31002-1-822159587554

STATISTIK I

MODUL 1-7

DOSEN : YANUAR, SE. MM

FAKULTAS EKONOMIUNIVERSITAS MERCU BUANA

JAKARTA2009

PENYUSUNAN DISTRIBUSI FREKUENSI

(PENGELOMPOKAN DATA)

Distribusi Frekuensi (Tabel Frekwensi) adalah suatu tabel yang menyajikan distribusi data kedalam beberapa kelas atau ketagori, kemudian menentukan banyaknya (frekuensi) individu atau elemen yang termasuk kedalam kelas tertentu yang disebut frekuensi kelas (class frequency).

Tujuan dari pembuatan tabel distribusi frekwensi adalah untuk mengatur data mentah (belum dikelompokkan) ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi nilai informasi yang ada.

Diketahui data mentah nilai ujian statistik 50 mahasiswa FE.UI Tahun 1986 seperti tabel berikut :

Tabel 1. Nilai Ujian Statistik 50 Mahasiwa FE.UI Th. 198655 48 22 49 78 59 27 41 68 5434 80 68 42 73 51 76 45 32 5366 32 64 47 76 58 75 60 35 5773 38 30 44 54 57 72 67 51 8625 37 69 71 52 25 47 63 59 64

Sumber : Sri Mulyono, Statistik Untuk Ekonomi, 1991.

Data mentah tersebut tidak begitu besar manfaatnya untuk menggambarkan peristiwa yang bersifat kwantitatif. Agar manfaatnya lebih besar maka data tersebut harus disusun kedalam “Distribusi Frekuensi” atau “Tabel Frekwensi”.

“Cara Menyusun Distribusi Frekuensi”1. Data mentah (raw data) yang terkumpul disusun menurut urutannya, yaitu

dari yang terkecil sampai kepada data terbesar.

Tabel 2. Data Terurut Nilai Ujian Statistik 50 Mhs.FE.UI Th’8622 25 25 27 3 32 32 34 35 3738 41 42 44 45 47 47 48 49 5151 52 53 54 54 57 57 57 58 5959 60 63 64 64 67 67 68 68 6971 72 73 75 75 76 76 78 80 86

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MMSTATISTIK I

2. Menentukan banyaknya kelasUntuk menentukan banyaknya kelas dapat digunakan “Kriterium Sturges” :

k = 1 + 3,322 log nk : Jumlah kelasn : Banyaknya nilai observasi

Jadi banyaknya atau jumlah kelas diatas, adalah :K = 1 + 3,322 log 50 = 1 + 3,322 (1,69897) = 1 + 5,64397 = 6,64397 7

3. Menentukan “Interval Kelas” atau “Lebar Kelas” Jarak (Rentang)

Interval Kelas = Jumlah Kelas

Jarak = selisih antara nilai data terkecil dengan nilai data terbesar.

86 - 22Interval Kelas = = 9,14

7

Interval kelas yang digunakan tidak harus 9,14 asal tidak kurang dari 9,14 yang dapat menyebabkan tidak diikutsertakannya satu atau beberapa nilai data kedalam salah satu kelas yang ada. Disini digunakan interval kelas sebesar 10.

Tabel 3. Distribusi Frekwensi Nilai Ujian Statistik 50 Mhs.FE.UI.Th.1986.Kelas Ke Interval Kelas Frekwensi

1234567

20-2930-3940-4950-5960-6970-7980-89

47812982

Jumlah 50

- Batas kelas (class limits) : nilai batas tiap kelas dalam sebuah distribusi frekwensi, dan digunakan sebagai pedoman untuk memasukan angka-angka hasil observasi kedalam kelas-kelas yang sesuai.Kelas pertama dari tabel diatas mempunyai :* Batas kelas bawah (lower classlimit) = 20* Batas kelas bawah : nilai terbawah dari suatu kelas tersebut untuk kelas 1 dar

tabel 3 diatas maka batas kelas bawahnya = 20.


** Batas kelas atas (upper classlimit) = 29** Batas kelas atas adalah nilai teratas dari suatu kelas. Batas kelas atas dari

kelas 1 = 29.* Tepi kelas bawah dan tepi kelas atas

Hal 92 AD IRumus untuk mencari tepi kelas (class boundary)

(1) Tepi kelas bawah (lower class boundary)

= “Batas kelas bawah” kelas ke i + “Batas kelas atas” kelas sebelum kelas ke i : 2

(2) Tepi kelas atas (upper class bundary)

= “Batas kelas atas” kelas ke i + “Batas kelas atas” kelas sesudah i : 2

Dalam menggambarkan Histogram frequensi interval kelas dinyatakan pada sumbu X, sedangkan frequensinya dinyatakan pada sumber Y. Interval kelas selalu dihitung dari beda antara 2 Tepi Kelas. Sehingga angka-angka pada skala X menyatakan tepi kelas bukan batas kelas. Secara teoritis, penggunaan tepi kelas sebagai pemisah antara kelas yang berbeda pada suatu histogram sangat tepat, karena alas dari tiap persegi panjang sebetulnya meliputi semua nilai-nilai yang terdapat antara 2 tepi kelas dan bukan antara 2 batas kelas.

PENYAJIAN GRAFIK FREKWENSI1. Histogram 2. Poligon frekwensi (frequenscy poligon)3. Kurva frekwensi yang diratakan (smooted frequency curve)

HISTOGRAM FREKWENSIHistogram : rangkaian empat persegi panjang yang alasnya sama dengan panjang interval antara kedua tepai kelas dan memiliki luas yang sebanding dengan frekwensi yang terdapat dalam kelas-kelas yang bersangkutan. Tinggi setiap batang mencerminkan frekwensi setiap kelas.


Gambar 1HISTOGRAM FREKWENSI

Hasil Ujian Statistik 50 Mahasiswa FEUI.Th. 1986 (Gambar Lihat Lampiran)Sumber : Data Tabel 1

POLIGON FREKWENSIPenggambaran “poligon frekwensi” dilakukan dengan jalan menentukan titik tengah bagi tiap-tiap persegi panjang dan kemudian menghubungkannya dengan garis linear atau garis terputus-putus.

Dalam menggambarkan “poligon frekwensi” harus tertutup, yaitu tengah-tengah (titik tengah) persegi panjang terkiri harus dihubungkan dengan titik tengah skala yang sama besar yang ada pada sumbu datar, begitu juga untuk persegi panjang terkanan.

Gambar 2POLIGON FREKWENSI

Hasil Ujian Statistik Mahasiswa FEUI’86

Gambar Lihat Lampiran

TITIK TENGAH (MID POINT) : sebetulnya merupakan rata-rata hitung dari dua angka yaitu rata-rata hitung dari tepi kelas (class limit) atau tepi kelas (class boundary).

KURVACara memperoleh kurva ialah dengan meratakan poligon frekwensi (smothed frequency curve).Tujuan pengrataan grafik frekwensi ialah untuk menghilangkan bentuk yang tidak beraturan yang sifatnya kebetulan saja, sebagai akibat fluktuasi sampel.

Gambar 3KURVA FREKWENSI

Hasil Ujian Statistik Mahasiswa FEUI’86Lihat lampiran

Sumber : Data Tabel 3


Pada dasarnya, luas yang terdapat di bawah kurva tersebut seharusnya kurang lebih sama dengan luas.DISTRIBUSI KUMULATIF

Berikut ini disajikan kembali data pada tabel 3 dalam bentuk “distribusi kumulatif” kurang dari, dan pengelompokannya dilakukan dengan menggunakan batas kelas.

Tabel 4. Distribusi Kumulatif Hasil Ujian Statistik 50 Mhs. FE.UI Tahun 1986.Hasil Ujian Statistik Jumlah Mahasiswa

Kurang dari 20Kurang dari 30Kurang dari 40Kurang dari 50Kurang dari 60Kurang dari 70Kurang dari 80Kurang dari 90

04111931404850

Sumber : Data Tabel 3

Cara penentuan “frekwensi” untuk tiap-tiap kelas :1. Mengakumulasi secara berturut-turut frekwensi kelas-kelas sebelumnya yang

terdapat dalam distribusi biasa.2. Memasukan angka-angka kedalam kelas-kelas yang bersangkutan dengan

menggunakan data asal serta kemudian menghitung frekwensinya.Frekwensi kelas kelima diperoleh dengan jalan menjumlahkan frekwensi kelas pertama sampai dengan frekwensi kelas keempat dari distribusi yang terdapat dalam tabel 3.

Distribusi kumulatif atau lebih (or more distribution) juga dapat dibentuk dengan cara yang sama.

Tabel 5. Distribusi kumulaitf “atau lebih” Hasil Ujian Statistik 50 mahasiwa FEUI Th. 1986.Hasil Ujian Statistik Jumlah Mahasiswa

20 atau lebih30 atau lebih40 atau lebih50 atau lebih60 atau lebih70 atau lebih80 atau lebih90 atau lebih

50463931191020


KURVA OGIVEKurva Ogive : suatu kurva yang dibuat berdasarkan data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekwensi kumulatif.Frekwensi kumulatif kurang dari mempunyai Ogive dari kiri ke bawah naik kekanan atas. Frekwensi kumulatif atau lebih (or more than) mempunyai Ogive yang naik dari kanan bawah ke kiri atas.

CARA MENGGAMBARKAN KURVA OGIVE

Gambar 4

Poligon Frekwensi kumulatif atau Kurva Ogive

Hasil Ujian Statistik 50 Mhs. FEUI Th. 1986

(Lihat lampiran)

1. Membuat skala abseis (sb. X) dan ordinal (sb. Y) yang berturut-turut menunjukan

tepi kelas dan frekwensi kumulatif.

