kartika afriyeni 50 soal program linear

TUGAS 50 SOAL PROGRAM LINIER SMA

DISUSUN OLEH:

KARTIKA AFRIYENI1205135845PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN PENDIDIKANUNIVERSITAS RIAU2013

1. Sebuah butik memiliki bahan 4meter kain satin dan 5meter kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2meter kain satin dan 1meter prada. Sedangkan baju pesta II memerlukan 1 meter kain satin dan 2meter kain prada. Harga jual baju pesta I sebesar Rp.400.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp.300.000,00. Berapa banyak baju pesta yang akan dibuat agar diperoleh harga jual yang setinggi-tingginya.

Tabel bahan baju pesta:

Baju IBaju IIMaksimal

Satin (m)214

Prada (m)125

Harga (Rp)500.000400.000

Model matematika:Fungsi diketahui :

Fungsi tujuan : =

Ditanya:Jumlah kain satin yang diperlukan = meterJumlah kain prada yang diperlukan = meter

Penyelesaian :

1) Titik potong sb

Titik potong sb y

(0,4)

2)

Titik potong sb

Titik potong sb

Titik potong garis dan

Uji Titik PojokF(x,y) = 400.000 x + 300.000 y

(0 , 2,5 )Rp 750.000

(2,0)Rp. 800.000

(1,2)Rp. 1.000.000

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan menjual Baju jenis I sebanyak 1 pasang dan Baju jenis II sebanyak 2 pasang.

1. Suatu rombongan wisatawan di Pulau Bali terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar A untuk 2 orang dan B untuk 3 orang. Romboongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp80.000,00 dan untuk 3 orang adalah Rp100.000,00. Rombongan itu ingin mengeluarkan uang sewa yang seminimal mungkin. Tentukan model matematikanya !

Kamar AKamar BMaksimal

Kapasitas (org)23240

Harga (Rp)80.000100.000Z

Misalkan banyaknya Kamar A: x Banyaknya Kamar B: yModel Matematika

Fungsi tujuan mengeluarkan uang sewa kamar minimum adalah :(minimum)Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong Titik potong x y = 0 2x = 240 x = 120 (120,0) Titik potong y x = 0 3y = 240 y = 20 (0,80)

2. Koordinat titik potong x + y = 100 Titik potong x y = 0 x = 100(100,0)Titik potong y x = 0 y = 100 (0,100)

Titik potong garis 2x + 3y = 240 dan x + y = 1002x + 3y = 240 1 2x + 3y = 240 x + y = 100 3 3x + 3y = 300 -x = -60 x = 60(60) + y = 100 y = 40 titik potong (60,40)

Uji titik pojok Z = 1. 1. 1.

Jadi biaya penyewaan minimum tapi dapat menampung untuk semua rombongan yaitu Rp.8.800.000,00 dengan menyewa Kamar A sbanyak 60 kamar dan Kamar B sebanyak 40 kamar.

1. Sebuah industri ban sepeda mengahasilkan dua macam ban yang bertipe x dan y dengan ukuran ban yang sama. Dalam industri itu terdapat tiga macam mesin pembuat ban. Adapun waktu dalam menit yang digunakan untuk membuat sebuah ban oleh masing-masing mesin seperti tabel di bawah.

TipeBanHasil Tiap MenitMesin

123

X440

Y81215

Jika setiap mesin dapat bekerja maksimum 6 jam sehari dan keuntungan yang diperoleh tiap ban yang bertipe x adalah Rp4.000,00 dan tiap ban bertipe y adalah Rp6.000,00. Berapa banyak ban yang harus dibuat untuk tiap tipe ban sehari, jika mengharapkan keuntungan yang maksimum?

Model Matematika : 1. 4x + 8y 360 x + 2y 90 2. 4x + 12y 360 x + 3y 90 3. 15y 360 4. x 0 5. y 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungn maksimum :Z = 4.000x + 6.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 4x + 8y 360 x + 2y = 90Titik potong x y = 0 x = 90 (90,0)Titik potong y x = 0 2y = 90 y = 45(0,45) 2. Koordinat titik potong 4x +12y 360 x + 3y = 90Titik potong x y = 0 x = 90 (90,0)Titik potong y x = 0 3y = 90 y = 30(0,30)

3. Garis 15y 360 y = 24

Titik potong garis x + 3y = 90 dan y = 24x + 3 (24) = 90 x = 90 72 x = 18

HP titik potong (18,24)Uji titik pojok Z= 4.000x + 6.000 y1. (0,24 )Rp. 144.000,001. (18,24)Rp. 216.000,001. (90,0)Rp. 540.000,00

Jadi keuntungan maksimum yang di peroleh perusahaan adalah Rp. 540.000,00 dengan memproduksi tipe ban x sebanyak 90 buah tanpa tipe y.

1. Di atas tanah seluas 40.000m2 akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe C dan tipe D. Tiap unit tipe C luasnya 200m2 dan tipe D luasnya 100m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 250 unit. Harga jual tipe C Rp 80.000.000,00 per unit dan tipe D Rp60.000.000,00 per unit. Berapa harga jual maksimum seluruh rumah yang dibang un? Buatlah model matematikanya !

Tipe CTipe DMaksimal

Luas (m2)20010040.000

Harga Jual (Rp)80.000.00060.000.000Z

Misalkan Rumah Tipe C: x Rumah Tipe D: y

Model Matematika : 1. 200x + 100y 40000 2x + y 400 2. x + y 250 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh harga jual maksimum :Z = 80.000.000x + 60.000.000y (maksimum)

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y 400 2x + y = 400Titik potong x y = 0 2x = 400 x = 200 (200,0)Titik potong y x = 0 y = 400 (0,400)2. Koordinat titik potong x+ y 250 x + y = 250Titik potong x y = 0 x = 250(250,0)Titik potong y x = 0 y = 250 (0,250)

Titik potong garis 2x + y = 400 dan x + y = 2502x + y = 400 x + y = 250 x = 150(150) + y = 250 y = 100 titik potong (150,100)

Uji titik pojok Z = 80.000.000 x + 60.000.000 y1. (0,250)Rp.15.000.000.000,001. (150,100)Rp.18.000.000.000,001. (200,00)Rp.16.000.000.000,00

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh adalah Rp. 18.000.000.000,00Dengan menjual Rumah Tipe C sebanyak 150 Unit dan Rumah Tipe D sebanyak 100 Unit.

1. Sebuah perusahaan furnitur akan membuat dua jenis meja makan, yaitu meja makan bundar dan meja makan oval. Meja makan bundar memerlukan bahan seharga Rp60.000,00 dan waktu pembuatan 1 hari, sedangkan meja makan oval memerlukan bahan seharga Rp80.000,00 dan waktu pembuatan 3 hari. Modal yang tersedia adalah Rp1.200.000,00 dan waktu yang tersedia hanya 30 hari. Jika harga sebuah meja bundar adalah Rp300.000,00 dan harga sebuah meja oval Rp400.000,00. Berapa banyaknya masing-masing jenis meja yang harus dibuat agar memperoleh hasil penjualan maksimal ?

Meja BundarMeja OvalMaksimal

Bahan (Rp)60.00080.0001.200.000

Hari1330

Harga jual (Rp)300.000400.000Z

Misalkan banyaknya Meja Bundar: x Banyaknya Meja Oval: y

Model Matematika : 1. 60.000x + 80.000y 1.200.000 3x + 4y 60 2. x + 3y 30 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil penjualan maksimum Z = 300.000x + 400.000y (maksimal)

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + 4y = 60Titik potong x y = 0 3x = 60 x = 20(20,0)Titik potong y x = 0 4y = 60 y = 15(0,15)

2. Koordinat titik potong x + 3y = 30Titik potong x y = 0 x = 30(30,0)Titik potong y x = 0 3y = 30 y = 10(0,10)

Titik potong garis 3x + 4y = 60 dan x + 3y = 303x + 4y = 60 1 3x + 4y = 60 x + 3y = 30 3 3x + 9y = 90-5y = -30 y = 6

x + 3(6) = 30 x = 30 - 18 x = 12 titik potong (12,6)

Uji titik pojok Z = 300.000 x + 400.000 y1. (20,0)Rp. 6.000.000,001. (0,10)Rp. 4.000.000,001. (12,6)Rp. 6.000.000,00Jadi hasil penjualan maksimum adalah Rp. 6.000.000,00 dengan menjual Meja bundar sebanyak 12 buah dan meja oval sebanyak 6 buah atau hanya membuat meja bundar sebanyak 20 buah.1. Sebuah pabrik akan mengirim barang-barang produksinya dengan menggunakan 18 kotak A berukuran sedang dan 24 kotak B yang berukuran besar. Pengusaha pabrik itu menyewa kendaraan truk yang dapat memuat 3 kotak A dan 12 kotak B serta kendaraan pick-up yang dapat memuat 9 kotak A dan 6 kotak B untuk mengangkut barang-barangnya kepada para langganan. Ongkos angkutan sekali jalan untuk truk Rp90.000,00 dan pick-up Rp60.000,00. Berapa banyak truk dan pick-up yang harus disewa agar biayanya sedikit mungkin ?

TruckPick upMaksimal

Kotak A (buah)3918

Kotak B (buah)12624

Harga sewa (Rp)90.00060.000Z

Misalkan Truk yang akan disewa: x Pick up yang akan disewa : y

Model Matematika : 1. 3x + 9y 18 x + 3y 6 2. 12x + 6y 24 2x + y 4 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan mengeluarkan biaya yang minimum :Z = 90.000x + 60.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 3y = 6Titik potong x y = 0 x = 6(6,0)Titik potong y x = 0 3y = 6 y = 2(0,2)

2. Koordinat titik potong 2x + y = 4Titik potong x y = 0 2x = 4 x = 2(2,0)Titik potong y x = 0 y = 4(0,4)Titik potong garis x + 3y = 6 dan 2x + y = 4 x + 3y = 6 2 2x + 6y = 12 2 x + y = 4 1 2x + 1y = 4 5y = 8 y = 8/5

2x + (8/5) = 4 2x = 4 8/5x = 6/5 titik potong (6/5,8/5)

Uji coba titik pojok Z = 90.000 x + 60.000 y1. (0,4)Rp. 240.000,001. (6,0)Rp. 540.000,001. ( 6/5 , 8/5 )Rp. 204.000,00

Jadi biaya sewa minimum adalah Rp. 240.000,00 dengan menyewa 4 unit Pick Up , meskipun ada biaya yang lebih murah yaitu Rp. 204.000,00 tapi tidak memungkinkan untuk menyewa truk sebanyak 6/5 dan pick up 8/5 unit.

