PERSAMAAN KARATERISTIK

Fungsi transfer sebuah system disebut juga fungsi karakteristik system. Fungsi tersebut dapat menentukan sifat-sifat respon kondisi transien dan informasi mengenai kestabilan sistem. Misalnya secara umum suatu sistem pengendalian berumpan-balik digambarkan seperti pada gambar dibawah ini,

fungsi system

fungsi masukan

Fungsi masukan dalam hal ini tidak memberikan pengaruh terhadap bentuk transien, sehingga tidak ada hubungannya terhadap kondisi

stabil atau tidak stabil suatu sistem. Sebagai misal, jika pembilang atau fungsi masukan persamaan di atas dibuat sama dengan nol, maka :

Persamaan ini adalah persamaan karakteristik sistem (lup tertutup) dan dari persamaan tersebut dapat ditentukan apakah sistem stabil atau tidak.

Sistem kontrol closed-loop adalah

stabil jika seluruh pole berada pada

bidang kiri

Contoh 1 :

Tentukan stabilitas sistem kendali lup tertutup seperti pada gambar berikut ini,

Penyelesaian :Fungsi transfer lup tertutup system adalah :

Pole-pole dan zeros (akar-akar) dari persamaan karakteristik system lup tertutupnya (clce) adalah :

Atau : persmaan karakteristik dari fungsi sistem

Unstable

Sistem dapat dinyatakan tidak stabil (unstable) jika pole-pole

fungsi transfer lup tertutupnya terdapat paling tidak satu pole

disebelah kanan sumbu khayal bidang-s.

Contoh 2

Tentukan kestabilan sistem control closed-loop pada gambar berikut

ini:

Fungsi transfer closed-loop sistem :

Persamaan karakteristik system adalah :

atau :

Pole-nya (akar-akar karakteristiknya) sekarang adalah:

Karena terdapat dua pole disebelah kanan bidang-s, maka

respon sistem instabil (unstable). Jika terdapat dua atau tiga pole

disumbu imajiner, bentuk respon adalah:

atau : position of pole dari

Disebelah kanan sumbu khayal bidang-s,

kemudian Form of responce dari :

Contoh referensinya : 1. Feedback Control System Analysis & Synthesis. J.J. D’Azzo C.H. Houpis. Hal : 121 2. www.google.co.id/Bab6_Part2_Lec12.ppt

Adalah : berbentuk Exponentially

increasing sinusoid maka dinyatakan

unstable.

METODA ROUTH-HURWITZ.

Cara lain untuk menentukan kestabilan suatu system tanpa mencari atau menguraikan akar-akar persamaan karakterstiknya adalah dengan menggunakan criteria Routh. Kriteria Routh atau routh Test merupakan suatu metoda aljabar untuk menentukan kestabilan suatu sistem dalam wawasan-s (Transformasi Laplace).

Fungsi transfer Lup tertutup sistem kendali secara umum adalah :

Dimana bentuk dari :

adalah persamaan karaktersitik sistem yang akar-akarnya merupakan pole dari sistem lup tertutup, a dan b adalah konstanta dan . Oleh karena itu persamaan polinomial harus diuraikan atas faktor-faktornya untuk mencari pole-pole lup tertutupnya seperti .

Langkah-langkah pemakaian Routh Test,

1. Tuliskan persamaan karakteristik dalam bentuk persamaan

polynomial, yaitu : , dimana koefisien

persamaan ini merupakan besaran yang real, atau (tidak

ada akar nol), perlu diingat bahwa suatu persamaan bentuk

polinomial dalam s yang mempunyai koefisien real selalu dapat

difaktorkan kedalam bentuk :

a. Linier seperti , factor ini akan menghasilkan akar yang

real.

b. Kuadratik seperti , faktor ini akan menghasilkan

akar-akar real negatif hanya jika b dan c positif. Agar

semua akar mempunyai bagian real negatif, hanya jika

konstanta a, b, dan c harus positif.

