document1

1.

VARIABEL RANDOM DANDISTRIBUSINYA

Pada bab I ini, berisi tentang pengertian variabel random, fungsi kepadatan peluang, dan

fungsi distribusi pada variabel random diskrit ataupun variabel random kontinu.

Sehingga, mahasiswa diharapkan dapat:

1. Menjelaskan Variabel Random

2. Menentukan pdf dan CDF dari variabel random

3. Membedakan variabel random diskrit dan kontinu

4. Menghitung nilai ekspektasi, fungsi pembangkit momen dan momen

faktorial

Bidang statistika berkaitan dengan penarikan inferensi tentang populasi dan sifat

populasi. Berbagai eksperimen yang dilakukan akan memberikan hasil dengan

bermacam kemungkinan yang terjadi. Misalkan sebuah perusahaan elektronik memiliki

persediaan televisi dengan kondisi kemungkinan baik (B) dan kemungkinan cacat (C).

Ruang sampel untuk setiap kemungkinan hasil bila tiga buah televisi diuji dapat ditulis

sebagai:

S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}

Jika kita ingin mengetahui berapa banyaknya cacat yang terjadi, maka tentunya kita akan

mengaitkan setiap titik di ruang sampel dengan suatu bilangan 0, 1, 2 atau 3. Bilangan ini

merupakan besaran acak yang ditentukan oleh hasil percobaan dan dapat dipandang

sebagai nilai yang dicapai oleh variabel random X, yaitu banyaknya barang yang cacat

bila tiga televisi di uji.

Definisi:

Variabel random adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada

setiap unsur dalam ruang sampel.

Neva Satyahadewi, M.Sc.

1

1.

Contoh:

Dua buah lampu diambil satu per satu dari suatu kotak tanpa dikembalikan. Bila kotak

itu berisi 4 lampu merah (M) dan 3 lampu kuning (K), dan Y menyatakan jumlah lampu

merah yang diambil, maka y yang mungkin dari variabel random Y adalah

Ruang Sampel y

MK

MK

KM

KK

2

1

1

0

Jika suatu ruang sampel memuat titik yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota

yang jumlahnya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu di sebut ruang sampel

diskrit. Akan tetapi, hasil dari suatu percobaan statistika mungkin saja tak berhingga

atau pun tak terhitung. Contohnya penelitian mengenai jarak tempuh suatu sepeda

motor merek tertentu dengan 4 liter bensin. Bila dimisalkan jarak sebagai suatu peubah

yang diukur dengan suatu derajatketelitian tertentu, maka jelas bahwa kemungkinan

jarak yang ditempuh dalam ruang sampel tak berhingga banyaknya, sehingga tidak

mungkin disamakan dengan banyaknya bilangan bulat. Jika suatu ruang sampel memuat

titik sampel yang tak berhingga banyaknya dan jumlahnya sebanyak titik pada sepotong

garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu.

1.1 Variabel Random Diskrit

Misalkan X adalah variabel random. Variabel random X dikatakan diskrit, jika daerah

hasilnya merupakan himpunan bilangan real yang terhingga. Suatu variabel random

diskrit dapat diketahui setiap nilainya dengan peluang tertentu. Dalam kasus

pelambungan mata uang logam sebanyak tiga kali, variabel random X menyatakan

banyaknya muka yang muncul, mendapatkan nilai 2 dengan peluang 3/8, karena tiga

dari 8 hasil yang berkemungkinan sama memberikan dua muka dan satu belakang.

Untuk lebih mudahnya, semua peluang suatu variabel random X dinyatakan dalam suatu

rumus, yang merupakan fungsi nilai numerik x yang akan dinyatakan dengan f(x), g(x),

dst.


1.

Definisi:

Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, atau fungsi

kepadatan peluang, atau distribusi peluang variabel random diskrit X, jika untuk

setiap kemungkinan hasil x memenuhi syarat:

1. f (x) ≥ 0

2. ∑

x

f ( x )=1

Dinotasikan P(X = x) = f (x)

Contoh:

Saat pengiriman 8 printer ke suatu toko, terdapat 3 diantaranya cacat. Jika seseorang

membeli 2 printer tersebut secara acak, hitunglah besarnya fungsi kepadatan peluang

untuk printer yang cacat!

Jawab:

Misalkan X variabel random dengan nilai x adalah banyaknya kemungkinan printer yang

cacat yang dibeli seseorang. Maka x dapat memperoleh setiap nilai 0, 1, dan 2.