1. Suatu pabrik mengahasilkan barang dengan dua model. Model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B satu jam. Model II dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 3 jam. Waktu kerja untuk mesin A dan B berturut-turut 10 jam per hari dan 15 jam per hari. Keuntungan penjualan model I sebesar Rp10.000,00 per unit barang dan model II Rp15.000,00 per unit barang. Berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pabrik ?

Mesin A (jam)Mesin B (jam)Keuntungan (Rp)

Model I 2110.000

Model II1315.000

Maksimal1015K

MisalkanModel I: xModel II: y

Model Matematika : 1. 2x + y 10 2. x + 3y 15 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 10.000x + 15.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 10 Titik potong x y = 0 2x = 10 x = 5(5,0) Titik potong y x = 0 y = 10(0,10)

2. Koordinat titik potong x + 3y = 15 Titik potong x y = 0 x = 15(15,0) Titik potong y x = 0 3y = 15 y = 5(0,5)

Titik potong garis 2x + y = 10 dan x + 3y = 15 x + 3y = 15 2 2x + 6y = 30 2 x + y = 10 1 2x + y = 10 5y = 20 y = 4

2x + (4) = 10 2x = 10 - 4 x = 3 titik potong (3,4)

Uji titik pojok Z = 10.000 x + 15.000 y1. (0,5)Rp. 75.000,001. (5,0)Rp. 50.000,001. (3,4)Rp. 90.000,00

Jadi keuntungan maksimum pabrik yang dapat di peroleh sebesar Rp. 90.000,00 dengan menjual Model I sebanyak 3 buah dan Model II sebanyak 4 buah.

1. Suatu industri obat mengahasilkan dua jenis obat, yaitu A dan B. Setiap obat terdiri dari dua bahan baku. Kedua bahan baku itu untuk A dengan perbandingan 5 : 3 dan untuk B dengan perbandingan 1 : 2. Keuntungan untuk A adalah Rp900,00 tiap gram dan untuk Badalah Rp600,00 tiap gram. Persediaan dua bahan baku itu hanya ada 25 gram dan 36 gram. Carilah banyaknya masing-masing obat yang harus dibuat, agar mendapat keuntungan yang sebesar-besarnya! Carilah besar keuntungan tersebut!

Obat AObat BMaksimal

Bahan I (gr)5125

Bahan II (gr)3236

Keuntungan (Rp)900600Z

Misalkanbanyaknya Obat A: xBanyaknya Obat B: y

Model Matematika : 1. 5x + y 25 2. 3x + 2y 36 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 900x + 600y


2. Koordinat titik potong 3x + 2y = 36 Titik potong x y = 0 3x = 36 x = 12(12,0) Titik potong y x = 0 2y = 36 y = 18(0,18)

Titik potong garis 5x + y = 25 dan 3x + 2y = 36 5x + y = 25 2 10x + 2y = 50 3x + 2y = 36 1 3x + 2y = 36 7x = 14 x = 2

HP3(2) + 2y = 36 2y = 36 - 6 y = 15 titik potong (2,15)

Uji titik pojokZ = 900 x + 600 y1. (0,18)Rp. 10.800,001. (5,0)Rp. 4.500,001. (2,15)Rp. 10.800,00

Jadi keuntungan maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 10.800,00 dengan menjual Obat A sebanyak 2 buah dan Obat B sebanyak 15 buah atau hanya memproduksi Obat B sebanyak 18 buah.

1. Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk untuk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, untuk kelas ekonomi 20 kg. Pesawat itu dapat membawa bagasi 1.440 kg. Bila tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp400.000,00 dan untuk jelas ekonomi Rp250.000,00, berapa banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperoleh laba maksimum ?

Kelas UtamaKelas EkonomiMaksimal

Bagasi (Kg)60201.440

Harga (Rp)400.000250.000Z

Misalkanbanyaknya tiket Kelas Utama: xBanyaknya tiket Kelas Ekonomi : y

Model Matematika : 1. 60x + 20y 1.440 3x + y = 72 2. x + y 48 3. x 0 4. y 0Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum : Z = 400.000x + 250.000y


2. Koordinat titik potong x + y = 48 Titik potong x y = 0 x = 48(48,0) Titik potong y x = 0 y = 48(0,48)

Titik potong garis 3x + y = 72 dan x + y = 48 x + y = 48 3x + y = 72 - 2x = -24 x = 12

12 + y = 48 y = 48 - 12 y = 36 titik potong (12,36)

Uji titik pojok Z = 400.000 x + 250.000 y1. (0,48)Rp. 12.000.000,001. (24,0)Rp. 9.600.000,001. (12,36)Rp. 13.800.000,00

Jadi keuntungan maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 13.800.000,00 dengan menjual Tiket kelas Utama sebanyak 12 buah dan Tiket kelas Ekonomi sebanyak 36 buah.

1. Seorang pedagang mempunyai persediaan kopi Brasil 18 kg dan kopi Lampung 12 kg. Kedua jenis kopi tersebut akan dicampur dan dibuat kemasan. Kemasan kopi enak memerlukan 2 kg kopi Brasil dan 2 kg kopi Lampung, sedangkan kemasan kopi sedap memerlukan 3 kg kopi Brasil dan 1 kg kopi Lampung. Harga 1 kemasan kopi enak Rp60.000,00 dan kopi sedap Rp40.000,00. Berapa banyak masing-masing jenis kemasan harus dibuat agar mendapatkan hasil penjualan yang sebanyak-banyaknya ?

Kopi EnakKopi SedapMaksimal

Kopi Brasil (Kg)2318

Kopi lampung (Kg)2112

Harga (Rp)60.00040.000Z

MisalkanKopi Enak: xKopi Sedap : y

Model Matematika : 1. 2x + 3y 18 2. 2x + y 12 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 60.000x + 40.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + 3y = 18 Titik potong x y = 0 2x = 18 x = 9(9,0) Titik potong y x = 0 3y = 18 y = 6(0,6)

2. Koordinat titik potong 2x + y = 12 Titik potong x y = 0 2x = 12 x = 6(6,0) Titik potong y x = 0 y = 12(0,12)

Titik potong garis 2x + 3y = 18 dan 2x + y = 12 2x + 3y = 18 2x + y = 12 2y = 6 y = 3

2x + (3) = 12 2x = 12 - 3 x = 4,5 titik potong (4,5 , 3 )

Uji titik pojokZ = 60.000 x + 40.000 y1. (0,6)Rp. 240.000,001. (6,0)Rp. 360.000,001. (4,5 , 3)Rp. 390.000,00Jadi keuntungan maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 390.000,00 dengan menjual Kopi Enak sebanyak 4,5 bungkus dan Kopi Sedap sebanyak 3 bungkus.

1. Seorang pengusaha akan mendirikan beberapa rumah untuk disewakan yang terdiri dari dua tipe, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap rumah tipe A menggunakan tanah seluas 100m2, sedangkan tipe B 200m2. Rumah tipe A bertingkat dan biaya pembangunan tiap rumah adalah Rp30.000.000,00. Rumah tipe B tidak bertingkat dengan biaya pembangunan tiap rumah adalah Rp20.000.000,00. Tanah yang disediakan untuk pembangunan rumah-rumah tersebut adalah 2.000m2 dan biaya yang disediakan adalah Rp360.000.000,00. Tarif sewa rumah itu akan dibuat sama yaitu Rp150.000,00 tiap rumah per bulan. Apabila kita anggap semua rumah laku disewakan, berapa sebaiknya rumah tipe A dan tipe B masing-masing harus dibangun supaya uang sewa yang didapat sebanyak-banyaknya ?

Tipe ATipe BMaksimal

Luas Tanah (m2)1002002000

Biaya (Rp)30.000.00020.000.000360.000.000

Tarif sewa (Rp)150.000150.000Z

Misalkanbanyaknya Tipe A: xBanyaknya Tipe B: y

Model Matematika : 1. 100x + 200y 2000 x + 2y 20 2. 30.000.000x + 20.000.000y 360.000.000 3x + 2y 36 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh sewa maksimum : Z = 150.000x + 150.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 2y = 20 Titik potong x y = 0 x = 20(20,0) Titik potong y x = 0 2y = 20(0,10)

2. Koordinat titik potong 3x + 2y = 36 Titik potong x y = 0 3x = 36 x = 12(12,0) Titik potong y x = 0 2y = 36 y = 18(0,18)

Titik potong garis x + 2y = 20 dan 3x + 2y = 36 x + 2y = 20 3x + 2y = 36 -2x = -16 x = 8

8+ 2y = 20 2y = 20 - 8 y = 6 titik potong (8,3)

Uji titik pojok Z = 150.000 x + 150.000 y1. (0,10)Rp. 1.500.000,001. (12,0)Rp. 1.800.000,001. (8,6)Rp. 2.100.000,00

Jadi keuntungan sewa maksimum sebesar Rp. 2.100.000,00 dengan menyewakan Tipe A sebanyak 8 rumah dan Tipe B sebanyak 3 rumah.

1. Pada acara bazar seseorang akan berjualan tempat pensil dan tempat topi. Modal yang tersedia Rp600.000,00. Harga pembelian tempat pensil Rp2.000,00 per buah dan tempat topi Rp4.000,00 per buah. Karena katerbatasan tempat, barang yang dijual tidak boleh melebihi 200 buah. Apabila tempat pensil dan tempat topi memberikan keuntungan berturut-turut sebesar Rp300,00 dan Rp500,00 per buah, berapa besar keuntungan maksimum yang diperoleh ?

Tempat PensilTempat TopiMaksimal

Modal (Rp)20004000600.000

Keuntungan (Rp)300500Z

Misalkan banyaknyaTempat pensil: x Banyaknya Tempat topi: y

Model Matematika : 1. 2000x + 4000y 600.000 x + 2y 300 2. x + y 200 3. x 0 4. y 0Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 300x + 500y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 2y = 300 Titik potong x y = 0 x = 300(300,0) Titik potong y x = 0 2y = 300 y = 150(0,150)

2. Koordinat titik potong x + y = 200 Titik potong x y = 0 x = 200(200,0) Titik potong y x = 0 y = 200(0,200)

Titik potong garis x + 2y = 300 dan x + y = 200 x + 2y = 300 x + y = 200 y = 100

x+ (100) = 200 x = 100 titik potong (100,100 )

Uji titik pojok Z = 300x + 500y1. (0,150)Rp. 75.000,001. (200,0)Rp. 60.000,001. (100,100)Rp. 80.000,00

Jadi keuntungan penjualan maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 80.000,00 dengan menjual Tempat pensil sebanyak 100 buah dan Tempat topi sebanyak 100 buah.