2. Penggambarannya dimulai dari titik nol yang terdapat pada tepi kelas bawah dari

interval kelas pertama.

3. Menarik garis dimulai dari titik nol tersebut melalui titik-titik ordinat tepi kelas

yang menunjukan frekwensi meningkatnya.


DISTRIBUSI FREKWENSI RELATIF

Distribusi frekwensi relatif ialah distribusi frekwensi biasa yang dinyatakan dalam

presentasi (%). Distribusi frekwensi relatif disusun melalui pembagian masing-

masing frekwensi kelas dengan seluruh frekwensi dan dinyatakan dalam presentasi.

Tabel 6. Distribusi Frekwensi Hasil Ujian Statistik Mahasiswa FEUI Kelas B

dan Mhs. FEUI Th. 1986.

Interval Kelas

Hasil Ujian

Banyaknya Mahasiswa Frekwensi Relatif (%)

Kelas B Angk. 86 Kelas B Angk. 86

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 –69

70 – 79

80 – 89

4

7

8

12

9

8

2

40

60

70

50

40

30

10

8

14

16

24

18

16

4

13,3

20,0

23,3

16,7

13,3

10,0

3,3

Sumber : Sri Mulyono, Statistik Untuk Ekonomi, 1991.


Diketahui distribusi frekwensi sebagai berikut :

Tinggi (cm) Frekwensi

118 – 126

127 – 135

136 – 144

145 – 153

154 – 162

163 – 171

172 – 180

3

5

9

12

5

4

2

Total 40

Ditanya ?

a. Titik tengah kelas (mid point-nya)

b. Berapa interval kelasnya

c. Gambar Histogramnya

d. Gambar Poligonnya

e. Gambar Ogive-nya

f. Berapa frekwensi relatif kelas ke 4.


PENGUKURAN NILAI SENTRAL/PUSAT

Nilai tunggal yang mewakili (representatif) bagi seluruh nilai dalam data dianggap sebagai rata-rata (averages).

Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Jadi keseluruhan nilai ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukan kedalamnya, maka nilai rata-rata tersebut mempunyai tendensi (kecenderungan) terletak diurutan paling tengah atau pusat.Maka nilai rata-rata sering disebut sebagai ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency).

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan :1. Rata-rata hitung (Mean) : X2. Median : Md3. Modus : Mod4. Rata-rata Ukur (geometric mean) : Gm.5. Rata-rata Harmonis : Rh.

1. Rata-rata Hitung

Rata-rata hitung (mean) : merupakan jumlah nilai seluruh data dibagi dengan jumlah data.

Mean populasi diberi simbol (miyu)Mean sampel diberi simbol x (eks bar)

i = nomor data, dengan nilai 1 sampai n


x = merupakan nilai datan = jumlah data (sample size)

Contoh : Perusahaan pembuat lampu pijar PT. Jelas Terang pada tahun 1991 telah berhasil memproduksi lampu sebanyak 50.000 buah. Untuk memperoleh informasi teknis tentang umur rata-rata bola lampu pijak tersebut, maka diambil sampel sebanyak 5 buah bola lampu untuk ditest. Dari 5 buah lampu tersebut, didapatkan umur masing-masing bola lampu : 967, 949, 940, 952 dan 922 jam.

Maka umur rata-rata bola lampu (dari sampel) adalah :

Jika sampel tersebut dianggap dapat mewakili populasi maka umur rata-rata bola lampu (untuk 50.000 buah) diduga mendekati 946 jam.

atau = 946 jam

Apabila data disajikan dalam bentuk tabel frekwensi, dimana X1 mempunyai frekwensi f1 kali, X2 mempunyai frekwensi f2 kali dan seterusnya hingga Xn

mempunyai frekwensi fn kali, maka rumus rata-ratanya :

X = Meann = Penjumlahan dari I = 1 s/d n.I=1

f = frekwensi (keseringan terjadi)x = nilai datai = macam nilai data

Contoh : Didapatkan data sebagai berikut : 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10,10.


4 . 6 + 4 . 8 + 6 . 10 116X = =

4 + 4 + 6 14

X = 8,286

Untuk beberapa kumpulan data yang masing-masing kumpulan data telah diketahui nilai rata-rata dan jumlah datanya, maka “mean” dari seluruh kumpulan data dapat dicari langsung dengan cara :

n1 . X1 + n2 . X2 + .. + nk Xk

X = n1 + n2 + . . + nk

X = Meank = Jumlah kelompok datani = jumlah data pada kelompok ke IXi = mean kelompok ke I


Contoh : Berikut ini disajikan data tentang harga beras rata-rata pada 5 kelompok pasar di propinsi X seperti pada tabel berikut ini :

Tabel 1. Harga beras rata-rata pada 5 kelompok pasar di propinsi X pada bulan Desember 1990.

Kelompok Pasar

Jumlah Pasar

Harga BerasRata-rata (Rp.

ABCDE

151082420

320300290310295

n1 . X1 + n2 . X2 + n3 . X3 + n4 . X4 + n5 . X5

X = n1 + n2 + n3 + + n4 + n5

15 . 320 + 10 . 300 + 8 . 290 + 24 . 310 + 20 . 295X =

15 + 10 + 8 + 24 + 20

RATA-RATA HITUNG GRUPED DATA

Grouped data atau data yang telah dikelompokan ialah data yang telah mengalami penyederhanaan dalam bentuk distribusi frekwensi.

m1 . f1 + m2 . f2 + . . + mk . fk

X = f1 + f2 + . . + nk

m1 . f1 + m2 . f2 + . . + mk . fk k mi. f1

i=1

f1 + f2 + . . + nk k mi. f1 i =1


X = rata-rata hitung (mean)m = titik tengah interval kelas (class mark)f = frekwensi i = nomor kelas dari 1 s/d k = notasi penjumlahan

ContohTabel. Perhitungan Rata-rata hitung data yang dikelompokan

Hasil UjianStatistik

mi fi mi . fi

20 – 2930 – 39 40 – 4950 – 59 60 – 6970 – 7980 – 89

24,534,544,554,564,574,584,5

47812982

98241,5356654

580,5596169

Jumlah 50 2695

2695 = = 53, 9

50


Metode Short Cut

Pada dasarnya menghitung rata-rata hitung dengan metode short cut adalah merubah skala titik tengah (class mark) suatu kelas dengan sebuah skala baru yaitu skala U yang bernilai kecil dan bulat = 0, 1, 2, 3 dan selanjutnya skala U ini juga disebut penyeimbangan nomer interval kelas.

Langkah-langkah pengunaan metode short cut.

1. Menentukan letak pusat skala U (skala U = 0) Pusat skala U (U=0) diletakan pada titik tengah (class mark) dari kelas yang memiliki frekwensi yang terbesar, atau kadang-kadang diletakan pada class mark dari kelas yang memiliki urutan tengah.

2. Mengganti masing-masing class mark atau titik tengah dengan skala u. Untuk data yang telah disajikan dalam tabel, maka titik tengah yang berada diatas kelas dengan skala U = 0 diganti dengan –1 dan selanjutnya titik tengah diatasnya lagi diganti dengan –2 demikian seterusnya. Titik tengah dibawahnya berturut-turut diganti dengan 1,2,3 dan seterusnya.

3. Menghitung titik tengah suatu kelas yang dianggap sebagai nilai rata-rata (Xo). Nilai rata-rata ini (Xo) letaknya sebaris dengan skala U = 0.

4. Menghitung faktor koreksi yang akan membuat rata-rata yang diasumsikan (dianggap) menjadi sama dengan rata-rata yang diperoleh dari metode langsung.

Rumus perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short Cut adalah :

Xo = rata-rata hitung yang diasumsikanUi = nilai skala U kelas ifi = frekwensi kelas ii = internval kelas = notasi penjumlahan


Tabel. Perhitungan rata-rata hitung dengan Metode Short CutNomorKelas

IntervalKelas

TitikTengah

Frekwensi(fi)

Skala U(Ui)

Ui . fi

1.2.3.4.5.6.7.

20 – 2930 – 39 40 – 4950 – 59 60 – 6970 – 7980 – 89

54,5

47812982

-3-2-10123

-12-14-809166

50 -3

X = 54,5 + ( -3 ) 10 = 53,9 50

MEDIAN (Md)

Median adalah suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data diurutkan menurut besarnya. Median ini merupakan rata-rata ditinjau dari segi kedudukannya dalam urutan data (positional avarage).

1. Data yang tidak dikelompokan

1.1. Jika jumlah data tidak merupakan kelipatan 2.

Maka nilai median adalah sama dengan nilai data yang memiliki urutan tengah atau data yang bernomor urut k

n + 1k =

2

n = jumlah datak = nomor urut data


Contoh :Didapat kumpulan data sebagai berikut :6, 17, 13, 3, 10, 7, 9

Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :3, 6, 7, 9 , 10, 13, 17

k selanjutnya dapat dicari sebagai berikut :

n + 1 7 + 1k = = = 4

2 2

Jadi nilai mediannya sama dengan nilai data yang memiliki urutan data yang ke –4, y.i = 9

1.2. Jika jumlah data merupakan kelipatan 2

Maka k merupakan bilangan rasional pecahan, yang didapat dari rumus:

n + 1k =

2

Sedangkan nilai mediannya merupakan rata-rata nilai data yang bernomor urut paling dekat dengan k. Rumus mediannya adalah :

na + nb

Md = 2

na & nb adalah nilai suku yang dekat dengan k.


Contoh :

Didapatkan kumpulan data sebagai berikut :

4, 8, 7, 15, 12, 13.

