mat 103 sejarah matematika matematika yunani (greek mathematic)

Hidayati Rais, S.Pd

Kegiatan intelektual di daerah Mesir dan babilonia menurun, muncullah kegiatan kebudayaan baru sepanjang laut mideterania yang dimulai kira-kira 800 tahun SM dan berkembang sampai 600 tahun sesudah masehi.

Daerah ini menjadi pusat peradaban baru dunia yang dikenal dengan zaman Thalassic (zaman laut).

Bangsa Yunani menamakan dirinya sebagai bangsa Helenes yaitu nama bangsa nenek moyang mereka yang hidup disepanjang pantai mideterania.

22/04/23MAT 103 Sejarah Matematika-Yunani

2

Yunani terdiri dari negara-negara kota yang menonjolkan kemerdekaannya masing-masing.

Dengan demikian, negara berbeda menggunakan sistem bilangan yang berbeda pula.

Bangsa Yunani menembangkan sistem bilangan sendiri, sistem bilangan Yunani yang akan dibahas : sistem acrophonic dan sistem alphabetic.

22/04/23MAT 103 Sejarah Matematika-Yunani3

Sistem bilangan Acrophonic (Attic) ini sedikit lebih primitif dimana bentuk lambangnya sangat sederhana sekali kira-kira setaraf dengan system numerasi mesir kuno (hieroglyph).

Sistem Acrophonic digunakan pada awal millennium sebelum abad ke 8 SM. Acrophonic berarti, simbol-simbol untuk angka berasal dari huruf pertama dari nama angka.

Sistem bilangan ini hanya mempunyai sifat additif saja tanpa mempunyai nilai tempat (nilai posisi).

22/04/23MAT 103 Sejarah Matematika-Babilonia 4

* Dalam system bilangan Acrophonic (attic) lambang untuk bilangan-bilangan satu sampai empat digunakan lambang tongkat ( | ) dengan perulangan lambang.

* Untuk bilangan lima dilambangkan huruf besar “ Г ” yaitu huruf awal dari pente sedangkan bilangan 6 sampai 9 dilambangkan dengan menggunakan kombinasi lambang bilangan lima dengan lambang bilangan satu.


22/04/23 MAT 103 Sejarah Matematika-Yunani 6

Selanjutnya untuk bilangan 10, 100, 1000, dan 10.000 digunakan huruf awal dari bilangan berikut,


Untuk melambangkan bilangan 50, 500, 5000 dan 50.000 digunakan kombinasi lambang Γ dan ∆, H, X dan M, Sebagai berikut,


Perbedaan bentuk angka 50 di tiap negara kota Yunani yang berbeda (1500 SM – 1000 SM),


Kegunaan utama dari sistem bilangan Yunani adalah untuk menghitung uang.

Satuan dasar uang adalah drachma. Satuan yang lebih besar adalah talent (1

talent = 6000 drachma). Drachma terbagi dalam satuan-satuan kecil

yang dinamai obol (1 obol = 1/6 drachma). Obol terbagi dalam satuan-satuan kecil

yang dinamai chalkos (1 chalkos = 1/8 daro obol).

Setengah dan seperempat obol juga digunakan.


10

Contoh :


Sistem bilangan alphabetic baru mulai digunakan pada awal abad ke 8 SM.

Sistem bilangan alphabetic jauh lebih maju di bandingkan sistem bilangan Acrophonic.

Sistem bilangan ini menggunakan alphabet (abjad) yunani sebagai lambang bilangan.

Alphabetic yunani yang digunakan untuk menulis diambil dari Phoenicians, yaitu 9 abjad pertama digunakan untuk melambangkan bilangan 1 - 9, kemudian 9 abjad kedua untuk melambangkan bilangan kelipatan 10 yang lebih kecil dari 100 dan 9 abjad sisanya digunakan untuk melambangkan kelipatan 100 yang lebih kecil dan 1000.

