1 - analisis tegangan

8/13/2019 1 - Analisis Tegangan

http://slidepdf.com/reader/full/1-analisis-tegangan 1/45

1

©RKW 1

T

A 3 1 1 1 M e k a n i k a B a t u a n

ANALISIS TEGANGAN

Ridho K. Wattimena

Laboratorium GeomekanikaFIKTM – ITB

©RKW 2

T A 3 1 1 1 M e k a n i k a B a t u a n

Mengapa mempelajari tegangan?

• Pada massa batuan terdapat kondisi tegangan awal

yang harus dimengerti, baik secara langsung maupun

sebagai kondisi tegangan yang diterapkan pada analisis

dan desain.

• Selama dilakukan penggalian pada massa batuan

kondisi tegangan akan berubah secara dramatik karena

batuan yang tadinya mengalami tegangan telah digali

sehingga tegangan akan diredistribusikan.

• Tegangan merupakan besaran tensor dan tensor tidak

dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.



2

©RKW 3

T


Skalar, Vektor, dan Tensor

• Skalar merupakan besaran yang hanya memiliki besar

(contoh: suhu, waktu, massa).

• Vektor merupakan besaran yang memiliki besar dan

arah (contoh: gaya, kecepatan, percepatan)

• Tensor merupakan besaran yang memiliki besar dan

arah serta bergantung kepada bidang tempat bekerjanya

(contoh: tegangan, regangan, permeabilitas).

©RKW 4


Definisi Tegangan

• Untuk setiap arah OP melalui O

dapat dianggap bahwa benda

dapat dipotong melalui suatubidang kecil A melalui O dan

normal terhadap OP.

• Permukaan pada sisi P disebut

sisi positif , sedangkan pada sisi

lainnya disebut sisi negatif.

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O dalam suatu

benda dapat diterangkan sebagai berikut



3

©RKW 5

T


Definisi Tegangan (Lanjutan)

• Efek dari gaya-gaya internal didalam benda adalah samadengan gaya F yang dialamibenda pada sisi positif. Jugaakan terdapat kopel yang dapatdibaikan karena A dianggapsangat kecil.

• Nilai limit dari rasio F/ A

dengan A mendekati nol adalahvektor tegangan pada titik Oyang bekerja pada bidangdengan normal pada arah OP.

©RKW 6


Definisi Tegangan (Lanjutan)

• Vektor tegangan ini adalah vektor pOP yang didefinisikan

sebagai:

A

Fp

δδ

=→δ 0 A

OP lim



4

©RKW 7

T


Konvensi Tanda

• Gaya-gaya yang dianggap positif

adalah gaya-gaya tekan, yaitu

yang berarah seperti yang

ditunjukkan oleh F.

• Hal ini berlawanan dengan

konvensi yang digunakan dalam

teori elastisitas dan mekanika

kontinu.

©RKW 8


Konvensi Tanda (Lanjutan)

• Dalam mekanika batuan, akan lebih memudahkan untuk

menggunakan tegangan tekan bertanda positif karena:

– Kondisi tegangan (tegangan in situ akibat overburden, tekanan

pemampatan dalam peralatan-peralatan, dan tekanan fluida di

dalam pori) selalu berupa tegangan tekan.

– Konvensi ini digunakan juga di dalam mekanika tanah dan

geologi struktur.

– Banyak problem dalam mekanika batuan menyangkut gesekan

pada permukaan dan dalam kasus ini tegangan normal pada

permukaan adalah postif.



5

©RKW 9

T



• Perhatikan sebuah kubus

dengan sisi paralel dengan

sumbu x, y, dan z.

• Tegangan-tegangan yang

bekerja pada sisi kubus

dapat dinyatakan dengan:

– Tiga tegangan normal σxx, σyy,

dan σzz

– Enam tegangan geser τxy, τyx,

τyz, τzy, τzx, dan τxz

©RKW 10



• Arti subscript pada tegangan:

– Subscript pertama menunjukkan arah dari normal bidang

dimana tegangan tersebut bekerja.

– Subscript kedua

menunjukkan arah dari tegangan

tersebut.

• Catatan: Untuk tegangan normal, kadang-kadang

hanya digunakan satu subscript.

• Sebagai syarat kesetimbangan rotasional, maka semua

gaya yang bekerja pada sisi kubus harus setimbang,

sehingga: τxy = τyx, τyz = τzy, dan τzx = τxz



6

©RKW 11

T



• Konvensi tanda untuk

komponen tegangan dapat

didasarkan pada normal

kedalam (inward normal)

yaitu normal dari muka

kubus yang berarah ke

pusat kubus.