Maka mediannya dapat dicari sebagai berikut :

4, 7, 8, 12, 13, 15

data tersebut n –nya = 6 (kelipatan 2)

maka k = n + 1 = 6 + 1 = 3,52 2

Data yang paling dekat dengan k adalah :

Data ke – 3 ke ke – 4 dan berturut-turut memiliki nilai 8 dan 12.

Md = 8 + 12 = 10 merupakan nilai rata-rata dari dua nilai yang ada2 ditengah.

2. Data yang dikelompokan (Grouped Data)

Median Grouped data merupakan sebuah nilai yang membagi seluruh luas histogram frekwensi menjadi dua bagian yang sama besar.

Perhitungan Media data yang telah dikelompokan.

1. Menentukan letak median pada suatu kelas.

Kelas median terletak pada kelas yang pertama kali mempunyai frekwensi kumulatif dari atas sama dengan atau melebihi n/2.

2. Mencari nilai median (Md) dengan rumus :

Md = TB + (n/2) – F x i Fm

TB = tepi kelas bawah dari kelas yang memuat median


n = jumlah frekwensi/banyaknya observasiF = Frekwensi kumulatif “dari atas” pada klas sebelum klas median.Fm = Frekwensi klas mediani = Interval klas median

Tabel. Perhitungan Median Grouped DataHasil Ujian

Banyaknya Mahasiswa

Frekwensi kumulatifkurang dari

20 – 2930 – 39 40 – 4950 – 59 60 – 6970 – 7980 – 89

47812982

4111931404850

50

Md = 49,5 + 50/2) – 19 x 10 = 54,5 12

Perhitungan median dapat juga didasarkan pada tepi kelas atas (upper class boundary) dengan rumus :

Md = TA – n/2 – F x iFm

TA = tepi kelas atas (upper class boundary)n = jumlah frekwensi/banyaknya observasiFm = frekwensi kumulatif kurang dari pada klas sebelum klas

mediani = interval kelas

Md = 59,5 – (50/2) – 19 x 10 12

= 59,5 – 5 = 54,5 MODUS (Mod)

Modus atau mode adalah nilai dari observasi atau pengamatan yang memiliki frekwensi tertinggi.

Nilai observasi yang memiliki 2 modus disebut Bimodal, dan lebih dari 2 disebut “Multi Modal”.

1. Modus data yang tidak dikelompokan.


Diketahui sekumpulan data sebagai berikut :

3, 5, 8, 2, 9, 10, 10, 9, 9, 11, 12, 18, 18, 9.

Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

Penyelesaian : dibuat tabel frekwensi

X Y358910111218

21142112

2. Data yang dikelompokan

TB = tepi kelas bawah dari kelas modusi = interval kelasS1 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sebelumnya.S2 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi klas sesudahnya.

Tebel. Distribusi frekwensi hasil ujianHasil Ujian Jumlah Mahasiswa

20 – 2930 – 39 40 – 4950 – 59 60 – 6970 – 7980 – 89

47812982


Mod : 9

= 49,5 + 5,7 = 55,2

Perhitungan modus dapat juga didasarkan pada tepi klas atas (TA) dengan rumus sebagai berikut :

TA = tepi kelas atas

Perbandingan antara rata-rata hitung, Median & Modus

1. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva yang simetris sempurna, maka letak rata-rata hitung (X), median (Med) dan modus (Mod) adalah sama.

2. Jika distribusi frekwensi mempunyai kurva menceng kekanan, maka nilai rata-rata hitung (X) paling besar, diikuti dengan median (Md), kemudian modus (Mod) sebagai berikut :

3. Apabila distribusi frekwensi kurvanya menceng kekiri maka nilai rata-rata (X) paling kecil, diikuti median (Md), kemudian modus (Mod) sebagai berikut :


Rata-rata ukur dan Rata-rata Harmonis

Rata-rata Ukur (Gm)

Dalam bidang bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan informasi tentang tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

Misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi, harga, pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalu.

Cara menghitung rata-rata ukur secara sederhana dari serangkaian nilai observasi X1, X2, ..., Xn dirumuskan sebagai berikut :

nGm = X1 . X2 . . . Xn

Rata-rata ukur suatu kelompok nilai X1, X2, X3 . ., Xn merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-masing nilai dari kelompok tersebut.Untuk mencari rata-rata ukur dapat juga digunakan rumus :

n log Xi

log Gm = i = 1

n

atau n log Xi

Gm = antolog i = 1

N

Diketahui serangkaian nilai observasi sebagai berikut :

10, 8, 12, 15

Berapa rata-rata hitungnya ?


4Gm = X1 . X2. X3 . X4

4 4 = (10) (8) (12) (15) = 14.400 = (14400)1/4

= 10,95

atau dapat dihitung dengan jalan sebagai berikut :

log Gm = ¼ (log 10 + log 8 + log 12 + log 15) = ¼ (1 + 0,9031 + 1,0792 + 1,1761) = ¼ (4,1584) = 1,0396

Gm = antilog 1,0396 = 10,95

Hubungan antara Rata-rata Ukur dan Bunga Majemuk

Rumus bunga majemuk (Compound Interest) :

Pn = P0 (1 + r)n

P0 = Jumlah uang permulaanr = tingkat bunga (rate of interest)n = banyaknya waktuPn= jumlah akumulasi pada akhir tahun ke – n (end of n period)

Jika tingkat bunga berubah dari waktu ke waktu yaitu, r1, r2, ..,rn, maka jumlah akumulasi uang pada akhir tahun ke – n :

Pn = P0 (1 + r1) (1 + r2) ... (1 + rn)

Hubungan antara Gm dengan bunga majemuk dapat diuraikan sebagai berikut :


Pn = P0 (1 + r)n

Pn = P0 (1 + r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

P0 = (1 + r)n = P0 (1+r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

(1 + r)n = (1+r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

Jika diambil akar dengan pangkat n, maka

n n (1 + r)n = (1 + r)n = (1+r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

Jadi (1 + r ) = merupakan rata-rata ukur dari (1+r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

Jika jumlah uang pada permulaan tahun P0 = 100.000,- dan dibungakan dengan tingkat bunga r = 3% maka jumlah uang pada akhir tahun pertama

P1 = 100.000 (1+0,03) = 103.000,-

PI 1031 + r1

= ---- = ------- = 1,03 P0 100

Jadi nilai-nilai (1+r1) (1 + r2) .. (1 + rn) menunjukan hubungan relatif antara nilai P dengan nilai P sebelumnya.

P1 (103.000) adalah 3% > P0 (100.000)

Angka (1 + r) merupakan rata-rata relatif (average relative), dan angka r merupakan rata-rata persentase tingkat perubahan per periode waktu.

Untuk menghitung r dapat digunakan rumus :

Contoh :


Diketahui tingkat produksi barang A mempunyai kenaikan sebesar 25% dai tahun pertama ke tahun kedua, selanjutnya 40% dari tahun kedua ke tahun ketiga. Produksi mula-mula = 100 ton.

Hitung rata-rata tingkat kenaikan (average rate of increase) selama 2 tahun tersebut.

Pn = P0 (1 + r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

P2 = P0 (1 + r1) (1 + r2)P2 = 100 (1 + 0,25) (1 + 0,4) = 125 (1,4) = 175

P0 = 100

175 r = - 1 = 1,323 ( 32, 3%)

100

atau

n1 + r = (1+r1) (1 + r2) .. (1 + rn)

n1 + r = (1+0,25) (1 + 0,4) = 1,75

r = 1,75 – 1 = 0,323 (32,3%)

jadi rata-rata tingkat kenaikan r = 32,3%.

Jadi dapat disimpulkan, bahwa rata-rata tingkat perubahan sebesar r diperoleh dengan menggunakan rumus rata-rata ukur, yang merupakan tingkat bunga didalam rumus bunga majemuk (compound interest).

Contoh :


Pendapatan Nasional (National Income) suatu negara pada tahun 1988 sebesar 400 milyar dan tahun 1992 menjadi 600 milyar selama 4 tahun berapa besarnya rata-rata tingkat pertumbuhan ?

n = 4Pn = P0 (1 + r)n

600 = 400 (1 + r )4

600 4 600(1 + r)4

= r = -1 = 1,105 – 1 = 0,107 400 400

atau

4 600 4P = = 6/4 = ( 6/4 )1/4

400

log P = ¼ log 6/4 = ¼ (log 6 – log 4)= ¼ (0,778 – 0,002) = 0,176/4 = 0,044

P = 1,107 r = 1,107 –1 = 0,107

Jadi rata-rata tingkat pertumbuhan pendapatan nasional selama 4 tahun = 0,107 = 10,7%

Rata-rata ukur data yang dikelompokan

Apabila sebuah distribusi frekwensi mempunyai nilai-nilai titik tengah (class mark) m1, m2, . ., mk dengan frekwensi masing-masing f1, f2, . ., fk, maka rata-rata ukurnya dapat dicari dengan rumus :

nGm = m1. f1. m2. f2 . . . mk . fk

log m1. f1 + m2. f2 + . . + log mk . fk

LogGm = n

n log mi . fI n = f1 + f2 + . . + fk

log Gm = i = 1

n


Tabel. Cara menghitung rata-rata ukur dari hasil ujian statistik 50 mhs FE.UI. Th. 1986.