Semua alphabet yunani hanya mempunyai 24 abjad saja, kemudian ditambah dengan tiga abjad lagi yang lebih tua yang tidak digunakan lagi.

12

Sistem alphabetic berdasarkan urutan alfabet.

Alfabet klasik Yunani

MAT 103 Sejarah Matematika-Yunani


13

Huruf digamma, koppa dan san adalah huruf yang telah usang. Walaupun kami

tidak menaruh symbol tersebut di atas tetapi symbol tersebut muncul di bawah.

Perhatikan 6 diwakili oleh symbol huruf kuno ‘digamma’.

Sembilang huruf lainnya mewakili symbol 10, 20, …,90

Perhatikan 90 diwakili oleh symbol kuno ‘Koppa’.


9 huruf lainnya mewakili symbol 100, 200, …, 900

Perhatikan 900 diwakili oleh symbol kuno ‘san’.

Angka yang dibentuk dengan kaidah tambahan, seperti contoh, 11, 12,

…,19 ditulis;

Contoh, untuk angka 269 ditulis

22/04/23

MAT 103 Sejarah Matematika-Yunani

15

Untuk melambangkan bilangan 1000 - 9000 digunakan lambang satu sampai dengan sembilan, dengan menambahkan tanda aksen di atas atau di bawah, pada symbol 1 - 9 sebagai berikut,

atau


16

Bagaimana dengan bilangan yang lebih besar dari 9999 ?Orang yunani membuat bilangan lebih besar dari itu pada tingkat

tak hingga yaitu 10000, symbol M dengan angka kecil untuk lebih dari 9999 yang ditulis di atasnya, maksudnya adalah angka kecil tersebut dikalikan dengan 10000. Oleh karena itu tulisan 2 di atas M mewakili angka 20000.

Versi Aristarchus :


Usulan Apollonius : M dengan α di atas mewakili M1 = 104

M dengan β di atas mewakili M2 = 108

… dst Angka yang dikalikan dengan 104, 108, dst ditulis

setelah simbol M Χαι yang menginterpretasikan “tambah” ditulis

antara bagian bilangan Contoh :

1. Thales Thales dilahirkan dimiletus. Seorang ahli filsafat, astronomi, fisika dan IPA. Salah satu ungkapan filosofisnya adalah “kenalilah

dirimu sendiri”. Dalam bidang astronomi Thales dikagumi oleh

banyak orang, karena dapat memprediksi gerakan ellips matahari dalam peredarannya selama satu tahun.

Thales dianggap orang pertama kali melakukan pembuktian terhadap teorema geometri dan juga dianggap orang yang pertama mengaplikasikan geometri teoritis untuk penggunaan praktis


Suatu lingkaran dibagi dua sama besar oleh diameternya.

Sudut- sudut alas suatu segitiga sama kaki adalah sama besar.

Pasangan sudut yang dibuat oleh dua garis yang berpotongan tegak lurus adalah sama.

Dua buah segitiga adalah sama dan sebangun apabila dua sudut dan satu sisinya sama.

Suatu sudut yang dilukis dalam setengah lingkaran adalah siku-siku.


Pythagoras lahir di samos dan meninggal dalam usia sekitar 80 tahun.

Penganut ilmu kebatinan (mistik). Rumus Tripel Pythagoras

Dimana m sembarang bilangan ganjil, rumus lain dalam menentukan tripel pythagoras ini adalah,


𝑚2 + (𝑚2 − 1)22 = (𝑚2 + 1)22

(2𝑚)2 + (𝑚2 − 1)2 = (𝑚2 + 1)2

Bilangan Figurative antara lain, Bilangan Triangular (segitiga) rumusnya: N = 1 + 2 + 3 + …+ n = n (n + 1)/2 Bilangan Rectangular (Persegi panjang)

rumusnya: N = 2 + 4 + 6 + …+ 2 n = n (n + 1)

Bilangan Kuadrat (Bujur Sangkar) : N = 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n(n + 1)/2+

n(n -1)/2 Bilangan pentagon (segi lima) rumusnya: N = 1 + 4 + 7 + …+ (3n – 2) = n (3n - 1)/2 Bilangan hexagon (segi enam) rumusnya: N = 1 + 5 + 9 + …+ (4n – 3) = 2n2 - n


Bilangan Sahabat (amicable numbers) dan bilangan-bilangan sempurna (perfect numbers).