• Tegangan yang searahdengan normal kedalam

adalah positif.

©RKW 12



• Pada muka horisontal

bagian atas yang paralel

dengan bidang x-y, normal

kedalam berarah ke arah

sumbu z negatif .

• Tegangan normal σzz yang

bekerja pada muka ini

searah dengan arah

normal kedalam, sehingga

dianggap positif .



7

©RKW 13

T



• +τzx dan +τzy bekerja padaarah negatif sumbu x dany.

• Semua tegangan padamuka yang terlihat padagambar di samping adalahpositif.

• Pada muka bagian bawah,normal kedalam berarah kearah sumbu z positif,sehingga +σzz berarahyang sama.

©RKW 14


Tegangan Dalam Dua Dimensi

• Perhatikan sebuah elemen

bujursangkar dengan sisi yang

sangat kecil pada bidang x-y dan

tebal t.

• Elemen ini mengalami tegangan

normal σx, σy dan tegangan

geser τxy = τyx.



8

©RKW 15

T


Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

• Akan ditentukan tegangan

normal dan tegangan

geser yang bekerja pada

sebuah bidang yang

normalnya membentuk

sudut θ terhadap sumbu x

dimana σx bekerja.

• Perlu digunakan prinsipkesetimbangan gaya dalam

sebuah segitiga yang

sangat kecil dengan tebal t.

©RKW 16



• Panjang sisi segitiga:

– AB = a

– OA = a sin θ

– OB = a cos θ

• Untuk memenuhi kondisi

kesetimbangan, seluruh

gaya yang bekerja pada

arah σ dan τ dalamkeadaan setimbang.



9

©RKW 17

T



ΣFσ = 0

σ at = σx cosθ a cosθ t + τxy sinθ a cosθ t

+ σy sinθ a sinθ t + τyx cosθ a sinθ t

σ = σx cos2θ + σy sin2θ + 2τxy sinθ cosθ

Dari trigonometri:

( )

( )

2θsincosθsinθ2

1θsinθcos

cos2θ121θins

cos2θ12

1θcos

22

2

2

=

=+

−=

+=

©RKW 18



( ) ( )

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

sin2θ2

cos2θσ

2

σ

2

cos2θσ

2

σσ

cos2θ12

σsin2θcos2θ1

2

σσ

xyyxyx

xy

yyxx

y

xyx

τ+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −++=

τ+−++=

−+τ++=



10

©RKW 19

T



ΣFτ = 0

τ at = -σx sinθ a cosθ t + τxy cosθ a cosθ t

+ σy cosθ a sinθ t - τyx sinθ a sinθ t

τ = (σy-σx)sinθcosθ + τxy(cos2θ-sin2q)

Dari trigonometri:

θ2oscθsinθcos

2θsin2

1 cosθsinθ

22 =−

=

©RKW 20



cos2θsin2θ

2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ

xy

yx

xy

xy

τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−=τ

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=τ



11

©RKW 21

T



sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ xy

yxyx τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

cos2θsin2θ2

σσ

xy

yx τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=τ

Persamaan – persamaan :

Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normalσ dan tegangan geser τ pada setiap bidang yang

didefinisikan oleh θ untuk setiap kombinasi nilai σx, σy,

dan τxy.

©RKW 22



• Persamaan-persamaan yang

diturunkan untuk σ dan τdapat juga dilihat sebagai

persamaan untuk menghitung

σx’ dan τx’y’ pada sebuahsistem sumbu O,x’,y’ yang

merupakan hasil rotasi

sumbu O,x,y sebesar θ.

• Tegangan σy’ dapat dihitung

dengan mengganti θ dengan

θ+90O



12

©RKW 23

T



Sehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu

menjadi:

σx’ = σxcos2θ + 2τxysinθcosθ + σysin2θ

σy’ = σxcos2(θ+90O) + 2τxysin(θ+90O)cos(θ+90O) + σysin2(θ+90O)

σy’ = σxsin2θ – 2τxysinθcosθ + σycos2θ

©RKW 24



Dengan menjumlahkan

σx’ = σxcos2θ + 2τxysinθcosθ + σysin2θ dan

σy’ = σxsin2θ – 2τxysinθcosθ + σycos2θ

diperoleh

σx’ + σy’ = σx(cos2θ+sin2θ) + σy(cos2θ+sin2θ)

σx’ + σy’ = σx + σy

Jadi, hasil penjumlahan komponen-komponen tegangan

normal yang saling tegak lurus adalah konstan atau

invariant dengan perputaran sumbu. Ini merupakan

sifat skalar dari tegangan dalam dua dimensi.



