3. analisis tegangan

1

ANALISIS TEGANGAN

1

Mengapa mempelajari tegangan?

• Pada massa batuan terdapat kondisi tegangan awal yang harus dimengerti, baik secara langsung maupun sebagai kondisi tegangan yang diterapkan pada analisis dan desain.

• Selama dilakukan penggalian pada massa batuan kondisi tegangan akan berubah secara dramatik karena batuan yang tadinya mengalami tegangan telah digali sehingga tegangan akan diredistribusikan.

• Tegangan merupakan besaran tensor dan tensor tidak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

2

2

Skalar, Vektor, dan Tensor

• Skalar merupakan besaran yang hanya memiliki besar (contoh: suhu, waktu, massa).

• Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah (contoh: gaya, kecepatan, percepatan)

• Tensor merupakan besaran yang memiliki besar dan arah serta bergantung kepada bidang tempat bekerjanya (contoh: tegangan, regangan, permeabilitas).

3

Definisi Tegangan

• Untuk setiap arah OP melalui Odapat dianggap bahwa benda dapat dipotong melalui suatu bidang kecil δδδδA melalui O dan normal terhadap OP.

• Permukaan pada sisi P disebut sisi positif, sedangkan pada sisi lainnya disebut sisi negatif.

4

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O dalam suatu

benda dapat diterangkan sebagai berikut

3

Definisi Tegangan (Lanjutan)

• Efek dari gaya-gaya internal di dalam benda adalah sama dengan gaya δδδδF yang dialami benda pada sisi positif. Juga akan terdapat kopel yang dapat dibaikan karena δδδδAdianggap sangat kecil.

• Nilai limit dari rasio δδδδF/δδδδAdengan δδδδA mendekati nol adalah vektor teganganpada titik O yang bekerja pada bidang dengan normal pada arah OP.

5

Definisi Tegangan (Lanjutan)

• Vektor tegangan ini adalah vektor pOP yang didefinisikan sebagai:

A

Fp

δ

δ=

→δ 0AOP lim

6

4

Konvensi Tanda

• Gaya-gaya yang dianggap positif adalah gaya-gaya tekan, yaitu yang berarah seperti yang ditunjukkan

oleh δδδδF.

• Hal ini berlawanan dengan konvensi yang digunakan dalam teori elastisitas dan mekanika kontinu.

7

Konvensi Tanda (Lanjutan)

• Dalam mekanika batuan, akan lebih memudahkan untuk menggunakan tegangan tekan bertanda positifkarena:

– Kondisi tegangan (tegangan in situ akibat overburden, tekanan pemampatan dalam peralatan-peralatan, dan tekanan fluida di dalam pori) selalu berupa tegangan tekan.

– Konvensi ini digunakan juga di dalam mekanika tanah dan geologi struktur.

– Banyak problem dalam mekanika batuan menyangkut gesekan pada permukaan dan dalam kasus ini tegangan normal pada permukaan adalah postif.

8

5


• Perhatikan sebuah kubus dengan sisi paralel dengan sumbu x, y, dan z.

• Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:

– Tiga tegangan normal σxx, σyy, dan σzz

– Enam tegangan geser τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, dan τxz

9


• Arti subscript pada tegangan:

– Subscript pertama menunjukkan arah dari normal bidangdimana tegangan tersebut bekerja.

– Subscript kedua menunjukkan arah dari tegangantersebut.

• Catatan: Untuk tegangan normal, kadang-kadang hanya digunakan satu subscript.

• Sebagai syarat kesetimbangan rotasional, maka semua gaya yang bekerja pada sisi kubus harus setimbang, sehingga: τxy = τyx, τyz = τzy, dan τzx = τxz

10

6


• Konvensi tanda untuk komponen tegangan dapat didasarkan pada normal kedalam(inward normal) yaitu normal dari muka kubus yang berarah ke pusat kubus.

• Tegangan yang searah dengan normal kedalam adalah positif.

11


• Pada muka horisontal bagian atas yang paralel dengan bidang x-y, normal kedalam berarah ke arah sumbu z negatif.

• Tegangan normal σσσσzzyang bekerja pada muka ini searah dengan arah normal kedalam, sehingga dianggap positif.