Hasil Ujian mi fi log mi log mi fi mifi20 – 2930 – 39 40 – 4950 – 59 60 – 6970 – 7980 – 89

24,534,544,554,564,574,584,5

47812982

1,389171,537821,648361,736391,809561,872161,92686

5,5566810,7647413,1868820,8366816,2860414,977283,85372

98241,5356654

580,5596169

50 85,46202 2695

85,46202 log Gm = = 1,70924

50

Gm = anti log 1,70924 = 51,1965

Rata-rata ukur hasil ujian 50 mhs FE.UI. Th.1986 adalah 51,1965. Bila kita hitung rata-rata ( X ) data diatas, maka akan diperoleh hasil :

2695X = = 53,9

50

Hasil pengukuran dengan rata-rata hitung (mean) seharusnya lebih besar dari pada hasil pengukuran rata-rata ukur.

Rata-rata harmonis (Rh)

Rata-rata harmonis dari n angka, X1, X2, . . , Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut.


Rata-rata harmonis dari angka-angka : 1, 3, 9 adalah

3 3 3Rh = = =

1/1 + 1/3 + 1/99/9 + 3/9 + 1/9 13/9

3 x 9 = = 2,077

13

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekwensi maka rumusnya :

Rata-rata ukur (Gm) khususnya berguna dalam penghitungan tingkat pertumbuhan, kalau harmonis mean (rata-rata harmonis) digunakan dalam menghitung rata-rata tingkat kecepatan.

KWARTIL, DESIL DAN PERSENTIL

Kwartil.

Jika median adalah harga yang membagi distribusi angka menjadi dua bagian yang sama, maka “kwartil” adalah harga yang membagi distribusi angka menjadi 4 (empat) bagian yang sama. Sehingga terdapatlah tiga harga kwartil, yaitu :

- Kwartil pertama (K1) : adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekwensi dibagian bawah distribusi dari 75% frekwensi dibagian atas.

- Kwartil kedua (K2) : adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekwensi dibawah dan diatasnya k2 = Md.

- Kwartil kedua (K3) : adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekwensi bagian bawah dan 25% frekwensi bagian atas.


Nilai f

K3 25% K3

50%K2 75% K2

75%

K1 K1 50% 25%

Gambar . Tempat kedudukan kwartil dalam distribusi

Jika suatu kelompok data (nilai) sudah diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka untuk menghitung K1, K2 dan K3 digunakan rumus :

i (n + 1)Ki = nilai yang ke

4

i = 1, 2, 3

Contoh : Upah bulanan 13 karyawan super store X dalam 1000 Rp. 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.K1, K2 dan K3 ?

Penyelesaian :Data upah setelah diurutkan : 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100. n = 13

1 (13 + 1)


K1 = nilai yang ke . 14/4 : 3 ½ 4

nilai yang ke 3 ½, berarti rata-rata dari X3 dan X4

K1 = ½ (40 + 45) = 42,5

2 (13 + 1) 28K2 = nilai yang ke = = 7

4 4

jadi K2 ialah X1 = 60

3 (13 + 1) 42K3 = nilai yang ke = = 10,5

4 4 K3 = ½ (80 + 85) = 82,5

Rumus : Desil

i (n + 1)Di = nilai yang ke

10

i = 1, 2, . . , 9

Rumus : Persentil

i (n + 1)Di = nilai yang ke

100

i = 1, 2, . . , 99


Untuk data yang telah dikelompokan maka rumus Kwartil, Desil dan Persentil adalah sebagai berikut :

TB = tepi kelas bawah dari kelas yang memuat kwartil ke In = banyaknya observasi (jumlah seluruh frekwensi)fk = frekwensi kumulatif kurang dari pada kelas sebelum kelas kwartilf = frekwensi kelas dimana kwartil beradaI = Interval kelas

Contoh :

Interval Kelas

f frekwensi kumulatif

72,2 – 72,472,5 – 72,772,8 – 73,073,1 – 73,373,4 – 73,673,7 – 73,974,0 – 74,274,3 – 74,5

2510132723164

271730578096100

100

25 - 17 = 73,05 + ( ) 0,30 = 73,05 + 0,18 = 73,23

13

Rumus Desil


Rumus Persentil

Contoh :

60 - 57 = 73,65 + ( ) 0,30 = 73,65 + (3/23) 0,30

23

= 73,69

Berarti 60% dari observasi nilainya sama atau lebih kecil dari 73, 69.

20 = 73,35 + ( ) 0,30 = 73,35 + 0,22 = 73, 57


27

Berarti 50% dari observasi nilainya sama atau lebih kecil dari 73, 57.

UKURAN VARIASI( DISPERSI )

Yang dimaksud ukuran variasi (measures of variation) adalah ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data berbeda atau menyimpang dari nilai pusatnya. Maka ukuran variasi tersebut sering disebut sebagai ukuran penyimpangan (measures of dispersion).

Beberapa jenis ukuran (dispersi):1. Range (Nilai Jarak)2. Simpangan rata-rata (Mean Deviation)3. Simpangan baku (Standard Deviation)4. Koefisien Variasi (Coefficient of Variation)

Nilai Jarak (Range)

Range atau nilai jarak adalah selisih nilai-nilai extreme yang terdapat dalam kumpulan data atau dengan kata lain selisih nilai tertinggi dengan nilai terendah dalam kumpulan data.

Range = Xn – X1

Xn = Nilai maksimum (terbesar)Xi = Nilai minimum (terkecil)

Contoh : Terdapat kumpulan data sbb:


50 ; 40 ; 30 ; 60 ; 70.

Diurutkan dahulu X1 = 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70

Range = X5 – X1 =70 – 30 = 40

Simpangan Rata-rata (Mean Deviation)

Secara aritmatis mean deviation dapat didefinisikan sebagai mean dari deviasi nilai-nilai individual yang diambil harga mutlaknya.Jika serangkaian nilai-nilai observasi X1 X2 .. Xn, memiliki rata-rata X, maka deviasi nilai-nilai diatas dari Χ-nya, berturut-turut dapat dinyatakan sebagai :

_ _ _X1 – X, X2 – X . ., Xn – X

Jadi simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata dari seluruh nilai-nilai observasi Xi dapat dirumuskan sebagai :

dx = simpangan seluruh nilaijumlah seluruh data

dx = simpangan rata-rata data yang tidak dikelompokan n = jumlah seluruh datai = nomor dataXi = nilai data nomor iX = mean seluruh nilai dataPusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM

STATISTIK I

Contoh. Terdapat sekelompok data sebagai berikut :

50, 40, 30, 60, 70.

Simpangan rata-rata atau mean deviasi ?

X = 50 + 40 + 30 + 60 + 70 = 250 = 505 5

dx = 1/n { X1 - X + X2 – X + X3 – X + X4 – X + X5 – X }

1/5 { 50 - 50 + 40 – 50 + 30 – 50 + 60 – 50 + 70 – 50 }

1/5 ( 0 + 10 + 20 + 10 + 20 ) = 1/5 . 60 = 12

Data yang dikelompokan

Pada bentuk data yang telah dikelompokan, nilai tengah kelas (class mark) dianggap sebagai nilai yang representatif bagi nilai-nilai yang terdapat dalam kelas yang bersangkutan.

Jadi rumus dx untuk data yang telah dikelompokan :


n = jumlah kelas distribusii = nomor kelasmi = titik tengah kelas (class mark) dari kelas ix = mean data yang telah dikelompokanfi = frekwensi dari kelas distribusi ke-i

Tabel. Cara menghitung rata-rata dan deviasi rata-rata hasil ujian statistik 50 mhs. FE. UI. Th. 1986.

Interval

Kelas Hasil

Ujian

Titik

Tengah

(mi)

fi mi - x fi (mi-x)

20 – 29

30 – 39

40 – 49

50 – 59

60 – 69

70 – 79

80 – 89

24,5

34,5

44,5

54,5

64,5

74,5

84,5

4

7

8

12

9

8

2

29,4

19,4

9,4

0,6

10,5

20,6

30,6

117,6

135,8

75,2

7,2

94,5

164,8

61,2

50 656,3

Sumber : Data tabel 3.


dx = 656,3 = 93,76

7Simpangan Baku (Standard Deviation)

Yang dimaksud dengan “simpangan baku atau standard deviasi” adalah suatu nilai yang menunjukan besarnya simpangan rata-rata seluruh nilai yang ada dalam kelompok data dengan nilai pusatnya dengan cara menghilangkan kemungkinan nilai nol dengan jalan dikuadratkan.

Jika ( Xi - X ) dikuadratkan (dimana paling sedikit ada 2 nilai yang tidak sama), kemudian dirata-ratakan, maka pengrata-rataan hasil penjumlahan tersebut tidak akan sama dengan nol. Dengan kata lain (Xi – X)2 0

n

Rumus yang demikian ini disebut “deviasi kuadrat rata-rata”, dan Karl Pearron menyebutnya pengukuran varians dan dirumuskan sebagai :

Standarisasi unit-unit pengukuran diatas dilakukan melalui proses pengakaran sebagai berikut :


Karl Pearson menamakan rumus diatas sebagai rumus “standard deviation atau simpangan baku”.

Simpangan baku atau standard deviasi sampel diberi notasi s, sedangkan standar deviasi populasi dinyatakan dengan σ(sigma).

Data yang tidak dikelompokan

Terdapat kumpulan data sebagai berikut :70, 60, 50, 40, 30

Mean (X) dari kumpulan data tersebut :

X = 1/5 (70 + 60 + 50 + 40 + 30) = 1/5(250) = 50

Tabel. Perhitungan standar deviasixi (xi – x) (xi – x)2

7060504030

20100

-10-20

4001000

100400

n (xi – x)2 = 1.000 i=1

Varian = S2 = n (xi – x)2

i=1 n


S2 = 1000 = 200 5

Standard deviasi = 200 = 10 2 = 14,1421

Jika jumlah sampel n < 100, Fisher dan Wilks memberi perumusan tentang varians dan deviasi standar sebagai :

dan

Karena jumlah sampelnya <100 (5) maka penghitungan standard deviasinya adalah sebagai berikut :

S = 1000 = 1000 = 250 = 15,81 5 – 1 4

Deviasi standard sampel diatas sebetulnya digunakan sebagai penaksir yang tidak bias (un-biased estimate) bagi deviasi standard populasi .


