58

Modul 5

MODEL TRANSPORTASI

5.1 Pengertian Model Transportasi

Model transportasi adalah kelompok khusus program linear yang menyelesaikan

masalah pengiriman komoditas dari sumber (misalnya pabrik) ke tujuan (misalnya gudang).

Tujuannya adalah untuk menentukan jadwal pengiriman dengan meminimalkan total biaya

pengiriman dengan memenuhi batas pasokan dan kebutuhan. Aplikasi transportasi dapat

dikembangkan didaerah operasi yang lain, misalnya inventory control, penjadwalan pekerja

(employment scheduling), dan penilaian personal (personnel assignment).

Gambar 5.1 Masalah umum model transportasi

Masalah umum direpresentasikan oleh Gambar 5.1. Ada m sumber dan n tujuan setiap

sumber atau tujuan direpresentasikan dengan sebuah node. Panah menyatakan rute yang

menghubungkan sumber dan tujuan. Panah (m,n) yang menggabungkan sumber m ke tujuan n

membawa dua informasi : biaya transportasi per unit, cmn, dan jumlah yang dikirim, xmn.

Jumlah pasokan pada sumber adalah am dan jumlah kebutuhan tujuan di n adalah bn. Tujuan

model menentukan xmn yang tidak diketahui yang akan meminimalkan total biaya transportasi

yang memnuhi batas pasokan dan kebutuhan.

Contoh 5-1

MG Auto mempunyai tiga area produksi (plant) di Los Angeles. Detroit, dan New Orleans,

dan dua pusat distribusi utama di Denver dan Miami. Kapasitas tiga plant pada kuartalan

adalah 1000, 1500, dan 1200 mobil. Kebutuhan kuartalan pada dua pusat distribusi adalah

2300 dan 1400 mobil. Tabel jarak antara plant dan pusat distribusi di Tabel 5.1.

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

59

Trucking Company meminta biaya transportasi mobil sebesar 8 sen per mil per mobil. Biaya

transportasi per mobil pada rute yang berbeda, disesuaikan pada nilai dolar terdekat,

ditampilkan dalam Tabel 5.2.

Model pemrograman linier masalah sebagai berikut :

Minimalkan Z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32

Tabel 5.1 Tabel jarak (mil)

Denver Miami

Los Angeles 1000 2690

Detroit 1250 1350

New Orleans 1275 850

Tabel 5.2 Biaya transportasi per mobil ($)

Denver (1) Miami (2)

Los Angeles (1) 80 215

Detroit (2) 100 108

New Orleans (3) 102 68

Kendala :

x11 + x12 = 1000 (Los Angeles)

x21 + x22 = 1500 (Detroit)

x31 + x32 = 1200 (New Oreleans)

x11 + x21 + x31 = 2300 (Denver)

x12 + x22 + x32 = 1400 (Miami)

xij ≥ 0, i = 1,2,3, j = 1,2

Constraint-constraint diatas semuanya persamaan karena total supply dari tiga sumber (=

1000 + 1500 + 1200 = 3700 mobil) sama dengan total keutuhan pada dua tujuan (= 2300 +

1400 = 3700 mobil). Penyelesaian dapat dilakukan dengan membentuk tabel simpleks seperti

pada tabel x.

Tabel 5.3 Model transportasi MG

Denver Miami Supply

Los Angeles 80 215 1000

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

60

x11

x12

Detroit

100 108

1500 x21

x22

New Orleans

102 68

1200 x31

x32

Kebutuhan 2300 1400 3700

Gambar 5.2 Solusi optimal sementara model MG Auto

Solusi optimal yang didapatkan seperti pada Gambar 5.2 menyatakan bahwa untuk

pengiriman 1000 mobil dari Los Angeles ke Denver, 1300 dari Detroit ke Denver, 200 dari

Detroit ke Miami, dan 1200 dari New Orleans ke Miami. Biaya transportasi minimal dihitung

dengan Z = 1000 * 80 + 1300 * 100 + 200 * 108 + 1200 * 68 = $313200.