13

©RKW 25

T



Ekspresi untuk tegangan geser tidak berubah:

( ) cos2θsin2θ2

1xyyx'y'x τ+σ−σ−=τ

• Arah-arah dimana τ=0 disebut sumbu-sumbu utama(principal axes) dan komponen-komponen tegangan

pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama

(principal stresses) dan dinotasikan dengan σ1 dan σ3.

• Akan terdapat satu nilai θ untuk mana tegangan geser

tidak ada (τ=0).

©RKW 26



yx

xy

yx

xy

xyyx

xyyx

xyyx

σσ

22tan

σσ

2

cos2θ

sin2θ

cos2θsin2θ2

σσ

cos2θsin2θ2

σσ0

cos2θsin2θ2

σσ

−

τ=θ

−

τ=

τ=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=τ



14

©RKW 27

T



• Sudut 2θ merupakan sudut dari sumbu x yang

menunjukkan arah tegangan-tegangan utama σ1 dan σ3.

• Karena tan 2θ = tan (2θ+180O) maka

– Sudut θ merupakan arah σ1

– Sudut θ+90 merupakan arah σ3.

• Setelah sudut θ diperoleh, σ1 dan σ3 dapat dihitung

dengan menggunakan persamaan untuk menghitung σdi depan.

©RKW 28



( ) ( )

( ) ( ) 2xy

2yxyx3

2xy

2yxyx1

4

1

2

1

4

1

2

1

τ+σ−σ−σ+σ=σ

τ+σ−σ+σ+σ=σ

Tunjukkan bahwa σ1 dan σ3 dapat dinyatakan sebagai:



15

©RKW 29

T


Lingkaran Mohr

cos2θsin2θ2

σσ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

xy

yx

xy

yxyx

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=τ

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

Lihat kembali persamaan untuk menghitung σ dan τ

©RKW 30


Lingkaran Mohr (Lanjutan)

cos2θsin2θ2

σσ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσ σ

xy

yx

xy

yxyx

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=τ

τ+⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −=

+−

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan menempatkan

semua 2θ di sebelah kanan



16

©RKW 31

T



θ2sin

2cos2sin2σσ2

2θcos2

σσ

2

σσ σ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσ σ

22xy

xyyx

22

yx2

yx

2

xyyx

2yx

τ+

θθτ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ −+

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

Pengkuadratan persamaan yang mengandung σ menghasilkan:

©RKW 32



Pengkuadratan persamaan yang mengandung τ menghasilkan:

2θcos

θ2cosθ2sin2

σσ2

θ2sin2

σσ

cos2θsin2θ

2

σσ

22xy

xyyx

22

yx2

2

xyyx2

τ+

τ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=τ

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ −−=τ



17

©RKW 33

T



Penjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan:

2xy

2yx2

2yx

2

σσ

2

σσσ τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

Persamaan apa yang mempunyai bentuk seperti ini?

PERSAMAAN LINGKARAN

©RKW 34



Persamaan umum lingkaran berbentuk:

( ) ( ) 222Rbyax =−+−



18

©RKW 35

T



2xy

2yx2

2yx

2

σσ

2

σσσ τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−Persamaan :

adalah Persamaan Lingkaran dengan:

2xy

2yx

yx

2

σσ : jari-Jari

,02

σσ :pusatTitik

σ,sumbuSistem

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

τ

©RKW 36





19

©RKW 37

T



• Untuk memplot tegangan geser pada Lingkaran Mohr,

digunakan konvensi tanda positif dan negatif yang

hanya valid untuk keperluan presentasi grafis.

• Tegangan geser diplot positif jika tegangan tersebut

akan memutar elemen berlawanan dengan arah

putaran jarum jam.

• Tegangan geser diplot negatif jika tegangan tersebut

akan memutar elemen searah dengan arah putaran

jarum jam.

©RKW 38



+

++

+

+

+

-

-



20

©RKW 39

T



©RKW 40



• Lingkaran Mohr merupakan metode grafis sederhana

dan cepat yang dapat digunakan untuk:

– Menentukan besar tegangan normal dan tegangan geser pada

bidang tertentu.

– Menentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama.



21

©RKW 41

T


Latihan 1

• Tentukan tegangan normal

dan tegangan geser (ke

arah mana?) yang bekerja

pada Bidang C

• Tentukan besar dan arah

tegangan utama mayor (σ1)

dan tegangan utama minor

(σ3)

©RKW 42


Latihan 1 (Lanjutan)



22

©RKW 43

T



Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 30O counter clockwise dari arah bekerjanya σx (sumbu x)

ATAU

Bersudut 30O counter clockwise dari bidang tempat σx bekerja (Bidang A)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30O = 60O

©RKW 44



Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 60O clockwise dari arah bekerjanya σy (sumbu y)

ATAU

Bersudut 60O clockwise dari bidang tempat σy bekerja (Bidang B)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60O = 120O



23

©RKW 45

T



• Jadi secara grafis:

σ = 23.2 MPa

τ = 3.9 MPa

• Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

cos2θsin2θ2

σσ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

xy

yx

xy

yxyx

τ+⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ −−=τ

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

©RKW 46



MPa23.1965.196414σ

sin606cos602

622

2

622σ

sin2θcos2θ2

σσ

2

σσσ

0O

xyyxyx

=++=

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

+=

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+=

MPa3.92836.928

cos606sin602

622

cos2θsin2θ2

σσ

OO

xyyx

−=+−=τ

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=τ

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=τ



24

©RKW 47

T



Secara grafis:

σ = 23.2 MPa

τ = 3.9 MPa

Dengan rumus:

σ = 23.196 MPa

τ = -3.928 MPa

OK

OK?

©RKW 48



σ1 = 24 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5O counter clockwise

dari arah bekerjanya σx (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 18.5O counter clockwise dari bidang

tempat bekerjanya σx (Bidang A)



25

©RKW 49

T



σ3 = 4 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5O counter clockwise

dari arah bekerjanya σx (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 108.5O counter clockwise dari bidang

tempat bekerjanya σx (Bidang A)

©RKW 50



• Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

( ) ( )

( ) ( ) 2xy

2yxyx3

2xy

2yxyx1

4

1

2

1

4

1

2

1

τ+σ−σ−σ+σ=σ

τ+σ−σ+σ+σ=σ



26

©RKW 51

T



( ) ( )

( ) ( )

MPa4

MPa24

1014

66224

1 622

2

1

4

1

2

1

3

1

3,1

223,1

2xy

2yxyx3,1

=σ

=σ

±=σ

+−±+=σ

τ+σ−σ±σ+σ=σ

©RKW 52



( ) O2

OO2

O1

O1

1

1

yx

xy1

43.108 87.361802

43.1887.362

16

12tan2

622

)6(2tan2

σσ

2tan2

=θ⇒+=θ

=θ⇒=θ

=θ

−=θ

−

τ=θ

−

−

−



27

©RKW 53

T



O23

O11

43.108 MPa4

43.18MPa24

:rumusDari

=θ⇒=σ

=θ⇒=σ

O23

O11

5.108 MPa4

5.18MPa24

:grafisSecara

=θ⇒=σ

=θ⇒=σ OK

OK

©RKW 54





28

©RKW 55

T


Tegangan dalam 3 Dimensi

• Tegangan-tegangan yang bekerjapada sisi kubus dapat dinyatakandengan:

– Tiga tegangan normal σxx, σyy,dan σzz

– Enam tegangan geser τxy, τyx, τyz,τzy, τzx, dan τxz

• Sebagai syarat kesetimbanganrotasional : τxy = τyx, τyz = τzy, dan

τzx = τxz

• Tegangan-tegangan yang bekerjacukup dinyatakan dengan enamkomponen

©RKW 56


Tegangan dalam 3 Dimensi (Lanjutan)

• Jadi, kondisi tegangan pada sebuah titik dapat

dinyatakan dengan matriks tegangan [σ], sebagai

berikut:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σττ

τστττσ

=

zyzzx

yzyxy

zxxyxσ



29

©RKW 57

T


Transformasi Tegangan

• Sumbu-sumbu referensi untukpenentuan kondisi tegangan dapatdilakukan secara bebas.

• Sistem sumbu asal (x,y,z)

• Sistem sumbu baru (l,m,n)

• Orientasi dari sumbu tertentu, relatif terhadap sumbu-sumbu asaldidefinsikan oleh sebuah vektor baris dari cosinus arah.

