1 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

PENDAHULUAN

1. Himpunan

Definisi 1.

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang

dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari

himpunan.

Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti A, B, D,

dsb. Sementara untuk menyatakan setiap elemennya digunakan huruf kecil

seperti a, b, c, dsb. Himpunan biasanya disajikan dengan beberapa cara

sebagai berikut:

1. Enumerasi

Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Setiap elemen dipisahkan

dengan tanda koma dan ditutup dengan tanda { }. Misalnya: Himpunan empat

bilangan asli pertama; A = {1, 2, 3, 4}. Metode enumerasi pada dasarnya

digunakan untuk himpunan yang terbatas dan tidak terlalu besar. Namun

demikian, untuk himpunan yang besar dan jumlah elemennya tidak terbatas

dapat digunakan tanda ellipsis “...” . Misalnya: Himpunan alfabet ditulis

dengan {a, b, c, ..., z}.

2. Simbol-Simbol baku

Beberapa himpunan khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah

baku. Diantaranya: P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}; N =

himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}; Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1,

0, 1, 2, ...}; Q = himpunan bilangan rasional; R = himpunan bilangan riil; C =

himpunan bilangan kompleks.

2 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

3. Notasi pembentuk himpunan

Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh

setiap anggotanya. Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}. Misalnya:

A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, ditulis A = {

x | x bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5} atau A = {x | x ∈ P, x < 5}.

4. Diagram venn

Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara ini dikenalkan oleh

matematikawan inggris bernama John Venn pada tahun 1881. Misalnya:

Diketahui: U = {1, 2, ..., 8}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram venn-nya adalah

Gambar 1.

Definisi 2.

Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen

berbeda, dengan n bilangan bulat positif. Sebaliknya himpunan tersebut

dinamakan tak-berhingga (infinite set).

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di

dalam A disebut kardinal dari himpunan A, dinotasikan dengan n(A) atau |A|.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Maka n(A) = 4, dengan elemen-elemen A (yang

berbeda) adalah 1, 2, 3, 4.

Himpunan tak behingga mempunyai kardinal tak berhingga pula. Sebagai

contoh himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tak berhingga

maka n(R) = ∞.

3 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

Definisi 3.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen, atau

dengan kata lain kardinalitasnya sama dengan 0.

Himpunan kosong dinotasikan dengan { } atau ∅. Misalnya ∅ = {x | x ≠ x}.

Definisi 4.

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, A ⊆ B,

jika dan hanya jika setiap elemen di A merupakan elemen di B.

Pada Definisi 4, A disebut subset dari B atau B adalah superset dari A.

Contoh 1.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka A ⊆ B.

Misalkan K = {a, b, c}, L = {b, c, a}, maka K ⊆ L dan L ⊆ K. Atau dengan kata

lain A = B. ■

Perhatikan bahwa A ⊆ B tidak sama dengan A ⊂ B. A ⊆ B berarti bahwa A

adalah subset dari B dan memungkinkan A = B. Sedangkan A ⊂ B berarti

bahwa A adalah subset dari B tetapi A ≠ B.

Jika A ⊆ B maka A ⊂ B dan A = B

Jika A ⊂ B maka A ⊂ B dan A ≠ B

Contoh 2.

Misalkan X = {4, 5, 6} dan Z = { 4, 5, 6, 7, 8}. Tentukan semua kemungkinan

himpunan Y sedemikian sehingga X ⊂ Y dan Y ⊂ Z.

Penyelesaian:

Karena X ⊂ Y dan Y ⊂ Z, berarti Y harus mengandung semua elemen X dan

sekurang-kurangnya satu elemen dari Z. Dengan demikian: Y = {Y1, Y2}

dengan Y1 = {4, 5, 6, 7} dan Y2 = {4, 5, 6, 8}. ■

4 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

Definisi 5.

Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap

elemen di A juga elemen di B dan setiap elemen di B juga elemen di A. Atau

dengan katalain A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.

Contoh 3.

Jika A = {0, 1} dan B = {x | x(x – 1) = 0}, maka A = B

Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 1, 4, 2}, maka A ⊆ B dan B ⊆ A sehingga A =

B = {1, 2, 3, 4}. ■

Definisi 6.

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A ≈ B ⟺ n(A) = n(B).

Contoh 4.

Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}. Maka A ≈ B karena n(A) = n(B) = 4.