Selanjutnya,

f (0)=P( X=0)=(3¿ )¿¿

¿¿¿¿

¿¿

Jadi, fungsi kepadatan peluang X

x 0 1 2


1.

f (x)

1028

1528

228

1.2 Variabel Random Kontinu

Misalkan X adalah variabel random. Variabel random X dikatakan kontinu, jika daerah

hasilnya merupakan sebuah interval pada garis bilangan real. Suatu variabel random

kontinu, mempunyai peluang nol pada setiap titik x. Karena itu, distribusi peluangnya tak

mungkin disajikan dalam bentuk tabel, melainkan disajikan dalam bentuk rumus. Rumus

seperti itu merupakan fungsi dari nilai yang berbentuk bilangan (numeric) dari peubah

kontinu X yang dapat dinyatakan dengan lambang fungsi f (x).

Definisi:

Fungsi f(x) adalah fungsi kepadatan peluang variabel random kontinu X, yang

didefinisikan oleh himpunan semua bilangan real R, jika memenuhi syarat:

1. f ( x )≥0 untuk semua x∈ R

2. ∫−∞

∞

f ( x )dx=1

Dinotasikan : P (a < X < b) = ∫a

b

f ( x )dx

Teorema:

Jika X adalah variabel random kontinu, a dan b adalah dua konstanta real dengan

a ≤ b maka:

P (a ≤ X ≤b )=P (a ≤ X<b )=P (a< X ≤ b )=P(a< X<b)

Bukti dari teorema tersebut dijadikan sebagai latihan bagi pembaca.

Contoh:

Suatu variabel random X mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut

f ( x )=¿ {x2

3, untuk −1<x<2¿ ¿¿¿

¿¿


1.

Tunjukkan bahwa syarat 2 dari definisi pdf variabel random kontinu dipenuhi dan

hitunglah P(0<X¿ 1).

Jawab:

∫−∞

∞

f ( x )dx=∫−1

2x2

3dx=x3

9|−12 =8

9+1

9=1

P (0<X≤1)=∫0

1x2

3dx=x3

9|01=1

9

1.3 Fungsi Distribusi

Dalam bermacam persoalan menghitung nilai peluang, sering ditemukan bahwa nilai

amatan variabel random X akan lebih kecil atau sama dengan suatu bilangan real x. Bila

F(x) = P(X¿ x), untuk setiap bilangan real x, maka F(x) disebut sebagai distribusi

kumulatif variabel random X.

Definisi:

Misalkan X adalah variabel random. F didefinisikan sebagai fungsi distribusi kumulatif

atau fungsi distribusi saja, dinotasikan dengan F(x), dengan:

F ( x )=P( X≤x )

Selanjutnya diberikan definisi tentang penentuan fungsi distribusi untuk variabel

random diskrit. MIsalkan X adalah variabel random diskrit, maka fungsi distribusinya

adalah

F ( x )=∑u≤ x

p (u)

JIka X mempunyai nilai-nilai yang banyaknya terhingga, yaitu x1, x2, … , xn; maka fungsi

distribusinya diberikan dengan:

F ( x )={0 ; x<x1

p ( x1 ) ; x1≤ x ≤ x2

p ( x1 )+ p ( x2) ; x2≤ x ≤ x3

⋮p ( x1 )+ p ( x2 )+…+p ( xn ) ; xn ≤ x


1.

Untuk menghitung peluang dari variabel random yang mempunyai nilai antara dua

harga dapat dilakukan berdasarkan fungsi peluangnya. Disamping itu, nilai peluang

tersebut dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusinya dengan menggunakan rumus:

P (a ≤ X ≤b )=FX (b )−F X (a)

Dengan a dan b adalah dua buah bilangan real, dan a<b.

Untuk variabel random kontinu, penentuan fungsi distribusinya dapat dilihat dalam

definisi berikut.

Definisi:

Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi kepadatan peluangnya f(x),

maka fungsi distribusinya diberikan dengan:

F ( x )=∫−∞

∞

f ( x ) dx

Contoh:

Variabel random X mempunyai pdf:

f ( x )=¿ {x2 , 0<x≤1¿ {23

,1<x<2 ¿ ¿¿¿

Tentukanlah fungsi distribusi kumulatif F(x).