Banyak ahli statistik yang manganjurkan penggunaan pembagi n-1 dalam meninghitung deviasi standard atau simpangan baku sampel untuk menaksir simpangan baku populasi.

Varians dan Standard Deviasi Populasi

n = jumlah observasi (data) dalam populasi = rata-rata populasi

Dengan mengadakan sedikit manipulasi matematis (operasi aljabar) maka rumus standard deviasi tersebut dapat dirubah menjadi :

1. Untuk sampel berukuran besar, n > 100

2. Untuk sampel berukuran kecil, n < 100


Tabel. Perhitungan standard deviasiData Xi Xi2

1

2

3

4

5

70

60

50

40

30

4.900

3.600

2.500

1.600

900

Total 250 13.500

S = 5 (13.500) – (250)2 = 67.500 – 62.500 5 (5-1) 20

= 5000 = 250 = 15,81 20

Untuk Data yang telah dikelompokan

Rumus varians dan standard deviasi dari data yang telah dikelompokan dapat diberikan sebagai berikut :

mi = titik tengah tiap-tiap kelasfi = jumlah frekwensi kelasi = nomor kelas dari 1 s/d k.


Tabel. Perhitungan vairans dan standard deviasi hasil ujian statistik 50 mhs. FE.UI Th. 1986.

Hasil Ujian

mi fi (mi-x) (mi-x)2 (mi-x)2 . fi

20 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 89

24,534,544,554,564,574,584,5

47812982

-29,4-19,4-9,40,3610,620,630,6

864,36376,3688,360,36

112,36424,36936,36

3457,442634,52706,88

4,321011,243394,881872,72

50 13082

X = 53,9

S2 = 13082/49 = 266,98

S = 266,98 = 16,34

Hasil ujian statistik bervariasi dari mahasiswa ke mahasiwa. Rata-rata hasil ujian 50 mahasiswa 53,9 dengan deviasi sebesar 16,34 dari hasil ujian rata-rata 53,9. Hal tersebut berarti hasil ujian dari mahasiwa ke mahasiwa bervariasi sebesar 16,34 dari hasil rata-rata 50 mahasiwa yang sebesar 53,9.

Perhitungan Standard Deviasi secara singkat


Apabila ingin digunakan metode singkat (short cut method) untuk mencari standard deviasi data yang telah dikelompokan, maka dapat digunakan rumus :

atau

Untuk menghitung standar deviasi sampel yang memiliki jumlah data 100 maka digunakan rumus :

Tabel. Perhitungan simpangan baku hasil ujian Statistik 50 Mhs. FE.UI. Th. 1986.

Hasil Ujian

mi fi Ui Ui2 Uifi Ui2fi

20 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 89

24,534,544,554,564,574,584,5

47812982

-3-2-10123

9410149

-12-14-809166

36288093218

50 -3 131


S = 10 50 (131) – (-3)2 = 10 6541 50 (50-1) 20

= 10 2,6698 = 10 (1,634) = 16,34

Nilai Standard (Standard Score)

SD sebagai ukuran variabilitas, selalu dinyatakan dalam satuan seperti cm, rupiah, kg dan sebagainya satuan yang digunakan oleh distribusinya.

Tidak demikian halnya dengan “nilai standard” yang tidka lagi tergantung kepada satuan pengukuran seperti cm, rupiah, kg dan sebagainya.

Nilai standard atau Z – score adalah satu nilai yang menunjukan seberapa jauh suatu nilai observasi menyimpang dari mean (X) yang dinyatakan dalam SD. Rumusnya adalah sebagai berikut :

Zi = Xi – X SD

Z = nilai standardXi = nilai observasi

X = mean distribusiSD (s) = Standard deviasi distribusi


Contoh :Badu seorang mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas “X” mendapat nilai 70 dalam mata pelajaran akuntansi. Mean (X) dari distribusi nilai akuntansi dalam kelompok mahasiswa Fakultas Ekonomi tersebut adalah 50 dan SD = 10.

Jadi Z – score nilai akuntansi Badu :

Z = 70 – 50 = 20 = 210 10

Koefisien Variasi

Standard deviasi atau simpangan baku yang dinyatakan dalam ukuran yang sama dengan data aslinya, hanya dapat digunakan untuk melihat penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu kumpulan data. Bukan merupakan ukuran penyimpangan (variasi) yang dapat digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data. Hal ini akan menyulitkan, apabila seseorang ingin membandingkan dua kelompok data atau dua keadaan yang mempunyai dasar yang berbeda.

Untuk mengatasi kelemahan tersebut dalam membandingkan dua kelompok data, maka digunakan “variasi relatif atau koefisien variasi” yang bebas dari satuan data asli.

Yang dimaksud dengan “koefisien variasi” adalah ukuran variasi yang dapat digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda, yaitu standard deviasi terhadap X-nya.

Koefisien variasi ini dapat ditemukan dengan rumus :

Kv = S x 100%Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB YANUAR, SE. MM

STATISTIK I

X

Kv = koefisien variasiS = standard deviasi (simpangan baku)X = mean (rata-rata hitung)

Contoh : Suatu pabrik bola lampu memproduksi 2 jenis bola lampu, yaitu merk A dan merk B. Bola lampu merk A mempunyai umur teknis rata-rata, XA = 1495 jam dan standar deviasinya SA = 280 jam, sedangkan merk B XB-nya = 1875 dengan standard deviasinya SB = 310 jam.

KvA = SA x 100% = 280 x 100% = 18,7% XA 1495

KvB = SB x 100% = 310 x 100% = 16,5% XB 1875

Jadi mereka lebih berbeda-beda dalam umurnya yang ditunjukan oleh Kv umur > Kv berat badan.

Pengukuran Kemencengan

Untuk mengetahui simetris atau tidaknya suatu kurva distribusi frekwensi pada nilai-nilai pusatnya, maka dapat digunakan perbedaan nilai-nilai pusat untuk mendekatinya.

Apabila suatu distribusi memiliki bentuk simetris maka :

X = Md = Mod


Dan jika distribusi tersebut tidak simetris maka :

X Md Mod

Distribusi yang tidak simetris tersebut akan berkonsentrasi pada salah satu sisi atau kurvanya akan menceng (condong).

Untuk mengetahui konsentrasi distribusi kearah kanan atau kiri, kita dapat menggunakan koefisien kemencengan Pearson (Coefisient Skewness Pearson).

Koefisien kemencengan Pearson ini merupakan nilai tanpa satuan dan merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi dengan standar deviasi.

Sk = ( X – Mod ) S

Sk = koefisien kecondongan PearsonX = rata-rata hitung (mean)Mod = modusS = standard deviasi

Secara empiris didapat hubungan antara nilai pusat sebagai berikut :

X – Mod = 3 ( X – Md )

Maka rumus Sk dapat dirubah menjadi

Sk = 3 ( X – Md )


S

Md = median

Bila Sk > 0 atau positif, maka distribusi akan berkonsentrasi pada sisi sebelah kanan dan X terletak disebelah kanan Mod. Apabila dibuat kurva distribusinya maka akan berbentuk seperti gambar 1., dibawah ini :

Gambar 1. Kurva distribusi dengan Sk positif atau kurva menceng kekanan

Jika Sk < 0 atau negatif, maka kurva distribusi tersebut akan menceng (condong) ke kiri dan X terletak disebelah kiri Mod, seperti gambar 2 dibawah ini.

Gambar 2. Kurva distribusi, Sk < 0


Tabel 1. Distribusi frekwensi nilai UTS matematika Mahasiwa FE-0J., pada semester I T.A. 1992

Nilai UTS Frekwensi30,00 – 39,9940,00 – 49,9950,00 – 59,9960,00 – 69,9970,00 – 79,99

4101795

X = 55,217Md = 54,995Mod = 54,6616SD = 36,5513

Maka besarnya koefisien kemencengan distribusi tersebut dapat dicari sebagai berikut :

Sk = X – Mod = 55,217 – 54,6616U = 0,01595SD 36,5513

Karena Sk > 0 maka kurva distribusinya akan menceng ke kanan.

Ukuran kemencengan lain yang penting dan paling banyak digunakan, dilambangkan dengan 3, atau disebut sebagai rumus populer.

3 = 1/n (X i – X ) 3 S3

3 = sering disebut “moment coficient of skewness”


(tingkat kemencengan).n = jumlah data/observasiXi = nilai data yang ke IX = rata-rata hitungS = standar deviasi/simpangan baku.

Untuk data yang telah dikelompokan

3 = 1/n (m i – X ) 3 f i

S3

mi = titik tengah kelas ke ifi = frekwensi kelas ke i

Tabel 2. Perhitungan 3 distribusi nilai ujian statistik 50 mhs

FE.UI. Tahun 1986.Nilai Ujian fi mi fi.mi mi-x (mi-x)2 fi(mi-x)2 (mi-x)3 fi(mi-x)3

20 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 89

47812982

24,534,544,554,564,574,584,5

98241,5356654

580,5596169

-29,4-19,4-9,40,6

10,620,630,6

864,36376,3688,360,36

112,36424,36

936

3457,442634,52706,88

4,321101,243394,881872,72

-25412,184-7301,384-830,584

0,2161191,0168741,816

28652,616

-101648,736-51109,688-6644,672

2,59210719,14469934,52857305,232

50 2695 13.082 -21441,6

fi.mi 2695X = = = 53,9 fi 50

fi. (mi – x)2 13.082S = = = 16,175

fi 50

1/50 ( -21441,6 )3 =

(16,175 )3

3 = - 0,101


Makin besar 3, kurva suatu distribusi makin menceng atau miring.

