PERHITUNGAN VALUE at RISK (VaR) DENGAN PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL

1. Value at Risk (VaR)Semenjak Morgan (1999) mempublikasikan Riskmetrics, perhitungan risiko dirasa sangat penting dalam analisis keuangan. Value at Risk merupakan salah satu bentuk pengukuran risiko yang cukup popular. VaR merupakan salah satu alat analisis statistik yang digunakan untuk mengukur kerugian dalam investasi. VaR didefinisikan sebagai estimasi kerugian maksimum yang mungkin dialami pada suatu periode tertentu dengan tingkat kepercayaan (confidence level) tertentu. VaR dapat menghitung besarnya kerugian terburuk yang dapat terjadi berdasarkan volatilitas dari asset, tingkat kepercayaan akan terjadinya risiko dan jangka waktu penempatan asset.

Dalam penghitungan VaR, jika didefinisikan sebagai nilai investasi awal dari asset maka nilai asset pada akhir periode waktu adalah . Seperti diketahui bahwa expected return dan volatilitas dari R masing-masing adalah dan . adalah nilai asset pada tingkat kepercayaan (1-), dengan serta merupakan nilai return yang dihasilkan pada tingkat kepercayaan (1-).Definisi VaR dibedakan menjadi dua macam yaitu VaR absolute dan VaR relative. VaR absolute merupakan kerugian (dalam satuan uang) relative terhadap nol (tanpa acuan mean).

VaR absolute = .(1)VaR relative untuk distribusi umum didefinisikan sebagai kerugian relative terhadap mean.

VaR relatif = .(2)

Berdasarkan dua definisi tersebut, VaR ekuivalen dengan pengidentifikasian nilai minimum dari atau titik kritis dari return , dimana VaR absolute (Mean Zero absolute VaR) mempertimbangkan kerugian murni dalam kaitannya dengan pergerakan pasar tanpa mempertimbangkan return yang diturunkan dari asset. VaR absolute mengasumsikan expected return berdistribusi normal dengan mean nol. Sedangkan VaR relative (Earnings at Risk) menyertakan expected return dalam perhitungan VaR. Dalam praktek, jika yang digunakan adalah pendekatan metode parametrik, maka yang digunakan adalah VaR relatif, karena aplikasi VaR relatif lebih mudah yaitu tidak membutuhkan evaluasi mean return. Untuk selanjutnya pembahasan difokuskan pada VaR relatif.

Dalam bentuk umum, VaR dapat ditentukan melalui distribusi nilai return di masa depan dengan : return asset. Pada tingkat kepercayaan (1-) akan ditentukan nilai sehingga probabilitas lebih dari sama dengan (1-).

(3)

Atau probabilitas munculnya nilai return kurang atau sama dengan , yaitu sama dengan , adalah sebagai berikut.

= .(4)

Dengan kata lain, pada daerah (] harus sama dengan (misal 5%). Nilai merupakan persentil- dari distribusi return yang merupakan nilai kritis dengan peluang yang sudah ditentukan. Perhitungan VaR dalam persamaan (4) bersifat fleksibel untuk setiap distribusi peluang.2. Tingkat kepercayaanTingkat kepercayaan yaitu peluang bahwa VaR tidak akan melampaui maksimum kerugian. Penentuan tingkat kepercayaan dalam perhitungan VaR tergantung penggunaan VaR. Hal ini sangat penting bagi perusahaan karena dapat menggambarkan kemampuan perusahaan dalam mengambil risiko kerugian. Semakin besar risiko yang diambil perusahaan, semakin besar pula tingkat kepercayaan dan alokasi modal untuk menutupi kerugian modal yang diambil.3. Periode waktuPeriode waktu (holding period) yaitu periode suatu institusi memegang suatu asset. Pada umumnya, institusi-institusi financial seperti perbankan, VaR dihitung dalam periode 1 hari, 1 minggu (5 hari bisnis) sampai 2 minggu. Sedangkan perusahaan yang mempunyai asset real seperti perusahaan property atau real estate menggunakan periode waktu lebih lama yaitu 1 bulan (20 hari bisnis) sampai dengan 4 bulan bahkan 1 tahun.