Jawab:

Untuk x≤0 , diperoleh F ( x )=∫

−∞

x

f ( t )dt=0

Untuk 0<x≤1 ,diperoleh F ( x )=∫

−∞

x

f ( t )dt=∫−∞

0

0 dt+∫0

x

t 2 dt=13

t 3

Untuk 1<x≤2 ,diperoleh F ( x )=∫

−∞

x

f ( t )dt=∫−∞

0

0 dt+∫0

1

t 2 dt+∫1

x23

dt=13+ 2

3( x−1)


1.

Untuk x > 2, diperoleh F ( x )=∫

−∞

x

f ( t )dt=∫−∞

0

0 dt+∫0

1

t 2 dt+∫1

223

dt+∫2

x

0 dt=1

Jadi fungsi distribusi kumulatifnya adalah:

F ( x )=¿ {0 , x≤0 ¿ {13

x3 , 0<x≤1¿ {13+ 2

3( x−1 ) ,1<x≤2 ¿ ¿¿¿

Fungsi distribusi pada pembahasan sebelumnya diperoleh berdasarkan fungsi kepadatan

peluangnya. Sebaliknya, dapat juga ditentukan fungsi kepadatan peluang apabila fungsi

distribusinya diketahui.

Teorema:

Jika f(x) dan F(x) masing-masing merupakan nilai fungsi kepadatan peluang dan nilai

fungsi distribusi dari variabel random kontinu X di x, maka:

P (a ≤ X ≤b )=F (b )−F (a)

Untuk beberapa konstanta real a dan b, dengan a ≤ b dan

f ( x )=dF (x )dx

Apabila hasil turunannya atau diferensialnya ada.

1.4 Nilai Ekspektasi dan Beberapa Sifatnya

1.4.1 Pengertian Ekspektasi

Bila dua uang logam dilambungkan 16 kali dan X adalah banyaknya muncul muka pada

setiap lambungan, maka X dapat bernilai 0, 1, dan 2. Misalkan percobaan itu

menghasilkan tidak ada muka, satu muka dan dua muka, masing-masing sebanyak 4, 7

dan 5 kali, maka nilai harapan banyaknya muka per lambungan dua uang logam tadi

adalah


1.

(0 )(4 )+(1 )(7)+(2)(5 )16

=1, 06

Ini adalah nilai rata-rata dan tidak perlu menyatakan suatu hasil yang mungkin muncul

bagi percobaan tadi.

Selanjutnya, akan dihitung nilai rata-rata dengan menggunakan nilai harapan variabel

random X atau nilai harapan distribusi peluang X atau ekspektasi matematika dan

ditulis sebagai μx ¿¿.

Definisi:

Misalkan X suatu variabel random dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan

atau nilai harapan X ialah

μ=E ( X )=∑x

x . f ( x ) ,untuk X diskrit,

dan

μ=E ( X )=∫−∞

∞

x . f ( x )dx, untuk X kontinu.

Contoh:

Misalkan X variabel random yang menyatakan umur dalam jam sejenis bola lampu.

Fungsi kepadatan peluangnya diberikan oleh

f ( x )=¿ {20 .000

x3, x>0 ¿ ¿¿¿

Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tersebut.

Jawab:

μ=E ( X )=∫100

∞

x .20 . 000

x3dx=200

Jadi, jenis bola lampu tersebut dapat diharapkan, rata-ratanya berumur 200 jam.


1.

Selanjutnya, pandanglah variabel random baru g(X) yang bergantung pada X yaitu, tiap

nilai g(X) dapat ditentukan bila diketahui nilai X. Misalnya, bila X variabel random diskrit

dengan distribusi peluang f(x), x = -1, 0, 1, 2, dan g(X) = X2, maka

P[g(X) = 0] = P(X = 0) = f(0)

P[g(X) = 1] = P(X = -1) + P(X = 1) = f(-1) + f(1)

P[g(X) = 4] = P(X = 2) = f(2)

Jadi, distribusi peluang g(X) dapat ditulis sebagai:

g(x) 0 1 4

P[ g(X) = g(x) ] f(0) f(-1) + f(1) f(2)

Menurut definisi nilai harapan variabel random diperoleh:

μg(X )=E [ g ( X ) ]=0. f (0 )+1 [ f (−1 )+f (1 ) ]+4 . f (2)

=(−1 )2 f (−1 )+(0 )2 f (0 )+(1 )2 f (1 )+(2 )2 f (2 )

=∑

x

g ( x ) f ( x )

Teorema:

Misal X suatu variabel random dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan atau

nilai harapan variabel random g(X) adalah

μg(x )=E [ g( X ) ]=∑ g( x ) f ( x ) , bila¿ X ¿diskret ¿ μg (x )=E[ g ( X )]=∫−∞

∞

g( x ) f ( x )dx , bila¿ X ¿kontinu ¿

¿¿


1.4.2 Beberapa Jenis Ekspektasi Matematika

Nilai harapan atau nilai harapan suatu variabel random X mempunyai peran khusus

dalam statistika karena menggambarkan letak pusat distribusi peluang. Akan tetapi, nilai

harapan itu sendiri tidak memberikan keterangan yang cukup mengenai bentuk

distribusinya.