Dua bilangan dikatakan bilangan bersahabat, apabila bilangan yang pertama sama dengan jumlah factor (pembagi) murni dari bilangan yang kedua dan bilangan yang kedua sama dengan jumlah factor (pembagi) murni dari bilangan pertama.

Contoh : bilangan 220 dan 284 adalah pasangan bilangan bersahabat.

Jumlah pembagi murni dari 220 yaitu 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55

+110 = 284 Jumlah pembagi murni dari 284 yaitu 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220


Anaxagoras dilahirkan di Clazomenae dan meninggal kira-kira tahun 428 SM.

Anaxagoras pernah dipenjara di Athena oleh penguasa setempat karena Anaxagoras mengatakan bahwa matahari bukanlah tuhan, melainkan hanyalah sebuah benda besar yang berpijar.

Anaxagoras menerbitkan sebuah buku yang berjudul “On Nature”, pendapat anaxagoras tentang alam semesta mulai berkembang ditengah masyarakat dan akhirnya karya Anaxagoras ini menjadi buku yang sangat popular pada waktu itu.


Anaxagoras mencoba memecahkan suatu problema yang sangat menarik, yakni mencari luas suatu lingkaran (quadrature of a circle).

Percobaan Anaxagoras ini sangat menakjubkan sekali, karena usahanya ini adalah usaha yang pertama kali dilakukan orang, walaupun tidak ada kelanjutan dari usaha ini tentang problema dan cara penyelesaian yang ditemukanya.


Hippocrates dilahirkan di chios kira-kira tahun 460 SM.

Pernah menulis buku berjudul Element of geometry (unsur-unsur geometri) mendahului karya Euclid the element (unsur-unsur).

Karya asli Hippocrates tidak pernah ditemukan lagi dan baru diketahui orang kembali dalam tulisan matematikawan sesudahnya. Tapi karya aslinya tidak pernah ditemukan lagi.

Karya Hippocrates ini kemudian muncul dalam karya Eudemus, the history of mathematic

22/04/23 MAT 103 Sejarah Matematika-Babilonia 25

Yang berhubungan dengan kuadratur dari suatu lune, yaitu suatu area yang dibatasi oleh dua busur lingkaran yang mempunyai jari-jari yang tidak sama.

Eudemus dari pergamum salah seorang pengikut Hippocrates. (lihat buku haza’a hal 37).


Menurut teorema Hippocrates segmen yang sebangun dari lingkaran-lingkaran mempunyai ratio yang sama dengan kuadrat-kuadrat alasnya.

Hippocrates juga mendemonstrasikan teorema ini dengan memperlihatkan bahwa luas dua lingkaran adalah berbanding lurus dengan kuadrat diameter-diameternya.

Hippocrates mulai dengan membuat setengah lingkaran mengelilingi suatu segitiga sama kaki. Pada hipotenusa segitiga tersebut dibuat segmen lingkaran yang sebangun dengan segmen lingkaran pada kedua sisi segitiga siku-siku. (lihat buku haza’a hala 52)


Dalam menyelesaikan penduakalian kubus (menggandakan kubus), Hippocrates melakukannya dengan membuat perbandingan seharga dari dua segmen garis yang diketahui.

