1905-paul-oe-bab 1
DESCRIPTION
kimTRANSCRIPT
Nama deliana
massa, , dimana h adalah tinggi dari datum dan g percepatan
gravitasi bumi, sehingga persamaan Bernoulli menjadi :
sepanjang streamline. Untuk fluida dimana setiap
garis streamlinenya mendapat gaya garvitasi maka teori Bernoullinya
menjadi : . Bentuk umum teori Bernoulli dapat ditulis :
, dimana adalah energi potensial per unit massa.
1.1.Massa Tambah (Added Mass ).
Didalam perhitungan massa suatu struktur memerlukan data massa
dari struktur dan distribusinya, termasuk pondasi dan kondisi disekitar
strukturnya. Ada 2(dua) hal penting dalam perhitungan massa pada struktur
bangunan laut:
1 Massa disekeliling struktur dimana massa tersebut bergerak mengikuti
pergerakan struktur tersebut baik tercelup maupun tidak tercelup, yang
pada umumnya disbut massa tambah (added mass).
2. Bertambahnya massa karena adanya tumbuhan laut.Harga massa tambah dapat tergantung pada bentuk strukturnya,
untuk silinder Mam (massa tambah) adalah r2, dimana adalah massa
jenis air, r adalah radius silinder. Koefisien massa tambahnya dapat
dihitung sebagai berikut :
,
dimana M adalah massa air yang dipindahkan oleh struktur, dan Cm pada
umumnya diambil sama dengan 2,0.
1.9. d’Alembert’s Paradox.
1
Sebuah tabung dengan aliran fluida inviscid didalamnya yang
mempunyai kecepatan constant (U). Apabila diletakkan benda A pada
tengah tabung maka aliran akan berubah, akan tetapi pada jarak yang
cukup jauh aliran akan kembali tanpa adanya gangguan. Untuk
mempertahankan posisi benda tersebut maka diperlukan gaya , misalkan F adalah gaya yang pararel terhadap alirannya, sehingga F=0, hal ini dikenal
dengan sebutan d’Alembert’s Paradox.
Gambar 1.9.1. d’Alembert’s Paradox.
Gaya luar seperti gravitasi diabaikan, sehingga F adalah resultan pada arah
aliran dari tekanan yang bekerja pada lapisan A.
1.10. Aliran melalui suatu benda.
Apabila suatu benda (bola) terkena aliran yang uniform dan gaya
luar diabaikan maka aliran streamlinenya akan simetris terhadap
diameter bolanya yang searah alirannya. Pada titik stagnasi (stagnation
point) A maka kecepatannya adalah nol. Apabila kecepatan aliran
meningkat maka lapisan batas (boundary layer) menjadi semakin tipis
pada A dan dibelakang benda akan semakin tebal. Pada lapisan batas
dibelakang benda akan bergerak kearah berlawanan dan membentuk
ulekan (eddies) yang akhirnya disebut dengan vortex.
AU U
S1 S2
A
2
Gambar 1.10.1. Vortex Shedding.
1.11. Matematika Review.
Di dalam perhitungan hidrodinamis sering digunakan notasi-notasi
alphabet Yunani dalam notasi matematikanya. Adapun noatsi yang digunakan
adalah sebagai berikut:
a) Alphabet Yunani
Alpha Nu
Beta Xi
Gamma Omieron
Delta Pi
Epsilon Rho
Zeta Sigma
Eta Tau
Theta Upsilon
Iota Phi
Kappa Chi
Lambda Psi
Mu Omega
1.11.1. Fourier Series.
Fourier series adalah series yang tidak terbatas dari fungsi trigonometri
yang sering digunakan dalam perhitungan gelombang dan juga phenomena
physic dari aliran yang periodic. Sebagai contoh untuk penyelesaian dari
gelombang laut . Jika f(x) sebagai suatu fungsi dengan interval
dan periodic dengan periode 2, kemudian f(x) dapat direpresentatifkan
dengan fungsi trigonometri sebagai berikut:
3
dimana koefisien an dan bn didapatkan dari integrasl :
Catatan : Bahwa interval dapat dipilih sebagai , dimana dalam hal ini
x0 = 0, sehingga apabila f(x) sebagai fungsi genap dalam interval ,
maka:
Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi ganjilnya. Bentuk fungsi cosinus dan
sinus dalam series untuk f(x) dapat digabungkan dalam bentuk satu sinus atau
cosinusdari amplitude dan sudut phasenya, sebagai contoh :
dimana .