1. Seorang pedagang membeli dua jenis barang kotak A dan kotak B. Harga pembelian barang kotak Rp.25.000,per kotak dan kotak B Rp. 12.500 per kotak. Jika pembelian tidak lebih dari 500 kotak dan modal pedagang hanya Rp. 10.000.000,00 maka tentukan model matematikanya untuk permasalahan ini. Serta keuntungan maksimum jika setiap kotak memiliki untung A Rp.2.500 dan B Rp. 1.200.

Kotak AKotak BMaksimal

Modal (Rp)25.00012.50010.000.000

Laba (Rp)2.5001.200Z

Misalkan banyaknya Kotak A: x Banyaknya Kotak B : y

Model Matematika : 1. 25.000x + 12.500y 10.000.000 2x + y 800 2. x + y 500 3. x 0 4. y 0Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = 2.500x + 1.200 yPenyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 800 Titik potong x y = 0 2x = 800 x = 400(400,0) Titik potong y x = 0 y = 800(0,800)

2. Koordinat titik potong x + y = 500 Titik potong x y = 0 x = 500(500,0) Titik potong y x = 0 y = 500(0,500)Titik potong garis 2x + y = 800 dan x + y = 500 2x + y = 800 x + y = 500 x = 300

300+ y = 500 y = 200 titik potong (300,200)

Uji titik pojokZ = 2.500 x + 1.200 y

(0,500)Rp. 600.000,00

(300,200)Rp. 990.000,00

(400,0)Rp. 1.000 .000

Jadi laba maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan menjual Kotak A sebanyak 300 kotak dan Kotak B sebanyak 200 kotak.

1. Luas sebuah tempat parkir 360m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6m2 dan untuk sebuah bis 24m2. Tempat parkir tersebut tidak bisa memuat lebih dari 30 kendaraan. Jika banyaknya mobil = x dan banyaknya bis = y , tulislah sistem pertidaksamaan dalam x dan y dari keterangan tersebut.

Mobil Bis Maksimal

Luas (m2)624360

Misalkan banyaknya Mobil: x Banyak Bis: yModel Matematika : 1.6x + 24y 360 x + 4y 60 2. x + y 30 3. x 0 4. y 0Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = x + y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 4y = 60 Titik potong x y = 0 x = 60(60,0) Titik potong y x = 0 4y = 60 y = 15(0,15)

2. Koordinat titik potong x + y = 30 Titik potong x y = 0 x = 30(30,0 ) Titik potong y x = 0 y = 30(0,30)

Titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 x + 4y = 60 x + y = 30 3y = 30 y = 10

x + 10 = 30 x = 20 titik potong (20,10)

Uji titik pojokZ = x + y1. (0,15)151. (20,10)301. (30,0)30

Jadi banyak mobil dan bis maksimum yang dapat parkir sebanyak 30 buah dengan alternatif semuanya mobil atau 20 mobil dan 10 bis .

1. Sebuah butik memiliki bahan 4meter kain satin dan 5meter kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2meter kain satin dan 1meter prada. Sedangkan baju pesta II memerlukan 1 meter kain satin dan 2meter kain prada. Harga jual baju pesta I sebesar Rp.500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp.400.000,00. Berapa banyak baju pesta yang akan dibuat agar diperoleh harga jual yang setinggi-tingginya.

Baju IBaju IIMaksimal

Satin (m)214

Prada (m)125

Harga (Rp)500.000400.000Z

Misalkan banyaknya Baju I: x Banyak Baju II: yModel Matematika : 1. 2x + y 4 2. x + 2y 5 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = 500.000 x + 400.000 y


2. Koordinat titik potong x + 2y = 5 Titik potong x y = 0 x = 5(5,0) Titik potong y x = 0 2y = 5 y = 2,5(0, 2,5)Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + 2y = 5 2x + y = 4 2 4x + 2y = 8 x + 2y = 5 1 x + 2y = 5 3x = 3 x = 1

2(1) + y = 4 y = 2 titik potong (1,2)

Uji titik pojokZ = 500.000 x + 400.000 y1. (0 , 2,5 )Rp. 600.000,001. (2,0)Rp.1.000.000,001. (1,2)Rp. 1.300.000,00

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.300.000,00 dengan menjual Baju jenis I sebanyak 1 pasang dan Baju jenis II sebanyak 2 pasang.

1. Seorang tukang kayu dan seorang tukang cat bekerja bersama-sama untuk menghasilkan dua jenis perabot rumah. Tukang kayu dan tukang cat masing-masing membutuhkan waktu 3 jam dan 1 jam untuk membuat sebuah A serta 1 jam dan 2 jam untuk membuat perabot B. Tukang kayu bekerja selama 12 jam sehari, sedangkan tukang cat bekerja 14 jam sehari. Jika keuntungan bagi sebuah perabot jenis A dan sebuah perabot jenis B masing-masing ialah Rp300.000,00 dan Rp200.000,00, berapa banyaknya tiap perabot itu harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum? Berapakah keuntungan maksimumnya?

Perabot APerabot BMaksimal

Tukang Kayu (jam)3112

Tukang Cat (jam)1214

Harga (Rp)300.000200.000Z

Misalkan banyaknya Perabot A: x Banyak Perabot B: yModel Matematika : 1. 3x + y 12 2. x + 2y 14 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = 300.000 x + 200.000 y


2. Koordinat titik potong x + 2y = 14 Titik potong x y = 0 x = 14(14,0) Titik potong y x = 0 2y = 14 y = 7(0,7)Titik potong garis 3x + y = 12 dan x + 2y = 14 3x + y = 12 2 6x + 2y = 24 x + 2y = 14 1 x + 2y = 14 5x = 10 x = 2

3(2) + y = 12 y = 6 titik potong (2,6)

Uji titik pojokZ = 300.000 x + 200.000 y1. (0,7)Rp. 1.400.000,001. (4,0)Rp.1.200.000,001. (2,6)Rp. 1.800.000,00

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.800.000,00 dengan menjual hasil produksi Perabot A sebanyak 2 buah dan Perabot B sebanyak 6 buah.1. Dengan modal Rp450.000, pak Jeri membeli pepaya seharga Rp1.000,00 dan jeruk seharga Rp3.500,00 per kilogram. Buah-buahan ini dijualnya kembali dengan menggunakan gerobak yang dapat memuat maksimum 300kg. Jika keuntungan dari penjualan pepaya Rp500,00 per kilogram dan dari penjualan jeruk Rp1.000,00 per kilogram, tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh pak Jeri!

Penyelesaian:

HargaBanyaknya buahKeuntungan

Pepaya1.000x500

Jeruk3.500y1.000

Jumlah450.000300

Dari tabel tersebut misalkan:Banyaknya pepaya adalah x kg dan banyaknya jeruk y kg.Dapat kita buat model matematikanya sebagai berikut:x + y 300 1.000x + 3.500 y 450.000 2x + 7y 900

Fungsi tujuan atau bentuk maksimumnya yaitu 500x + 1.000yFungsi batasannya yaitu:x + y 300 2x + 7y 900x 0, y 0x, y C

HPdapat kita buat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:dari grafik diatas, didapatkan titik-titik pojoknya yaitu titik A (300, 0), titik B dan titik C (0, 128,6)titik B adalah titik perpotongan antara garis x + y 300 dan garis 2x + 7y 900dari x + y 300, didapat x = 300 y subsitusikan nilai x kepersamaan 2x + 7y 9002x + 7y 9002(300 y) + 7y 900600 2y + 7y 9005y = 300y = 60subsitusikan nilai y = 60 ke persamaan x = 300 yx = 300 yx = 300 60x = 240jadi titik potong B (240,60)

kemudian dilakukan pengujian titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 500x + 1.000y

A (300, 0)150.000

B (240,60)180.000

C (0, 128,6)128.600

Jadi, keuntungan maksimum yang didperoleh pak Jeri yaitu pada saat penjualan pepaya sebanyak 240 kg dan jeruk sebanyak 60 kg sehingga memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp180.000,00

1. Jika x 0, y 0, 2x + y 6, dan x + 2y 6, maka fungsi Q = x + y mempunyai nilai maksimum . . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya:2x + y 6x + 2y 6x 0y 0

fungsi objektifnya yaitu Q = x + y

himpunan penyelesaianny dapat ditentukan dari grafik berikut

HP

berdasarkan grafik, himpunan penyelesaiannya terletak pada bagian yang tidak terkena arsiran(bagian bersih)

didapatkan titik pojoknya yaitu titik A (3,0), titik B dan titik C (0,3)dengan titik B sebagai titik potong antara garis 2x + y = 6 dengan garis x + 2y = 6dari x + 2y = 6 didapat x = 6 2ysubsitusikan nilai x kepersamaan 2x + y = 62x + y = 62 (6 2y) + y = 612 4y + y = 63y = 6y = 2

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 6 2yx = 6 2yx = 6 2 2x = 2

jadi titik potong B (2,2)

uji titik pojokTitik pojok (x,y)Q = x + y

A (3,0)3

B (2,2)4

C (0,3)3

Jadi, fungsi Q = x + y mempunyai nilai maksimum yaitu 4

1. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 50x + 45y yang memenuhi system pertidaksamaan x + y 18, 15x + 12y 120, x 0, y 0, x,y R!

Penyelesaian:

Dari permasalaan diatas, dapat kita buat model matematikanya sebagai berikut:x + y 1815x + 12y 120x 0, y 0, x,yRfungsi tujuan atau bentuk maksimumnya adalah 50x + 45yhimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan diatas dapat dilihat pada grafik

HPdaerah mpunan penyelesaiannya adalah bagian yang tidak terkena arsir.Dengan titik pojoknya yaitu titik A (8,0) dan titik B (0,10)Kemudian dilakukan uj titik pojok sebagai berikut:Titik pojok (x,y)f(x,y) = 50x + 45y

A (8,0)400

B (0,10)450

Jadi, nilai maksimum dari f(x,y) = 50x + 45y adalah 450.