Rumus Bowley tentang Kemencengan

Bowley memberikan perumusan tentang pengukuran kemencengan yang lebih sederhana dari perumusan Pearson. AL. Bowley mengembangkan perumusan tersebut berdasarkan hubungan antara Q1, Q3 dan Md (median) dari sebuah distribusi.

Jika sebuah distribusi adalah simteris, maka jarak antara kedua kwartil tersebut dari mediannya adalah sama. Tetapi bila tidak simetris, maka jarak antara kedua kwartil tersebut dari mediannya tidak sama.

Rumus Bowley diberikan sebagai berikut :

(Q3 – Q2 ) – ( Q2 – Q1 )SkB =

(Q3 – Q2 ) + ( Q2 – Q1 )

(Q3 – Q2 ) – ( Q2 – Q1 ) =

( Q3 - Q1 )

( Q3 + Q1 - 2 Q2 ) =

( Q3 - Q1 )

Bowley berpendapat bahwa SkB = 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng secara tidak berarti.

Sebaliknya, jika SkB > 0,30 menggambarkan distribusi yang menceng secara berarti sekali.


UKURAN KERUNCINGAN (KURTOSIS)

Ukuran keruncingan atau ketinggian puncak distribusi dinamakan “kurtosis”. Keruncingan suatu distribusi biasanya dilihat dengan membandingkannya terhadap keruncingan atau ketinggian distribusi normal.Suatu distribusi yang mempunyai puncak relatif runcing atau tinggi disebut “leptokurtic”. Distribusi yang mempunyai puncak relatif tumpul atau mendatar dinamakan “platy kurtic”. Distribusi normal, yang mempunyai bagian atas (puncak) tidak mendatar maupun tidak runcing disebut “mesokurtic”.

Gambar 3.

Ukuran keruncingan yang biasa digunakan adalah 4 (alpha 4) dan disebut sebagai “moment coefisient of kurtosis” atau koefisien kurtosis (coeficient of kurtosis) saja.

Koefisien kurtosis ini dapat dirumuskan sebagai berikut :


1. Untuk data yang tidak dikelompokan

4 = 1/n (Xi – X) 4 S4

4 = Koefisien kurtosisn = jumlah dataXi = nilai data yang ke IX = rata-rata hitungS = standard deviasi (simpangan baku)

2. Untuk data yang dikelompokan, ada 2 rumus

a. 4 = 1/n (mi – X) 4 . fi S4

mi = titik tengah kelas ifi = frekwensi kelas i

b.

i = interval kelask = jumlah kelasUi = skala U untuk kelas I


Tabel 3. Perhitungan koefisien kurtosis (4) distribusi nilai ujian IAD mhs. Universitas Obor Jagad, Th. 86.

Nilai Ujian mi fi Ui Ui.fi Ui2.fi Ui3.fi Ui4.fi30,00 – 39,99

40,00 – 49,99

50,00 – 59,99

60,00 – 69,99

70,00 – 79,99

34,995

44,995

54,995

64,995

74,995

4101795

-2-1012

-8-100910

1600920

-32-100940

64100980

45 1 55 7 163

S sudah dihitung = 36,5513 ; n = 45, k = 5, i = 10

10 163 – 4 x 7 (1) + 6 x 55 (1)2 – 3 (1)4 4 =

(36,5513) 45

= 10 x 462 = 102,66 = 0,0000057 (36,5513) 45 (36,5513)4

Dalam perhitungan koefisien kurtosis jika :

1. 4 = 3, maka distribusinya adalah “mesokurtic”.2. 4 > 3, maka distribusinya adalah “leptokurtic”.3. 4 < 3, maka distribusinya adalah “platykurtic”.


ANGKA INDEKS

Angka indeks(index number) adalah angka yang dibuat sedemikian rupa sehingga dapat digunakan untuk membandingkan tentang hal atau kegiatan yang sama dalam dua waktu yang berbeda. Angka indeks yang dimaksudkan disini adalah ukuran yang menunjukkan perubahan tingkat harga, kualitas atau produktivitas dibandingkan dengan periode tertentu yang dinamakan periode dasar.

Jadi untuk membuat angka indeks itu diperlukan dua waktu yang berbeda, yaitu waktu atau periode dasar (based period) dan waktu yang sedang berjalan (current period).

Waktu dasar : adalah waktu dimana suatu kegiatan/kejadian dipergunakan untuk dasar perbandingan.

Waktu yang sedang berjalan : adalah waktu dimana suatu kegiatan/kejadian akan dibandingkan dengan kegiatan yang terjadi pada waktu dasar.

Angka Indeks dapat dibagi menjadi dua yaitu indeks harga (price index) dan indeks kwantitas (quantity index).

Indeks harga mencakup semua indeks yang satuan aslinya dalam satuan mata uang, seperti indeks harga, indeks penerimaan, indeks upah/gaji indeks biaya hidup.

Indek kwantitas mencakup semua indeks yang satuan aslinya dalam satuan fisik seperti berat, luas, volume, antara lain seperti indeks produksi, indek barang yang diangkat, indeks barang yang dimuat dipelabuhan.

Jenis-jenis Indeks Harga

1. Indeks Harga Konsumen (IHK)


Indeks harga konsumen (consumer price index) diracang untuk mengukur perubahan harga dari sekumpulan barang-barang dan jasa-jasa tertentu, yang dihitung dengan metode agregat tertimbang rumus Laspeyres.

Dalam penyusunan indeks harga konsumen Biro Pusat Statistik (BPS) mengambil data harga eceran dari 27 kota propinsi di Indonesia.

Sekumpulan barang-barang dan jasa-jasa yang digunakan dalam penyusunan “indeks harga konsumen” meliputi sekitar 50 barang dan jasa, yang dikelompokan kedalam sub golongan makanan, perumahan, sandang aneka barang dan jasa.

Pengetahuan tentang indeks harga konsumen diperlukan untuk mengetahui daya beli rupiah pada suatu periode. Misalnya, IHK pada tahun 1986 = 300 dengan IHK tahun 1978 = 100, maka daya beli rupiah tahun 1986 IHK78 = 100 = 1/3 IHK86 = 3001/3Daya beli tahun 1986 hanya 1/3 daya beli tahun 1978.

2. Indeks harga Perdagangan Besar (Indeks Harga Produsen)Perhitungan indeks ini juga menggunakan rumus Laspeyres, harga-harga yang digunakan dalam indeks diperoleh dari produsen barang-barang itu sendiri, dan bukan dari perdagangan besar.

BPS saat ini menerbitkan beberapa macam indeks perdagangan besar seperti indeks harga perdagangan besar sektor pertanian, pertambangan, industri, konstruksi, impor, ekspor non migas, ekspor migas dll. Indeks harga perdagangan besar umum diwakili oleh 281 jenis barang.

Pengetahuan tentang indeks harga perdagangan besar biasanya digunakan dalam kontrak jangka panjang yang memungkinkan terjadinya perubahan harga yang dapat berpengaruh terhadap kebijaksanaan suatu perusahaan.

3. Implicit Price Deflator (IPD)Produk Domestic Bruto adalah nilai seluruh barang dan jasa akhir yang diproduksi oleh perekonomian suatu negara. Dengan menjumlahkan perkalian antara harga dan kuantitas pada periode tertentu dari seluruh barang dan jasa akhir akan diperoleh PDB harga yang berlaku.

Jika ingin diketahui pertumbuhan PDB atas harga pada periode dasar (ingin diketahui pertumbuhan kuantitas produksi) maka harus diketahui PDB tahun yang dipertimbangkan (tahun yang sedang berjalan) atas harga pada periode dasar, yang dikenal dengan PDB harga konstant.


PDB Harga BerlakuPDB harga konstant = x 100

(PDB riil) Indeks Harga

Indeks harga yang digunakan untuk medeflasi PDB harga berlaku agar diperoleh PDB harga konstant dinamakan “Implicit Price Deflator”.

PDB Harga BerlakuImplicit Price Deflator =

(IPD) PDB Harga Konstant

“Deflator” biasanya dicari dengan rumus-rumus Laspeyres, Deflator untuk periode n dengan periode dasar 0 dirumuskan :

Pn . Q0

IPD = x 100

Pn . Q0

Deflator (IPD) harus ditemukan sebelum mendapatkan PDB harga konstan.

Penentuan Waktu Dasar (Based Period)Waktu dasar harus dipilih berdasarkan syarat berikut :1. Supaya dipilih waktu atau periode yang stabil artinya tidak terjadi gejolak

ekonomi, sosial atau politik sebut saja waktu normal.

2Waktunya jangan terlalu jauh dibelakang misalnya lebih dari 10 tahun. Harga tahun 1990 jangan dibandingkan dengan harga tahun 1970 atau sebelumnya.

2. Adanya peristiwa penting seperti penggantian kabinet baru, pimpinan perusahaan baru atau kebijaksanaan (policy) baru.

Metode Penyusunan Indeks Harga

Indeks harga tidak tertimbang (unweighted index).1. Metode angka relatif

Metode angka relatif ini merupakan metode penyusunan angka indeks paling sederhana dan cocok untuk mengukur perbedaan nilai-nilai satu macam variabel yang berbeda waktu dan dapat dicari dengan rumus :

Pn

IHR = ---- x 100 P0


IHR = Indeks harga relatif tahun nPn = harga pada tahun nP0 = harga pada tahun dasar

Tabel 1. Perhitungan Indeks Harga Relatif ikan segar di pasar x dengan tahun dasar tahun 1980.