Untuk holding periode lebih dari 1 hari, diperlukan konversi untuk mean dan variansi dari return selama periode yang diinginkan. Jika dan menyatakan mean dan variansi dari return sepanjang holding period (hp) tertentu, maka mean dan variansi sepanjang hp tertentu adalah:

(5)

, sehingga .(6)Secara umum, the Bassel Commettee on Banking Supervision menentukan aturan konversi waktu dalam perhitungan VaR sebagai square root time rule (Dowd, 2002) sebagai:

VaR(hp, (1-)) = VaR(1, (1-)).(7)4. Normal Value at Risk

Perhitungan VaR dengan distribusi normal merupakan perhitungan VaR dengan pendekatan parametrik karena melibatkan estimasi parameter. Langkah awal yang harus dilakukan adalah membawa bentuk distribusi umum ke bentuk distribusi normal standard , dengan mean 0 dan variansi 1.

Perhitungan VaR ekuivalen dengan perhitungan deviasi sehingga luas daerah sebelah kiri sama dengan , maka

==

=

=,(8)

dengan 1- adalah tingkat kepercayaan dari variabel random normal standard Z. Jika dipilih tingkat kepercayaan 1-, maka didefinisikan sebagai kuantil distribusi normal standard sedemikian hingga dari densitas peluang berada di sebelah kiri dan 1- berada di sebelah kanan. Sebagai contoh pada tingkat kepercayaan 95% (=5%) akan diperoleh =-1,645. Sehingga

.(9)Selanjutnya dapat dibentuk formulasi VaR dengan mensubsitusikan persamaan (9) ke persamaan (2), yaitu:

VaR = .

=

VaR=.(10)Kemudian subsitusikan persamaan (10) ke dalam persamaan (7) sehingga diperoleh rumus untuk VaR sepanjang holding period (hp) dan tingkat kepercayaan (1-) sebagai berikut:

VaR(hp, (1-)) = (11)Contoh Perhitungan VaR Dalam perhitungan VaR, ada 3 komponen penting yang harus diperhatikan, yaitu holding period, tingkat kepercayaan dan estimasi kerugian. Dalam contoh perhitungan VaR ini diasumsikan besarnya investasi Rp 1 milyar. Perhitungan VaR menggunakan persamaan VaR normal.Contoh Diberikan data return saham Bumi resources, Telkom, Inco dan UNTR sebagai berikut.TanggalBUMIr(bumi)TELKOMr(telkom)Rp (Bumi,Telkom)INCOUNTR

2-Jan-0860007600323006700

3-Jan-0860000760000298507100

4-Jan-0863500.05669578000.0259750.031892299507500

7-Jan-0864000.007843780000.001511300507400

8-Jan-086300-0.015757750-0.00643-0.00823295507300

9-Jan-0863500.0079057700-0.00647-0.0037290006800

14-Jan-086350078000.0129030.010418270006900

15-Jan-086100-0.040177750-0.00643-0.01293269506850

16-Jan-085650-0.076637550-0.02615-0.03587277507050

17-Jan-085650076500.0131580.010624286007050

18-Jan-085650077500.0129870.010486301507100

21-Jan-085050-0.112277550-0.02615-0.04273302506800

22-Jan-084700-0.071837450-0.01333-0.0246315506600

23-Jan-0854250.1434557300-0.020340.011207328006650

24-Jan-085400-0.0046274500.020340.015533348506550

25-Jan-0859500.09699275000.0066890.024081358006550

28-Jan-0865000.0884117350-0.02020.000716356006600

29-Jan-0866000.01526774000.006780.008414342006600

30-Jan-086400-0.0307776000.0266680.015605345006650

31-Jan-0864000760000345006750

1-Feb-0866500.0383197400-0.02667-0.01415342006750

4-Feb-0872500.08638575000.0134230.027475330006850

5-Feb-0873500.01369979000.051960.044591325006750

6-Feb-087150-0.0275982000.0372710.024779328006650

11-Feb-087000-0.021286000.0476280.034371335006650

12-Feb-086850-0.021668450-0.0176-0.01838336506450

13-Feb-0871000.03584685500.0117650.016403335006500

14-Feb-0873000.027788100-0.05407-0.0383355006300

15-Feb-087250-0.006877950-0.01869-0.01642353006350

18-Feb-0874000.0204797900-0.00631-0.00115360506500

19-Feb-0874500.00673480000.0125790.011453379506650

20-Feb-087350-0.0135180500.0062310.002428400506800

21-Feb-0878000.0594237850-0.02516-0.00887417006850

22-Feb-0879500.01904880000.0189280.018951429507100

25-Feb-087850-0.0126682000.0246930.017499422007400

26-Feb-087750-0.0128284500.0300320.021779422007300

27-Feb-0879000.01917845000.003692419507100

28-Feb-0879500.0063098300-0.01791-0.01325414507100

29-Feb-087700-0.0319584000.0119760.003516408507100

1. Perhitungan manual pada saham BUMIa. Mean

=1/39 (0 + 0.056695+ +0) = 0.006565b. Standard deviasi

=1/(39-1) [(0-0.006565)2 +(0.056695-0.006565)2 + + (0.006565)2 ]= 0.002308c. Perhitungan normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 1 hari