1. Pak Badu hendak mengangkat 60 ton barang dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan itu, ia menyewa dua jenis truk yaitu jenis I dengan kapasitas 3 ton dan jenis II dengan kapasitas 2 ton. Sewa tiap truk jenis I adalah Rp5.000,00 sekali jalan dan sewa tiap truk jenis II adalah Rp4.000,00 sekali jalan. Dengan cara demikian ia harus menyewa truk sekurang-kurangnya 24 buah.1. Berapakah banyaknya jenis truk I dan jenis truk II yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan serendah-rendahnya?1. Tentukanlah biaya minimum yang akan dikeluarkan oleh Pak Badu!

Penyelesaian:

Misalkan: jenis truk I = xJenis truk II= yJenis trukBanyakKapasitasBiaya sewa

Truk Ix3 tonRp5.000,00

Truk IIy2 tonRp4.000,00

Jumlah2460 ton

Model matematikanya:Syarat: x + y 243x + 2y 60x 0, y 0

fungsi objektifnya: f(x,y) = 5.000x + 4.000y

himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan grafik berikut..

HPdari grafik tersebut didapatkan titik pojok A (0,24), titik C(0,39) dan titik B sebagai titik potong antara garis x + y 24 dengan garis 3x + 2y 60

dari x + y 24 di dapat x = 24 ysubsitusi nilai x kepersamaan 3x + 2y 603x + 2y 603 (24 y) + 2y 6072 3y + 2y 60y = 12subsitusi nilai y kepersamaan x = 24 yx = 24 yx = 24 12x = 12jadi kordinat titik B (12,12)nilai fungsi objektif f(x,y) = 5.000x + 4.000y untuk tiap titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 5.000x + 4.000y

A (0,24)96.000

B (12,12)108.000

C(0,39)120.000

1. Jadi, banyaknya jenis truk yang mengakibatkan biaya sewa minimal terjadi di titik A. Oleh karena itu, Pak Badu harus menyewa jenis II saja 24 buah dan tidak perlu menyewa truk jenis I.1. Biaya sewa minimal yang harus dikeluarkan Pak Badu adalah Rp96.000,00

1. Barang jenis A seharga Rp20.000,00 diperlukan 20 kg bahan baku dan 2 jam waktu kerja mesin. Barang jenis B seharga Rp30.000,00 diperlukan 30 kg bahan baku dan 1 jam waktu kerja mesin. Bahan baku yang tersedia adalah 270 kg dan 17 jam waktu kerja mesin. Hasil penjualan maksimum adalah........

Jawab:

Jenis barangHargaBahan yang diperlukanWaktu kerja

ARp20.000,0020 kg2 jam

BRp30.000,0030 kg1 jam

Jumlah270 kg17 jam

Misalkan: banyaknya barang A = x Banyaknya barang B = yModel matematikanya:Syarat: 20x + 30y 270 2x + 3y 272x + y 17x 0y 0fungsi objektif: f(x,y) = 20.000x + 30.000yhimpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dari grafik berikut

HP

berdasarkan grafik, didapatkan titik pojoknya yaitu titik A , titik B dan titik C (0,9)titik B adalah titik perpotongan garis 2x + 3y = 27 dengan garis 2x + y 17dari 2x + y 17 di dapatkan y = 17 2xsubsitusikan nilai y kepersamaan 2x + 3y = 272x + 3y = 272x + 3 (17 2x) = 272x + 51 6x = 274x = 24x = 6subsitusikan nilai x = 6 kepersamaan y = 17 2xy = 17 2xy = 17 2 6y = 5jadi, koordinat titik B (6,5)nilai fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 30.000y untuk setiap titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 20.000x + 30.000y

A 170.000

B (6,5)270.000

C (0,9)270.000

Jadi, hasil penjualan maksimumnya yaitu sebesar Rp270.000,00

1. Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp 1.600.000,00 dan 360 lembar papan kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah 20 lembar papan dan 81 lembar papan. Ongkos yang dikeluarkan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah Rp 80.000,00 dan Rp 40.000,00. Keuntungan bersih untuk setisp lemari dan meja yang terjual adalah Rp 17.500,00 dan Rp 8.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut, dan hitunglah keuntungan terbesar yang diperoleh.

Jawab:Dari masalah diatas dapat dirangkum dalam tabel sebagai berikut:LemariMejaPersediaan

BiayaRp 80.000,00Rp 40.000,00Rp 1.600.000,00

Bahan208360

KeuntunganRp 17.500,00Rp 8.000,00

Misalkan : Jumlah lemari yang diproduksi = x buah Maka harus dipenuhi pertidaksamaan: 80.000x + 40.000y 1.600.000 2x + y 40 20x + 8y 360 5x + 2y 90Dengan demikian x dan y memenuhi persamaan x 0, y 0.Jadi, model matematika untuk persoalan diatas adalah 2x + y 405x + 2y 90fungsi batasannyax 0y 0fungsi tujuan : Z = 17.500x + 8.000y maks

langkah penyelesaian: 2x + y 40Titik potong sumbu x jika y = 0 2x + y = 402x + 0 = 402x = 40x = 20 , jadi titik koordinatnya (20,0)Titik potong sumbu y jika x = 0 2x + y = 402 0 + y = 40y = 40 , jadi titik koordinatnya (0,40)

5x + 2y 90Titik potong sumbu x jika y = 0 5x + 2y = 905+ 2 0 = 905x = 90x = 18 , jadi titik koordinatnya (18,0)titik potong sumbu y jika x = 0 5x + 2y = 905 0 + 2y = 902y = 90y = 45 , jadi titik koordinatnya (0,45)

grafik

HP

dari grafik tersebut didapatkan daerah himpunan penyelesaiaannya yaitu bagian yang tidak terkena arsiran.Koordinat titik potongnya Dan diperoleh titik-titik pojoknya adalah : titik A(18,0), B(10,20), dan C(0,40). Titik B adalah titik potong antar garis 5x + 2y = 90 dengan 2x + y = 40.Nilai fungsi tujuannya 17.500x + 8.000yselanjutnya dilakukan uji titik pojok:Titik pojok Z = 17.500x + 8.000y

A (18,0)315.000

B (10,20)335.000

C (0,40)320.000

Dari tabel, tampak bahwa keuntungan maksimal yang diperolah setiap hari sebesar-besarnya adalah Rp 335.000,00 jika setiap diproduksi lemari sebanyak 10 buah dan meja sebanyak 20 buah.1. Seorang pengusaha mempunyai pabrik sepatu di dua kota, yaitu di Pekanbaru dan Medan. Untuk memenuhi pesanan sebanyak 300 sepatu pria, 180 sepatu wanita dan 240 sepatu anak-anak, maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua pabrik tersebut. pabrik di Pekanbaru setiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita, sepatu anak-anak masing-masing 30, 12, dan 12 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00 tiap hari. Pabrik di Medan tiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita, sepatu anak-anak masing-masing 15, 12, 24 dengan ongkos pekerja Rp 25.000,00 setiap hari. Hitunglah biaya total minimum untuk ongkos pekerja!

Penyelesaian:

Dari masalah diatas dapat dirangkum dalam tabel sebagai berikutJumlah sepatu yang dihasilkan

Pabrik di Pekanbaru Pabrik di MedanJumlah pesanan

Sepatu pria3015300

Sepatu wanita1212180

Sepatu anak-anak1224240

Ongkos pekerjaRp 30.000,00 Rp 25.000,00

Pemisalan:Misalkan jumlah hari yang digunakan untuk menyelesaikan pesanan tersebut untuk pabrik Pekanbaru = x hari dan di Medan = y hari.Maka dipenuhi pertidaksamaan berikut:30x + 15 y 300 2x + y 2012x + 12y 180 x + y 1512x + 24y 240 x + 2y 20Sehingga dapat ditentukan fungsi batasannya yaitu:2x + y 20x + y 15x + 2y 20x 0y 0x, y Cdengan fungsi objektif (30.000x +25.000y).selanjutnya dapat kita buat grafik untuk menentukan himpunan penyelesaiannya

HPdaerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak di kenai arsir.maka diperoleh titik-titik pojok yang memenuhi daerah himpunan penyelesaian yaitu titik A (20,0), B (10,5), C (5,10) dan D (0,20).Perhatikan bahwa titik B adalah titik potong antara garis x + 2y 20 dan garis x + y 15. Dan titik C adalah perpotongan antara garis x + y 15 dan garis 2x + y 20.Nilai fungsi objektif atau fungsi tujuan (30.000x +25.000y) untuk tiap koordinat titik pojok diperlihatkan pada tabel pembuktian titik pojok berikut:Titik pojok (x,y)f (x,y) = 30.000x +25.000y

A (20,0)600.000

B (10,5)425.000

C (5,10)400.000

D (0,20)500.000

Dari tabel, tampak bahwa biaya total minimum untuk ongkos pekerja adalah Rp400.000,00 dan tercapai jika pabrik di Pekanbaru menyelesaikan pesanan selama 5 hari dan pabrik di Medan selama 10 hari.1. PT. Angin Ribut memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit perhari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka berapakah banyaknya bann motor dan ban sepeda yang harus diproduksi dan hitunglah keuntunan maksimalnya.

Penyelesaian: Mesin IMesin IIMesin IIIKeuntungan

Ban motor2810Rp40.000,00

Ban sepeda540Rp30.000,00

Jumlah800800800

Pemisalan:Misalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y. Dapat di tentukan fungsi batasannya yaitu:2x + 5y 8008x + 4y 80010x 800x 0y 0x, y Cfungsi tujuannya adalah f(x,y) = 40.000x + 30.000ygrafik

HPperhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar diatas.Titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D. Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi titi O(0,0) Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x. Jadi titik A(80,0) Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis 8x +4 y = 800Subsitusikan x = 80 ke persamaan 8x +4 y = 8008 80 + 4 y = 800y = 40jadi, titik B(80,40)

Titik C adalah titik potong antara garis 8x +4 y = 800 dan 2x + 5y = 800Dari 8x +4 y = 800 di dapat y = 200 2xSubsitusikan nilai y ke persamaan 2x + 5y = 8002x + 5(200 2x) = 8002x + 1000 10x = 800 -8x = -200x = 25subsitusikan x = 25 ke persamaan y = 200 2xy = 200 2 25y = 150jadi titik C(25,150)

Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-ySubsitusikan x = 0 kepersamaan 2x + 5y = 8002 0 + 5y = 8005y = 800y = 160jadi titik D(0,160)selanjutnya uji titik pojok ke fungsi objektif atau fungsi tujuan f(x,y) = 40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimumTitik pojok (x,y)f(x,y) = 40.000x + 30.000y

A(80,0)3.200.000

B(80,40)4.400.000

C(25,150)5.500.000

D(0,160)4.800.000

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25,150) = 5.500.000Jadi, PT Angin Ribut harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp5.500.000,00.1. Tentukanlah nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 10y yang memenuhi x + 2y 10, 3x + y 15, x 0, y 0.