■

Definisi 7.

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau disjoint (notasi: A // B)

jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh 5.

Jika A = {x | x ∈ P, x < 8} dan B = {10, 20, 30, ...}, maka A // B. ■

Definisi 8.

Himpunan kuasa atau power set dari himpunan A adalah suatu himpunan

yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A termasuk

himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Notasi: P(A) = {X | X ⊆ A}.

5 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

Contoh 6.

Misalkan A = {a}, maka P(A) = {∅, {a}}.

Misalkan B = {a, b}, maka P(B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. ■

Secara umum, jika n(A) = x, dengan A suatu himpunan, maka n(P(A)) = 2x.

Operasi terhadap himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru.

Operasi dasar yang biasa digunakan adalah operasi irisan (intersection),

gabungan (union), komplemen, selisih (difference), perkalian kartesian

(cartesian product), dan beda-setangkup (symmetric difference).

Definisi 9.

Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Maka:

a. Irisan dari A dan B: A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

b. Gabungan dari A dan B: A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.

c. Pengurangan A oleh B: A\B = A – B = {x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ Bc

d. Komplemen dari A; Ac = {x | x ∈ U dan x ∉ A}

e. Hasil kali kartesian (cartesian product): A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}

Definisi 10.

Misalkan An, dengan n ∈ ℕ, adalah sekelompok himpunan. Maka:

1

| untukn nA x x A n

6 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

2. Fungsi

Definisi 11.

Misalkan A dan B suatu himpunan. Fungsi dari A ke B adalah sebuah relasi

yang memetakan setiap a ∈ A ke tepat satu b ∈ B.

Notasi fungsi: f : A → B. Artinya, f adalah fungsi yang memetakan setiap

anggota di A ke tepat satu anggota di B.

Himpunan A disebut domain/daerah asal, B disebut kodomain / daerah

kawan, dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan setiap

anggota di A disebut range / daerah hasil.

Definisi 12.

Misalkan f : A → B adalah suatu fungsi dari A ke B.

a. Fungsi f disebut injektif / satu-satu jika untuk semua x1, x2 ∈ A dengan

f(x1) = f(x2) maka x1 = x2. Atau jika x1 ≠ x2 maka f(x1) ≠ f(x2).

b. Fungsi f disebut surjektif / pada / on-to jika ∀b ∈ B ∃1 a ∈ A ∋ f(a) = b.

c. Fungsi f disebut bijektif apabila f injektif dan surjektif.

Contoh 7.

f : ℤ → 2ℤ dengan f (x) = 4x, ∀ x ∈ ℤ, merupakan fungsi satu-satu.

g : ℝ → ℝ dengan g(x) = x2, ∀ x ∈ ℝ, bukan merupakan fungsi satu-satu,

karena g(2) = 4 = g(-2), tetapi 2 ≠ -2.

h: A → B, dengan A = {x ∈ ℝ | x ≠ 1}, B = {y ∈ ℝ | y ≠ 2}, dan h(x) = 2x/(x –

1) merupakan fungsi bijektif ■

Definisi 13.

Misalkan f: A → B adalah bijektif, maka terdapat g = {(b, a) ∈ B x A | (a, b) ∈ f}

yang merupakan fungsi dari B ke A. Fungsi g tersebut disebut dengan fungsi

invers dari f, ditulis f -1.

7 | Analisis Real 1

@Aswad 2014 http://aswhat.wordpress.com/

Contoh 8.

Invers dari fungsi h(x) = 2x/(x – 1) adalah h-1(y) = y/y – 2 atau h-1(x) = x/x –

2. ■

Definisi 14.

Jika f: A → B dan g: B → C, dan R(f) ⊆ D(g) = B, maka g o f adalah fungsi

komposisi dari A ke C yang didefinisikan oleh

g o f(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.

Contoh 9.

Diketahui f(x) = 2x dan g(x) = 3x2 – 1, untuk x ∈ ℝ.

Karena D(g) = ℝ dan R(f) ⊆ ℝ = D(g), maka domain D(g o f) juga = ℝ.

Sehingga:

g o f (x) = g(f(x)) = g(2x) = 12x2 – 1.

f o g (x) = f(g(x)) = f(3x2 – 1) = 6x2 – 2

Jelas g o f (x) ≠ f o g (x). ■