5.2 Menyeimbangkan model transportasi

Algoritma transportasi didasarka pada asumsi bahwa model dalam keadaan seimbang,

artinya total kebutuhan sama dengan total pasokan (supply). Jika model tidak seimbang,

maka dapat ditambahkan sumber dummy atau tujuan dummy untuk memberikan

keseimbangan.

Contoh 5-2

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

61

Dalam model MG, andaikan kapsitas plant Detroit adalah 1300 mobil (bukan 1500). Total

supply (=3500 mobil) lebih kecil dari total kebutuhan (=3700 mobil), artinya ada sebagian

dari Denver atau Miami yang yang tidak akan dicapai kapasitasnya.

Karena kebutuhan melebihi pasokan, sebuah sumber dummy (plant) dengan kapasitas 200

mobil (=3700 – 3500) ditambahkan untuk menyeimbangkan model transportasi. Biaya unit

transportasi dari plant dummy ke dua tujuan adalah nol karena sebenarnya plant tidak ada.

Tetapi untuk mencegah prioritas sumber daya masuk pada area dummyini bisa ditangani

dengan memberikan biaya transportasi yang sangat tinggi. Tetapi nilai yang sangat tinggi ini

juga tidak benar ketika dihubungkan dengan biaya transportasi yang akan dihitung karena

menginginkan biaya yang minimal. Contoh tabel transportasi kasus dengan sumber dummy

dapat dilihat di Tabel 5.4.

Tabel 5.4 Kasus model MG dengan sumber dummy

Denver Miami Supply

Los Angeles

80 215

1000 1000

Detroit

100 108

1300 1300

New Orleans

102 68

1200

1200

Plant dummy

0 0

200

200

Kebutuhan 2300 1400 3700

Untuk kasus dimana pasokan melebihi kebutuhan misalnya dalam kasus model MG

kebutuhan di Denver adalah 1900 mobil. Dalam kasus ini, kita perlu menambahkan tujuan

dummy untuk menerima pasokan kelebihan (surplus). Biaya unit transportasi pada tujuan

dummy adalah nol, kecuali jika menginginkan pabrik mengirimkan keluar semua mobilnya,

kita gunakan biaya unit transportasi yang tinggi dari plant sumber ke tujuan dummy. Tabel

model MG dengan tujuan dummy dapat dilihat pada Tabel 5.5.

Tabel 5.5 Kasus model MG dengan tujuan dummy

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

62

Denver Miami Dummy Supply

Los Angeles

80 215 0

1000 1000

Detroit

100 108 0

1500 900

200

400

New Orleans

102 68 0

1200

1200

Kebutuhan 1900 1400 400 3700

5.3 Varian Model Transportasi

Penerapan model transportasi tidak dibatasi hanya pada pengiriman komoditas antara

sumber dan tujuan secara geografis. Bidang lain yang dapat menerapkan model transportasi

diantaranya adalah production-inventory control dan sharpening service.

Contoh 5-3

Boralis memproduksi tas ransel untuk para pendaki. Kebutuhan produk terjadi selama blan

Maret sampai Juni setiap tahun. Perusahaan menggunakan tenaga kerja paruh waktu untuk

memproduksi tas ransel, dan ternyata kapasitas produksi bervariasi setiap bulannya.

Diperkirakan bahwa Boralis akan memproduksi 50, 180, 280, dan 270 unit di bulan Maret

sampai Juni. Karena kapasitas produksi dan kebutuhan ternyata berbeda pada tiap bulannya,

kebutuhan bulan saat ini dapat dipenuhi dengan tiga cara :

1. Produksi pada bulan ini

2. Kelebihan (surplus) produksi pada bulan sebelumnya

3. Kelebihan (surplus) produksi pada bulan berikutnya (backordering)

Dalam kasus yang pertama, biaya produksi per tas ransel adalah $40. Pada kasus kedua

terjadi biaya tambahan untuk pengelolaan (inventory) sebesar $0.5 per tas ransel per bulan.