Penyelesaian:

HPGrafikTitik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C. Titik A adalah titik potong garis x + 2y = 10dengan sumbu-xSubsitusikan y = 0 kepersamaan x + 2y = 10x + 2 0 = 10x = 10jadi titik A(10,0) Titik B adalah titik potong garis x + 2y = 10dengan garis 3x + y 15Dari x + 2y = 10diperoleh x = 10 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 3x + y = 153(10 2y) + y = 1530 6y + y = 1530 5 y = 155 y = 15y = 3subsitusikan nilai y = 3 kepersamaan x = 10 2yx = 10 23x = 4jadi, titik B(4,3) Titik C adalah titik potong garis 3x + y = 15 dengan sumbu-ySubsitusikan x = 0 kepersamaan 3x + y = 153 0 + y = 15y = 15jadi titik C(0,15)

Uji titik-titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 2x + 10y

A(10,0)20

B(4,3)38

C(0,15)150

Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 10y adaah f(10,0)=20

1. Nilai maksimum dari x + y 6 yang memenuhi x 0, y 0, 3x + 8y 340, dan 7x + 4y 280 adalah . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya : 3x + 8y 3407x + 4y 280x 0y 0

fungsi objektif : f(x,y) = x + y 6

himpunan penyelesaiannya dapat dilihat dari grafik berikut

HP

berdasarkan grafik tersebut, diperoleh titik pojok nya yaitu titik A (40,0), titik B, dan titik C (0, 42,5).

Titik B adalah titik potong antara garis 3x + 8y 340 dengan garis 7x + 4y 280Dari 3x + 8y 340 di dapat x = Subsitusikan nilai x kepersamaan 7x + 4y 2807x + 4y 2807 + 4y 280 + 4y 280793,3 18,74y + 4y 28014,7 y = 513,3y = 35

subsitusikan nilai y ke persamaan x = x = x = x = x = x = 20

jadi, titik potong B (20,35)

uji titik pojok Titik pojok (x,y)f(x,y) = x + y 6

A (40,0)34

B (20,35)49

C (0, 42,5)48,5

Jadi, nilai maksimum dari x + y 6 adalah 49

1. Nilai maksimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y 20, , x + y 20, x + y 10, x 0, y 0 adalah . . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya yaitu: 4x + y 20x + y 20x + y 10x 0y 0

fungsi objektifnya adalah z = 3x + 6y

dari soal tersebut dapat kita buat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

HPberdasarkan grafik tersebut di peroleh himpunan ppenyelesaiannya yaitu daerah yang tidak terkena arsiran.

Diperoleh titik pojok yaitu titik A (10,0), titik B (20,0), titik C dan titik D ( 0,20).

Titik C adalah titik perpotongan dari garis x + y 10 dan garis 4x + y 20Dari x + y 10 diperoleh x = 10 y Subsitusikan nilai x kepersamaan 4x + y 204x + y 204 (10 y) + y 2040 4y + y = 203y = 20y =

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 10 yx = 10 yx = 10 x =

jadi titik potong C

selanjutnya dilakukan pengujian titik pojokTitik pojokz = 3x + 6y

A (10,0)30

B (20, 0)60

C 50

D (0,20)120

Jadi, nilai maksimum dari z = 3x + 6y adalah 120

1. Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 10.000y yang memenuhix + 2y 103x + y 15x,y 0adalah. . . . . .

jawab:

fungsi batasannya yaitu : x + 2y 103x + y 15x,y 0

fungsi objektif : f(x,y) = 20.000x + 10.000y

dapat kita lihat himpunan penyelesaian dari permasalahan tersebut pada grafik berikut

HPberdasarkan grafik, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut terletak pada bagian yang tidak terkena arsiran.

Diperoleh titik pojoknya yaitu titik A (10,0), titik B dan titik C (0,15)

Titik B adalah titik potong dari garis x + 2y = 10 dan garis 3x + y = 15Dari x + 2y = 10 di dapat x = 10 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 3x + y = 153x + y = 153 (10 2y) + y = 1530 6y + y = 155y = 15y = 3



selanjutnya dilakukan pengujian titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 20.000x + 10.000y

A (10,0)200.000

B (4,3)110.000

C (0,15)150.000

Jadi, nilai nimimun dari f(x,y) = 20.000x + 10.000y adalah 110.000.

1. Untuk (x,y) yang memenuhi 4x + y 4, 2x + 3y 6 dan 4x + 3y 12, nilai minimum untuk f = x + y adalah . . . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya adalah : 4x + y 4 2x + 3y 6 4x + 3y 12 x 0 y 0

fungsi objektifnya yaitu f(x,y) = x + y

himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat dari tabel berikut

HP

berdasarkan tabel, himpunan penyelesaiannya yaitu bagian yang tidak terkena arsiran.

Di dapatkan titik pojoknya yaitu titik A (3,0) , titik B dan titik C (0,4)

Titik B adalah titik potong dari garis 4x + y = 4 dan garis 2x + 3y = 6Dari 4x + y = 4 di dapat y = 4 4xSubsitusikan nilai y kepersamaan 2x + 3y = 62x + 3y = 62x+ 3 (4 4x) = 62x + 12 12x = 610x = 6x = =

subsitusikan nilai x kepersamaan y = 4 4xy = 4 4xy = 4 4 y = 4 - y =

jadi, titik potong B

selanjutnya dilakukan pengujian titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = x + y

A (3,0)3

B

C (0,4)4

Jadi, nilai minimum untuk f(x,y) = x + y adalah

1. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang menggukan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00/kg dan pisang Rp6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg dan pisang Rp7.000,00/kg maka laba maksimum yang diperoleh adalah .........

Penyelesaian:

Misalkan: banyaknya mangga : x kgBanyaknya pisang : y kg

Harga beliKapasitas gerobakHarga jual

ManggaRp8.000,00/kgxRp9.200,00/kg

PisangRp6.000,00/kgyRp7.000,00/kg

ModalRp1.200.000,00180

Dari tabel tersebut,

Model matematikaSyarat : 8.000x + 6.000y 1.200.000 4x + 3y 600x + y 180x 0y 0

fungsi objektifnya yaitu : f(x,y) = 9.200x + 7.000y

selanjutnya himpunan penyelesaian dari permasalahan tersebut dapat dilihat dari grafik berikut

berdasarkan grafik, himpunan penyelesaiannya adalah bagian yang tidak terkena arsir.

Diperoleh titik pojok yaitu titik A (150.0), titik B dan titik C (0,180)

Titik B adalah titik potong antara garis 4x + 3y = 600 dengan garis x + y = 180Dari x + y = 180 di dapat x = 180 ySubsitusikan nilai x kepersamaan 4x + 3y = 6004x + 3y = 6004 (180 y) + 3y = 600720 4y + 3y = 600y = 120

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 180 yx = 180 yx = 180 120x = 60


selanjutnya dilakukan pengujian titik pojok untuk menentukan laba maksimumnyaTitik pojok (x,y)f(x,y) = 9.200x + 7.000y

A (150,0)1.380.000

B (60,120)1.392.000

C (0,180)1.260.000

Jadi, laba maksimumnya yaitu pada saat penjualan mangga sebanyak 60 kg dan pisang sebanyak 120 kg dan laba maksimumnya yaitu Rp1.392.000,00

1. Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak banyaknya 240 orang. Penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi seberat 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi paling banyak 7.200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp200.000,00 dan tiket kelas ekonomi Rp100.000,00. Harapan pengelola kapal memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya. Buatlah model matematikanya .

Tiket UtamaTiket EkonomiMaksimal

Bagasi (Kg)60207.200

Harga Tiket (Rp)200.000100.000z

Misalkan banyaknya Tiket Utama yang akan di jual: x banyaknya Tiket Ekonomi yang akan di jual: y

Model Matematika : 1. 60x + 20y 7.200 3x + y 360 2. x + y 240 3. x 0 4. y 0Fungsi tujuan memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya adalah :Z = 200.000x + 100.000y (maksimal)

Penyelesaian 1. Koordinat titik potong 3x + y 360 3x y = 360Titik potong x y = 0 3x =360 x = 120(120,0)Titik potong y x = 0 y = 360 (0,360)2. Koordinat titik potong x + y 240 x + y = 240Titik potong x y = 0 x = 240(240,0)Titik potong y x = 0 y = 240 (0,240)Titik potong garis 3x + y = 360 dan x + y = 2403x + y = 360 1 3x + y = 360 x + y = 240 3 3x + 3y = 720 -2y = -360 y = 180

x + (180) = 240 x = 60 titik potong (60,180)

Uji titik pojok z = 200.000x + 100.000y 1. (120,0) Rp. 24.000.000,001. (0,240)Rp. 24.000.000,001. (60,80)Rp. 30.000.000,00

Jadi agar penjualan tiket dapat menghasilkan pendapatan yang setinggi-tingginya tapi memenuhi syarat,maka di jual Tiket kelas Utama 60 buah dan Tiket kelas Ekonomi 180 lembar,dengan total penjualan Rp. 30.000.000,00 .

1. Seorang pemborong mendapat borongan dua jenis pagar Pagar jenis I harganya Rp30.000/m Pagar jenis II harganya Rp45.000/mTiap pagar jenis I memerlukan 4m besi pipa dan dan 6m besi beton. Tiap pagar jenis II memerlukan 8m besi pipa dan 4m besi beton. Persediaan yang ada adalah 640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Jika semua pesanan terpenuhi, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum kedua jenis pagar.