Definisi:

Misalkan X variabel random dengan distribusi peluang f(x) dan nilai harapan μ .

Variansi X adalah


1.

σ 2=E [ ( X−μ )2 ]=∑x

( x−μ )2 f ( x ), untuk X diskrit dan

σ 2=E [ ( X−μ )2 ]=∫−∞

∞

( x−μ )2 f ( x )dx, dengan X kontinu.

Akar positif variansi, σ , disebut simpangan baku X.

Rumus σ 2 lain yang lebih sederhana, diberikan oleh teorema berikut:

Teorema:

Variansi variabel random X adalah

σ 2 = E(X2) - μ 2

atau

σ 2 = E(X2)- (E(X))2


Selanjutnya, pengertian variansi variabel random X akan diperluas, sehingga mencakup

variabel random yang berkaitan dengan X. Untuk variabel random g(X), variansinya akan

dinyatakan dengan σ 2g(X) dan dihitung dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema:

Misalkan X adalah variabel random dengan distribusi peluang f(x).

Maka variansi variabel random g(X) adalah

σ 2g(X) =

E {[ g ( X )−μg (X ) ]2}=∑

x

[ g( x )−μg (X ) ]2 f (x )

untuk X diskrit, dan

σ 2g(X) =

E {[ g ( X )−μg (X ) ]2}=∫

−∞

∞

[ g ( x )−μg(X ) ]2 f ( x )dx

untuk X kontinu.



1.

Selanjutnya akan diberikan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan

perhitungan nilai harapan dan variansi variabel random. Sifat tersebut memungkinkan

untuk menyatakan nilai harapan dalam parameter lain yang diketahui ataupun

memudahkan perhitungan.

Teorema:

1. Bila a dan b tetapan, maka :

a. E (X + a) = E(X) + a

b. E(aX) = aE(X)

c. E (aX + b) = aE (X) + b

2. E [ g( X )±h ( X ) ]=E[ g ( X ) ]±E[ h( X ) ]

3. Bila a dan b adalah tetapan, maka :

a. Var (a) = 0

b. Var (X + a) = Var (X)

c. Var (aX) = a2 Var (X)

d. Var (aX + b) = a2 Var (X)

1.5 Fungsi Pembangkit Momen

Pada sub bab ini akan dibahas tentang momen distribusi dan fungsi pembangkit momen

(Moment Generation Function). Manfaat dari fungsi pembangkit momen adalah untuk

menentukan momen distribusi. Selain itu, manfaat terpenting yaitu untuk mencari

distribusi dari fungsi variabel random.

Definisi:

Momen ke r di sekitar titik asal dari variabel random X dinyatakan oleh


1.

Momen sekitar rerata ke k dari variabel random X dinyatakan oleh

μk0=E [ ( X−μ )k ]

¿ { ∑x

( X−μ )k p (x); untuk X diskrit

∫−∞

∞

( X−μ )k f ( x ) dx ; untuk X kontinu

Dengan μ=μ1=E ( X )=momen pertama pada X.

Fungsi pembangkit momen diperoleh dari E(etx) dan dinyatakan dengan MX(t).

Jadi,

Apabila MX(t) dideferensialkan terhadap t sebanyak r kali kemudian t disamakan dengan

nol, maka akan diperoleh:

M Xr (t )=E ( X r )=μr

'

Teorema:

Jika X adalah variabel random dan MX(t) adalah fungsi pembangkit momennya,

maka:

dr M X (t)dt r ∨t=0=μr

'

Misalkan lX (t) = ln MX(t), maka:

lX (0) = ln MX(0) = ln 1 = 0

Selanjutnya, dapat dibuktikan sebagai latihan, bahwa

l X' (0 )=μ

l X} left (0 right ) = {σ} ^ {2¿


1.

Berikut ini adalah beberapa sifat dari fungsi pembangkit momen yang dapat digunakan

untuk menyederhanakan perhitungan fungsi pembangkit momen, yaitu:

1. (Teorema Ketunggalan)

Misalkan X dan Y dua variabel random masing-masing dengan fungsi

pembangkit momen MX(t) dan MY(t). Jika MX(t) = MY(t) untuk semua nilai t, maka

X dan Y mempunyai distribusi peluang yang sama.