Pada kasus ketiga, biaya tambahan pelanggaran (penalty) sebesar $2 per tas ransel pada delay

setiap bulannya. Boralis menginginkan untuk menentukan jadwal produksi yang optimal

untuk empat bulan tersebut.

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

63

Situasi ini dapat dimodelkan sebagai model transportasi dengan mengenali paralelisme antara

masalah production-inventory dan model transportasi.

Transportasi Production-inventory

Sumber i Periode produksi i

Tujuan j Kebutuhan periode j

Jumlah pasokan di sumber i Kapasitas produksi periode i

Kebutuhan tujuan j Kebutuhan periode j

Biaya transportasi unit dari sumber i ke

tujuan j

Biaya unit (produksi + inventory + penalty)

dalam periode i untuk periode j

Hasil model transportasinya dapat dilihat di Tabel 5.6.

Tabel 5.6 Model transportasi kasus Boralis

Biaya kapasitas

produksi ($) Supply

1 2 3 4

Bulan

produksi

1 40 40.5 41 41.5 50

2 42 40 40.5 41 180

3 44 42 40 40.5 280

4 46 44 42 40 270

Kebutuhan 100 200 180 300

Model transportasi ini dapat digambarkan dalam bentuk jaringan seperti pada Gambar 5.3..

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

64

Gambar 5.3 Solusi optimal model production-inventory

Biaya unit “transportasi” dari periode i ke periode j dihitung sebagai :

>+

<+

=

=

j i j, ke i darin pelanggara biaya i dalam produksi Biaya

j i j, ke i dari pegelolaan biaya i dalam produksi Biaya

ji i, dalam produksi Biaya

ijc

Misalnya :

c11 = $40

c24 = $40 + ($0.5 + $0.5) = $41

c41 = $40 + ($2 + $2) = $46

Solusi optimal seperti ditunjukkan pada Gambar 5.3. Garis putus-putus menunjukkan

backordering, sedangkan garis titik-titik mennjukkan produksi untuk bulan berikutnya, dan

garis solid menunjukkan produksi pada periode saat itu. Total biaya Z adalah 50 * 40 + 50 *

42 + 130 * 40 + 70 * 42 + 180 * 40 + 30 * 40.5 + 270 * 40 = 2000 + 2100 + 5200 + 2940 +

7200 + 1215 + 10800 = $31455.

5.4 Solusi awal Model Transportasi

Ada tiga metode yang bisa diplih untuk mendapatkan solusi layak awal model transportasi :

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

65

1. Metode northwest-corner

2. Metode least-cost

3. Metode Vogel approximation

Tiga metode diatas berbeda dalam kualitas basis solusi awal yang dihasilkan, dalam kaitan

bahwa solsi awal nilainya lebih kecil. Secara umum, walaupun tidak selalu, metode Vogel

memberikan basis solusi awal yang paling baik, dan metode northwest-corner yang paling

jelek. Tradeoffnya adalah metode northwest-corner menggunakan usaha yang paling sedkit

dalam komputasi.

Contoh 5-4

SunRay Transport Company mengirimkan muatan truk berupa tepung dari tiga silo ke empat

mill. Pasokan (muatan truk) dan kebutuhan (muatan truk) bergabung dengan biaya

transportasi unit per muatan truk pada rute yang berbeda ditunjukkan pada tabel x. Biaya

transportasi unit, cij (pojok kanan atas kotak) dalam ratusan dollar. Model mencari jadwal

pengiriman xij antara silo i dan mill j (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4).

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Silo 1

10 2 20 11

15 x11

x12

x13

x14

Silo 2

12 7 9 20

25 x21

x22

x23

x24

Silo 3

4 14 16 18

10 x31

x32

x33

x34

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Menentukan Solusi Awal

Model transportasi umum dengan m sumber dan n tujuan mempunyai m + n persamaan

constraint, satu untuk setiap sumber dan setiap tujuan. Bagaimanapun, karena model

transportasi sellau diseimbangkan (jumlah pasokan = jumlah kebutuhan).