Penyelesaian:

Besi pipaBesi betonHarga

Jenis I4630.000

Jenis II8445.000

Persediaan640480

Dari tabel tersebut, misalkan:Pagar jenis I adalah x, dan pagar jenis II adalah yMaka, dapat kita buat model matematikanya yaitu:4x + 8y 640 x + 2y 1606x + 4y 480 3x + 2y 240

Fungsi batasannya yaitu:x + 2y 1603x + 2y 240x 0, y 0x, y Cfungsi tujuannya atau bentuk maksimum yaitu 30.000x + 45.000ydapat kita buat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.

HPDari grafik, di dapatkan titik-titik pojoknya yaitu titik A (80,0), B, C (0,80)Dengan B sebagai titik potong antara garis x + 2y 160 dengan garis 3x + 2y 240.Dari x + 2y = 160 di dapat x = 160 2ySubsitusikan nilai x ke persamaan 3x + 2y = 2403x + 2y = 2403 (160 2y) + 2y = 240480 6y + 2y = 2404y = 240y = 60subsitusikan nilai y ke persamaan x = 160 2yx = 160 2yx = 160 2 60x = 40jadi, titik potong B (40,60)

selanjutnya dilakukan uji titik pojok.Titik pojok (x,y)f(x,y) = 2.000x + 1.500y

A (80,0)160.000

B (40,60)170.000

C (0,80)120.000

Jadi, seorang pemborong tersebut akan mendapatkan hasil penjualan maksimum jika pesanam pagar I sebanyak 40 dan pagar II sebanyak 60 yaitu sebesar Rp 170.000,00/m

1. `untuk membuat satu cetak roti A dipergunakan 50 gram mentega dan 60 gram tepung. Untuk membuat satu cetak roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, tentukanlah jumlah kedua roti terbanyak yang dapat dibuat!

Penyelesaian:

MentegaTepung

A50 gr60

B100 gr20

Persediaan3500 gr2200

Dari tabel diatas, misalkan:Roti A sebanyak x dan roti B sebanyak yMaka, dapat di buat model matematikannya yaitu:50x + 100y 3500 x + 2y 7060x + 20y2200 3x + y 110

Fungsi batasannya adalah :x + 2y 703x + y 110x 0, y 0x, y Chimpunan penyelesaiannya dapat kita lihat pada grafik berikut.

HP

Dari grafik, kita dapatkan 3 titik-titik pojok yaitu titik A (36,6,0), titik B, dan titik C (0,35)Titik B adalah titik potong antara garis x + 2y 70 dengan garis 3x + y 110Dari x + 2y 70 di dapat x = 70 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 3x + y 1103x + y 1103(70 2y) + y 110210 6y + y 1105y = 100y = 200

subsitusikan nilai y = 200 ke persamaan x = 70 2yx = 70 2yx = 70 2 200x = 300

jadi titik B (300,200)

dengan demikian jumlah kedua roti terbanyak yaitu 500 roti.

1. Nilai maksimum dari f(x,y) = 2x + 3y pada daerah 3x + y 9, 3x + 2y 12, x 0, y 0 adalah

Jawab:

Fungsi batasannya :3x + y 9 3x + 2y 12x 0y 0

fungsi objektifnya yaitu: f(x,y) = 2x + 3y

daerah himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat dari grafik berikut

HP

berdasarkan grafik, diperoleh titik pojoknya yaitu titik A(3,0), titik C dan titik B (4,0)titik C adalah titik potong garis 3x + y= 9 dan garis 3x + 2y = 12dari 3x + y = 9 di dapat x = subsitusikan nilai x kepersamaan 3x + 2y = 123x + 2y = 123 + 2y = 129 y + 2y = 12y = 3

subsitusikan nilai y kepersamaan x = x = x = x = 2

jadi, titik potong C (2,3)

nilai fungsi objektif f(x,y) = 2x + 3y untuk setiap titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 2x + 3y

A(3,0)6

B (4,0)8

C (2,3)13

1. Nilai Maksimum dari z = 4x + 9y dengan syarat x + 2y 12, 2x + y 12, x 0,y 0 adalah .......

Jawab:

Fungsi batasannya:x + 2y 122x + y 12x 0y 0

fungsi objektifnya yaitu: z = 4x + 9y

daerah himpunan penyelesaiannya dapat dilihat pada grafik dibawah ini

HP

berdasarkan grafik, diperoleh titik pojok yaitu titik A (6,0), titik B dan titik C (0,6)titik B adalah titik potong dari garis x + 2y = 12 dan garis 2x + y = 12dari x + 2y = 12 di dapat x = 12 2ysubsitusikan nilai x kepersamaan 2x + y = 122x + y = 122(12 2y) + y = 1224 4y + y = 123y = 12y = 4


jadi, titik potong B (4,4)

untuk mencari nilai maksimum, dilakukan pengujian titik pojok:Titik pojok (x,y)z = 4x + 9y

A (6,0)24

B (4,4)52

C (0,6)54

Jadi, nilai maksimum dari z = 4x + 9y adalah 54.

1. Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati 40 boks teh. Lemari itu akan diisi dengan dua jenis teh, yaitu teh A dan teh B. Teh A dibeli dengan harga Rp 60.000,00 setiap boks dan teh B dibeli dengan harga Rp 80.000,00 setiap boks. Bila pedagang itu mempunyai modal Rp 3.000.000,00 untuk membeli x boks teh A dan y boks teh B, dan keuntungan penjualan teh A Rp 5.000,00 per boks dan teh B Rp 10.000,00 per boks. Tentukanlah keuntungan maksimum yang dapat dicapai oleh pedagang tersebut

Jawab :Teh ATeh BModal

Harga beli per boks (Rp) 60.000 80.000Rp 3.000.000

Keuntungan (Rp )5.00010.000

Jumlah boks maksimum40 boks

Misal : Jumlah teh jenis A = x boksJumlah teh jenis B = y boksModel matematika :60.000x + 80.000y 3.000.000x + y 40fungsi batasanx 0 y 0 ,x , y RFungsi objektif = z = 5000x + 10000y maksimum

Langkah penyelesaian :60.000x + 80.000y 3.000.000 60.000x + 80.000y = 3.000.000Titik potong terhadap sumbu x y = 060.000x = 3.000.000 x = 50 ( 50,0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 080.000y = 3.000.000 y = 37,5 ( 0 , 37,5 )x + y 40 x + y = 40titik potong terhadap sumbu x y = 0x = 40 ( 40,0 )titik potong terhadapsumbu y x = 0y = 40( 0,40 )60.000x + 80.000y = 3.000.000 x 1x + y = 40x60.00060.000x + 80.000y = 3.000.00060.000x + 60.000y = 2.400.000 _ 20.000y = 600.000 y = 30 x = 10( 10,30 )

Titik pojokZ = 5.000x + 10.000y

A ( 40,0 )Rp 200.000

B ( 10,30 )Rp 350.000

C ( 0 ; 37 )Rp 370.000

jadi, keuntungan maksimum yang dapat dicapai pedagang itu adalah Rp 370.000

1. Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergizi berbentuk bubuk untuk peserta. Tiap 400 gram, kedua jenis makanan tersebut mengandung nutrisi yaitu : makanan jenis A mengandung 15 gram protein, 2 gram lemak, dan 25 gram karbohidrat. Sedangkan makanan jenis B mengandung 10 gram protein, 4 gram lemak dan 30 gram karbohidrat. Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan 15 gram protein, 4 gram lemak, dan 30 gram karbohidrat. Apabila harga makanan A Rp 15.000 per 400 setiap 400 gram dan makanan B Rp 20.000 setiap 400 gram, tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan peserta setiap harinya.Jawab :UnsurMakanan AMakanan BKebutuhan minimum

Protein ( gram )151015

Lemak ( gram )244

Karbohidrat ( gram )253030

Harga (Rp )setiap 400 gram15.00020.000

Misal : Banyaknya makanan A = x gramBanyaknya makanan B = y gram

Model matematika dari tabel diatas :15x + 10y 152x + 4y 425x + 30y 30fungsi batasanx 0 y 0 ,x , y R

Fungsi objektif = z = 15.000x + 20.000y minimum

Langkah penyelesaian :15x + 10y 15 15x + 10y = 15Titik potong teradap sumbu x y = 0 15x = 15 x = 1 ( 1,0 )titik potong terhadap sumbu y x= 010y = 15 y = 1,5( 0 ;1,5 )2x + 4y 4 2x + 4y = 4Titik potong terhadap sumbu x y = 02x = 4 x = 2 ( 2,0 )Titik potong terhadapsumbu y x = 04y = 4 y = 1 ( 0,1 )25x + 30y 30 25x + 30y = 30Titik potong terhadap sumbu x y = 025x = 30 x = 1,2 ( 1,2 ; 0 )titik potong terhadap sumbu y x = 030y = 30 y = 1( 0,1 )

1,51

11,222x + 4y = 415x + 10y = 1525x + 30y = 30

Titik potong garis 1 dan 215x + 10y = 15x 42x + 4y = 4x 1060x + 40y = 6020x + 40y = 40 _ 40x = 20 x = 0,5 y = 0,75( 0,5 ; 0,75 )Titik pojokz = 15.000x + 20.000y

A ( 2,0 )Rp 30.000

B ( 0,5 ; 0,75 )Rp 22.500

C ( 0 ; 1,5 )Rp 30.000

Jadi, harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan oleh para peserta adalah Rp22.500,00 . Dengan jumlah makanan, 0,5 gram makanan A dan 0,75 gram makanan B.

1. Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan empat unsur a dan enam unsur b per minggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur a dan dua unsur b, sedangkan setiap sepatu memerlukan dua unsur a dan dua unsur b. Apabila keuntungan setiap tas Rp 3.000,00 dan setiap sepatu Rp 2.000,00, maka keuntungan maksimum yang dapat dicapai perminggu adalah .