12

7


• +ττττzx dan +ττττzy bekerja pada arah negatif sumbu x dan y.

• Semua tegangan pada muka yang terlihat pada gambar di samping adalah positif.

• Pada muka bagian bawah, normal kedalam berarah ke arah sumbu z positif, sehingga +σσσσzzberarah yang sama.

13

Tegangan Dalam Dua Dimensi

• Perhatikan sebuah elemen

bujursangkar dengan sisi

yang sangat kecil pada

bidang x-y dan tebal t.

• Elemen ini mengalami

tegangan normal σx, σy

dan tegangan geser τxy =

τyx.

14

8

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

• Akan ditentukan tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada sebuah bidang yang normalnya membentuk sudut θθθθ terhadap sumbu xdimana σx bekerja.

• Perlu digunakan prinsip kesetimbangan gaya dalam sebuah segitiga yang sangat kecil dengan tebal t.

15


• Panjang sisi segitiga:– AB = a

– OA = a sin θ

– OB = a cos θ

• Untuk memenuhi kondisi kesetimbangan, seluruh gaya yang bekerja pada arah σdan τ dalam keadaan setimbang.

16

9


( )

( )

2θ sin cosθ sinθ 2

1θsin θcos

cos2θ12

1θins

cos2θ12

1θcos

22

2

2

=

=+

−=

+=

17

ΣFσ = 0

σ at = σx cosθ a cosθ t + τxy sinθ a cosθ t

+ σy sinθ a sinθ t + τyx cosθ a sinθ t

σ = σx cos2θ + σy sin2θ + 2τxy sinθ cosθ

Dari trigonometri:


( ) ( )

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

sin2θ2

cos2θσ

2

σ

2

cos2θσ

2

σσ

cos2θ12

σsin2θcos2θ1

2

σσ

xy

yxyx

xy

yyxx

y

xyx

τ+

−+

+=

τ+−++=

−+τ++=

18

10


θ2oscθsin θcos

2θ sin2

1 cosθ sinθ

22 =−

=

19

ΣFτ = 0

τ at = -σx sinθ a cosθ t + τxy cosθ a cosθ t

+ σy cosθ a sinθ t - τyx sinθ a sinθ t

τ = (σy-σx)sinθcosθ + τxy(cos2θ-sin2q)

Dari trigonometri:


cos2θsin2θ2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ

xy

yx

xy

xy

τ+

−−=τ

τ+

−=τ

20

11


sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ xy

yxyxτ+

−+

+=

cos2θsin2θ2

σσ

xy

yxτ+

−−=τ

21

Persamaan – persamaan :

Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normalσσσσ dan tegangan geser ττττ pada setiap bidang yang

didefinisikan oleh θθθθ untuk setiap kombinasi nilai σσσσx, σσσσy,

dan ττττxy.


• Persamaan-persamaan yang diturunkan untuk σ dan τdapat juga dilihat sebagai persamaan untuk

menghitung σx’ dan τx’y’ pada sebuah sistem sumbu O,x’,y’ yang merupakan hasil rotasi sumbu O,x,y sebesar θ.

• Tegangan σy’ dapat dihitung dengan mengganti θ dengan θ+90O

22

12


23

Sehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu

menjadi:

σx’ = σxcos2θ + 2τxysinθcosθ + σysin2θ

σy’ = σxcos2(θ+90O) + 2τxysin(θ+90O)cos(θ+90O) + σysin2(θ+90O)

σy’ = σxsin2θ – 2τxysinθcosθ + σycos2θ


24

Dengan menjumlahkan

σx’ = σxcos2θ + 2τxysinθcosθ + σysin2θ dan

σy’ = σxsin2θ – 2τxysinθcosθ + σycos2θ

diperoleh

σx’ + σy’ = σx(cos2θ+sin2θ) + σy(cos2θ+sin2θ)

σx’ + σy’ = σx + σy

Jadi, hasil penjumlahan komponen-komponen tegangannormal yang saling tegak lurus adalah konstan atau

invariant dengan perputaran sumbu. Ini merupakan

sifat skalar dari tegangan dalam dua dimensi.