Jika f(x) dibatasi oleh limit –L x L dan kemudian dengan perubahan
variabelnya maka deret Fourier untuk f(x)nya menjadi:
dimana
dan
Demikian pula jika f(x) digunakan untuk gelombang periodic dengan periode T
dalam interval –T/2 t T/2 dan kemudian subsitusi kedalam
persamaan f(x) menjadi: , dimana an dan
bn adalah:
dan .
Contoh:
4
simmetri untuk x = 0 dan periodic dengan periode a, maka
bn = 0, sehingga : dan
, dimana = 0 untuk n
genapdan mempunyai harga dari untuk n = 0, 1, 2, ….. Jadi
Fourier series dari f(x) dapat ditulis :
Gambar 1.11.1. Fungsi f(x) untuk Series Fourier.
1.11.2. Komplek Variabel.
Dalam perhitungan hidrodinamika khususnya dalam meformulasikan
persamaan matematisnya menggunakan variabel komplek. Sebagai contoh,
profil gelombang dari gelombang progressive dapat ditulis dalam bentuk
komplek. Bentuk komplek dapat ditulis sdalam bentuk x + iy, dimana x dan y adalah angka riil dan i adalah imajiner (i2 = -1). Bentuk umumnya adalah: z = x + iy, dimana x adalah bagian riil dari z dan ditulis: x = Re (z), sedangkan y
adalah bagian imajiner dari z, ditulis y = Im (z). Simbol z disebut variabel
komplek.
Jika P adalah suatu titik pada bidang komplek (x,y) atau x + iy, dan
dalam koordinat polar dengan jarak r dari O dan susut dari x positive maka x
a/2-a/2 0 x
y
-a a-1
1
5
= r cos dan y = r sin . Dalam bentuk komplek ditulis z = x iy = r (cos
I sin ) = re i, yang pada umumnya disebut rumus Euler. De Moivre’s theorem
menyatakan bahwa definisi diatas dapat ditulis dalam bentuk z, yaitu:
Gambar 1.11.2. Definisi dari bidang komplek.
Operasi penyelesaian komplek dar z = z1 z2, dimana z1= a1 + ib1 = r1 ei1 dan
z2= a2 + ib2 = r2 ei1, sehingga z = (a1 a2 – b1 b2 ) + i( a1 b2 + a2 b1 ) dan untuk
koordinat polarnya adalah z = r1 r2 e(1+2).
Catatan : cos k = ½ (eik + e-ik) dan sin k = ½ (eik + e-ik), dengan aljabar
komplek diketahui sinh ikx = i sin kx dan cosh ikx = cos kx..
1.11.3. Singularity.
Suatu fungsi komplek (complex function) f(z) dalam suatu daerah R, jika
turunan fungsinya adalah f’(z) ada pada setiap titik z dalam daerah R, kemudian
f(z) disebut fungsi analitik dalam R. Suatu titik pada f(z) didalam analitk disebut
titik singular atau singularity dari f(z). Apabila z = z0 adalah titik singular dari f(z),
maka lingkarannya dapat didefinisikan sebagai |z – z0 | = , dimana > 0.
Untuk integer positive n maka :
dimana z = z0 disebut titik pusat dari n. Apabila n = 1, maka disebut simple pole.
O
y
x
P(x,y)
x
r
6
1.11.4. Integrasi Komplek.
Pada Gambar 1.11.2.2.1. terlihat bahwa f(z) kontinyu pada kurva C dan
dibatasi dengan limit a dan b. Selanjutnya atau disebut garis
integral dari f(z) sepanjang kurva C atau integral terbatas a ke b. Apabila
daerah R dibatasi oleh kurva tertutup C yang mana tergantung pada R, dan
kemudian daerah R dapat berubah menjadi titik maka disebut hubungan
sederhana. Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontnyu dan mempunyai turunann
parsial dalam daerah R dan dibatasi oleh C, maka teori dari Green mengatakan
bahwa: , demikian pula untuk masalah 3D
(tiga dimensi) dapat dihitung seperti diatas.