Jawab :BahanHasil produksiJumlah

TasSepatu

Unsur a124

Unsur b226

Keuntungan (Rp)3.0002.000

Misal : Jumlah tas = x pasangJumlah sepatu = y pasang

Model matematika dari tabel diatas :x +2y 42x +2y 6fungsi batasanx 0 y 0 ,x , y R

Fungsi tujuan : z = 3.000x + 2.000y maksimum

Langkah penyelesaian :x + 2y 4 x + 2y = 4Titik potong terhadap sumbu x y = 0x = 4( 4,0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 02y = 4 y = 2 ( 0,2 )2x + 2y 6 2x + 2y = 6Titik potong terhadap sumbu x y = 02x = 6 x = 3 ( 3,0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 02y = 6 y = 3 ( 0,3 )

32

34x + 2y = 42x + 2y = 6

x + 2y = 42x + 2y = 6 _ -x = -2 x = 2 y = 1koordinat ( 2,1 )Uji titik pojokZ = 3.000x + 2.000y

A ( 3,0 )Rp 9.000

B ( 2,1 )Rp 8.000

C ( 0,2 )Rp 4.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat dicapai oleh perusahaan tersebut adalah Rp 9.000 per minggu dengan memproduksi tiga buah tas dan tidak memproduksi sepatu.1. Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 400,00/butir dan tablet kedua Rp 800,00/butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah.Jawab :KandunganJenis tabletKebutuhan per hari

Tablet ITablet II

Vitamin A ( unit )51020

Vitamin B ( unit )315

Harga ( Rp )400800

Misal : Jumlah tablet jenis pertama = x butirJumlah tablet jenis kedua = y butirModel matematika dari tabel diatas :5x + 10y 203x + y 5fungsi batasanx 0 y 0 ,x , y R

Fungsi objektif = z = 400x + 800y minimum

Langkah penyelesaian :5x + 10y 20 5x + 10y = 20Titik potong terhadap sumbu x y = 05x = 20 x = 4 ( 4,0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 010y = 20 y = 2 ( 0,2 )3x + y 5 3x + y = 5Titik potong terhadap sumbu x y = 03x = 5 x = 1,6( 1,6 ; 0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 0y = 5 ( 0,5 )

52

1,6 45x + 10y = 203x + y = 55x + 10y = 20x 13x + y = 5x 105x + 10y = 2030x + 10y = 50 _ -25x = - 30 x = 1,2 y = 1,4 ( 1,2 ; 1,4 )

Uji titik pojokZ = 400x + 800y

A ( 4,0 )Rp 1600

B ( 1,2 ; 1,4 )Rp 1600

C ( 0,5 )Rp 4000

Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah Rp 1.600,00 .

1. Rokok A dengan harga beli Rp 5.000,00 dijual dengan harga Rp 5.500,00 per bungkus, sedangkan rokok B dengan harga belinya Rp 7.500,00 dijual dengan harga Rp 8.500,00 per bungkus. Seorang pedangang rokok yang mempunyai modal sebesar Rp 1.500.000,00 dan kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapatkan keuntungan maksimal jika ia membeli ..

Jawab : Rokok ARokok BModal (Rp )

Harga beli ( Rp )5.0007.5001.500.000

Harga jual (Rp )5.5008.500

Keuntungan ( Rp )5001000

Daya tampung250 bungkus

Misal : Jumlah rokok A = x bungkusJumlah rokok B = y bungkus

Model matematika dari tabel diatas :5.000x + 7.500y 1.500.000x + y 250fungsi batasanx 0 y 0 ,x , y R

Fungsi objektif = z = 500x + 1000y maksimum

Langkah penyelesaian :5.000x + 7.500y 1.500.000 5.000x + 7.500y = 1.500.000Titik potong terhadap sumbu x y = 05.000x = 1.500.000 x = 300 ( 300,0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 07.500y = 1.500.000 y = 200( 0,200 )x + y 250 x + y = 250Titik potong terhadap sumbu x y = 0x = 250 ( 250,0 )Titik potong terhadap sumbu y x = 0y = 250 ( 0,250 )

250 200

2503005.000x + 7.500y = 1.500.000x + y = 250

5.000x + 7.500y = 1.500.000x 1 x + y = 250x 5 0005.000x + 7.500y = 1.500.0005.000x + 5.000y = 1.250.000 2.500y = 250.000 y = 100 x = 150 ( 150,100 )

Uji titik pojokZ = 500x + 1000y

A ( 250,0 )Rp 125.000

B ( 150,100 )Rp 175.000

C ( 0,200 )Rp 200.000

Jadi, untuk memperoleh keuntungan yang maksimum pedagang harus membeli 200 bungkus rokok B dan tidak membeli rokok A . Dengan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00 .

40. Suatu gedung pertunjukan mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 200 orang. Setiap penonton kelas utama mendapat kembang gula 20 buah, sedangkan untuk penonton kelas dua mendapat kembang gula 10 buah. Gedung itu hanya menyediakan 3.240 buah kembang gula. Apabila karcis untuk menonton kelas utama Rp10.000,00 dan karcis untuk kelas dua Rp7.500,00. Berapa banyaknya tempat duduk untuk masing-masing kelas agar pendapatannya maksimum? Berapa pula pendapatan maksimum tersebut ?

Kelas UtamaKelas DuaMaksimal

Kembang Gula20103.240

Harga Tiket(Rp)10.0007.500Z

Misalkan banyaknya Tiket Kelas Utama : x Banyaknya Tiket Kelas dua: y

Model Matematika : 1. 200x + 10y 3.240 20x + y 324 2. x + y 200 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh pendapatan maksimum :Z = 10.000x + 7.500y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 20x + y = 324Titik potong x y = 0 20x = 324(16,2 ,0) Titik potong y x = 0 y = 324(0,324)

2. Koordinat titik potong x + y = 200Titik potong x y = 0 x = 200(200,0) Titik potong y x = 0 y = 200(0,200)Titik potong garis 20x + y = 324 dan x + y = 200 20x + y = 300 x + y = 200 19x = 100 x = 5,26(5,26) + y = 200 y = 194,74 titik potong (194,74 , 5,26 )

Uji titik pojok Z = 10.000x + 7.500 ya. (0,200)Rp. 1.500.000,00b. (16,2 , 0)Rp. 162.000,00c. (5,26 , 194,74 )Rp. 1.986.850,00

Jadi pendapatan maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 1.500.000,00 dengan menjual Tiket Kelas Dua sebanyak 200 buah. Meskipun ada pendapatan yang lebih yaitu Rp. 1.986.850,00 tapi tidak mungkin dapat menjual tiket 194,74 atau 5,26.

41. Seorang petani modern menghadapi masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27,21 dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, dan B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M dan N diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg makanan jenis M mengandung unsur nutrisi A, B, dan C masing-masing 1, 1, dan 2 satuan, sedangkan satu kg makanan jenis N mengandung unsur nutrisi A, B, dann C masing-masing 3, 1, dan 1 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga 1 kg makanan jenis M dan N masing-masing adalah Rp2.000,00 dan Rp4.000,00. Petani tersebut harus memutuuskan apakah akan membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya, kemudian mencampurnya agar petani itu mengeluarkan uang serendah mungkin. Berapa besarnya pengeluaran petani tersebut ? Nutrisi ANutrisi BNutrisi CHarga (Kg)

Jenis M1122.000

Jenis N3114.000

Maksimal272130K

MisalkanJenis M: xJenis N : y

Model Matematika : 1. x + 3y 27 2. x + y 21 3. 2x + y 30 4. x 0 5. y 0Fungsi tujuan mengeluarkan uang seminimum mungkin :Z = 2000x + 4000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 3y = 27Titik potong x y = 0 x = 27(27,0) Titik potong y x = 0 3y = 27 y = 9(0,9)

2. Koordinat titik potong x + y = 21Titik potong x y = 0 x = 21(21,0) Titik potong y x = 0 y = 21(0,21)

3. Koordinat titik potong 2x + y = 30Titik potong x y = 0 2x = 30x = 15(15,0) Titik potong y x = 0 y = 30(0,30)I. Titik potong garis 2x + y = 30 dan x + y = 21 2x + y = 30 x + y = 21 x = 9

(9)+ y = 21 y = 12 titik potong (9,12)

II. Titik potong garis x + 3y = 27 dan x + y = 21 x + 3y = 27 x + y = 21 2y = 6 y = 3

x + (3) = 21 x = 18 titik potong (18,3)

Uji titik pojok Z = 2000x + 4000ya. (0,30)Rp. 120.000,00b. (9,12)Rp. 66.000,00c. (18,3)Rp. 44.000,00d. (27,0)Rp. 54.000,00

Jadi pengeluaran uang minimum sebesar Rp. 44.000,00 dengan membeli makanan Jenis M sebanyak 18 Kg dan Jenis N sebanyak 3 Kg.

42. Seorang pedagang mainan anak-anak akan membeli dua jenis boneka tidak lebih dari 25 buah. Harga 1 buah boneka jenis A dan 1 buah boneka jenis B masing-masing Rp6.000,00 dan Rp8.000,00. Modal yang dimilikinya hanya Rp168.000,00. Jika laba penjualan 1 buah boneka jenis A dan 1 buah boneka jenis B masing- masing Rp2.000,00 dan Rp3.000,00, laba maksimumnya apabila terjual semua adalah ?

Jenis AJenis BMaksimal

Modal (m2)6.0008.000168.000

Laba (Rp)2.0003.000Z

Misalkan banyaknya Jenis A: x Banyaknya Jenis B: y

Model Matematika : 1. 6.000x + 8.000y 168.000 3x + 4y 84 2. x + y 25 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh sewa maksimum : Z = 2.000x + 3.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + 4y = 84Titik potong x y = 0 3x = 84 x = 28(28,0) Titik potong y x = 0 4y = 84 y = 21(0,21)

2. Koordinat titik potong x + y = 25Titik potong x y = 0 x = 25(25,0) Titik potong y x = 0 y = 25(0,25)I. Titik potong garis 3x + 4y = 84 dan x + y = 25 3x + 4y = 84 1 3x + 4y = 84 x + y = 25 3 3x + 3y= 75 y = 9x + (9) = 25 x = 16 titik potong (16,9 )

Uji titik pojokZ = 2000x + 3000ya. (0,20)Rp. 60.000,00b. (25,0)Rp. 50.000,00c. (16,9)Rp. 59.000,00

Jadi laba maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 60.000,00 yang hanya menjual boneka Jenis B sebanyak 20 buah.

43. Seorang pedagang sepeda mempunyai modal Rp800.000,00. Dia membeli sepeda jengki dengan harga Rp75.000,00 per buah dan sepeda mini dengan harga Rp50.000,00 per buah. Kios tempat berjualan sepeda mampu menampung 12 sepeda. Laba sepeda jengki Rp12.500,00 dan sepeda mini Rp10.000,00. Berapa sepeda harus dibeli agar pedagang memperoleh laba maksimum ?