2. Jika semua koefisien berharga positif, susunlah koefisien

polinomial tersebut dalam suatu deret Routh :

Deret Routh

Sn a0 a2 a4 koefisien genapSn-1 a1 a3 a5 koefisien ganjilSn-2 b0 b2 b4

Sn-3 c0 c2 c4

.

.

.S0 g0Jumlah barisan bergantung pada orde persamaan untuk menentukan harga-harga b0,b2,b4, dan c0,c2,c4, dst, dapat dibuat dalam bentuk pola sebagai berikut :

Demikian seterusnya bentuk pola dalam penentuan parameter-parameter yang lainnya.

Aturan-aturan Menggunakan Routh Test.

1. Setiap baris pada deret Routh dapat dibagi dengan bilangan positif.

2. Bila salah satu koefisien pada kolom pertama sama dengan nol, maka disubsitusikan harga .

3. Bila semua koefisien dari sebuah baris adalah sama dengan nol, maka itu berarti ada akar-akar yang besarnya sama tetapi berlwanan arah pada bidang-s. Dalam kasus seperti ini, penentuan koefisien yang selanjutnya dapat dibentuk suatu persamaan polinomial baru (pembantu), yaitu koefisien baris berikutnya. Akar-akar yangmempunyai besar sama, dan terletak berlawanan arah secara radial pada bidang-s dapt ditentukan denganmenyelesaikan polinomial pembantu yang selalu genap. Sedangkan untuk polinomial pembantu yang mempunyai derajat 2 ada n pasang akar yang sama besarnya dan berlawanan secara radial pada bidang-s tersebut.

4.

Cotoh :

Dengan kriteria Routh dapat dilakukan pengujian terhadap sistem,

yang dilihat dari persamaan karaktristik terbentuk dari loop tertutup

dan berbentuk polinomial.

Akan dilakukan uji

kestabilan untuk

sistem

tergambar di samping ini

Penyelesaian:

Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka dapat dilakukan

pengujian lebih lanjut dengan kriteria Routh Hasil inisialisasi adalah

sbb. :

Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan

suatu konstanta. Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah.

Sebagai contoh, pada baris ke-dua terlihat bahwa baris bisa

disederhanakan dengan mengalikannya dengan 1/10

Jadi :

Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel.

Hasilnya sbb. :

Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign (dari 1 ke -72 dan dari -

72 ke 103). Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki dua

pole pada bidang-s.

STABILITAS SISTEM

A. PENDAHULUAN

Stabil adalah adanya kecendrungan untuk kembali pada keadaan semula setelah

mendapat rangsangan dengan batas tertentu. Kestabilan suatu sistem ditentukan oleh

tanggapannya terhadap masukan atau gangguan. Dapat juga dikatakan bahwa suatu

sistem stabil jika sistem tersebut akan tetap dalam keadaan diam kecuali di eksitasi oleh

suatu fungsi masukan, dan akan kembali diam jika eksitasi tersebut dihilangkan terhadap

suatu masukan menghasilkan osilasi yang keras atau bergetar pada suatu amplitudo

/harga tertentu .

Ketidakstabilan merupakan suatu keadaan yang tidak menguntungkan bagi suatu

sistem lup tertutup sedangkan pada suatu sistem lup terbuka tidak dapat dan tidak harus

tidak stabil. Respon suatu sistem stabil dapat dikenali dari adanya peralihan (transien)

yang menurun menuju nol terhadap perubahan waktu.[5;hal 114]

Sebuah Sistem pengendalian dikatakan stabil jika dan hanya jika semua

kutup(pole) loop tertutup yang berada pada setengah sebelah kiri bidang s karena

sebagian besar sistem loop tertutup linier mempunyai fungsi alih loop tertutup dalam

bentuk :

A(s) yang dapat digunakan yakni setelah mengubah persamaaan tersebut ke fungsi

s melalui transformasi laplace. Untuk menentukan apakah suatu sistem stabil atau tidak,

terdapat beberapa cara yang dapat digunakan.