• Cosinus arah adalah proyeksi darivektor satuan yang paralel dengansalah satu sumbu baru (l, m, ataun) pada salah satu sumbu lama (x,y, atau z).

©RKW 58


Transformasi Tegangan (Lanjutan)

• Cosinus arah sumbu l: lx = cos αl, ly = cos βl, lz = cos γl



30

©RKW 59

T



• Cosinus arah sumbu m: mx = cos αm, my = cos βm, mz = cos γm

©RKW 60



• Cosinus arah sumbu n: nx = cos αn, ny = cos βn, nz = cos γn



31

©RKW 61

T



• Tetrahedron OABC adalah

bagian dari kubus yang

digunakan untuk menentukan

kondisi tegangan sebelum ini.

• Untuk kesetimbangan, material

yang dihilangkan digantikan

oleh gaya penyeimbang

sebesar t per unit luas yang

bekerja pada ABC.

• Normal bidang ABC, yaitu OP

mempunyai cosinus arah (λx,

λy, dan λz).

©RKW 62



• Jika luas ABC adalah A, maka

proyeksi ABC pada bidang-

bidang dengan normal sumbu-

sumbu x, y, dan z adalah:

– OAC = Ax

= Aλx

– OAB = Ay = Aλy

– OBC = Az = Aλz

• Anggap komponen-komponen

vektor traksi t adalah tx, ty, tz.



32

©RKW 63

T



• Syarat kesetimbangan gaya

pada arah x akan menghasilkan:

tx A – σx Ax – τxy Ay – τzx Az = 0

tx A – σx Aλx – τxy Aλy – τzx Aλz = 0

atau

tx = σxλx + τxyλy + τzxλz

• Dengan menggunakan syaratkesetimbangan gaya pada arah

y dan z, diperoleh:

©RKW 64



[ ] [ ] [ ]λ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σττ

τστ

ττσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σt

atau

t

t

t

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

• Dengan melakukan hal yang

sama untuk sumbu-sumbu l, m,

dan n diperoleh:



33

©RKW 65

T



[ ] [ ][ ]**σ*t

atau

t

t

t

n

m

l

nmnnl

mnmlm

nllml

n

m

l

λ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σττ

τστ

ττσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

• [t], [t*], [l], dan [l*] adalah vektor-

vektor yang dinyatakan relatif

terhadap sistem koordinat x,y,zdan l,m,n.

©RKW 66



• Dari dasar-dasar analisis vektor (MA2132):

Suatu vektor [v] ditransformasikan dari satu sistem sumbu x,y,z ke

sistem sumbu l,m,n melalui persamaan transformasi:

[ ] [ ][ ]vR *v

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

atau

v

vv

nnn

mmmlll

v

vv

z

y

x

z y x

z y x

z y x

n

m

l



34

©RKW 67

T



• Matriks [R] adalah matriks rotasi yang baris-barisnya dibentuk oleh

vektor baris cosinus arah dari sumbu baru terhadap sumbu asal.

• Sifat khas matriks [R] adalah bahwa invers-nya sama dengan

transpose-nya, atau:

[ ] [ ]T1RR =−

• Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan [t] dan [t*]

serta [ ] dan [ *]:

©RKW 68



[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]:diperluasyangbentukdalamatau

RσR*σ

maka

**σ*t

karena

*RσRσRtR*t

sehingga

*RR*

dan

*tRttR*t

T

T

T

T

=

λ=

λ=λ==

λ=λ⇒λ=λ

=⇒=



35

©RKW 69

T



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ

ττ

ττ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ

ττ

ττ

zzz

yyy

xxx

zyzzx

yzyxy

zxxyx

zyx

zyx

zyx

nmnnl

mnmlm

nllml

nml

nml

nml

σ

σ

σ

nnn

mmm

lll

σ

σ

σ

Jadi, dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan

persamaan di atas, maka komponen-komponen tegangan

akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukan

©RKW 70


Tegangan Utama

• Seperti telah diuraikan sebelumnya, bidang utama (principal

plane) adalah bidang dimana tidak terdapat tegangan geser.

• Pada bidang ini hanya bekerja tegangan normal yang merupakan

tegangan utama (principal stress), sedangkan normal dari bidang

tersebut merupakan arah dari sumbu utama (principal axis).• Karena terdapat tiga acuan arah yang harus diperhitungkan, akan

terdapat juga tiga sumbu utama.

