2529 bab 6 distribusi kontinyu(1)
TRANSCRIPT
BEBERAPA DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINYU
(SSTS 2305 / 3 sks)
Dra. Noeryanti, M.Si
1
Pengantar:
Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi
koninyu yang sangat penting di bidang staistika. diantaranya distribusi
normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan
distribusi weibull. Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada
statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian
panjang umur (life testing) dan sebagianya
Disini setiap distribusi tersebut diatas telah dibuat grafiknya
menggunakan software R. Selain digunakan membuat grafik fungsi,
nilai-ilai yang biasanya dicari di tabel, disini diberikan cara
penggunaan program R dalam menenukan distribusi probabilitasnya.
2
Kompetensi:
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa
diharapkan:
1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi
Probabilitas Kontinu secara benar.
2. Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan
dengan distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial,
distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull.
3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
3
Daftar Isi Materi:
• Distribusi Normal
• Luas Daerah dibawah Kurva Normal
• Distribusi Gamma dan Eksponensial
• Distribusi Chi-kuadrat
• Distribusi Weibull
4
6.1 Distribusi Normal
Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik
adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk
lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich
(1777-1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X
yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan
persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung
paramerter
dinyatakan
Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan
baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3 melukiskan
beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi
bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan
standart deviasi yang berbeda.
(mean) dan (simpangan baku) n(x; , )
5
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
dn
orm
(x)
Ganbar 6.1 Kurva normal
6
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
dn
orm
(x, 5
, 1)
Distribusi Normal
1 22 21 2 1
Ganbar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama
7
-4 -2 0 2 4
0.0
0.5
1.0
1.5
x
dn
orm
(x, 0
, 0.2
5)
Distribusi Normal
21 10, 0.25
23 30, 0.75
22 20, 0.5
24 40, 1
Ganbar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama
8
-6 -4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
dn
orm
(x, 1
, 0.5
)1 11 0 5, .
2 22 1,
Ganbar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda
9
10
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata
dan variansi dinyatakan sebagai:
50 5; 50 5n(x; , )
211 22
x( )( )n(x; , ) e ; x
2
3 14159 2 71828dengan , .... dan e , ....
Begitu dan diketahui, maka kurva normal dapat ditentukan.
Misal:
maka ordinat dengan mudah dapat dihitung.
2
Sifat-sifat Kurva Normal
1. Modus (nilai x maksimun) terletak di
2. Simetris terhadap sumbu vertikal melalui
3. Mempunyai titik belok pada
4. Memotong sumbu mendatar secara asimtotis.
5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar sama dg 1
x
x
11
12 2
2
1
2
xb b
a a
P(a x b) f(x)dx e dx
6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal
Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
dn
orm
(x)
a b
Ganbar 6.5 Luas daerah P(a<x<b)= luas daerah di arsir
12
• Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.
Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal
dengan
Caranya menggunakan transformasi dengan rumus
Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke
perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1.
Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh . Jadi jika X
bernilai dan maka perubah acak Z akan bernilai
dan kemudian dinyatakan sebagai:
20 1dan xz
xz
1x x 2x x 11
xz
22
xz
2
12 2 212 2
1 22 21 1
2
1 2
1
1 1
2 2
0 1
xx zz
x zz
z
P(x x x ) e dx e dx
n(z, , ) dx P(z z z )
13
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
dn
orm
(x, 1
, 0
.75
)
Ganbar 6.6 P(x1<x<x2) untuk kurva normal yang berbeda
X1 x2
Definisi (6.1)
Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan variansi 1
disebut distribusi normal baku
14
-4 -3 -2 -1 0 1 2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
dn
orm
(x, -
1, 0
.5)
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
zd
no
rm(x
, 0, 1
)
Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan
x1 x2 z1 z2
1 2 1 2P(x x x ) P(z x z )
1 2P(x x x ) 1 2P(z z z )
Contoh 6.1
50 10
Diketahui suatu distribusi normal dengan dan
Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62
15
Jawab:
Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah
dan
Jadi:
1 245 62x dan x 45 50
1 100 5z . 62 50
2 101 2z .
45 62 0 5 1 2P( x ) P( , z . )
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 20 40 60 80 100
0.0
00
.01
0.0
20
.03
0.0
4
45 62P( x ) 0 5 1 2P( , z . )
Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1
16
Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:
45 62 0 5 1 2
1 2 0 5
0 8849 0 3085
0 5764
P( x ) P( , z , )
P(z , ) P(z , )
, ,
,
Dengan R
> pnorm(-0.5)
[1] 0.3085375
> pnorm(1.2)
[1] 0.8849303Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal
z 0.00 ……… 0.04 …….. 0.09
::
-0.5 0.3085
0
::
1.2 0.8849
::
Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat
penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas).
Distribusi Eksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi
gamma. Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang
sudah dikenal luas.
