17. soal-soal program linear

www.matematika-sma.com - 1

17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR

EBTANAS2000 1. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10 2x + y 8≤ y 2≥

ditunjukkan oleh daerah A. I B. II C. III D. IV E. V jawab:

1. Terlihat pada gambar bahwa A adalah persamaan garis 5x + y = 10 titik potong dengan sumbu x jika y = 0

x = 2 titik (2,0) titk potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 10 titik (0,10)

daerah 5x + y ≥ 10 berada pada garis persamaan tersebut dan di atas garis (I, II,III, V) ---(a) 2. B adalah persamaan garis 2x + y = 8 titik potong dengan sumbu x jika y=0 x = 4 (4,0) titik potong dengan sumbu y jika x = 0 y = 8 (0,8) daerah 2x + y 8≤ berada pada garis persamaan tersebut dan di bawah garis (III, V) ….(b) 3. C adalah garis y = 2 daerah di atas garis y = 2 adalah I, II, III, IV …(b) dari (a) , (b) dan (c) : 1. I II III V 2. III V 3. I II III IV Yang memenuhi ketiga-tiganya adalah daerah III Jawabannya adalah C SIPENMARU1985 2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan 2x+y≥ 4 ; 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0 dapat digambarkan dengan bagian bidang yang diarsir sebagai berikut :

.


Jawab : 2x+y≥ 4 ; 2x + y = 4 titik potong dengan sumbu x , y = 0 x = 2 (2,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 4 (0,4) 3x + 4y ≤ 12 3x + 4y = 12 titik potong dengan sumbu x, y = 0 x = 4 (4,0) titik potong dengan sumbu y, x = 0 y=3 (0,3) gambar sbb:

Himpunan penyelesaiannya berada di atas persamaan garis 2x + y = 4 dan di bawah 3x + 4y = 12

Jawabannya adalah E UN2005 SMK 3. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear…

A. x+2y≤ 8, 3x+2y≤ 12, x≥ 0, y≥ 0 B. x+2y≥ 8, 3x+2y≥ 12, x≥ 0, y≥ 0 C. x-2y≥ 8, 3x-2y≤ 12, x≥ 0, y≥ 0 D. x+2y≤ 8, 3x-2y≥ 12, x≥ 0, y≥ 0 E. x+2y≤ 8, 3x+2y≥ 12, x≥ 0, y≥ 0


Jawab : persamaan garis melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah: (0,a) (b,0)

Persaman garis = bx +

ay = 1 ⇔ ax + by = a.b

6x+4y = 24 ⇔ 3x + 2y = 12 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 2y ≤ 12 …(1)

persamaan garis melalui titik (0,4) dan (8,0) adalah: (0,a) (b,0)

Persaman garis = bx +

ay = 1 ⇔ ax + by = a.b

4x+8y = 32 ⇔ x + 2y = 8 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka x + 2y ≤ 8 ….(2) Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥ 0 dan y≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) 3x + 2y ≤ 12, x + 2y ≤ 8 dan x≥ 0, y≥ 0 jawabannya adalah A

EBTANAS2001 SMK Teknologi 4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan…

A. 5x + 3y≤ 30, x - 2y≥ 4, x≥ 0, y≥ 0 B. 5x + 3y≤ 30, x - 2y≤ 4, x≥ 0, y≥ 0 C. 3x + 5y ≤ 30, 2x - y≥ 4, x≥ 0, y≥ 0 D. 3x + 5y≤ 30, 2x - y≤ 4, x≥ 0, y≥ 0 E. 3x + 5y≥ 30, 2x - y≤ 4, x≥ 0, y≥ 0