Gambar 1.11.4.1. Garis Integral.
C
a
b
x
y
0
0
7
Gambar 1.11.4.2. Macam-macam pembagian daerah (regions).
Rumus integral Cauchy menyatakan bahwa jika f(z) fungsi analitik dan pada
kurva tertutup C dan a adalah titik sebarang didalam C, maka
, dimana C positive berlawanan arah jarum jam. Secara
umum untuk turunan ke n dari f(z) pada z = a, ditulis:
Rumus integrasi dari Cauchy
banyak digunakan dalam permasalahan interaksi gelombang, difraksi dan teori
radiasi.
1.11.5. Fungsi Hiperbolik.
Pada gelombang laut khusunya gelombang permukaan akan mengalami
penurunan kedalaman sebagai fungsi hiperbolik, fungsi tersebut umum
digunakan pada persoalan perhitungan beban gelombang pada bangunan
lepas pantai. Bentuk hiperbolikus dapat berbentuk sinus, cosinus, analogi
dengan fungsi lingkaran. Bentuk fungsi hiperbolik dapat ditulis dalam bentuk
fungsi exponensial :
Dalam bentuk series: dan
sehubungan dengan fungsi lingkaran dalam bentuk komplek maka:
a) Hubungan sederhana a) Hubungan komplek
8
Untuk fungsi kwadrat pada persamaan diffrensial X” + k2 X = 0, maka sin kx
dan cos kx menjadi snh kx dan cosh kx, sehingga secara umum penyelesaian
persamaan kearah x adalah: . Sebagai contoh untuk
penyelesaian masalah Catenary, seperti pada Gambar 1.11.5., sebuah kabel
tergantung dengan titik A pada kapal dan titik B pada dasar laut. Reaksi kabel
kearah horisontalnya pada titik B membuat sudut tangent terhadap dasar
lautnya (ditulis R). Pada titik P pada kabel beban tegak lurusnya adalah W,
dimana sama dengan berat kabel itu sendiri, w, dikalikan panjang kable, S,
antara titik B dan P.
Gambar 1.11.5. Kabel Mooring Statis.
Apabila kordinat pada titik B (x,y), maka dan T tegangan
yang bekerja pada P yang membuat sudut terhadap dasar laut sehingga
. Dari persamaan diferensial biasa , sehingga
.
Pemecahan persoalan dari catenary yaitu:
.
Panjang antara B ke P adalah .
B
A
TP
W
R
x
y
R o
o
TS
o
9
1.11.6. Fungsi Bessel.
Salah satu bentuk umum dari bentuk struktur bangunan lepas pantai
adalah silinder. Fungsi Bessel (Bessel Function) adalah salah satu pemecahan
penyelesaian dari persamaan differensial pangkat dua yang dapat ditulis
sebagai berikut:
Penyelesaian umumnya adalah : untuk semua integer n,
dimana Jn adalah Fungsi Bessel untuk orde kesatu n dan Yn adalah fungsi
Bessel untuk orde ke dua dari n. Jumlah Jn dapat ditulis dalam bentuk series ke
x sebagai:
dari hubungannya maka dapat ditulis: ,
dimana n = 0,1,2,…. Fungsi Bessel untuk order kedua n sehubungan dengan
orde pertamanya adalah :
juga Y1 (x) = -Y’0 (x) dan Y-n (x) = (-1)n Yn (x), untuk n=0,1,2,….