Cara tersebut adalah :

1. Menggunakan persamaan karakteristik.

2. Kriteria Routh.

3. Analisis tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik (root-locus).

B. DEFINISI

Persamaan karakteristik merupakan fungsi alih sebuah sistem yang menentukan

kelakuan respon transien dan dapat memberikan informasi mengenai kestabilan sistem

tersebut. Pada persamaan karakteristik responsnya adalah perkalian antara fungsi sistem

terhadap fungsi masukan(eksitasi).[1;hal 116]

Kriteria routh adalah suatu cara untuk menentukan kestabilan suatu sistem tanpa

menghitung akar-akar karakteristik. Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk

menentukan kestabilan wawasan S (Laplace).[1;hal 118]

Analisis tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik (root-locus) adalah

suatu cara grafik untuk menggambarkan tempat kedudukan akar jika parameter diubah-

ubah.[1]

C. KRITERIA ROUTH

Kriteria routh adalah suatu cara untuk menentukan kestabilan suatu sistem tanpa

menghitung akar-akar karakteristik. Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk

menentukan kesetabilan wawasan S (Laplace).

Sebagai contoh, gambar berikut adalah suatu sistem:

Persamaan karakteristik loop tertutupnya adalah :

Routh array adalah matrik dengan baris berjumlah n+1, dengan n= order

persamaan:[5]

Langkah selanjutnya adalah menginsialisasi routh array dengan mengisi dua baris

pertama dengan koefisien polynomial karakteristik sbb :

1. Untuk baris s4, elemen pertamanya adalah a4, yaitu koefisien s4. Elemen

berikutnya

adalah a2 dan elemen terakhir adalah a0. Jadi, baris pertama adalah :

s4 : a0 a2 a4

Perhatikan bahwa pada langkah ini, s4 hanya diisi oleh koefisien genap, karena

n = 4 (genap). Jika n ganjil, maka baris diisi dengan koefisien ganjil.

2. Untuk baris ke dua (s3), dilakukan pengisian elemen yang tersisa. Jadi

s3 : a1 a3 0

Angka 0 digunakal untuk menyamakan jumlah kolom.

Setelah inisialisasi selesai, diperoleh matriks seperti di bawah ini.

S40 2 4

S31 3

0

S2 - - -

S1 - - -

S0 - - -

Langkah berikutnya adalah mengisi baris yang tersisa pada matriks. Baris ke-3

diisi melalui pengoperasian baris ke-1 dan ke-2. Baris ke-4 diisi melalui pengoperasian

baris ke-2 dan ke-3. Demikian seterusnya hingga seluruh baris terisi.

1. Dimulai dengan pembentukan matriks 2 x 2 dengan mengambil elemen kiri-atas

dari matriks. Matriks 2 x 2 ini dinamakan matriks R1.

Elemen pertama dari baris ke-3 Routh Array dinamakan b1, dimana

b1=det(R1)/R1(1,2)

dengan kata lain :

2. Elemen ke-2 dari baris ke-3, b2, dihitung dengan cara yang sama. R2 dibuat

dengan mengganti elemen kolom-2 dengan elemen kolom-3, sementara elemen

kolom-1 dibiarkan tetap.

3. Langkah ini diteruskan hingga determinan bernilai nol, dimana selanjutnya

elemen

baris-3 diisi dengan nilai 0.

s4

s3

s2

s1

s0

4. Seluruh proses diulangi hingga seluruh matriks terisi. Tabel berikut menunjukkan

keseluruhan perhitungan elemen matriks Routh array

D. TES ROUTH

Dengan kriteria Routh dapat dilakukan pengujian terhadap sistem, yang dilihat

dari persamaan karaktristik terbentuk dari loop tertutup dan berbentuk polinomial.