Menggunakan metode Northwest-Corner

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

66

1. Alokasikan sebanyak mungkin pada sel yang dipilih, dan sesuaikan jumlah supply dan

kebutuhan dengan mengurangi alokasi yang dibutuhkan.

2. Pindah ke garis atau kolom dengan nilai alokasi supply atau kebutuhan nol (belum

dialokasikan). Jika baris dan kolom sel tadi belum ada alokasi maka alokasikan sisa

tadi ke sel ini. Jika masih kurang, maka pindah ke baris atau kolom lainnya untuk

menambah alokasi.

3. Jika masih ada baris atau kolom yang jumlah alokasi supply dan kebutuhan belum

mencapai maksimal, kembali ke langkah 1. Jika tidak, maka berhenti.

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Silo 1

10 2 20 11

15 5

10

Silo 2

12 7 9 20

25

5

15

5

Silo 3

4 14 16 18

10

10

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Dari tabel diatas, basis solusi adalah :

x11 = 5, x12 = 10

x22 = 5, x23 = 15, x24 = 5

x34 = 10

Biaya jadwal menjadi :

Z = 5 * 10 + 10 * 2 + 5 * 7 + 15 * 9 + 5 * 20 + 10 * 18 = $520.

Menggunakan metode Least-Cost

Metode least-cost mencari solusi awal yang lebih baik dengan berkonsentrasi pada rute paling

murah. Metode mengalokasikan sebanyak mungkin pada sel dengan biaya unit terkecil.

Selanjutnya lompat ke baris atau kolom lain (sel) dengan biaya termurah berikutnya (yang

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

67

masih ada sisa supply atau kebutuhan yang berlum teralokasi) dan mengalokasi jumlah

supply dan kebutuhan kedalamnya. Pengalokasian dilakukan sampai semua baris dan kolom

sudah teralokasikan sesuai dengan jumlah pasokan dan kebutuhannya.

Langkah metode least-cost :

1. Sel (1,2) mempunyai biaya unit terkecil dalam tabel (=$2). Jumlah terbanyak yang

dapat dikirimkan pada jalur (1,2) adalah x12 = 15.

2. Sel (3.1) mempunyai biaya unit terkecil berikutnya (=$4). Berikan x31 = 5 karena

kapasitas maksimal di kolom 1 adalah 5, alokasi supply yang dibutuhkan tinggal 10 –

5 = 5.

3. Lanjutkan cara yang sama, sehingga sel (2.3) dialokasikan 15, sel (3.4) dialokasikan

5, dan sel (2.4) dialokasikan 10.

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Silo 1

10 (start) 2 20 11

15

15

Silo 2

12 7 9 (end) 20

25

15 10

Silo 3

4 14 16 18

10 5

5

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Dari tabel diatas, basis solusi adalah :

x12 = 15

x23 = 15, x24 = 10

x31 = 5, x34 = 5

Biaya jadwal menjadi :

Z = 15 * 2 + 15 * 9 + 10 * 20 + 5 * 4 + 5 * 18 = 30 + 135 + 200 + 20 + 90 = $475.

Kualitas basis solusi awal lebih baik disbanding metode northwest-corner karena nilai total

biaya lebih kecil ($475 vs $520).

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

68

Metode Perkiraan Vogel (VAM)

Secara umum VAM adalah perbaikan metode least-cost, tetapi tidak selalu memberikan basis

solusi awal yang lebih baik. Langkah-langkahnya :

1. Untuk setiap baris (kolom), tentukan ukuran penalty dengan mengurangkan elemen

unit biaya terkecil dalam baris (kolom) dari elemen unit biaya terkecil berikutnya

dalam baris (kolom) yang sama.