Misalkan diketahui dua segmen garis a dan b dan dengan dua segmen garis yang diketahui ini dicari dua segmen garis x dan y,

Dari dua perbandingan seharga ini diperoleh ; Dengan mengeliminasikan y, diperoleh Apabila diambil 2a maka, Jadi x adalah panjang sisi kubus yang mempunyai sisi

dua kali kubus dengan panjang sisi a. (lihat Haza,a hal 44)


∋,𝒂 ∶ 𝒙= 𝒙∶ 𝒚= 𝒚∶ 𝒃 𝒙𝟐 = 𝒂𝒚 𝒅𝒂𝒏 𝒚𝟐 = 𝒃𝒙 𝒙𝟑 = 𝒂𝟐𝒃 𝒙𝟑 = 𝟐𝒂𝟑

Hippias dilahirkan di ellis. Hippias banyak sekali menulis naskah

baik mengenai matematika, maupun pidato dan ceramah, tetapi semua hasil karya Hippias tidak dapat ditemukan lagi.

Hippias memperkenalkan bentuk kurva yang lain dari bentuk kurva yang sudah dikenal sebelumnya (garis lurus dan lingkaran) yang lebih dikenal dengan nama trisectrix atau quadratrix


Hippias melukiskan kurva sebagai berikut;

Dalam bujur sangkar ABCD, dimisalkan sisi AB bergerak kebawah secara teratur dari posisi semula sampai berimpit dengan sisi. Dimisalkan lagi gerak sisi AB ini bersamaan dengan gerakan lingkar DA, yang bergerak mengikuti arah jarum jam,

sampai berimpit dengan BC. Apabila posisi dari kedua gerakan ini masing-masingnya dinyatakan dengan A’B dan DA, dan apabila titik P selama gerakan tersebut akan melukiskan trisectrix atau quadratix Hippias yaitu kurva APQ


A

D

B

C

A’ B’

Tetapi tidak diketahui apakah hipias menyadari atau tidak mengenai aplikasi quadratrix ini hanya diperkirakan bahwa hippias mengenal metode teratur. (lihat buku Haza’a hal 37)


Archytas dilahirkan di tarentum kira-kira 428 SM. Archytas adalah seorang jenderal dan negarawan yang

terkenal pada zamannya dan sekaligus pengikut Pythagoras yang menempatkan aritmatika di atas geometri. Archytas menaruh perhatian yang sangat besar terhadap pendidikan.

Archytas membagi matematika atas 4 cabang matematika yaitu; aritmatika, geometri, musik dan astronomi, keempat cabang metemetika inilah nantinya bersama dengan tata bahasa, berbicara dan dialeka.

Salah satu karya Archytas yang paling menonjol adalah penyelesaian problema delion dengan tiga dimensi yang melibatkan kerucut dan silinder yang merupakan langkah pertama pada geometri analitik.


Cara yang dilakukan archytas pada geometri analitik sebagai berikut:

Misalkan titik (a, 0, 0 ) adalah pusat dari tiga lingkaran yang saling tegak lurus sesamanya, dengan jari-jari masing-masingnya a satuan, dimana a adalah panjang sisi kubus yang akan didua kalikan, masing-masing lingkaran terletak pada suatu bidang datar yang tegak lurus sumbu koordinat. Melalui lingkaran yang tegak lurus pada sumbu x dibuat suatu kerucut dengan puncaknya (0, 0, 0) dan melalui lingkaran pada bidang XOY di buat suatu silinder tegak. Misalkan lingkaran pada bidang XOZ diputar mengelilingi sumbu Z maka akan terbentuk suatu torus. Persamaan dari ketiga permukaan bidang yang terjadi masing-masing adalah: x2 = y2 + z2, 2ax = x2 + y2, dan (x2 + y2 + z2) = 4a2 (x2 + y2).

(lihat juga buku Haza’a hal 45-46)



Zeno dilahirkan di clea, tetapi tidak diketahui kapan dia di lahirkan, Zeno baru dikenal sekitar tahun 450 SM.

Zeno menganut paham bahwa sesuatunya itu adalah permanen dan abadi, bertentangan dengan kaum pengikut pythagoras

Menurut ajaran Pythagoras, ruang dan waktu diasumsikan sebagai titik-titik dan instant (waktu sesaat) dan waktu serta ruang juga mempunyai suatu sifat yang dinamakan “ kontinuitas.