Jawab: 1. persamaan garis melalui titik (0,6) dan (10,0) adalah: (0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ 6x + 10y = 60 3x + 5y = 30 karena daerah arsiran dibawah persamaan garis maka 3x + 5y ≤ 30 ….(1) 2. persamaan garis melalui titik (0,-4) dan (2,0) adalah: (0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ -4x + 2y = -8 -2x + y = -4 karena daerah arsiran di sebelah kiri maka persamaan garisnya : -2x + y ≥ -4 atau 2x – y ≤ 4 …(2)


ingat untuk a < 0 dan b > 0 -ax + by ≥ -ab (b,0) x (0,-a) -ax + by≤ -ab y 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥ 0 dan y≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) 3x + 5y ≤ 30 ; 2x – y ≤ 4 ; x≥ 0 dan y≥ 0 jawabannya adalah D

SIPENMARU1985 5. Daerah yang diarsir pda gambar di bawah ini menunjukkan himpunan titik (x,y) yang memenuhi pembatasan di bawah ini, yaitu ….

A. x≥ 0, y≥ 0, 2x + 3y≤ 12, - x + y≥ 2 B. x≥ 0, y≥ 0, 2x + 3y≥ 12, -x + y≥ 2 C. x≥ 0, y≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, -x + y≤ 2 D. x≥ 0, y≥ 0, 2x + 3y≥ 12, -x + y≤ 2 E. x≥ 0, y≥ 0, 2x + 3y≤ 12, -x + y≤ 2

jawab: 1. persamaan garis melalui titik (0,2) dan (-2,0) adalah: (0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ 2x - 2y = -4 x - y = -2 karena daerah arsiran di sebelah kanan persamaan garis maka x – y ≥ -2 atau –x + y ≤ 2….(1) untuk a > 0 dan b <0 y ax - by ≤ -ab (0,a) ax - by ≥ -ab x (-b,0) 2. persamaan garis melalui titik (0, 4) dan (6,0) adalah: (0,a) (b,0) ax + by = a.b ⇒ 4x + 6y = 24 2x + 3y = 12 karena daerah arsiran di bawah persamaan garis maka : 2x + 3y ≤ 12 …(2) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥ 0 dan y≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -x + y ≤ 2 ; 2x +3y ≤ 12 ; x≥ 0 dan y≥ 0 jawabannya adalah C


EBTANAS1998 6. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan… y B(3,6) C(0,4) A(7,0) A. 3x + 2y≤ 21, -2x +3y≤ 12, x≥ 0, y≥ 0 B. 2x + 3y≤ 21, -2x - 3y≤ 12, x≥ 0, y≥ 0 C. -3x +2y ≥ 21, -2x+3y≥ 12, x≥ 0, y≥ 0 D. -3x-2y≥ 21, 2x +3y≥ 12, x≥ 0, y≥ 0 E. 3x -2y≥ 21, 2x -3y≥ 12, x≥ 0, y≥ 0 jawab: . Persamaan garis melalui titik (x1 , y1 ) dan (x 2 , y 2 ) adalah:

12

1

yyyy

−− =

12

1

xxxx

−−

1. persamaan garis melalui titik (0,4) dan (3,6) (x1 , y1 ) (x 2 , y 2 )

464

−−y =

030

−−x ⇔

24−y =

3x

3(y-4) = 2x 3y – 12 = 2x 2x – 3y = -12 daerah yang diarsir berada di kanan sehingga 2x – 3y ≥ -12 atau -2x+3y ≤ 12 ….(1) untuk a > 0 dan b <0 y ax - by ≤ -ab (0,a) ax - by ≥ -ab x (-b,0)

2. persamaan garis melalui titik (3,6) dan (7,0) (x1 , y1 ) (x 2 , y 2 )

606

−−y =

373

−−x ⇔

66

−−y =

43−x

4(y-6) =-6(x-3) 4y – 24 = -6x + 18 6x + 4y = 42 ⇔ 3x + 2y = 21 daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 3x + 2y ≤ 21 ….(2) 3. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥ 0 dan y≥ 0 ….(3) dan (4) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3) dan (4) -2x+3y ≤ 12 , 3x + 2y ≤ 21, x≥ 0 dan y≥ 0 Jawabannya adalah A EBTANAS1994 7. Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier.