13


( ) cos2θsin2θ 2

1xyyx'y'x τ+σ−σ−=τ

25

Ekspresi untuk tegangan geser tidak berubah:

• Arah-arah dimana τ=0 disebut sumbu-sumbu utama(principal axes) dan komponen-komponen tegangan

pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama(principal stresses) dan dinotasikan dengan σσσσ1 dan σσσσ3.

• Akan terdapat satu nilai θ untuk mana tegangan geser

tidak ada (τ=0).


yx

xy

yx

xy

xyyx

xyyx

xyyx

σσ

22tan

σσ

2

cos2θ

sin2θ

cos2θsin2θ2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ0

cos2θsin2θ2

σσ

−

τ=θ

−

τ=

τ=

−

τ+

−−=

τ+

−−=τ

26

14


• Sudut 2θ merupakan sudut dari sumbu x yang menunjukkan arah tegangan-tegangan utama σ1dan σ3.

• Karena tan 2θ = tan (2θ+180O) maka– Sudut θ merupakan arah σ1

– Sudut θ+90 merupakan arah σ3.

• Setelah sudut θ diperoleh, σ1 dan σ3 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan untuk menghitung σ di depan.

27


( ) ( )

( ) ( ) 2xy

2yxyx3

2xy

2yxyx1

4

1

2

1

4

1

2

1

τ+σ−σ−σ+σ=σ

τ+σ−σ+σ+σ=σ

28

Tunjukkan bahwa σ1 dan σ3 dapat dinyatakan sebagai:

15

Lingkaran Mohr

29

cos2θsin2θ 2

σσ

sin2θcos2θ 2

σσ

2

σσσ

xy

yx

xy

yxyx

τ+

−−=τ

τ+

−+

+=

Lihat kembali persamaan untuk menghitung σ dan τ

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

30

cos2θsin2θ 2

σσ

sin2θcos2θ 2

σσ

2

σσ σ

xy

yx

xy

yxyx

τ+

−−=τ

τ+

−=

+−

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan menempatkan

semua 2θ di sebelah kanan

16


31

θ2sin

2cos2sin2

σσ2

2θcos2

σσ

2

σσ σ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσ σ

22xy

xyyx

22

yx2

yx

2

xyyx

2yx

τ+

θθτ

−+

−=

+−

τ+

−=

+−

Pengkuadratan persamaan yang mengandung σ menghasilkan:


2θcos

θ2cosθ2sin2

σσ2

θ2sin2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ

22xy

xyyx

22

yx2

2

xyyx2

τ+

τ

−−

−=τ

τ+

−−=τ

32

Pengkuadratan persamaan yang mengandung τ menghasilkan:

17


2xy

2yx2

2yx

2

σσ

2

σσσ τ+

−=τ+

+−

33

Penjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan:

Persamaan apa yang mempunyai bentuk seperti ini?

PERSAMAAN LINGKARAN


( ) ( ) 222Rbyax =−+−

34

Persamaan umum lingkaran berbentuk:

18


2xy

2yx2

2yx

2

σσ

2

σσσ τ+

−=τ+

+−

2xy

2yx

yx

2

σσ :jari-Jari

,02

σσ :pusat Titik

σ, sumbu Sistem

τ+

−

+

τ

35

Persamaan :

adalah Persamaan Lingkaran dengan:


36

19


• Untuk memplot tegangan geser pada Lingkaran Mohr, digunakan konvensi tanda positif dan negatif yang hanya valid untuk keperluan presentasi grafis.

• Tegangan geser diplot positif jika tegangan tersebut akan memutar elemen berlawanandengan arah putaran jarum jam.

• Tegangan geser diplot negatif jika tegangan tersebut akan memutar elemen searah dengan arah putaran jarum jam.

37


38

+

++

+

+

+

-

-

20


39


• Lingkaran Mohr merupakan metode grafis

sederhana dan cepat yang dapat digunakan

untuk:

– Menentukan besar tegangan normal dan tegangan

geser pada bidang tertentu.

– Menentukan besar dan arah tegangan-tegangan

utama.