Menurut ajaran Pythagoras waktu dan ruang dapat dibagi atas bagian - bagian yang sangat kecil sekali yaitu kecil yang tak terhingga. Tetapi pendapat ini ditentang oleh Zeno yang berpendapat bahwa konsep-konsep divisibilitas dan multiplicitas adalah tidak mungkin.

Dalam membuktikan ketidak mantapan konsep divisibilitas dan multiplicitas ruang dan waktu Zeno menggunakan cara dialaektika, yaitu metode yang bertolak belakang dengan pembuktian secara langsung.

22/04/23MAT 103 Sejarah Matematika-Yunani 35

Zeno mengemukakan beberapa paradox yang sebagian besar berhubungan dengan gerak benda. Diantara paradox-paradox zeno yang paling terkenal adalah:

1. Dichotomy Menurut Zeno, sebelum suatu objek menempuh

suatu jarak tertentu harus melalui jarak setengahnya dan untuk melalui jarak yang setengahnya tersebut harus melalui jarak yang seperempatnya terlebih dahulu dan begitu seterusnya, objek itu harus menempuh 1/8, 1/16 sehingga akhirnya harus menempuh jarak yang sedemikian kecilnya atau kecil tak terhingga.

22/04/23MAT 103 Sejarah Matematika- Yunani 36

1. DichotomyMenurut Zeno tak mungkin menghapus

sejumlah gerakan tersebut disaat akan bergerak. Oleh sebab itu zeno berkesimpulan bahwa permulaan gerak itu tidak ada.

2. Achiles Paradox kedua hampir sama dengan paradox

pertama di atas dimana Zeno memberikan contoh perbandingan lari antara achiles dengan seekor kura-kura. Paradox teka-teki yang tak dapat dipecahkan oleh orang Yunani


3. Panah Bahwa suatu objek yang sedang terbang,

selalu menempati ruang yang sama besarnya dengan objek tersebut. Sesuatu yang selalu menempati ruang yang sama dengan dirinya sendiri, bukanlah dalam keadaan bergerak.

Jadi panah yang sedang terbang itu sebenarnya bukanlah bergerak melainkan dalam keadaan diam.


karya matematika yang ditulis Democritus adalah:

1. On Numbers (tentang bilangan)2. On Geometry (tentang geometri) 3. On Irrational (tentang bilangan

irrasional)4. On Mappines (tentang perpetaan) Tetapi karyanya tidak dapat ditemukan

baik karya aslinya maupun terjemahannya, yang dapat ditemukan hanya judul karyanya saja.


Plato merupakan sumber inspirasi (inspirator) abad ke 4 SM bagi matematikawan sezamannya dalam aktivitas pengembangan matematika.

Plato tidak banyak menghasilkan penemuan-penemuan dan karya dalam bidang matematika.

Plato adalah sumber inspirasi bagi matematikawan sezamannya dalam pengembangan matematika

Penghargaan dan kecintaan Plato terhadap matematika dan geometri khusunya adalah sangat besar sekali, ini tercermin dari motto perguruannya” jangan biarkan orang yang buta geometri masuk kesini’’.


Plato mempelajari 4 dari 5 bidang beraturan dan dari pengikut Pythagoras lainnya plato mempelajari bidang 12 beraturan, kemudian plato memasukkan ide-idenya mengenai bidang banyak beraturan yang dikenal sebagai “cosmic bady”(platonic solid).

Dalam karyanya “Republic” Plato mengatakan bahwa aritmatika mempunyai efek yang sangat besar sekali yaitu memaksa pikiran untuk memikirkan bilangan abstrak dan bilangan adalah raja dari kelahiran buruk dan baik.


Salah satu kontribusi khusus dari plato dalam bidang matematika adalah penemuaannya tentang tripel pythagoras;

(2n)2 + (n2 – 1)2 = (n2 + 1 )2

Dimana n sembarang bilangan asli, yang merupakan sedikit modifikasi dari rumus yang sudah dikenal oleh bangsa Babilonia sebelumnya.


