

(2 x2−4 x+1 )60

Pertama anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat 2 x2−4 x+1 dan kemudian mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan. Atau, bagaimana dengan mencoba mencari turunan

G ( x )=sin 3 x

Kita mungkin dapat menggunakan aturan indentitas trigonometri untuk mereduksinya menjadi sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos x dan kemudian menggunakan aturan-aturan dari subbab sebelumnya.

Untunglah terdapat cara yang lebih baik. Setelah anda mempelajari Aturan Rantai, anda akan mampu menuliskan jawaban

F ' ( x )=60 (2 x2−4 x+1 )59 (4 x−4 )

Dan

G' ( x )=3cos2x

Notasi D x lambang D x y harus dibaca “turunan y terhadap x”. Indeks di bawah x menunjukkan bahwa x diperlakukan sebagai peubah dasar. Jadi jika y=s2 x3, kita dapat menuliskan

D x y=3 s2 x2

Dan

D x s=2 s x3

Dalam kasus pertama, s diperlakukan sebagai konstanta dan x sebagai peubah dasar; dalam kasus kedua, x adalah konstanta dan s adalah peubah dasar.

Contoh berikut merupakan contoh penting. Andaikan y=u60 dan u=2 x2−4 x+1. Maka Du y=60 u59

dan D x u=4 x−4. Tetapi perhatikan bahwa ketika mensubstitusikan u=2 x4−4 x+1 dalam y=u60, kita dapatkan

y=( 2x2−4 x+1 )60

F ' ( x ) dan G' ( x ) merupakan

hasil yang diperoleh dengan menggunakan Aturan Rantai / Chain Rule.

Diferensiasi Fungsi Komposit Jika Ida dapat mengetik dua kali lebih cepat dari pada Tini dan Tini dapat mengetik tiga kali lebih cepat dari pada Dono, maka Ida dapat mengetik 2 .3=6 kali lebih cepat dari pada Dono. Kedua laju tersebut dikalikan.

Tinjaulah fungsi komposit y=f ( g ( x )). Karena turunan menunjukkan laju perubahan, kita dapat mengatakan

y berubah secepat Du y kali uu berubah secepat D x u kali x

Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa

y berubah secepat Du y . D x u kali x

Teorema A Aturan Rantai

Andaikan y=f (u ) dan u=g ( x ). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u=g ( x ), maka

fungsi komposit fοg, didefinisikan oleh ( fοg ) ( x )=f (g (x ) ) terdiferensiasikan di x dan

( fοg )' ( x )=f ' ( g ( x ) ) g' ( x )

Yakni

D x ( f ( g ( x ) ) )=f ' ( g ( x ) ) g ' ( x )

Atau

D x y=D u y Dx u

Penerapan Aturan Rantai Kita mulai dengan contoh (2 x4−4 x+1 )60 yang diperkenalkan pada

permulaan subbab ini.

CONTOH 1 Jika y=( 2 x2−4 x+1 )60, carilah D x y

Penyelesaian

Ida = 2 Tini, Tini = 3 Dono

Ida = 2 Tini = 2 . (3 Dono) = 6 Dono

Fungsi komposit merupakan suatu fungsi yang variabel bebasnya merupakan suatu fungsi juga.

Contoh f ( g ( x ) ). Fungsi f mempunyai variabel

bebas sebuah fungsi, yakni fungsi g.

Ingat pada subbab sebelumnya yang membahas mengenai kecepatan sesaat.

Misalkan u=2 x2−4 x+1 maka y=u60.

D x u=4 x−4 dan Du y=60 u59

D x y=D u y . D x u

¿ (60u59 ) (4 x−4 )¿60 (2 x2−4 x+1 )59 (4 x−4 )

CONTOH 2 Jika y=1

(2 x5−7 )3 , carilah D x y

Penyelesaian Pikirkanlah fungsi tersebut menjadi

Misalkan u=2 x5−7 sehingga y=1

u3=u−3

.

D x u=10 x4 dan Du y=−3u−4

Sehingga

D y x=Du y . D x u

¿(−3

u4 )(10 x4 )

¿ −30 x4

(2x5−7 )4

CONTOH 3 Jika y=sin ( x3−3x ), carilah D x y.

Penyelesaian

Misalkan u=x3−3 x sehingga y=sinu.

D x u=3 x2−3Du y=cosu

Sehingga

D x y=D u y . D x u

¿ (cosu ) (3 x2−3 )

¿ (3 x2−3 ) . (cos ( x3−3 x ))

CONTOH 4 Carilah Dt ( t 3−2 t+1t 4+3 )

13

Penyelesaian

Misalkan y=( t3−2t +1t 4+3 )

13

. Misalkan u=t 3−2 t+1t 4+3

sehingga y=u13.

Du y=13 u12

Andaikan f (t )=t 3−2 t+1 maka f ' (t )=3 t 2−2.

Andaikan g (t )=t 4+3 maka f ' (t )=4 t3

Dt u=g ( t ) f ' ( t )−f ( t ) g' ( t )

[ g ( t ) ]2

¿(t 4+3 ) (3 t2−2 )−(t 3−2 t+1 ) ( 4 t 3 )

[ t 4+3 ]2

¿3t 6−2 t 4+9 t 2−6−(4 t6−8 t 4+4 t 3 )

[ t 4+3 ]2

¿ 3t 6−2 t 4+9 t 2−6−4 t6+8 t 4−4 t 3

[ t 4+3 ]2

¿ −t6+6 t 4−4 t 3+9 t 2−6

[t 4+3 ]2

Sehingga

Dt y=Du y . Dt u

¿ [13 u12 ] [−t 6+6 t 4−4 t 3+9t 2−6

[ t 4+3 ]2 ]¿13( t 3−2 t+1

t 4+3 )12

(−t 6+6 t 4−4 t3+9 t 2−6

[ t 4+3 ]2 )

Penerapan Aturan Rantai Lebih dari Sekali Kadang-kadang ketika kita menggunakan Aturan Rantai pada sebuah fungsi komposit, kita menemukan bahwa turunan dari fungsi yang lebih dalam juga memerlukan Aturan Rantai. Dalam kasus seperti ini, kita harus menggunakan Aturan Rantai untuk kedua kalinya.

CONTOH 5 Carilah D x sin3 4 x

Penyelesaian

Perhatikan bahwa sin3 4 x=(sin 4 x )3.

D x sin3 4 x=3 [sin (4 x ) ]3−1D x sin 4 x

¿3 [sin (4 x ) ]2 cos4 x D x (4 x )¿3 [ sin 4 x ]2cos 4 x 4¿12 cos4 x sin2 4 x

CONTOH 6 Carilah D x sin [cos x2 ]

Penyelesaian

D x sin [cos x2 ]=cos [cos ( x2 ) ] . Dx (cos x2 )¿cos [ cos ( x2 ) ] . ( – sin x2 ). D x ( x2 )¿cos [ cos ( x2 ) ] . ( – sin x2 ). (2 x )−2 x sin ( x2 ) . cos [cos ( x2 ) ]