Contoh 1

Akan dilakukan uji

kestabilan untuk sistem

tergambar di samping ini

Jawab :

Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka dapat dilakukan pengujian lebih lanjut

dengan kriteria Routh Hasil inisialisasi adalah sbb. :

Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan suatu

konstanta. Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah. Sebagai contoh, pada

baris ke-dua terlihat bahwa baris bisa disederhanakan dengan mengalikannya dengan

1/10

Jadi :

Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel. Hasilnya sbb. :

Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign (dari 1 ke -72 dan dari -72 ke 103).

Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki dua pole pada RHP.

E. KASUS-KASUS KHUSUS

Dua kasus khusus dapat terjadi pada saat pembuatan Routh array.

1. Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array.

2. Seluruh elemen pada satu baris bernilai nol.

1. Nilai Nol di Kolom Pertama

Jika kolom pertama memiliki elemen bernilai nol, maka akan terjadi operasi "pembagian

dengan nol" pada langkah pencarian elemen untuk baris berikutnya. Untuk menghindari-

nya, digunakan satu nilai kecil e (epsilon) sebagai pengganti nilai nol di kolom pertama.

Contoh 2

Diketahui sebuah sistem kontrol memiliki fungsi transfer closed-loop sebagai berikut: :

Buatlah Routh-array sistem tersebut dan interpretasikan kestabilan sistem tersebut.

Jawab :

Polinom karakteristiknya adalah sehingga Routh

array-nya menjadi seperti yang terlihat pada tabel kiri.Pada tabel kanan,terlihat hasil

analisis perubahan sign.

Jika e dipilih bernilai +, akan terdapat dua perubahan sign. Jika e dipilih bernilai - ,juga

terdapat dua perubahan sign. Jadi, tidak jadi masalah apakah e dipilih bernilai + atau -.

Hasil analisis adalah : sistem di atas memiliki dua pole pada RHP.

2. Seluruh elemen pada baris bernilai nol

Hal ini bisa terjadi untuk polinomial genap

Contoh 3

Buat Routh array untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sbb. :

Jawab :

Routh array dari sistem adalah

Perhitungan tidak bisa dilanjutkan dengan cara biasa karena seluruh elemenCbaris

ke-3 bernilai nol. Agar perhitungan bisa berlanjut, digunakan polinom auksiliari Q(s),

yang dibentuk dari baris sebelum baris nol,

Q(s) = s4 + 6s2 + 8

Selanjutnya, dilakukan diferensiasi Q(s) terhadap s :

dan baris ke-3 diganti dengan koefisien hasil derivatif (setelah disederhanakan melalui

pembagian dengan 4), seperti terlihat pada tabel kiri di bawah ini.

Baris-baris lain dibuat dengan cara biasa, yang hasilnya terlihat di atas pada tabel kanan.

Terlihat tidak adanya perubahan sign pada Routh array. Jadi, sistem stabil.

F. CONTOH PENGGUNAAN KRITERIA ROUTH

Contoh 4

Untuk sistem tertutup pada gambar di bawah ini, tentukan rentang nilai parameter

gainK, dimana sistem closed-loop bersifa stabil.

Jawab : Fungsi transfer closed-loop adalah

Jika K diasumsikan positif, kita dapat menggunakan criteria Routh Hurwitz untuk

menentukan limit nilai K agar sistem stail. Tidak akan ada perubahan sign jikaK > 0 dan

jika 1386 - K > 0, yaitu jika K < 1386.

Jika K > 1386, akan ada dua perubahan sign, sehingga

terdapat dua pole di RHP dan sistem jadi instabil .

Jika K = 1386, maka baris s1 menjadi baris nol. Baris sebelumnya adalah

Q(s) = 18s2 + 1386 dan derivatifnya adalah 36s, sehingga Routh array barunya

adalah :

Untuk polinom Q(s) tidak terdapat perubahan sign dari s1 hingga s0, sehingga

pasti ada dua akar imajiner dan sistem bersifat stabil marginal.