2. Identifikasi baris (kolom) dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin

pada variabel dengan biaya unit terkecil dalam baris (kolom) terpilih. Sesuaikan

supply dan kebutuhan, dan mencapai batas maksimal supply atau kebutuhan. Jika

baris (kolom) tercapai secara simultan, maka sisa alokasi pada baris (kolom) tersebut

menjadi nol.

3. (a) Jika tepat satu baris atau kolom dengan sisa nol supply atau kebutuhan, berhenti.

(b) Jika satu baris (kolom) dengan supply (kebutuhan) positif belum mencapai

maksimal, tentukan variabel basis dalam baris (kolom) dengan metode least-cost,

berhenti.

(c) Jika semua baris dan kolom yang belum maksimal mempunyai (sisa) supply dan

kebutuhan nol, tentukan basis variabel nol dengan metode least-corner, berhenti.

(d) Selain tiga pilihan diatas, maka berhenti.

Penerapan VAM pada contoh diatas, dapat dilakukan dengan menghitung penalty.

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Baris

Penalty

Silo 1

10 2 20 11

15 10 – 2

= 8

Silo 2

12 7 9 20

25 9 – 7 =

2

Silo 3

4 14 16 18

10 14 – 4

= 10

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Kolom

Penalty 10 – 4 = 6 7 – 2 = 5 16 – 9 = 7

18 – 11 =

7

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

69

Karena baris 3 mempunyai penalty terbesar (=10) dan sel (3,1) mempunyai biaya unit terkecil

dalam baris, sejumlah 5 dialokasikan pada x31. Kolom 1 tercapai maksimal. Selanjutnya

penalty dihitung ulang.

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Baris

Penalty

Silo 1

10 2 20 11

15 11 – 2

= 9

Silo 2

12 7 9 20

25 9 – 7 =

2

Silo 3

4 14 16 18

10 16 – 14

= 2 5

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Kolom

Penalty - 7 – 2 = 5 16 – 9 = 7

18 – 11 =

7

Baris 1 mempunyai penalty terbesar (=9). Alokasikan semaksimal mungkin pada sel (1,2)

dimana x12 = 15 dan secara simultan tercapai kedua baris 1 dan kolom 2. Selanjutnya, dengan

cara yang sama, baris 2 akan menghasilkan penalty tertinggi (=11), dan kita dapat

mengalokasikan x23 = 15, selanjutnya berpindah ke kolom 3 dan menyisakan 10 unit di baris

2. Hanya kolom 4 yang tersisa, dan mempunyai supply positif 15 unit. Gunakan metode least-

cost pada kolom tersebut, dan kita alokasikan x14 = 0, x34 = 5, dan x24 = 10.

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Baris

Penalty

Silo 1

10 2 20 11

15 -

15

Silo 2

12 7 9 20

25 20 – 9

= 11

Silo 3

4 14 16 18

10 18 – 16

= 2 5

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

70

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Kolom

Penalty - - 16 – 9 = 7

20 – 18 =

2

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Baris

Penalty

Silo 1

10 2 20 11

15 -

15

Silo 2

12 7 9 20

25 20

15

Silo 3

4 14 16 18

10 18 5

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Kolom

Penalty - - -

20 – 18 =

2

Mill 1 Mill 2 Mill 3 Mill 4 Supply

Baris

Penalty

Silo 1

10 2 20 11

15 -

15

0

Silo 2

12 7 9 20

25 -

15

10

Silo 3

4 14 16 18

10 - 5

5

Kebutuhan 5 15 15 15 50

Kolom

Penalty - - - -

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

71

Nilai tujuan pada solusi ini menjadi : Z = 15 * 2 + 0 * 11 + 15 * 9 + 10 * 20 + 5 * 4 + 5 * 18

= $475. Hasil ini sama seperti yang didapatkan pada metode least-cost.