40

21

Latihan 1

• Tentukan tegangan normal dan

tegangan geser (ke arah

mana?) yang bekerja pada

Bidang C

• Tentukan besar dan arah

tegangan utama mayor (σ1)

dan tegangan utama minor

(σ3)

41

Latihan 1 (Lanjutan)

42

22


43

Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 30O counter clockwise dari arah bekerjanya σσσσx (sumbu x)

ATAU

Bersudut 30O counter clockwise dari bidang tempat σσσσx bekerja (Bidang A)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30O = 60O


44

Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 60O clockwise dari arah bekerjanya σσσσy (sumbu y)

ATAU

Bersudut 60O clockwise dari bidang tempat σσσσy bekerja (Bidang B)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60O = 120O

23


• Jadi secara grafis:

σ = 23.2 MPa

τ = 3.9 MPa

• Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

cos2θsin2θ 2

σσ

sin2θcos2θ 2

σσ

2

σσσ

xy

yx

xy

yxyx

τ+

−−=τ

τ+

−+

+=

45


MPa 23.1965.196414σ

sin60 6cos60 2

622

2

622σ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

0O

xyyxyx

=++=

+

−+

+=

τ+

−+

+=

MPa 3.92836.928

cos60 6sin60 2

622

cos2θsin2θ2

σσ

OO

xyyx

−=+−=τ

+

−−=τ

τ+

−−=τ

46

24


47

Secara grafis:

σ = 23.2 MPa

τ = 3.9 MPa

Dengan rumus:

σ = 23.196 MPa

τ = -3.928 MPa

OK

OK?


48

σσσσ1 = 24 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5O counter clockwise

dari arah bekerjanya σσσσx (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 18.5O counter clockwise dari bidang

tempat bekerjanya σσσσx (Bidang A)

25


49

σσσσ3 = 4 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5O counter clockwise

dari arah bekerjanya σσσσx (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 108.5O counter clockwise dari bidang

tempat bekerjanya σσσσx (Bidang A)


• Dengan menggunakan persamaan-persamaan

terdahulu:

( ) ( )

( ) ( ) 2xy

2yxyx3

2xy

2yxyx1

4

1

2

1

4

1

2

1

τ+σ−σ−σ+σ=σ

τ+σ−σ+σ+σ=σ

50

26


( ) ( )

( ) ( )

MPa 4

MPa 24

10 14

66224

1 622

2

1

4

1

2

1

3

1

3,1

223,1

2xy

2yxyx3,1

=σ

=σ

±=σ

+−±+=σ

τ+σ−σ±σ+σ=σ

51


( ) O2

OO2

O1

O1

1

1

yx

xy1

43.108 87.361802

43.1887.362

16

12tan2

622

)6(2tan2

σσ

2tan2

=θ⇒+=θ

=θ⇒=θ

=θ

−=θ

−

τ=θ

−

−

−

52

27


O23

O11

5.108 MPa 4

5.18MPa 24

:grafis Secara

=θ⇒=σ

=θ⇒=σ

O23

O11

43.108 MPa 4

43.18MPa 24

:rumus Dari

=θ⇒=σ

=θ⇒=σ

53

OK

OK


54

28

Tegangan dalam 3 Dimensi

• Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:

– Tiga tegangan normal σxx, σyy, dan

σzz

– Enam tegangan geser τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, dan τxz

• Sebagai syarat kesetimbangan

rotasional : τxy = τyx, τyz = τzy, dan τzx

= τxz

• Tegangan-tegangan yang bekerja cukup dinyatakan dengan enam komponen

55

Tegangan dalam 3 Dimensi (Lanjutan)

• Jadi, kondisi tegangan pada sebuah titik dapat

dinyatakan dengan matriks tegangan [σσσσ],

sebagai berikut:

[ ]

σττ

τστ

ττσ

=

zyzzx

yzyxy

zxxyx

σ

56

29

Transformasi Tegangan

• Sumbu-sumbu referensi untuk penentuan kondisi tegangan dapat dilakukan secara bebas.

• Sistem sumbu asal (x,y,z)

• Sistem sumbu baru (l,m,n)

• Orientasi dari sumbu tertentu, relatif terhadap sumbu-sumbu asal didefinsikan oleh sebuah vektor barisdari cosinus arah.

• Cosinus arah adalah proyeksi dari vektor satuan yang paralel dengan salah satu sumbu baru (l, m, atau n) pada salah satu sumbu lama (x, y, atau z).