Tahun Harga Ikan Segar/kg Indeks Harga Relatif1980198119821983

1.2001.2301.2501.300

1.200/1.200x100 = 1001.230/1.230x100 = 102,51.250/1.250x100 = 104,51.300/1.300x100 = 108,3

2.Metode gabungan sederhana (Simple Agregative Method)Metode ini merupakan metode penentuan angka indeks yang sangat cocok untuk mengukur perbedaan atau perkembangan nilai-nilai yang dianggap hanya memiliki satu variabel saja, walaupun sesungguhnya merupakan gabungan beberapa variabel.

Secara aljabar, metode gabungan sederhana tersebut dirumuskan sebagai berikut :

Pn

IA = ---------

P0

IA = indeks gabungan sederhana tahun n (tertentu)Pn = jumlah seluruh harga pada tahun nP0 = jumlah seluruh harga pada tahun dasar.

ContohTabel 2. Indeks agregat sederhana (simple agregative method) dari harga rata-rata 9

macam bahan pokok dipasar kota gede, 1980-1984.

Jenis bahan

pokok

Harga/unit1980 1984

Beras 200 225


Gula PasirGaram BataMinyak KelapaIkan AsinTekstilBatikSabun CuciMinyak Tanah

35015700

1.5001.3003.000200125

45025

1.2001.6001.3003.250215130

Jumlah () 7.290 8.395Indeks harga 100 115,15

Indeks harga 1980 = 100Indeks harga 1984 = 8.395 x 100 = 115,5

7.290

Berdasarkan hasil penyusunan indeks harga 1984 diatas, harga rata-rata 9 macam bahan pokok ditahun 1984 ialah 115,15% dari tahun 1980. Dengan kata lain, harga rata-rata 9 macam bahan pokok dipasar kota Gede pada tahun 1984 mengalami kenaikan sebesar 15,15% jika diperhitungkan dengan harga tahun 1980.

2.Indeks Rata-rata Harga RelatifIndeks rata-rata harga relatif (arithmatic mean of price relative index) pada dasarnya

merupakan rata-rata hitung dari indeks relatif masing-masing variabel yang ada, dan merupakan metode yang cocok untuk menemukan angka indeks pada persoalan yang memiliki beberapa variabel.

Rumus indeks ini adalah :

Pn = harga tahun nP0 = harga tahun dasarn = jumlah jenis barang

Langkah pertama untuk mendapatkan indeks rata-rata harga relatif adalah menghitung masing-masing indeks harga relatif, kemudian menentukan indeks rata-rata harga relatif berbagai jenis barang tersebut.


Contoh.Tabel 2. Indeks rata-rata dari relatif harga 9 macam bahan pokok di pasar Kota

Gede, 1980-1984 dalam rupiah per unit.Jenis bahan pokok Relatif harga = Pn

P0

Beras (kg)Gula Pasir (kg)Garam (bata)Minyak Kelapa (btl)Ikan Asin (kg)Tekstil (meter)Batik (lembar)Sabun Cuci (batang)Minyak Tanah (ltr)

225/200 = 1,125450/350 = 1,28625/15 = 1,6671.200/700 = 1,7141.600/1.500 = 1,0661.300/1.300 = 13.250/3.000 = 1,083215/200 = 1,075130/125 = 1,04 Pn = 11,056 P0

Indeks harga 1980 = 100Indeks harga 1984 = 11,056 x 100 = 122,84

9

Indeks Harga Tertimbang

Yang dimaksud dengan timbangan adalah sesuatu yang dimasukan kedalam perhitungan angka indeks, sehingga didapatkan angka indeks yang benar-benar tetap memperhatikan atau mempertimbangkan kedudukan yang mendekati sebenarnya. Dalam mencari indeks harga, timbangan yang biasa digunakan adalah kwantitas yang diproduksi, dikonsumsi atau dijual, hal ini tergantung pada persoalannya.

Indeks Gabungan Sederhana Tertimbang (Metoda Agregatif)Secara umum indeks gabungan sederhana tertimbang ini dapat dirumuskan sebagai berikut :


Pn . WIAw = x 100

P0 . W

IAw = indeks gabungan sederhana tertimbangPn = harga pada tahun nP0 = harga pada tahun dasarW = nilai timbangan

Penentuan indeks ini biasa dikenal dengan beberapa nama indeks seperti :1. Indeks Laspeyres 4. Indeks Fisher2. Indeks Paasche 5. Indeks Marshall Edge Wort3. Indeks Drobisch 6. Indek Walsh

1. Indeks LaspeyresPerumusan Laspeyres menggunakan kwantitas tahun dasar sebagai timbangan indeks harga dan dirumuskan sebagai berikut :

Pn . Q0

IL = x 100 P0 . Q0

IL = rumus indeks LaspeyresPn = harga pada tahun nP0 = harga pada tahun dasarQ0 = kwantitas tahun dasar

ContohTabel 3.Perhitungan Indeks harga Laspeyres tentang 3 jenis bumbu di

Pasar Kliwon pada tahun 1981-1982.

Jenis bumbuHarga per ton

(Rp.100) Q’81 P81.Q81 P82.Q811981 1982

Bawang merahBawang putihBawang putih

2.7804.5006.000

3.5004.8005.000

10158

27.80067.50048.000

35.00072.00040.000

Jumlah 143.300 147.000


P81 . Q81

Indeks 1981 = x 100 = 100 P81 . Q81

P82 . Q82 147.000Indeks 1982 = x 100 = x 100 = 102,58

P82 . Q82 143.000

Harga 3 jenis bumbu di pasar Kliwon ditahun 1982 ternyata mengalami kenaikan sebesar 2,58% dari harga tahun 1981.

2. Perumusan PaaschePaasche menggunakan kwantitas tahun yang sedang berjalan atau tahun tertentu sebagai timbangan secara umum rumus Paasche dinyatakan sebagai berikut :

Pn . Qn

IP = x 100 P0 . Qn

IP = Indeks Paasche pada tahun nQn = Kwantitas barang pada periode nPn = Harga pada tahun nP0 = Harga pada tahun dasar

Tabel 4. Indeks Harga Paasche tentang 3 jenis bumbu di pasar Kliwon pada tahun 1981-1982.

Jenis Bumbu Harga/ton (Rp.1000,-) Q’82 P’81.Q82 P’82.Q821981 1982

Bawang MerahBawang PutihLada Putih

2.7804.5006.000

3.5004.8005.000

403020

111.200135.000120.000

140.000144.000100.000

366.200 384.000

Indeks 1981 = 100Indeks 1982 = 384.000 x 100 = 104,86

366.200


3. Perumusan Drobisch

Jika selisih antara hasil perumusan Laspeyres dan Paasche cukup besar, Drobisch menganjurkan sistem rata-rata bagi hasil indeks Laspeyres dan Paasche, yang dirumuskan sebagai berikut :

ID = Indeks Drobisch pada tahun nIL = Indeks Laspeyres pada tahun nIP = Indeks Paasche pada tahun nContoh : ID = (102,58 + 10486)/2 =

4. Perumusan Fisher

Jika selisih indeks Laspeyres dan indeks Paasche cukup besar, maka pengrata-rataan dengan asas rata-rata hitung seperti dalam perumusan Drobisch memiliki kelemahan-kelemahanm yaitu belum tentu menghasilkan nilai indeks yang cukup representatif bagi kedua hasil indeks Laspeyres dan Paasche. Fisher menganjurkan penggunaan rata-rata ukur bagi pengrata-rataan indeks Laspeyres dan Paasche yang dirumuskan adalah sebagai berikut :

IF = IL x IP

IF = (102,58) (104,86) = 103,714

5. Perumusan Marshall-EdgeworthDalam Perumusan Marshall dan Edgeworth, pengrata-rataan tidak dilakukan terhadap indeks Laspeyres maupun Paasche. Pengrata-rataan hanya dilakukan terhadap timbangan kwantitasnya, perumusannya diberikan sebagai berikut :


Pn (Q0 + Qn)IME = x 100

P0 (Q0 + Qn)

IME = Indeks Marshall-Edgeworth pada tahun nPn = harga pada tahun nP0 = Harga pada tahun dasarQn = Kwantitas pada tahun nQ0 = Kwantitas pada tahun dasar

Tabel 5. Perhitungan indeks harga Marshall-Edgeworth tentang 3 jenis bumbu di pasar Kliwon pada tahun 1981-1982.

Jenis Bumbu P0 Pn Q0 Qn (Q0+Qn) P0(Q0+Qn) P0(Q0+Qn)Bawang MerahBawan PutihLada Puti

2.7804.5006.000

3.5004.8005.000

10158

203010

304518

83.400202.500108.000

105.000216.00090.000

393.900 411.000

Indeks harga 1981 = 100Indeks harga 1982 = 411.000 x 100 = 104,34

393.900

6. Rumus WalshWalsh memberi perumusan alternatif yang kemudian terkenal dengan nama rumus

Walsh sebagai berikut :

Pn Q0 + Qn

IW = x 100 P0 Q0 + Qn

Tabel 6. Perhitungan indeks harga Walsh tentang 3 jenis bumbu di Pasar Kliwon pada tahun 1981-1982.

Jenis Bumbu P0 Pn Q0 Qn Q0+Qn Q0+Qn Q0+Qn

Bawang MerahBawan PutihLada Puti

2.7804.5006.000

3.5004.8005.000

10158

203010

20045080

14,14221,2438,944

39314,7695458,553644,0


188.437,26

Indeks harga 1981 = 100Indeks harga 1982 = 196.039,4 x 100 = 104,03

188.437,26

Berikut ini diketahui volume dan harga ekspor 3 jenis komoditas pertanian selama tahun 1985-1988.