5.5 Proses Menuju Solusi Optimal

Setelah tabel solusi awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode :

a. Stepping Stone ( batu loncatan )

b. Modified Distribution Method ( MODI )

a. Stepping Stone ( batu loncatan )

Syarat : Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak :

Jumlah Kolom + Jumlah Baris – 1

Langkah – langkahnya :

1. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi).

2. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang mendapatkan

alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara

horisontal dan vertikal saja.

3. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-)

dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

4. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi

pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

5. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk semua sel kosong

telah terhitung. Jika indeks perbaikan dari sel-sel kosong lebih besar atau sama

dengan nol, solusi optimal telah tercapai.

b. Modified Distribution Method ( MODI )

Metode Modi menghitung indeks perbaikan untuk setiap sel kosong tanpa

menggunakan jalur tertutup. Indeks perbaikan dihitung dengan terlebih dahulu

menentukan nilai baris dan kolom. Notasi dalam metode MODI terdiri dari:

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

72

iR = nilai yang ditetapkan untuk baris i

jK = nilai yang ditetapkan untuk kolom j

ijC = biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j

Ada lima langkah dalam aplikasi metode MODI, yaitu:

1. Menghitung nilai setiap baris dan kolom, dengan menetapkan iR +

jK = ijC . Formula tersebut berlaku untuk sel yang mendapat alokasi saja.

2. Setelah semua persamaan telah tertulis, tetapkan 1R = 0

3. Mencari solusi untuk semua R dan K.

4. Menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan formula ijI = ijC

- iR - jK .

5. Mengaplikasikan kriteria optimalitas sebagaimana pada metode stepping

stone.

Contoh 5-5

Tiga pabrik dalam satu group (W,H,P) dengan kapasitas produksi masing-masing adalah 90,

60, dan 50. Hasil produksi akan didistribusikan ke tiga gudang (A,B,C) yang kapasitas

penyimpanan masing-masing adalah 50, 110, dan 40. Tabel biaya pengiriman produk dari

pabrik ke gudang ditampilkan pada tabel dibawah ini. Perusahaan ingin mendistribusikan

produk ke masing-masing gudang dengan biaya pengiriman yang minimal.

Penyelesaian

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

73

1. METODE NWC

Biaya yang dikeluarkan

(50 . 20) + (40 . 5) + (60 . 20) + (10 . 10) + (40 . 19) = 3260

2. METODE BIAYA TERKECIL

Biaya yang dikeluarkan :

(90 . 5) + (20. 15) + (40 . 10) +(30 .25) + (20. 10) = 2400

MENGOPTIMALKAN TABEL :

1. Metode Stepping Stone , misal tabel awal menggunakan yang NWC

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

74

Perbaikan 1 dengan cara trial dan error.

Setelah dihitung dengan trial dan error , biaya yang dikeluarkan adalah:

(50 . 15) + (90 . 5) + (10 . 20) + (10 . 10) + (40 . 19) = 2260

Perbaiakan ke 2

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

75

Biaya yang dikeluarkan :

(50 . 5) + (40 . 8) + (50 . 15) + (10 . 20) + (50 . 10) = 2020

Perbaiakan ke 3

Biaya yang dikeluarkan :

(60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 .10) + (50 . 10) = 1890 (paling optimal)

Jika hasil belum optimal, lakukan perbaikan terus sampai mendapatkan hasil yang

optimal.

2. Metode MODI

Langkah-langkah:

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

76

a. Misal tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC

b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.

c. Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus:

Ri + Kj = Ci

baris kolom biaya

1. W-A = R1 + K1 = 20

2. W-B = R1 + K2 = 5

3. H-B = R2 + K2 = 20

4. P-B = R3 + K2 = 10

5. P-C = R3 + K3 =19

dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan variabel

R1 atau K1, misal R1 = 0

1. R1 + K1 = 20 => 0 + K1 = 20 , K1 =20

2. R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

3. R2 + K2 = 20 => R2 + 5 = 20 , R2 = 15

4. R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

5. R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

letakkan nilai tersebut pada baris / kolom yang bersangkutan

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

77

d. Hitung nilai/ index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:

Cij - Ri - Kj

1. H-A = 15 – 15 – 20 = - 20

2. P-A = 25 – 5 – 20 = 0

3. W-C = 8 – 0 – 14 = - 14

4. H-C = 10 – 15 – 14 = - 19

(optimal jika pada sel yang kosong, indek perbaikannya ≥ 0, jika belum maka

pilih yang negatifnya besar)

e. Memilih titik tolak perubahan Pilih nilai yang negatifnya besar yaitu H-A

f. Buat jalur tertutup. Berilah tanda positif pada H-A. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan

sebaris (H-B), 1 sel yang isi terdekat dan sekolom (W-A), berilah tanda negatif pada

dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel

bertanda negatif tadi (W-B) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi dari sel

bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda

positif (50). Jadi, H-A kemudian berisi 50, H-B berisi 60-50=10,

W-B berisi 40+50=90 dan W-A tidak berisi.

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

78

g. Ulangi langkah-langkah c – f sampai indeks perbaikan bernilai < 0

hitung sel yang berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

H-A = R2 + K1 = 15 => R2 + 0 = 15, R2 = 15

H-B = R2 + K2 = 20 => 15 + 5 = 20 ,

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

Perbaikan indeks:

W-A = 20 – 0 – 0 = 20

W-C = 8 – 0 – 14 = - 6

H-C = 10 – 15 – 14 = - 19

P-A = 25 – 5 – 0 = 20

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

79

Biaya transportasi : (90 . 5) + (50 . 15) + (10 . 10) + (20 . 10) + (30 . 19) = 2070

Hitung sel yang berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 14 = 10 , R2 = - 4

H-A = R2 + K1 = 15 => - 4 + K1 = 15 , K1 = 19

Perbaikan indeks (sel kosong) :

W-A = 20 – 0 – 0 = 20

W-C = 8 – 0 – 14 = - 6

H-B = 20 – 15 – 5 = 0

P-A = 25 – 5 – 0 = 20

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

80

Biaya transportasi :

(60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 . 10) + (50 .10) = 300 + 240 + 750 + 100 + 500 =

1890

Sel berisi:

W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5

W-C = R1 + K3 = 8 => 0 + K3 = 8 , K3 = 8

H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 8 = 10 , R2 = 2

H-A = R2 + K1 = 15 => 2 + K1 = 15 , K1 = 13

P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5

Indeks perbaikan:

W-A = 20 – 0 – 19 = 1

H-B = 20 – (-4) – 5 = 19

P-A = 25 – 5 – 19 = 1

Indeks perbaikan sudah positif semua, berarti sudah optimal.

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

81

5.6 Soal-soal Latihan

5.1 Benar atau salah ?

(a) Untuk menyeimbangkan model transportasi, perlu menambah sumber dummy dan

tujuan dummy.

(b) Jumlah yang dikirimkan pada tujuan dummy merepresentasikan kelebihan (surplus)

pada sumber pengiriman.

(c) Jumlah yang dikirim dari sumber dummy merepresentasikan kekurangan pada tujuan

pengiriman.

5.2 Disetiap kasus dibawah ini, manakah sumber dummy atau tujuan dummy yang harus

ditambahkan untuk menyeimbangkan model :

(a) Supply : a1 = 10, a2 = 5, a3 = 4, a4 = 6. Sedangkan kebutuhan : b1 = 10, b2 = 5, b3 = 7,

b4 = 9.

(b) Supply : a1 = 30, a2 = 44. Sedangkan kebutuhan : b1 = 25, b2 = 30, b3 = 10.

5.3 Tiga pembangkit listrik dengan kapasitas masing-masing 24, 40, dan 30 juta kWh

menyupply listrik ke tiga kota. Kebutuhan maksimal pada tiga kota diperkirakan 30, 35,

dan 25 juta kWh. Harga distribusi per juta kWh pada tiga kota diberikan pada tabel

berikut.