57

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

• Cosinus arah sumbu l: lx = cos αl, ly = cos βl, lz = cos γl

58

30


• Cosinus arah sumbu m: mx = cos αm, my = cos βm, mz = cos γm

59


• Cosinus arah sumbu n: nx = cos αn, ny = cos βn, nz = cos γn

60

31


• Tetrahedron OABC adalah bagian

dari kubus yang digunakan untuk

menentukan kondisi tegangan

sebelum ini.

• Untuk kesetimbangan, material

yang dihilangkan digantikan oleh

gaya penyeimbang sebesar t per

unit luas yang bekerja pada ABC.

• Normal bidang ABC, yaitu OP

mempunyai cosinus arah (λx, λy,

dan λz).

61


• Jika luas ABC adalah A, maka

proyeksi ABC pada bidang-bidang

dengan normal sumbu-sumbu x,

y, dan z adalah:

– OAC = Ax = Aλx

– OAB = Ay = Aλy

– OBC = Az = Aλz

• Anggap komponen-komponen

vektor traksi t adalah tx, ty, tz.

62

32


• Syarat kesetimbangan gaya pada

arah x akan menghasilkan:

txA – σxAx – τxyAy – τzxAz = 0

txA – σxAλx – τxyAλy – τzxAλz = 0

atau

tx = σxλx + τxyλy + τzxλz

• Dengan menggunakan syarat

kesetimbangan gaya pada arah y

dan z, diperoleh:

63


• Dengan melakukan hal yang sama

untuk sumbu-sumbu l, m, dan n

diperoleh:

[ ] [ ][ ]λ=

λ

λ

λ

σττ

τστ

ττσ

=

σt

atau

t

t

t

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

64

33


• [t], [t*], [l], dan [l*] adalah vektor-

vektor yang dinyatakan relatif

terhadap sistem koordinat x,y,z dan

l,m,n.

[ ] [ ][ ]* *σ*t

atau

t

t

t

n

m

l

nmnnl

mnmlm

nllml

n

m

l

λ=

λ

λ

λ

σττ

τστ

ττσ

=

65


• Dari dasar-dasar analisis vektor (MA2132):

Suatu vektor [v] ditransformasikan dari satu sistem sumbu x,y,z ke sistem

sumbu l,m,n melalui persamaan transformasi:

[ ] [ ][ ]v R*v

atau

v

v

v

nnn

mmm

lll

v

v

v

z

y

x

zyx

zyx

yxx

n

m

l

=

=

66

34


• Matriks [R] adalah matriks rotasi yang baris-barisnya dibentuk oleh vektor

baris cosinus arah dari sumbu baru terhadap sumbu asal.

• Sifat khas matriks [R] adalah bahwa invers-nya sama dengan transpose-nya,

atau:

[ ] [ ]T1 RR =−

67

• Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan [t] dan [t*]

serta [λλλλ] dan [λλλλ*]:


[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]:diperluas yangbentuk dalam atau

R σ R*σ

maka

* *σ*t

karena

* R σ R σ Rt R*t

sehingga

* R R*

dan

*t Rtt R*t

T

T

T

T

=

λ=

λ=λ==

λ=λ⇒λ=λ

=⇒=

68

35


ττ

ττ

ττ

=

ττ

ττ

ττ

zzz

yyy

xxx

zyzzx

yzyxy

zxxyx

zyx

zyx

zyx

nmnnl

mnmlm

nllml

nml

nml

nml

σ

σ

σ

nnn

mmm

lll

σ

σ

σ

69

Jadi, dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan

persamaan di atas, maka komponen-komponen tegangan

akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukan

Tegangan Utama

• Seperti telah diuraikan sebelumnya, bidang utama (principal plane)

adalah bidang dimana tidak terdapat tegangan geser.

• Pada bidang ini hanya bekerja tegangan normal yang merupakan tegangan

utama (principal stress), sedangkan normal dari bidang tersebut

merupakan arah dari sumbu utama (principal axis).

• Karena terdapat tiga acuan arah yang harus diperhitungkan, akan terdapat

juga tiga sumbu utama.

• Jadi, ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama yang harus

ditentukan untuk menggambarkan kondisi tegangan di sebuah titik.