• Jadi, ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama yang

harus ditentukan untuk menggambarkan kondisi tegangan di

sebuah titik.



36

©RKW 71

T


Tegangan Utama (Lanjutan)

• Misalkan bahwa bidang ABC pada pembahasan terdahulu

mempunyai orientasi sedemikian rupa sehingga resultan tegangan

yang bekerja padanya hanya tegangan normal σp.

• Komponen-komponen traksi pada bidang ABC adalah:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

p

z

y

x

σ

t

t

t

• Pada pembahasan terdahulu komponen-komponen traksi dapat

dihubungkan juga dengan kondisi tegangan dan orientasi bidang:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σττ

τστ

ττσ

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

zyzzx

yzyxy

zxxyx

z

y

x

t

t

t

©RKW 72



• Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

• Persamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan

simultan yang homogen dalam λx, λy, dan λz.

• Persamaan di atas akan mempunyai solusi non-trivial jika

determinan dari matriks koefisien = 0, yang menghasilkan

persamaan pangkat tiga:

[ ]0

σσ

σσ

σσ

z

y

x

pzyzzx

yzpyxy

zxxypx

=

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−ττ

τ−τ

ττ−



37

©RKW 73

T



I1 = Invariant tegangan (Stress invariant) pertama

I2 = Invariant tegangan (Stress invariant) kedua

I3 = Invariant tegangan (Stress invariant) ketiga

( )( )2

xyz2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

3p22p1

3p

σσσ2σσσI

σσσσσσI

σσσI

dimana

0IσIσIσ

τ+τ+τ−τττ+=

τ+τ+τ−++=

++=

=−+−

©RKW 74



• Solusi dari persamaan

adalah tiga tegangan utama, dengan urutan dari yang terbesar ke

terkecil sebagai berikut:

σ1 = Tegangan utama mayor (Major principal stress)

σ2 = Tegangan utama tengah (Intermediate principal stress)

σ3 = Tegangan utama minor (Minor principal stress)

0IσIσIσ 3p22p1

3p =−+−



38

©RKW 75

T



Setiap tegangan utama akan berhubungan dengan sumbu utama,

yang cosinus arahnya (λx,λy,λz) dapat dicari langsung dari

persamaan matriks:

[ ]0

σσ

σσ

σσ

z

y

x

pzyzzx

yzpyxy

zxxypx

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λ

λ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−ττ

τ−τ

ττ−

dan sifat dasar dari cosinus arah, yaitu:

12z

2y

2x =λ+λ+λ

©RKW 76



Brady & Brown (1993) mengusulkan bahwa untuk setiap tegangan

utama σi (i =1,2,3), cosinus arahnya adalah:

( )

( )

( ) 21222zi

21222yi

21222xi

CB AC

CB AB

CB A A

++=λ

++=λ

++=λ

dengan A, B, dan C adalah:



39

©RKW 77

T



yzzx

iyxy

izzx

yzxy

izyz

yziy

σσ

C

σσ B

σσ

σσ A

ττ

−τ

=

−τ

ττ−=

−τ

τ−=

©RKW 78



• Prosedur untuk menghitung tegangan-tegangan utama dan orientasidari sumbu utama secara sederhana adalah penentuan nilai-nilaieigen (eigenvalues) dari matriks tegangan dan vektor eigen(eigenvector ) dari setiap nilai eigen (Ingat: MA2132)

• Karena ketiga sumbu utama saling tegak lurus, maka hasil

perkalian skalar (dot product) dari vektor cosinus arahnya samadengan nol:

0

0

0

1z3z1y3y1x3x

3z2z3y2y3x2x

2z1z2y1y2x1x

=λλ+λλ+λλ

=λλ+λλ+λλ

=λλ+λλ+λλ



40

©RKW 79

T



• Karena penjumlahan komponen tegangan normal yang saling tegak

lurus bersifat invariant (ingat materi terdahulu), maka:

zyx321 σσσσσσ ++=++

• Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitungan

besar dan arah tegangan utama

©RKW 80


Latihan 2

σx = 7.825 MPa

σy = 6.308 MPa

σz = 7.866 MPa

τxy = 1.422 MPa

τyz = 0.012 MPa

τzx = -1.857 MPa

Tentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama pada

suatu titik jika keenam komponen tegangan pada titik

tersebut adalah



41

©RKW 81

T



( )( ) MPa0.350σσσ2σσσI

MPa0.155σσσσσσI

MPa0.22σσσI

2xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

=τ+τ+τ−τττ+=

=τ+τ+τ−++=

=++=

MPa0.5σ

MPa0.7σ

MPa0.01σ

3

2

1

=

=

=

sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung tegangan utama

menjadi:

