8 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

3. Induksi Matematika

Sifat 1.

Setiap himpunan bagian yang tak nol dari ℕ, memiliki paling sedikit sebuah

element.

Berdasarkan Sifat 1 dapat dikatakan bahwa, misalkan S adalah subset dari ℕ.

Jika S ≠ ∅ maka terdapat m ∈ S, ∋ m ≤ k, ∀ k ∈ S.

Teorema 1 (Prinsip Induksi Matematika)

Misalkan P(n) suatu pernyataan dengan n ∈ ℕ. Misalkan pula

(1). P(1) benar,

(2). ∀ k ∈ ℕ berlaku, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar.

Maka, P(n) benar untuk setiap n ∈ ℕ.

Bukti:

Misalkan S = {n ∈ ℕ | P(n) salah}. Akan ditunjukkan bahwa S = ∅.

Andaikan S ≠ ∅. Menurut Sifat 1, S mempunyai minimum, katakanlah m.

Karena P(1) benar, maka 1 ∉ S. Sehingga jelas m ≠ 1.

Akibatnya m > 1 dan m – 1 ∈ ℕ.

Karena m adalah minimum dari S, maka m – 1 ∉ S atau P(m – 1) benar.

Berdasarkan hipotesis (ii) diperoleh P(m) benar, sehingga m ∉ S.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian bahwa m ∈ S.

Contoh 10.

Buktikan bahwa 1

1 2 ... 1 ,2

n n n n .

Bukti:

Untuk n = 1 jelas bernilai benar.

1

1 1 1 1 12

Untuk n = k benar maka n = k + 1 juga bernilai benar

9 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

n = k maka 1

1 2 ... 12

k k k

n = k + 1 maka 1

1 2 ... 1 1 1 12

k k k k

Perhatikan bahwa:

1

1 2 ... 1 1 12

k k k k k

21 2 ... 11 3

12 2

kk kk

1 2 ..1

2. 21 1k k k k

1 2 ... 11

1 1 12

kk kk

Terbukti. ■

Latihan 1.

1. Buktikan bahwa 1 + 3 + ... + (2n – 1) = n2, untuk setiap n ∈ ℕ.

2. Misalkan diberikan suatu bilangan real a dan b. tunjukkan bahwa a – b

adalah faktor dari an – bn untuk semua n ∈ ℕ.

3. Buktikan

1

2 2 2 1 2 1 11 2 3 ... ( 1)

2

n

n n nn

untuk setiap n ∈ ℕ.