(3,5) 5 (1,3) 3 1 2 3 4

Sistem pertidaksama-an linier itu adalah …… A. y≥ 0, 3x + y≥ 6, 5x + y≤ 20, x – y ≥ -2 B. y≥ 0, 3x + y≤ 6, 5x + y≥ 20, x – y ≥ -2 C. y≥ 0, x + 3y≥ 6, x + 5y ≤ 20, x - y≤ 2 D. y≥ 0, x + 3y≤ 6, x +5y≥ 20, x – y ≥ -2 E. y≥ 0, 3x - y≥ 6, 5x -y≤ 0, x - y≥ -2


Jawab:

12

1

yyyy

−− =

12

1

xxxx

−−

terdapat 3 persamaan garis: 1. persamaan garis melalui titik (2,0) dan (1,3) (x1 , y1 ) (x 2 , y 2 )

030

−−y =

212

−−x ⇔

3y =

12

−−x

3(x-2) = -y 3x – 6 = -y 3x + y = 6 daerah yang diarsir berada di atas sehingga 3x + y ≥ 6 ….(1) 2. persamaan garis melalui titik (4,0) dan (3,5) (x1 , y1 ) (x 2 , y 2 )

050

−−y =

434

−−x ⇔

5y =

14

−−x

5(x - 4) = -y 5x – 20 = -y 5x + y = 20 daerah yang diarsir berada di bawah grafik sehingga 5x + y ≤ 20 ….(2) 3. persamaan garis melalui titik (1,3) dan (3,5) (x1 , y1 ) (x 2 , y 2 )

353

−−y =

131

−−x ⇔

23−y =

21−x

2(x -1) =2(y-3) 2x – 2 = 2y-6 2x - 2y = -4 ⇔ x – y = -2 x – y = -2 memenuhi kriteria ax – by = -ab dengan a > 0 dan b < 0 y ax - by ≤ -ab (0,a) ax - by ≥ -ab x (-b,0)

daerah yang diarsir berada di kanan grafik sehingga x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 ….(3) 4. Arsiran di atas sumbu x dan di kanan sumbu y maka x≥ 0 dan y≥ 0 ….(4) dan (5) sehingga daerah penyelesaiannya adalah: (1), (2), (3), (4) dan (5) 3x + y ≥ 6 , 5x + y ≤ 20 , x - y ≥ -2 atau y – x ≤ 2 , x≥ 0 dan y≥ 0 Jawaban yang memenuhi adalah A EBTANAS2001 8. 32 24 16 16 24 36 48 Nilai minimum fungsi objektif 5x + 10y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah berarsir seperti gambar di atas adalah ....... A . 410 B . 320 C . 240 D . 200 E . 160

Jawab: tentukan titik ekstrim terlebih dahulu: . 32• …(a)

24 • …….(b) 16 …(c) • …(d) • 16 24 36 48


Terdapat 4 titik ekstrim, yang sudah diketahui 2 titik yaitu titik a (0,32) dan titik d (48,0), tinggal mencari posisi 2 titik ekstrim yang lain. Tentukan persamaan garis: 1. persamaan garis melalui titik (0,24) dan (36,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 24x + 36y = 864 : 6 4x + 6y = 144 2x + 3y = 72 … (1) 2. persamaan garis melalui titik (0,32) dan (16,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 32x + 16y = 512 : 16 2x + y = 32 …..(2) 3. persamaan garis melalui titik (0,16) dan (48,0) ( 0,a) (b,0) ax + by = ab 16x + 48y = 768 : 16 x + 3y = 48 …..(3) titik b didapat dari perpotongan grafik (1) dengan (2) 2x + 3y = 72 2x + y = 32 - 2 y = 40 y = 20 2x + 3y = 72 2x = 72 – 3y 2x = 72 – 3.20 x = 12/2 = 6 titik b = (6,20)