Sepeda JengkiSepeda MiniMaksimal

Modal (Rp)75.00050.000800.000

Laba (Rp)12.50010.000Z

MisalkanSepeda Jengki: xSepeda Mini : y

Model Matematika : 1. 75.000x + 50.000y 800.000 3x + 2y 32 2. x + y 12 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh laba maksimum : Z = 12.500x + 10.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + 2y = 32Titik potong x y = 0 3x = 32 x = 10,6(10,6 ,0) Titik potong y x = 0 2y = 32 y = 16(0,16)

2. Koordinat titik potong x + y = 12Titik potong x y = 0 x = 12(12,0) Titik potong y x = 0 y = 12 (0,12)I. Titik potong garis 3x + 2y = 32 dan x + y = 12 3x + 2y = 32 1 3x + 2y = 32 x + y = 12 2 2x + 2y= 24 x = 8(8) + y = 12 y = 4 titik potong (8,4)

Uji titik pojokZ= 12.500 x + 10.000 ya. (0,12)Rp. 120.000,00b. (8,4)Rp. 140.000,00c. ( 10,6 , 0)Rp. 132.500,00

Jadi laba maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 140.000,00 dengan menjual Sepeda Jengki sebanyak 8 buah dan Sepeda Mini sebanyak 4 buah.

44. Pada tanah seluas 10.000m2 akan dibangun tidak lebih dari 150 unit rumah tipe RS dan RSS. Tipe RS memerluka tanah 100m2 dan tipe RSS memerlukan tanah 50m2. Rumah-rumah tersebut akan dijual dengan harga per unit Rp10.000.000,00 untuk RS dan Rp7.000.000,00 untuk RSS. Berapa pendapatan maksimal yang akan di peroleh ?

Tipe RSTipe RSSMaksimal

Luas Tanah (m2)1005010.000

Harga Jual (Rp)107Z

MisalkanTipe RS: xTipe RSS: y

Model Matematika : 1. 100x + 50y 10.000 2x + y 200 2. x + y 150 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil maksimum :Z = 10.000.000 x + 7.000.000 y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 200Titik potong x y = 0 2x = 200 x = 100(100,0) Titik potong y x = 0 y = 200(0,200)


HPTitik potong garis 2x + y = 200 dan x + y = 150 2x + y = 200 x + y= 150 x = 5050+ y = 150 y = 100 titik potong (50,100)

Uji titik pojok Z = 10.000.000x + 7.000.000ya. (0,150)Rp.1.050.000.000,00b. (100,0)Rp. 1.000.000.000,00c. (50,100)Rp. 1.200.000.000,00

Jadi keuntungan maksimum dari harga jual sebesar Rp. 1.200.000.000,00 dengan menjual rumah Tipe RS sebanyak 50 rumah dan rumah Tipe RSS sebanyak 100 rumah.

45. Seorang pedagang buah membeli apel dan jeruk menggunakan sepeda motor. Harga apel Rp8.000,00 per kg dan harga jeruk Rp4.000,00 per kg. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp200.000,00 dan ia hanya dapat membawa buah tidak lebih dari 40 kg. Apabila apel dan jeruk yang ia beli berturut-turut x kg dan y kg, sedangkan laba yang ia peroleh sebesar RRp2.500,00 per kg apel dan Rp1.200,00 per kg jeruk, berapa berat apel dan jeruk yang harus dibeli agar diperoleh laba yang sebesar-besarnya? Hitunglah laba maksimum tersebut !

ApelJerukMaksimal

Modal (Rp)8.0004.000200.000

Laba (Rp)2.5001.200Z

Misalkan banyaknyaApel: x Banyaknya Jeruk : y

Model Matematika : 1. 8.000x + 4000y 200.000 2x + y 50 2. x + y 40 3. x 0 4. y 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil maksimum : Z = 2.500x + 1.200 y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 50Titik potong x y = 0 2x = 50 x = 25(25,0) Titik potong y x = 0 y = 50(0,50)


HPTitik potong garis 2x + y = 50 dan x + y = 40 2x + y = 50 x + y= 40 x = 10

10+ y = 40 y = 30 titik potong (10,30)Uji titik pojok Z = 2.500x + 1.200 ya. (0,40)Rp. 48.000,00b. (10,30)Rp. 61.000,00c. (25,0)Rp. 62.500,00

Jadi laba maksimum yang dapat diperoleh oleh pedagang sebesar Rp. 62.500,00 , pedagang hanya menjual Apel sebanyak 25 Kg.

46. Seorang pembuat roti mempunyai 2Kg gula, 6kg coklat bubuk dan 6,2Kg tepung putih. Untuk membuat roti jenis A ia membutuhkan 40gram gula,60gram coklat bubuk dan 160 tepung putih. Untuk membuat roti jenis B ia membutuhkan 50gram gula, 200 gram coklat bubuk dan100 gram. Berapa roti yang dapat di buat ?

Roti ARoti BMaksimal

Gula (kg)40502.000

Coklat bubuk (kg)602006.000

Tepung putih (kg)1601006.200

Misalkan banyaknya Roti A: x Banyaknya Roti B : y

Model Matematika : 1. 40x + 50y 2.000 4x + 5y 200 2. 60x + 200y 6.000 3x + 10y 300 3. 160x + 200y 6.200 4x + 5y 155 4. x 0 5. y 0Fungsi tujuan memperoleh produksi maksimum : Z = x + yPenyelesaian : 1. Koordinat titik potong 4x + 5y = 200Titik potong x y = 0 4x = 200 x = 50(50,0) Titik potong y x = 0 5y = 40(0,40)2. Koordinat titik potong 3x + 10y = 300Titik potong x y = 0 3x = 300 x = 100(100,0) Titik potong y x = 0 10y = 300(0,30)3. Koordinat titik potong 4x + 5y = 155Titik potong x y = 0 4x = 155 x = 25(38,7 ,0) Titik potong y x = 0 5y = 155(0,31)

HPTitik potong garis 4x + 5y = 155 dan 3x + 10y = 300 4x + 5y = 155 2 8x + 10y = 310 3x + 10y = 300 1 3x + 10y= 300 5x = 10 x = 2 3(2) + 10y = 300 y = 29,4 titik potong (2, 29,4)

Uji titik pojokZ = x + ya. (0,30)= 30b. (38,7 , 0)= 38,7c. (2 , 29,4 )= 31,4

Jadi produksi maksimum yang dapat diperoleh sebanyak 38 buah dengan membuat Roti B tampa Roti A.47. Nilai maksimum fungsi objektif z = 8x + 6y, dengan syarat :4x + 2y 602x + 4y 48x 0y 0adalah . . .

jawab:

syarat:4x + 2y 60 2x + y 302x + 4y 48 x + 2y 24x 0y 0

fungsi batasannya: 2x + y 30x + 2y 24x 0y 0

fungsi objektifnya: z = 8x + 6y

himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat melalui grafik berikut:

HP

dari grafik tersebut, himpunan penyelesaiannya terletak pada bagian yang bersih.

Diperoleh tiga titik pojok yaitu titik A (15,0), titik B, dan titik C (0,12)

Titik B adalah titik potong antara garis 2x + y = 30 dan garis x + 2y 24Dari x + 2y 24 didapat x = 24 2ySubsitusikan x kepersamaan 2x + y = 302x + y = 302 (24 2y) + y = 3048 4y + y = 303y = 18y = 6



uji titik pojok Titik pojok (x,y)z = 8x + 6y

A (15,0)120

B (12,6)132

C (0,12)72

Jadi nilai maksimum dari fungsi objektif z = 8x + 6y adalah 132.

48. Setiap orang membutuhkan tidak kurang dari 20 unit protein dan 16 unit lemak tiap minggunya. Untuk memenuhi kebutuhan tersebut terdapat dua macam makanan, yaitu makanan A dan makanan B. setiap kg makanan A mengandung 4 unit protein dan 2 unit lemak. Setiap 1 kg makanan B mengandung 2 unit protein dan 4 unit lemak. Jika harga makanan A adalah Rp2.000,00 per kg dan makanan B adalah Rp1.500,00 per kg, tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan orang tersebut agar kebutuhan protein dan lemaknya terpenuhi!

Penyelesaian:

Makanan AMakanan BJumlah

Protein4220

Lemak2416

Harga2.0001.500

Pemisalan:Dari tabel tersebut, misalkan banyaknya makanan A adalah x dan banyaknya makanan B adalah y. Maka dipenuhi persamaan berikut:4x + 2y 20 2x + y 102x + 4y 16 x + y 8Sehingga dapat di tentukan fungsi batasannya adalah:2x + y 10x + y 8x 0, y 0dengan fungsi objektif atau bentuk minimumnya yaitu 2.000x + 1.500ydengan demikian dapat dibuat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

HPdari grafik tersebut didapatkan titik-titik pojoknya yaitu titik A (8,0), B, C (0,10). Dengan titik B sebagai titik perpotongan antara garis 2x + y 10 dengan garisx + y 8.Dari x + y 8 didapat x = 8 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 2x + y 102x + y 102 (8 2y) + y 1016 - 4y + y = 10y2subsitusikan nilai y ke x = 8 2yx = 8 2yx = 8 22x = 4

jadi, titik B (4,2)

selanjutnya dilakukan uji titik pojokTitik pojok (x,y)f(x,y) = 2.000x + 1.500y

A (8,0)16.000

B (4,2)11.000

C (0,10)15.000

Jadi, biaya minimum yang harus di keluarkan orang tersebut agar kebutuhan protein dan lemaknya terpenuhi yaitu Rp11.000,00

50. Untuk membuat satu bungkus Roti A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan satu bungkus roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Saat ini tersedia 3.500 gram mentega dan 2.200 gram tepung. Jika keuntungan roti A adalah Rp2.000 perbuah dan roti B Rp. 2.800 perbuah, berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh?Tabel mentega dan tepung untuk rotiBahanRoti A Roti B Persediaan

Mentega501003500

Tepung 60202200

Keuntungan20002800

Model matematika:Fungsi diketahui:

Fungsi Tujuan :

Ditanya :Banyak roti A yang di buat= buahBanyak roti B yang di buat= buahPenyelesaian :1) Titik potong sb Titik potong sb2) Titik potong sb Titik potong sb

Titik potong garis dan :

x x

Titik potong Uji Titik PojokF(x,y) = 2.000x + 2.800y

(0,35)98.000,00

(30 , 20)116.000,00

(36,7 , 0)73.400,00

Jadi keuntungan maksimum diperoleh pada ( 30, 20) dengan keuntungan Rp 116.000,00

kartika afriyeni 50 soal program linear

Documents