Fungsi Hankel untuk orde pertama dalam bentuk komplek ditulis:
Sedangkan untuk orde keduanya ditulis:
Bentuk umum dari fungsi Bessel adalah:
1.11.7. Persamaan Differensial Parsial.
10
Apabila suatu variabel fungsinya tergantung dari lebih satu variabel,
maka turunannya secara parsial hubungan antara variabelnya sering disebut
persamaan differensial. Pada penyelesaian masalah gelombang umumnya
digunakan persamaan differnsial. Misalkan fungsi z tergantung pada dua
variabel x dan y, ditulis z = f(x,y). Dalam penyelesaian persamaan diatas dapat
dibagi menjadi dua penurunan, yaitu pertama perubahan rata-rata dari z
terhadap x dengan y konstan dan kedua perubahan rata-rata dari z terhadap y
dan x konstan, penurunan persamaan tersebut disebut turunan parsial. Sebagai
contoh, suatu persamaan lingkaran: , kemudian
. Selanjutnya apabila x dan y fungsi dari satu
variabel t, maka dapat ditulis: .
1.11.8. Vektor dan Tensor.
Scalar dan vector merupakan besaran yang sering dipakai pada masalah
hidrodinamika. Scalar adalah suatu besaran yang tidak memerlukan arah pada
suatu ruang, misalnya volume, berat jenis, massa, energi dan tekanan.
Sedangkan vektor adalah besaran yang mempunyai magnitude dan arah, juga
memenuhi hukum parallelogram dari penambahan dan perkalian, misalnya
kecepatan, momentum linear dan gaya, termasuk kecepatan angular dan
kecepatan momentum. Jadi jika Ia adalah unit vektor pararel terhadap vektor a,
maka a = . Ia
Lihat a, b adalah dua vector dengan besaran a,b yang diwakili oleh garis
OA dan OB dengan titik awal pada titik O. Sudut antara vektornya adalah ,
sudut AOB merupakan sudut rotasi minimum dari a ke b, sehingga ab = ab cos . Hasil scalar sebagai hasil OA.OM, dimana M adalah proyeksi B pada OA,
sehingga OA = a, OM = b cos , dalam bentuk umumnya ba = ba cos(-) = ab
cos = ab.
11
Gambar 1.11.8.1. Skalar hasil dari perkalian vector.
Hasil perkalian vector juga dapat menghasilkan suatu vector. Lihat a dan
b adalah dua vector dengan besaran a,b dengan membuat sudut diukur dari a
ke b. Perkalian vector a b sebagai vector dengan besaran ab sin , dimana
tegak lurus terhadap adan b, dan rotasidaria ke b seperti hukum mur baut,
sehingga didapatkan ba sin (-) = -ab sin dan a b = - b a.
Gambar 1.11.8.2. Vektor dari hasil perkalian vector.
Sebagai contoh yaitu sebuah titik P terletak pada suatu benda rigid yang
bergerak pada poros titik O dengan kecepatan sudut , dimana r adalah posisi
vector P relative terhadap O. Apabila PN tegak lurus , kemudian kecepatan
dari P adalah OP sin tegak lurus pada bidang PON sehingga menghasilkan
vector r.
O
B
M
b
a A
-
a
a b
b a
a
b
b
12
Gambar 1.11.8.3. Contoh dari perkalian vector.
Demikian pula untuk vector momen pada O dari gaya F yang bekerja pada P adalah r F. Skalar dan vector apabila dikalikan maka berlaku hukum
distributive, yaitu :
a (b+c) = ab + ac dan a (b+c) = a b + a c
1.11.8.1. Vektor 1.11.8.1.1. Hasil perkalian tiga vector.
a) Hasil triple scalar. Apabila ada 3 vektor a, b, c maka kombinasi a(r c) disebut triple scalar.
Hal ini dapat dibuktikan dengan mengassumsikan suatu kotak dengan sisi-
sisinya adalah vector a, b, c, sehingga hasil skalarnya diukur oleh
volumenya.
Gambar 1.11.8.1.1. Contoh dari perkalian vector.
Dari gambar 1.11.8.1.1. terlihat bahwa:
O O
r r F
r
r
F
P
P
a
c
b
13
a (b c) = b (c a) = c (a b)a (b c) = - a (c b) dimana b c = -c b
(a b) c = a (b c) = [abc]Apabila dua vektornya sama atau pararel, atau ketiga vektornya coplanar
maka
[aab] = 0b) Hasil triple vektor.
Apabila a, b, c adalah tiga vector, maka kombinasi a (b c) adalah hasil
perkalian tiga vector. Apabila diketahui a (b c) = - a (c b) = (c b) a maka hasil perkalian tiga vektornya menjadi :
a (b c) = -(ab) c + (ac) bc) Resolusi vector.