70

36

Tegangan Utama (Lanjutan)

• Misalkan bahwa bidang ABC pada pembahasan terdahulu mempunyai

orientasi sedemikian rupa sehingga resultan tegangan yang bekerja

padanya hanya tegangan normal σp.

• Komponen-komponen traksi pada bidang ABC adalah:

λ

λ

λ

=

z

y

x

p

z

y

x

σ

t

t

t

λ

λ

λ

σττ

τστ

ττσ

=

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

t

t

t

71

• Pada pembahasan terdahulu komponen-komponen traksi dapat

dihubungkan juga dengan kondisi tegangan dan orientasi bidang:


• Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

[ ]0

σσ

σσ

σσ

z

y

x

pzyzzx

yzpyxy

zxxypx

=

λ

λ

λ

−ττ

τ−τ

ττ−

72

• Persamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan

simultan yang homogen dalam λx, λy, dan λz.

• Persamaan di atas akan mempunyai solusi non-trivial jika

determinan dari matriks koefisien = 0, yang menghasilkan

persamaan pangkat tiga:

37


( )( )2

xyz2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

3p22p1

3p

σσσ2σσσI

σσσσσσI

σσσI

dimana

0IσIσIσ

τ+τ+τ−τττ+=

τ+τ+τ−++=

++=

=−+−

73

I1 = Invariant tegangan (Stress invariant) pertama

I2 = Invariant tegangan (Stress invariant) kedua

I3 = Invariant tegangan (Stress invariant) ketiga


• Solusi dari persamaan

0IσIσIσ 3p22p1

3p =−+−

74

adalah tiga tegangan utama, dengan urutan dari yang terbesar ke

terkecil sebagai berikut:

σ1 = Tegangan utama mayor (Major principal stress)

σ2 = Tegangan utama tengah (Intermediate principal stress)

σ3 = Tegangan utama minor (Minor principal stress)

38


Setiap tegangan utama akan berhubungan dengan sumbu utama, yang

cosinus arahnya (λx,λy,λz) dapat dicari langsung dari persamaan matriks:

12z

2y

2x =λ+λ+λ

[ ]0

σσ

σσ

σσ

z

y

x

pzyzzx

yzpyxy

zxxypx

=

λ

λ

λ

−ττ

τ−τ

ττ−

75

dan sifat dasar dari cosinus arah, yaitu:


Brady & Brown (1993) mengusulkan bahwa untuk setiap tegangan utama

σi (i =1,2,3), cosinus arahnya adalah:

( )

( )

( ) 21222zi

21222yi

21222xi

CBAC

CBAB

CBAA

++=λ

++=λ

++=λ

76

dengan A, B, dan C adalah:

39


yzzx

iyxy

izzx

yzxy

izyz

yziy

σσC

σσ B

σσ

σσA

ττ

−τ=

−τ

ττ−=

−τ

τ−=

77


• Prosedur untuk menghitung tegangan-tegangan utama dan orientasi dari sumbu utama secara sederhana adalah penentuan nilai-nilai eigen(eigenvalues) dari matriks tegangan dan vektor eigen (eigenvector) dari setiap nilai eigen (Ingat: MA2132)

• Karena ketiga sumbu utama saling tegak lurus, maka hasil perkalian skalar(dot product) dari vektor cosinus arahnya sama dengan nol:

0

0

0

1z3z1y3y1x3x

3z2z3y2y3x2x

2z1z2y1y2x1x

=λλ+λλ+λλ

=λλ+λλ+λλ

=λλ+λλ+λλ

78

40


• Karena penjumlahan komponen tegangan normal yang saling tegak lurus

bersifat invariant (ingat materi terdahulu), maka:

zyx321 σσσσσσ ++=++

79

• Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitungan

besar dan arah tegangan utama

Latihan 2

σx = 7.825 MPa

σy = 6.308 MPa

σz = 7.866 MPa

τxy = 1.422 MPa

τyz = 0.012 MPa

τzx = -1.857 MPa

80

Tentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama pada

suatu titik jika keenam komponen tegangan pada titik

tersebut adalah

41


( )( ) MPa 0.350σσσ2σσσI

MPa 0.155σσσσσσI

MPa 0.22σσσI

2xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

=τ+τ+τ−τττ+=

=τ+τ+τ−++=

=++=

00.350σ 0.155σ 0.22σ p2p

3p =−+−

MPa 0.5σ

MPa 0.7σ

MPa 0.01σ

3

2

1

=

=

=

81

sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung tegangan utama

menjadi:

yang menghasilkan:


38.7012.0857.1

692.3422.1

012.0857.1

0.10308.6422.1σσC

012.3134.2857.1

012.0422.1

0.10866.7857.1

012.0422.1

σσ B

857.7134.2012.0

012.0682.3

0.10866.7012.0

012.00.10308.6

σσ

σσA

yzzx

1yxy

1zzx

yzxy

1zyz

yz1y

−=−

−=

−

−=

ττ

−τ=

=−−

−=−−

−=−τ

ττ−=

=−

−=

−

−=

−τ

τ−=

82

Mencari cosinus arah σ1:

42


1.0000(-0.6307)(0.2778))7246.0( 2222z1

2y1

2x1 =++=λ+λ+λ

( )

( )

( ) )129.1 (cos 6307.0843.10839.6CBAC

)73.9 (cos 2778.0843.10012.3CBAB

)43.6 (cos 7246.0843.10857.7CBAA

0212221z

0212221y

0212221x

−=−=++=λ

==++=λ

==++=λ

83

Periksa:


268.1012.0857.1

692.0422.1

012.0857.1

0.7308.6422.1σσC

254.1866.0857.1

012.0422.1

0.7866.7857.1

012.0422.1

σσ B

599.0866.0012.0

012.0692.0

0.7866.7012.0

012.00.7308.6

σσ

σσA

yzzx

2yxy

2zzx

yzxy

2zyz

yz2y

−=−

−=

−

−=

ττ

−τ=

−=−

−=−−

−=−τ

ττ−=

−=−

=−

−=

−τ

τ−=

84


43


0.9999(-0.6740)(-0.6664))3186.0( 2222z2

2y2

2x2 =++−=λ+λ+λ

( )

( )

( ) )132.4 (cos 6740.0881.1268.1CBAC

)131.8 (cos 6664.0881.1254.1CBAB

)108.6 (cos 3186.0881.1599.0CBAA

0212222z

0212222y

0212222x

−=−=++=λ

−=−=++=λ

−=−=++=λ

85

Periksa:


446.2012.0857.1

308.1422.1

012.0857.1

0.5308.6422.1σσC

098.4866.2857.1

012.0422.1

0.5866.7857.1

012.0422.1

σσ B

749.3866.2012.0

012.0308.1

0.5866.7012.0

012.00.5308.6

σσ

σσA

yzzx

3yxy

3zzx

yzxy

3zyz

yz3y

=−

=−

−=

ττ

−τ=

−=−

−=−−

−=−τ

ττ−=

==−

−=

−τ

τ−=

86


44


0.9999(0.4031)(-0.6752))6177.0( 2222z3

2y3

2x3 =++=λ+λ+λ

( )

( )

( ) )66.2 (cos 4031.0069.6446.2CBAC

)132.5 (cos 6752.0069.6098.4CBAB

)51.8 (cos 6177.0069.6749.3CBAA

0212223z

0212223y

0212223x

==++=λ

−=−=++=λ

==++=λ

87

Periksa:


0009.0

)6740.0)(6307.0()6664.0)(2778.0()3186.0)(7246.0(

2z1z2y1y2x1x

≈

=−−+−+−

=λλ+λλ+λλ

0018.0

)4031.0)(6740.0()6752.0)(6664.0()6177.0)(3186.0(

3z2z3y2y3x2x

≈−

=−+−−+−

=λλ+λλ+λλ

0006.0

)6307.0)(4301.0()2778.0)(6752.0()7246.0)(6177.0(

1z3z1y3y1x3x

≈

=−+−+

=λλ+λλ+λλ

88

Periksa ketegaklurusan sumbu utama 1 terhadap sumbu utama 2



45


MPa 22.0

5.07.010.0

σσσ 321

=++

=++

MPa 21.999

866.7308.67.825

σσσ zyx

=++

=++

89

Periksa sifat invariant tegangan-tegangan utama

3. analisis tegangan

Documents