6.3 Distribusi Gamma dan Eksponensial
Definisi (6.2):
17
Fungsi gamma didefinisikan sebagai:
Untuk
Jadi
11
0
0x( ) x e dx ; untuk
00
1 1 1x x( ) e dx e
(1) 1
18
Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan
Diperoleh
Maka
Jadi diperoleh
1 xx dan dv e dx
1 21
x x
u x du ( )x dx
v e dv e dx
1
0 0 0
1 2
00
2
0
1
1
1 1
x
x x
x
( )
( ) x e dx u dv uv v du
x e e ( )x dx
( ) e x dx ; untuk
1 1( ) ( ) ( )
19
( )
( 2) ( 2)
( 3) ( 3)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)( 2) ( 2) ( 1)( 2) ( 2)
( 1)( 2)( 3) ( 3)
Dengan formula (rumus) berulang diperoleh
:
: dan seterusnya
Jika dengan bilangan n bulat positif, makan
1 2 3 1 1 1 1
1 2 3 1 1
1
(n) (n )(n )(n )......... . ( ) ;karena ( )
(n) (n )(n )(n )......... (n )!
atau
(n) (n )!
20
• Sifat penting fungsi Gamma adalah 12( )
Bukti:
Dari definisi
Untuk
Menggunakan substitusi:
Diperoleh:
Dengan merubah sistem koordinatnya ke polar koordinat dengan
persamaan diatas menjadi:
11
0
0x( ) x e dx ; untuk 1
1 1 22 2
0
x( ) x e dx
2 2112
0 0
2 2 2 2212
0 0 0 0
2 2
2 2 4
u u
u v [u v ]
( ) u e udu e du
( ) e du e dv e dudv
2 2x u dx udu
( , )
u cos dan v sin
21
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 222
212
0 0
0 0
0 0
21 102 2
00 0
4
4
4
4 2 2
[ cos sin ]
[cos sin ]
( ) e d d
e d d
e d d
( ) e d d
21 12 2
( ) atau ( ) Jadi
22
Definisi (6.3):
Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter
dan , jika fungsi padatnya berbentuk:
Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada gambar 6.8, untuk
beberapa nilai parameter dan
Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi
Eksponensial, dan grafik distribusi gamma dengan dan
beberapa nilai dipelihatkan pada gambar 6.9
110
0
x
x e ; xf(x) ( )
; x yanglain
0 0dengan dan
1
1
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
f(x)
Distribusi Gamma
Gmbar 6.8 Distribusi Gamma
1, 1
2, 1
3, 1
23
24
Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan )1
Definisi (6.4):
25
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan
parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk:
10
0
0
x
e ; xf(x)
; x yanglain
dengan
Teorema 6.1:
Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah 2 2dan
Akibat (1):
Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah
2 2dan
Contoh 6.2
26
Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya
tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi
eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal
Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang
berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan
berfungsi pada akir tahun ke delapan.
Jawab:
Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi
setelah 8 tahun adalah:
5
81 5 558
8
0 2
tP(T ) e dt e
,
27
Contoh 6.3
Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi
proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit.
Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2
sambungan telepon masuk ke gardu tadi
Jawab:
Proses poisson berlaku denganwaktu sampai kejadian poisson
memenui distribusi gamma dengan parameter
Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang
berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:
1
01
5 5 1
0
1 25 1 1 5 0 96
xx
x ( )
P(X x) xe dx
P(X ) xe dx [ e ( )] ,
15
2dan
Hal khusus lainya yang sangat penting dari distribusi gamma
adalah dengan mengambil
Hasilnya disebut distribusi chi-kuadrat, dan v disebut derajad bebas
6.4 Distribusi Chi-kuadrat
28
22v dan ;v bilangan bulat positif
Definisi (6.4):
Perubah acak kontinu X terdistribusi chi-kuadrat dengan derajad
bebas v, jika fungsi padatnya berbentuk:
12 2
21
02 2
0
v x
v /x e ; x
f(x) (v / )
; x yanglain
dengan vbilangan bulat positif
Akibat (2):
Rata-rata dan variansi distribusi chi-kuadrat adalah 2 2v dan v
29
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Distribusi Chi-square
3df
2df
4df
5df
Gambar 6.10 Distribusi Chi- Kuadrat
Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia
Waloddi Weibull pada tahun 1939. Grafik distribusi weibll untuk
dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar 6.11
6.5 Distribusi Weibull
30
Definisi (6.5): Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter
, jika fungsi padatnya berbentuk:
Jika maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial.
Jika maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva
normal tetapi agak mencong.
1 0
0
0 0
xx e ; xf(x); x yanglain
dengan dan
1
dan
1
1
31
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
f(x)
Distribusi Weibull
1 1,
1 2,
1 3,
1 5,
Gambar 6.11 Distribusi Weibull
32
Teorema .6.2:
Rata-rata dan variansi distribusi Weibull adalah 1 1
22 2 2 1
1
1 1
/
/
( )
( ) ( )
Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull
juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur
seperti waktu sapai rusak (panjang umur) suatu komponen, diukur
dari suatu waktu tertentu sampai rusak.