Volume Ekspor (000 ton) Harga Ekspor (US$/ton)

Tahun Kayu Kopi Karet Tahun Kayu Kopi Karet1985198619871988

11.04211.81415.80216.155

128136160216

788812800862

1985198619871988

45536062

781175037442273

454653735832

Carilah !

Indeks Harga Laspeyres, Paasche, Fisher, dan Marshall-Edgeworth untuk tahun 1988 dengan tahun dasar tahun 1985.

Indeks Relatif Harga-Harga TertimbangSecara aljabar, indeks relatif harga-harga tertimbang dapat dirumuskan sebagai berikut :


Rumus indeks ini banyak dipakai jika data yang digunakan sebagai timbangan sudah dinyatakan dalam satuan nilai ( p x q ), seperti data tentang nilai ekspor, nilai produksi dsb.nya.

Jadi indeks relatif harga-harga yang diberi timbangan nilai tahun dasar dapat dirumuskan sebagai berikut :

Sedang untuk yang diberi timbangan nilai tahun tertentu dirumuskan sebagai berikut :

Rumus ini hampir sama dengan indeks harga agregat tertimbang dengan “rumus Laspeyres”. Namun ada sedikit perbedaan, yaitu bahwa rumus ini harus digunakan jika diketahui nilai (proporsi) rupiah yang dibelanjakan pada periode dasar.

Tabel 7. Perhitungan indeks relatif harga-harga tertimbang.Jenis Barang Q83 P83 P84 P0q0 Pn/P0 Pn/P0 (P0q0)

BerasJagungKedelai

3541

300100500

315125600

10.500400500

1,051,251,2

11025500600

11.400 12.125

Jika tahun 1983 dijadikan sebagai periode dasar, maka indeks relatif harga tertimbang tahun 1984 =

12.125 = x 100 = 106,36 11.400


Harga 3 jenis bahan pangan untuk tahun 1984 ternyata mengalami kenaikan sebesar 6,36% dari harga tahun 1983.

Indeks KuantitasPerubahan kuantitas produksi atau konsumsi dari waktu ke waktu, dapat diukur atau diperbandingkan dengan menggunakan angka-angka indeks. Angka-angka indeks sedemikian ini disebut “indeks kuantitas” (quantity index).

Jika pada penyusunan “indeks harga” berkisar pada perbandingan Pn/P0, maka pada perhitungan indeks kuantitas sebetulnya berkisar pada perbandingan Qn/Q0.

Pada penyusunan indeks harga tertimbang, kuantitas harus dikonstatir (tetap konstan) agar perubahan harga dapat diukur bebas dari pengaruh perubahan kuantitas. Sebaliknya, dalam penyusunan indeks kuantitas, maka harga harus dikonstatir, supaya perubahan kuantitas dapat diukur bebas dari pengaruh perubahan harga.

Indeks Rantai (Chain-Index)

Pembentukan “angka indeks” dapat juga dilakukan dimana tahun diasarnya bukan merupakan tahun atau waktu yang tetap, melainkan berubah-ubah.

Tahun dasar yang berubah-ubah ini diambil dari setiap tahun yang mendahuluinya. Indeks yang dibentuk dengan tahun dasar yang demikian ini dinamakan “indeks rantai”.Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh berikut ini :

Tabel 1. Harga rata-rata tahunan dari 5 jenis komoditas ekspor di pasar Jakarta, 1970-1974 dalam rupiah per 100 kg.

Jenis Komoditas 1970 1971 1972 1973KopraKopiLada PutihTeh BOPKapuk

4.95914.90226.72617.25217.000

6.43714.59523.59521.59517.500

5.67413.70931.16422.38122.370

12.88430.82452.64622.45830.841

Sumber : Pengantar Metode Statistik I, Anto Dajan, LP3ES, 1984.

Tabel 2. Produksi tahunan dari 5 jenis komodisitas ekpor 1970-1974 (00ton).Jenis Komoditas 1970 1971 1972 1973

KopraKopiLada Putih

1.84099424

969747242

5.67413.70931.164

526997248


Teh BOPKapuk

42016

45013

22.38122.370

4461

Sumber : Pengantar Metode Statistik I, Anto Dajan, LP3ES, 1984.

Tabel 3. Perhitungan Indeks Harga Agregatif dan Indeks Rantai dari 5 jenis Komoditas ekspor dipasar Jakarta, 1970-1973 (Rp.1000) 1970 = 100

TahunHarga tahun yg berlaku x produksi tahun pertama

dari tiap-tiap pasang tahun.Nilai

AgregatPnQ0

x 100PnQ0

IRKopra Kopi Lada Teh Kapuk

1 2 3 4 5 6 7 8 919701971

19711972

19721973

9.124.56011.844.080

6.237.4535.498.106

2.451.1685.565.888

14.812.58814.507.430

10.829.49010.172.078

13.105.80429.467.744

641.424566.280

5.709.9907.541.688

7.697.50813.003.562

7.245.8409.069.900

9.847.32010.208.472

10.298.02010.330.680

272.000280.000

227.500290.810

67.11092.523

32.096.41236.267.690

32.851.75333.711.154

33.619.61058.460.397

100,00112,990

100,00102,616

100,00173,888

100112,996

115,952

201,627

Untuk menghitung Indeks Rantai (IR) digunakan rumus :

IR = (IAn x IRn-1) 100

IAn = Indeks tahun tertentu t dikolom 8

PnQ0

= x 100 PnQ0

IRn-1= Indeks rantai tahun t-1 dikolom 9.


Nilai dalam kolom (2) sampai dengan (6) adalah nilai tiap jenis komoditas ekspor dalam tahun-tahun yang tertentu. Tiap pasang tahun yang terdiri dari dari 2 tahun berturut-turut, nilai tahun pertamanya = P0.Q0, dan nilai tahun keduanya = Pn.Q0.

Nilai agregatif dari kelima jenis komoditas ekspor ditahun-tahun tertentu, diperoleh dengan jalan menjumlahkan nilai kelima jenis komoditas ekspor pada tahun tersebut, yaitu penjumlahan kolom (2) s/d (6). Untuk tahun 1970=P70.Q0

dan tahun 1971 = P71.Q70.

Indeks agregatif tiap pasang tahun pada kolom (8) secara berturut-turut dapat dicari sebagai berikut :

Indeks harga 1970 = 100 I ndeks harga 1971 = P71.Q70 x 100

P70.Q70

= 36.267.600 x 100 = 112,996 32.096.412

Indeks harga 1971 = 100

P72.Q71

Indeks harga 1972 = x 100 P71.Q71

= 33.711.154 x 100 = 102,616 32.851.753

Indeks harga 1972 = 100

= 58.460.397 x 100 = 173,888 33.619.610


Perhitungan Indeks Rantai dari tabel 3 diatas dapat dilakukan sebagai berikut :

IR 1971 = (112,996 x 100)/100 = 112,996

IR 1972 = (102,616 x 112,996)/100 = 115,952IR 1973 = (173,888 x 115,952)/100 = 201,627

Pengukuran Upah Nyata dan Daya Beli Rupiah

Upah :1. Upah uang (money wage) : upah yang diterima para pekerja/karyawan dalam

bentuk uang.2. Upah nyata (riil wage) atau daya beli dari pada upah rupiah adalah kesanggupan

upah uang untuk ditukarkan dengan barang/jasa yang dibutuhkan.

Jika pada tahun 1970 harga seperti makanan disuatu “Warteg” Rp. 50,- sedangkan pada tahun 1978 harganya menjadi Rp. 200,-, ini berarti harga telah menjadi 4 kali lipat. Dengan adanya kenaikan harga 4 kali lipat tersebut, maka “nilai riil” atau daya beli dari rupiah telah menurun menjadi ¼ atau 0,25.

Jadi nilai rupiah seporsi makanan pada tahun 1978 hanya 25 sen saja bila dibandingkan dengan tahun 1970.

Dari contoh ini dapat dilihat, “daya beli” dari pada satu rupiah adalah merupakan kebalikan dari indeks harga yang sesuai dengan yang dinyatakan dala bentuk perbandingan”.

Jika harga naik katakanlah 50%, maka “indeks harga” menjadi 1,5/1 x 100 = 150% (1,5), sehingga daya beli rupiah menjadi 1/1,5 atau 2/3-nya, dengan adanya kenaikan harga tersebut, bagaimana lazimnya, data upah karyawan yang disajikan oleh suatu perusahaan atau departemen pemerintah, selalu dinyatakan dalam bentuk upah uang. Untuk mengubah upah uang menjadi upah riil atau upah nyata diperlukan adanya “deflator”.

Dinegara-negara maju deflatornya dipakai “Cost of Living Index” dan di Indonesia deflator yang digunakan adalah “Indeks Harga Konsumsi” (IHK).

Tabel 7. Indeks harga konsumsi dan upah rata-rata pekerja sektor industri garment di Kota Bunga IHK April 1977 – Maret 1978 = 100

Tahun Upah Pekerja IHK Upah riil19791980

168.365,42523.660,6

132,84157,74

126,743160.175,35


1981 331.277,4 179,07 184.998,83

Kesanggupan upah pekerja tahun 1979, bila ditukarkan dengan barang dan jasa, tinggal 126.743.

Jika ingin mempertahankan daya beli upah tersebut, tetap sama dengan daya belinya tahun 1978, maka besarnya upah yang harus diterima pada tahun 1979 harus = (168.365,4 x 132,84)/100 = 223.656,6.


31002-1-822159587554

Documents