2. Jika Y = X + b, maka MY (t) = M X+b(t) = ebt MX(t)

3. Jika W = aX, maka MW(t) = MaX (t) = MX(at)

4. Jika S= aX+b

c , maka MS(t) = M aX+b

c

( t )=

ebc

tM X( a

c.t )

5. Bila X1, X2, …,Xn variabel random bebas dengan fungsi pembangkit momen

masing-masing M X1

( t ) , M X2( t ) ,. . ., M X

n(t )

dan Y = X1 + X2 +…+ Xn , maka

MY(t) = M X1

( t ) M X2( t ) .. . M X

n( t )

Bukti sifat nomor 2, 3, dan 4 dapat digunakan sebagai latihan.

1.6 Momen Faktorial

Momen faktorial ke k pada variabel random X didefinisikan sebagai

E [ X ( X−1 ) … ( X−k+1 ) ]Dan fungsi pembangkit momen factorial pada X didefinisikan sebagai

G X (t )=E (t X)

jika ekspektasi ini ada untuk semua t dalam 1-h<t<1+h.

Fungsi pembangkit momen faktorial biasa juga disebut fungsi pembangkit peluang.

Hubungan antara fungsi pembangkit momen factorial terhadap fungsi pembangkit

momen adalah

G X (t )=E (t X )=E (e Xlnt )=M X (lnt )

SOAL LATIHAN


1.

1. Misalkan dilakukan pengundian dua buah koin yang setimbang sekaligus,

dengan sisinya berupa gambar dan baliknya berupa angka. Jika X menunjukkan

banyaknya angka yang muncul, maka:

a. Apakah X merupakan variabel random?

b. Apakah X merupakan variabel random diskrit?

2. Tentukan nilai c sehingga tiap fungsi berikut dapat disebut sebagai distribusi

peluang variabel random diskrit X:

a. f ( x )=c ( x2+4 )untuk x = 0, 1, 2, 3

b. f ( x )=calignl [ 2¿ ]¿

¿¿¿

untuk x = 0, 1, 2

3. Jika kita mengundi dua mata uang logam Rp 50, yang setimbang sekaligus,

diperoleh distribusi peluang sebagai berikut:

x 0 1 2

p(x) 0,25 0,5 0,25

Dengan X menunjukkan banyaknya huruf “BANK INDONESIA” muncul.

Tentukanlah F(x).

4. Suatu bank menawarkan obligasi bagi langganannya dengan jatuh tempo yang

berlainan. Bila distribusi kumulatif T diketahui, lamanya dalam tahun sampai

jatuh tempo, diberikan oleh:


1.

F ( t )=¿ {0 , t<1 ¿ {14

, 1≤t <3 ¿ {12

, 3≤t <5 ¿ {34

, 5≤t <7 ¿ ¿¿¿ Carilah: a. P (T = 5), b. P ( T > 3)

5. Suatu variabel random kontinu X yang mempunyai nilai antara x = 1 dan x = 3

mempunyai fungsi kerapatan peluang f(x) = ½.

a. Tunjukkan bahwa luas di bawah kurva itu 1

b. Cari P (2 < X < 2,5)

c. Cari P (1,4 < T < 6)

6. Pada pelambungan mata uang logam setimbang 8 kali, misalkan X menyatakan

frekuensi munculnya sisi G. Tentukanlah harga ekspetasi dan variansnya!

7. Seorang tukang cuci mobil dibayar berdasarkan banyaknya mobil yang mereka

cuci. Misalkan peneriaman perhari, dalam ribuan rupiah, 7, 9, 11, 13, , 15, atau

17 dengan peluang masing-masing 1/12, 1/12, ¼, ¼, 1/6, dan 1/6. Cari ekspetasi

penghasilan mereka sehari.

8. Misalkan fungsi peluang dari variabel random X berbentuk:

p(x) = 1/3 ; x = 1, 2, 3.

Hitunglah momen sekitar rerata ke 3.

9. Misalkan fungsi peluang dari variabel random X adalah p ( x )=14 (2

x ); x=0,1,2

a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X.

b. Hitunglah μ1' dan μ2

' berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen.


1.

10. Buktikan bahwa M cX ( t )=M X (ct ) untuk X suatu variabel random dan c adalah

suatu konstanta.


document1

Documents