VaR (hp, (1-)) =

VaR (1, 95%) = = -(-1,645).1.( 0.048042)(1.000.000.000)= 79.030.000Nilai normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 1 hari adalah 7,903%d. Perhitungan normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 5 hari

VaR (hp, (1-)) =

VaR (5, 95%) =

= -(-1,645). .(0.048042)(1.000.000.000)= 176716000

Nilai normal VaR dengan tingkat kepercayaan 95% dan holding period 5 hari adalah 17,6716%

PORTOFOLIOPortofolio adalah gabungan dua sekuritas atau lebih yang terpilih sebagai target investasi dari investor pada suatu kurun waktu tertentu dengan ketentuan tertentu, misalnya mengenai proporsi pembagian dana atau modal yang ditanamkan (Tandelilin, 2001).Dalam pembentukan portofolio, seorang investor berusaha memaksimalkan tingkat pengembalian (expected return) dari investasi dengan tingkat risiko tertentu atau dengan kata lain, portofolio yang dibentuk dapat memberikan tingkat risiko terendah dengan expected return tertentu. Portofolio yang mencapai tujuan tersebut disebut dengan portofolio yang efisien. Jika seorang investor dihadapkan pada beberapa portofolio yang efisien, maka investor sebaiknya memilih portofolio yang optimal.

Dalam pembetukan portofolio, setiap asset memiliki kontribusi dengan pembobotan . Dalam portofolio optimal, komposisi bobot ditentukan menggunakan kriteria optimalitas. Kriteria optimalitas yang dimaksud adalah dengan menggunakan efisiensi varian dari portofolio yang dibentuk dan tidak memasukkan asset bebas risiko (seperti SBI) dalam portofolionya. Penentuan bobot optimal dapat diselesaikan dengan batasan bahwa jumlah bobot portofolio = 1 ().Didefinisikan varian portofolio sebagai:

.

Meminimalkan fungsi terhadap sama halnya dengan meminimalkan fungsi .Tujuannya adalah meminimalkan risiko berdasarkan mean return portofolio yang terbentuk. Secara matematis dapat ditulis sebagai:

,

dengan batasan .Secara matematis, permasalahan optimalisasi tersebut dapat diselesaikan dengan fungsi Lagrange.

(12)dengan L= fungsi Lagrange,

= faktor pengali Lagrange.

Untuk mendapatkan nilai optimal dari bobot , fungsi L diturunkan parsial terhadap dan hasilnya disamakan dengan nol. Turunan parsial L terhadap adalah:

(13)Dengan mensubsitusikan persamaan (13) ke (12) diperoleh:

Besaran tersebut merupakan fungsi dari maka

(14)Persamaan (14) disamakan dengan nol, sehingga diperoleh:

(15)karena

.Persamaan (15) disubstitusikan ke (13) diperoleh bobot :

.Jika bobot masing-masing asset sudah ditentukan maka return portofolio dapat ditentukan dengan rumus:

dengan : bobot asset ke-i (i=1,2,, N) dan

: return asset ke-i pada periode waktu t.Risiko portofolio adalah kerugian yang dihadapi secara total karena harga sekumpulan asset lebih kecil dari pada return portofolio yang diharapkan. Semakin banyak peluang terjadinya return yang rendah bahkan negative dari suatu portofolio investasi maka semakin berisiko suatu portofolio investasi. Semakin besar dispersi dari expected return suatu portofolio investasi maka semakin besar pula risiko portofolio investasinya dengan asumsi berdistribusi normal.Pada dasarnya retun portofolio dipengaruhi oleh:1. Risiko masing-masing saham2. Proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham3. Kovarian atau koefisien korelasi antarsaham dalam portofolio4. Jumlah saham yang membentuk portofolio (Halim, 2005).Penghitungan VaR portofolio

Dengan asumsi periode kepemilikan 1 hari (harian) maka rumus (11) menjadi VaR(1-)= . Perbedaan perhitungan VaR individu dan VaR portofolio terletak pada perhitungan volatilitas (). Pada perhitungan VaR portofolio, volatilitas dapat diestimasi dengan akar kuadrat dari varian portofolio. Langkah-langkah perhitungan VaR portofolio adalah sebagai berikut.