Apabila a, b, c adalah tiga vector, tidak coplanar dan x adalah vector
arbitrary maka:
(i) x [a (b c)] = a [ (b c) x] + b [(c a) x] + c [(a b) x] (ii) x [a (b c) = (b c) (ax) + (c a) (bx) + (a b) (cx)
Tensor
Scalar dan vector a, b, c, …., dan seterusnya tidak terbatas,
dinyatakan dalam bentuk semicolon (;), disebut dyadic multiplication. Dengan
demikian maka dapat dituliskan urutan sebagai berikut :
(1) , a, a;b, a ; b ; c, a ; b ; c ; d, …., dimana a;b disebut dyad.
(2) a ; b ; c = (a ; b) ; c = a ; (b ; c) (3) a ; b ; c ; d = (a ; b) ; (c ; d) = a ; (b ; c) ; d
(4) ; b ; c = ( ; b) ; c = ; (b ; c)(5) b ; c = ( b) ; c = ( b ; c)(6) (a ; b) c = a ; (b c) = a (b c)(7) (a ; b) (c ; d) = a ; (b c) ; d = (a ; d) (b c)(8) (a ; b) .. (c ; d) = (ad) (bc)(9) (ad) (bc) = (cb) (da) = (bc) (ad) = (da) (cb)(10) (a ; b) .. (c ; d) = (c ; d) .. (a ; b) = (b ; a) .. (d ; c) = (d ; c) .. (b ; a)
14
(11) (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) (12) A ; (B+C) = A ; B + A ;C, (B+C) ; A = B ; A + C ; A(13) (a b) c = - a (bc) + b (ac) = c(a;b) – c(b;a)
= c[a;b - b;a] = c[a;b - (a;b)](14) A(x+y) = Ax + Ay, (x+y)A = xA + yA
Definisi dari Tensor.Sebuah vektor linier dengan operator (r) disebut tensor dari r, jika (0) scalar,
dan jika untuk setiap integer positif r 1dan untuk setiap vector x, (r) x adalah
tensor r – 1. Apabila i1 , i2 , i3, adalah vector yang saling tegak lurus maka
dalam bentuk tensor dapat kita tulis x = x1 i1 ,x2 i2 , x3 i3. Misalkan adalah
tensor ke2 pada bidang ke3, maka :
x = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3
= i1 (i1x) + i2 (i2x) + i3 (i3x)= [(i1);i1 + (i2); i2 + (i3); i3]x
1.12. Definisi-definisi.
A pathline : Ada1ah sebuah locus yang merupakan kumpulan posisi titik
dari sebuah partikel pada interval waktu yang berturutan.
A streakline (filament line) : Ada1ah suatu garis yang merupakan
posisi dari semua partikel fuida yang mela1ui titik-titik partikel.
A streamline: Ada1ah kurva imajiner pada a1iran fuida dimana
kecepatan setiap partikel sepanjang streamline sela1u membentuk tangentia1
terhadap streamlinenya pada setiap waktu.
Viskositas : Koefisien viskositas () ada1ah perbandingan dari shear
stress () pada setiap titik di da1am a1iran terhadap gaya geser rata-rata pada
setiap titik tegak lurus luasan dimana terjadi stress.
Inviscid : Suatu f1uida yang mempunyai zero viscosity, tidak
menga1ami perubahan viskositas.
15
Incompressible: Suatu f1uida yang tidak menga1ami perubahan
tekanan, dengan kata 1ain tekanan pada permukaan f1uida sama dengan
tekanan atmosfernya.
Irrotational : Suatu f1uida yang diassumsikan bahwa partikel tersebut
berputar akan tetapi a1iran yang terbentuk tidak berputar .
Conformal Transformation: Suatu luasan atau daerah didalam z-plane
yang mana dapat diplotkan kedalam suatu luasan ditempat daerah lain (ζ-
plane) dengan cara transformasi. Jika ζ = ξ + i ditransformasikan dengan
hubungan ξ,, dan x,y, sehingga fungsi ξ = ξ (x,y) dan = (x,y).
16