Harga distribusi (juta kWh)

Kota 1 Kota 2 Kota 3

Plant 1 600 700 400

Plant 2 320 300 350

Plant 3 500 480 450

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

82

Selama bulan Agustus, ada peningkatan 20% dalam kebutuhan pada setiap kota yang

pemenuhannya dicapai dengan membeli listrik dari jaringan lain untuk memenuhi

kekurangan pasokan dengan harga $1000 per juta kWh. Tetapi jaringan tambahan

tersebut tidak dihubungkan langsung pada tiga kota. Perusahaan ingin menentukan

rencana ekonomis terkecil untuk distribusi pembelian tambahan energi.

(a) Formulasikan masalah tersebut kedalam model transportasi

(b) Tentukan rencana distribusi optimal untuk penggunaan perusahaan

(c) Tentukan biaya tambahan tenaga yang dibeli oleh setiap kota

5.4 Selesaikan masalah 5.3 dengan mengasumsikan ada 10% kehilangan tenaga listrik yang

ditransmisikan dalam jaringan.

5.5 Tiga refinery minyak tanah dengan kapasitas harian adalah 6, 5, dan 8 juta gallon,

memasok tiga daerah distribusi dengan kebutuhan harian 4, 8, dan 7 juta gallon. Minyak

tanah dikirim ke tiga daerah distribusi melewati jaringan pipeline. Biaya transportasi

adalah 10 sen per 1000 galon per pipeline mil. Tabel dibawah ini adalah jarak antara

refinery dengan daerah distribusi. Refinery 1 tidak dihubungkan dengan daerah distribusi

3.

(a) Buatlah model transportasinya

(b) Tentukan jadwal pengiriman yang optimal dalam jaringan

Tabel jarak

Daerah 1 Daerah 2 Daerah 3

Refinery 1 120 180 -

Refinery 2 300 100 80

Refinery 3 200 250 120

5.6 Mobil didistribusikan dari tiga pusat distribusi ke lima dealer. Biaya pengiirman

didasarkan pada jarak antara sumber dan tujuan, dan tidak tergantung apakah truk

dijalankan dalam keadaan beban sebagian atau penuh. Tabel dibawah ini adalah ringkasan

jarak antara pusat distribusi dan dealer dengan pasokan dan kebutuhan bulanan dalam

satuan jumlah mobil. Truk akan bermuatan penuh dengan 18 mobil. Biaya transportasi

per truk per mil adalah $25.

(a) Formulasikan model transportasinya

(b) Tentukan jadwal pengiriman yang optimal

Tabel jarak (mil), pasokan (mobil) dan kebutuhan (mobil) pada soal 5.6

Dealer Supply

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11

83

1 2 3 4 5

Pusat

1 100 150 200 140 35 400

2 50 70 60 65 80 200

3 40 90 100 150 130 150

Kebutuhan 100 200 150 160 140

5.7 Dari 3 buah pelabuhan A1, A2 dan A3 terdapat semen sebanyak masing-masing 120 ton,

170 ton dan 160 ton. Semen tersebut akan diangkut ke kota T1, T2 dan T3 yang masing-

masing mempunyai daya tampung 150 ton, 210 ton dan 90 ton. Biaya pengiriman dari

pelabuhan A1 ke kota T1, T2 dan T3 masing-masing adalah 50, 100 dan 100 ( dalam

ribuan rupiah / ton ). Biaya pengiriman dari pelabuhan A2 ke kota T1, T2 dan T3 adalah

200, 300 dan 200, sedangkan biaya pengiriman dari pelabuhan A3 ke kota T1, T2 dan T3

adalah 100, 200 dan 300. Tentukan :

a). Tabel Transportasi.

b). Solusi optimal biaya pengiriman.

Eko P

rasety

o

Manaje

men S

ains

Teknik

Infor

matika

UMG 20

11