Titik c didapat dari perpotongan grafik (1) dan (3) 2x + 3y = 72 x + 3y = 48 - x = 24 x + 3y = 48 3y = 48 - x 3y = 48 – 24 y = 24/3 = 8 titik c = (24,8)

Buat tabel:

(0,32) ( 6,20) (24,8) (48,0) 5x + 10y 320 230 200 240

Dari tabel terlihat bahwa nilai minimum adalah nilai yang terkecil yaitu 200. Jawabannya adalah D UAN2006 9. Seorang tukang roti mempunyai bahan A,B dan C masing-masing sebanyak 160 kg, 110 kg dan 150 kg. Roti I memerlukan 2 kg bahan A, 1 kg bahan B dan 1 Kg bahan C Roti II memerlukan 1 kg bahan A, 2 kg bahan B dan 3 Kg bahan C Sebuah roti I dijual dengan harga Rp.30.000 dan sebuah roti II dijual dengan harga Rp.50.000, pendapatan maksimum yang dpat diperoleh tukang roti tersebut adalah… A. Rp. 8000.000,- C. Rp. 3900.000,- E. 2900.000,- B. Rp. 4500.000,- D. Rp. 3100.000,- Jawab: Buat persamaan : Misal roti I = x dan roti II = y didapat persamaan sbb: 2x + y ≤ 160 …..(1) x + 2y ≤ 110 …..(2) x + 3y ≤ 150 ….(3) buat sketsa grafiknya:


“Sketsa grafik diperlukan untuk melihat daerah himpunan penyelesaian dan titik-titik ekstrim, dibutuhkan skala yang tepat untuk mendapatkan grafik yang optimum (benar atau mendekati kebenaran) untuk memudahkan penyelesaian” Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian dari tiga grafik tsb. Didapat 4 titik ekstrim yaitu (0,50), (80,0), titik A dan titik B perpotongan (1) dan (2) titik B 2x + y = 160 |x1| ⇒ 2x + y = 160 x + 2y = 110 |x2| ⇒ 2x +4y = 220 - - 3y = -60 y = 20 2x + y = 160 2x = 160 – 20 x = 140/2 = 70 titik B = (70,20) perpotongan (2) dan (3) titik A x + 2y = 110 x + 3y = 150 - - y = -40 y = 40 x + 2y = 110 x = 110 – 2.40 x = 30 titik A = (30,40) yang ditanyakan adalah nilai maksimum dari : 30.000 x + 50.000 y

buat tabelnya:

(0,50) (30,40) (70,20) (80,0) 30.000x+50.000y 2500.000 2900.000 3100.000 2400.000

Didapat nilai maksimumnya adalah Rp. 3100.000 Jawabannya adalah D

UN2007 10. Luas daerah parkir 1.760 m 2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1000/jam dan mobil besar Rp.2000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating, maka hasiul maksimum tempat parkir itu adalah: A. Rp.176.000,- C. Rp.260.000,- E. Rp.340.000,- B. Rp. 200.000,- D. Rp. 300.000,- Jawab: Dibuat persamaan-persamaannya terlebih dahulu: Misal mobil kecil = x dan mobil besar = y 4 x + 20 y ≤ 1760 x + 5y ≤ 440 …..(1) x + y ≤ 200 ….(2) nilai maksimum 1000x + 2000y = ? buat sketsa grafiknya: (0,200) Titik potong (A) (0,88) (200,0) (440,0) Dari grafik didapatkan tiga titik ekstrim yaitu: (0,88), (200,0) dan titik A Titik A adalah perpotongan dari dua grafik: x + 5y = 440 x + y = 200 - 4y = 240 y = 60


x + y = 200 x = 200 – y = 200 – 60 = 140 titik A = (140, 60) Buat tabel :

(0,88) (200,0) (140,60) 1000x + 2000y 176.000 200.000 260.000

Didapat nilai maksimumnya adalah Rp.260.000 Jawabannya adalah C

17. soal-soal program linear

Documents