Eudoxus dilahirkan di Cnidus adalah salah seorang murid plato. Semula karena tidak merasa popular di Athena, karena dibayangi oleh kebesaran plato, Eudoxus memutuskan untuk kembali ke asia minor, dan ditempat baru itu dia berusaha menyamai gurunya plato dengan mendirikan sebuah akademiknya sendiri

Menemukan perbandingan seharga, walaupun ide perbandingan seharga a : b = c : d

Konsep eudoxus tentang kesamaan ratio tidak termasuk untuk bilangan nol, Contoh segmen garis tidak dapat dibandingkan dengan luas, atau luas tidak dapat dibandingkan dengan isi.


Defenisi Eudoxus tentang kesamaan ratio adalah sama dengan proses perkaliaan bersilang yang dilakukan sekarang yaitu apabila a/b = c/d, maka ad = bc.

Disamping perbandingan seharga Eudoxus juga menemukan aksioma yang sering dikenal extion kontinuitas, yang merupakan basis untuk metode penghausan yang ekivalen dengan kalkulus integral sekarang.

Aksioma Eudoxus ini menyatakan bahwa: “Apabila diketahui dua besaran yang mempunyai ratio masing-masing besaran tidak boleh sama dengan nol maka dapat dibuat satu pengali untuk salah satu dari besaran ini sehingga satu lebih besar dari yang lain”.


Menaechmus adalah salah seorang murid dari akademi eudoxus.

Disamping garis lurus dan lingkaran yang sudah dikenal sebelumnya, Manaemus menemukan lagi kurva baru dikenal dengan nama Ellips, parabola dan hiperbola.

Dalam membuktikan sifat irisan kerucut, Manaechmus mulai dengan kerucut tegak siku-siku (sudut puncak 900). Apabila kerucut ini dipotong oleh bidang datar, yang tegak lurus pada elemen (unsure) kerucut, maka kurva dari irisan (penampang) yang terjadi persamannya dapat ditulis dalam bentuk: y 2 = 1 x, dimana 1 suatu konstan yang besarnya tergantung kepada jarak antara titik puncak dan perpotongan bidang


Dinostratus adalah murid plato dikenal sebagai matematikawan. Dinostratus adalah orang yang menemukan penyelesaian pengkuadratan lingkaran yaitu dengan bantuan trisectrix Hippias. Apabila persamaan trisectrix adalah : П a sin Ө = 2 a Ө

Dimana a adalah sisi bujur sangkar ABCD maka nilai limit dari r untuk mendekati nol adalah 2a/п bukti yang diberikan dinostratus hanya berlaku berlandaskan kepada geometri elementer.


Aristotle (Aristoteles) adalah seorang murid dari, Sebenarnya aristoteles adalah seorang filosof dan ahli biologi tetapi dia selalu melibatkan diri dengan kegiatan-kegiatan para matematikawan.

Penemuan aristoteles mengenai;1. Indivisible dari panjang, luas atau isi 2. Menulis tentang biografi Pythagoras Tetapi karya aristoteles ini hilang begitu juga karya

muridnya eudemus “ sejarah geometri” karena dasar-dasar logika dan ilusinya tentang konsep dan teorema-teorema matematika dalam karya tulisnya aristoteles dapat dianggap orang yang mempunyai kontribusi yang besar dalam perkembangan matematika.


[1] Haza’a dkk, Sejarah Matematika Klasik dan Modern, UAD Press, Yogyakarta, 2004 (p.77-84)

[2] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Greek_numbers.html

[3] W.S.Anglin, Mathematics: A Concise History and Philosophy, Springer-Verlag, New York, 1994

22/04/23PAM 212 Sejarah Matematika-Yunani 48

mat 103 sejarah matematika matematika yunani (greek mathematic)

Documents