UJIAN AKHIR SEMESTERKOMPUTER 1

Figure 1:

HEKA DYFAR TABALUBUN

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanJurusan Ilmu Matematika UniversitasDr.Soetomo Surabaya Tahun Ajaran

2014/2015

1

1 Metode Numeris Aljabar Linear

Kita telah memahami bahwa jika matriks kuadrat A dapat di reduksi ter-hadap bentuk eselon baris tanpa mempertukarkan baris-barisnya, maka A mem-punyai dekomposisi-LU. Pada umumnya, jika pertukaran baris diperlukan un-tuk mereduksi A terhadap bentuk eselon baris, maka tidak ada dekomposisi-LUdari A. Akan tetapi, dalam kasus tertentu hal ini memungkinkan untuk mem-faktorkan A dalam bentuk

A = PLU (1)

di mana L adalah segitiga bawah, U adalah segitiga atas dan P adalah matriksyang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris In secara aproksimasiTidak ada pembatasan dalam penambahan tersebut, oleh karna itu, dekomposisiLU bukan merupakan bilangan unik

A = LU =

a11 0 0a21 a22 0a31 a32 a33

1 u12 u13

0 1 u23

0 0 1

(2)

dan L mempunyai entri-entri diagonal taknol, maka kita dapat mengubah entri-entri diagonal dari faktor kiri ke ke faktor kanan dengan menulis.

A =

1 0 0a21a11

1 0

a31a11

a32a22

1

a11 0 0

0 a22 00 0 a33

1 u12 u13

0 1 u23

0 0 1

(3)

=

1 0 0a21a11

1 0

a31a11

a32a22

1

a11 a11a12 a11a13

0 a22 a22a230 0 1

(4)

yang menyatakan dekomposisi segitiga lainnya dari A

2

2 Tranformasi linear dari Rn ke Rm ; GeometriTransformasi linear dari R2 ke R3

pada bagian ini kita menelaah tranformasi linear dari Rn ke Rm dan menda-patkat sifat-sifat geometrik dari tranformasi linear dari R2 ke R3

mula-mula kita akan memperlihatkan bahwa setiap tranformasi linear dari Rn

ke Rm adalah tranformasi matrik; lebih tepat lagi, kita akan memperlihatkanbahwa jika T:Rn → Rm adalah sebarang tranformasi linear, maka kita dapatmencari sebuah matrik A yang berukuran m x n sehingga T adalah perkalianoleh A untuk melihat ini,misalkan

e1, e2, ... < en (5)

adalah basis baku untuk Rn, dan misalkan A adalah matrik m x n yang mem-punyai

t(e1), T (e2), ..., T (en) (6)

sebagai vektor-vektor kolomnya. (kita akan menganggap dalam bagian inibahwa semua vektor dinyatakan dalam notasi vektor). misalnya, jika T:R2 →R3

T

[x1

x2

]=

[x1 + 2x2

x1 − x2

](7)

maka

T (e1) = T

[10

]=

[11

]dant(e2) = T

[01

]=

[2−1

](8)

A =

[1 21 −1

](9)

Secara lebih umum , jika

T (e1) =

a11a21...am1

, T (e2) =

a12a22...am2

, ....., T (en) =

a1na2n...amn

(10)

Maka

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...am1 am2 ... amn

(11)

3

3 Lanjutan Tranformasi Linear

matrik ini kita namakan matrik baku untuk T. Kita akan memperlihatkanbahwa Tranformasi Linear T.Rn → Rm adalah perkalian oleh A. untuk melihatini, mula-mula perhatikanlah bahwa.

X =

X1

X2

...Xn

= x1e1 + x2e2 + ...+ xnT (en) (12)

Maka, karena kelinearan T, adalah

T (x) = x1T (e1) + x2T (e2) + ...+ xnT (en) (13)

sebaliknya,

Ax =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...am1 am2 ... amn

x1

x2

...xn

=

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn

(14)

= x1

a11a21...am1

+ x2

a12a22...am2

+ ...+ xn

a1na2n...amn

(15)

= x1T (e1) + x2T (e2) + ...+ xnT (en) (16)

Dengan membandingkan (13) dan (16) maka akan menghasilkan T(x) = Ax,yakni T adalah perkalian oleh A pengamatan lebih lanjut kita rangkumkansebagai berikutJika T: Rn → Rm adalah tranformasi linear, dan jika e1, e2, ..., en adalahbasis baku untuk Rn, maka T adalah perkalian oleh A dimana Aadalah matriks yang menghasilkan vektor kolom T (e1), T (e2), ..., T (en)

4

TERIMA KASIH BANYAK

Figure 2:

Hidup adalah Anugerah, Mati adalah

keuntungan, Maka selagi kamu hidup

pergunakanlah Anugerah yang TUHAN berikan

kepada Kamu sebaik mungkin untuk

KemulianNYA

5