00.350σ0.155σ0.22σ p2p

3p =−+−

yang menghasilkan:

©RKW 82



Mencari cosinus arah σ1:

38.7012.0857.1

692.3422.1

012.0857.1

0.10308.6422.1σσC

012.3134.2857.1

012.0422.1

0.10866.7857.1

012.0422.1

σσ B

857.7134.2012.0

012.0682.3

0.10866.7012.0

012.00.10308.6

σσ

σσ A

yzzx

1yxy

1zzx

yzxy

1zyz

yz1y

−=−

−=

−

−=

ττ

−τ=

=−−

−=−−

−=−τ

ττ−=

=−

−=

−

−=

−τ

τ−=



42

©RKW 83

T



( )

( )

( ) )129.1(cos6307.0843.10839.6CB AC

)73.9(cos2778.0843.10012.3CB AB

)43.6(cos7246.0843.10857.7CB A A

0212221z

0212221y

0212221x

−=−=++=λ

==++=λ

==++=λ

1.0000(-0.6307)(0.2778))7246.0( 2222z1

2y1

2x1 =++=λ+λ+λ

Periksa:

©RKW 84




268.1012.0857.1

692.0422.1

012.0857.1

0.7308.6422.1σσC

254.1866.0857.1012.0422.1

0.7866.7857.1012.0422.1

σσ B

599.0866.0012.0

012.0692.0

0.7866.7012.0

012.00.7308.6

σσ

σσ A

yzzx

2yxy

2zzx

yzxy

2zyz

yz2y

−=−

−=

−

−=

ττ

−τ=

−=−

−=−−

−=−τ ττ−=

−=−

=−

−=

−τ

τ−=



43

©RKW 85

T



( )

( )

( ) )132.4(cos6740.0881.1268.1CB AC

)131.8(cos6664.0881.1254.1CB AB

)108.6(cos3186.0881.1599.0CB A A

0212222z

0212222y

0212222x

−=−=++=λ

−=−=++=λ

−=−=++=λ

0.9999(-0.6740)(-0.6664))3186.0( 2222z2

2y2

2x2 =++−=λ+λ+λ

Periksa:

©RKW 86




446.2012.0857.1

308.1422.1

012.0857.1

0.5308.6422.1σσC

098.4866.2857.1012.0422.1

0.5866.7857.1012.0422.1

σσ B

749.3866.2012.0

012.0308.1

0.5866.7012.0

012.00.5308.6

σσ

σσ A

yzzx

3yxy

3zzx

yzxy

3zyz

yz3y

=−

=−

−=

ττ

−τ=

−=−−=−−−=−τ ττ−=

==−

−=

−τ

τ−=



44

©RKW 87

T



( )

( )

( ) )66.2(cos4031.0069.6446.2CB AC

)132.5(cos6752.0069.6098.4CB AB

)51.8(cos6177.0069.6749.3CB A A

0212223z

0212223y

0212223x

==++=λ

−=−=++=λ

==++=λ

0.9999(0.4031)(-0.6752))6177.0( 2222z3

2y3

2x3 =++=λ+λ+λ

Periksa:

©RKW 88



0009.0

)6740.0)(6307.0()6664.0)(2778.0()3186.0)(7246.0(

2z1z2y1y2x1x

≈

=−−+−+−

=λλ+λλ+λλ

0018.0

)4031.0)(6740.0()6752.0)(6664.0()6177.0)(3186.0(

3z2z3y2y3x2x

≈−

=−+−−+−

=λλ+λλ+λλ

Periksa ketegaklurusan sumbu utama 1 terhadap sumbu utama 2



0006.0

)6307.0)(4301.0()2778.0)(6752.0()7246.0)(6177.0(

1z3z1y3y1x3x

≈

=−+−+

=λλ+λλ+λλ



©RKW 89

T



MPa21.999

866.7308.67.825

σσσ zyx

=++

=++

Periksa sifat invariant tegangan-tegangan utama

MPa22.0

5.07.010.0

σσσ 321

=++

=++

1 - analisis tegangan

Documents