MODUL PERTEMUAN I

MODUL PERTEMUAN I

PELUANG

MATA KULIAH : STATISTIKA IIDOSEN : ATIQAH, SE, MS.AKPROGRAM KELAS KARYAWAN FAKULTAS EKONOMI JURUSAN AKUNTANSIUNIVERSITAS MERCU BUANAJAKARTA 2009Modul Pertemuan I

Peluang1. Definisi Peluang

Probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Secara lengkap probabilitas didefinisikan sebagai berikut :

probability is a measure of a likelihood of the occurance of a random event. (Medenhall and Reinmuth, 1982 dalam Supranto, 2006).

Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Jadi, dapat disimpulkan bahwa peluang adalah suatu teori yang memberikan cara penggunaan kuantitatif tentang kemungkinan/tingkat kepastian terjadinya suatu peristiwa 0 P (A) 1.Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, dan informasi yang tidak sempurna.

Contoh:

pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham

peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak) peluang hasil yang diperoleh mahasiswa (lulus atau tidak), dll.

Untuk mempelajari probabilitas ada 3 kata kunci yang harus diketahui : a. Eksperimen (Percobaan):

Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

b. Hasil (outcome):

Suatu hasil dari sebuah percobaan.

c. Peristiwa (event):

Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.Contoh :

Eksperimen (Percobaan)Perlombaan Akuntansi antara UMB dan Budi Luhur

Hasil (outcome)UMB Menang

Budi Luhur kalah

Seri UMB tidak menang dan tidak kalah

Peristiwa (event)UMB Menang

Contoh lain, sebuah eksperimen dilakukan dengan menanyakan kepada 50 mahasiswa apakah mereka akan membeli laptop toshiba atau tidak, dari eksperimen tersebut akan terdapat beberapa kemungkinan hasil, misalnya kemungkinan yang akan membeli laptop toshiba hanya 25 orang dan sisanya tidak membeli, atau kemungkinan yang akan membeli laptop toshiba hanya 15 mahasiswa. Contoh lain adalah pelemparan uang koin, hasil (outcome) dari pelemparan sebuah koin adalah nampak Muka atau Belakang. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian (event).

Pendekatan Probabilitas

Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas, yaitu pendekatan yang bersifat obyektif dan subyektif. Probabilitas obyektif dibagi menjadi dua yaitu: pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif.

1) Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada asumsi bahwa suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama.

Contoh : kepala pabrik mengatakan bahwa dari 90 barang produksinya, ada 30 yang rusak. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabilitasnya bahwa barang tersebut rusak ?

Diket : n = 90 dan x = 18

P (A) = x/n = 18/90 = 20%Contoh :

PercobaanHasilProbabilitas

1. Kegiatan melempar uang

2. Kegiatan produksi

3. Kegiatan belajar mahasiswa1. Muncul gambar

2. Muncul angka

1. Sukses

2. Gagal

1. Tidak Memuaskan

2. Memuaskan

3. Sangat Memuaskan

1/3

2) Konsep Frekuensi Relatif

Pendekatan yang mutakhir ialah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif. Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi. Perlu disebutkan bahwa besarnya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. Misalnya x = nilai ujian statistik 1 mahasiswa FE-UMB, P(X=8) adalah probabilitas bahwa seorang mahasiswa mendapat nilai 8. dimana,

fr = frekuensi relatif

Xi = kejadian i

P(Xi) = limit fi/n

Artinya probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut yang secara teoritis berlaku untuk nilai n yang besar sekali (tidak terhingga), misalnya merupakan suatu eksperimen/penelitian dengan sampel yang besar. Didalam prakteknya, frekuensi relatif itu sendiri bisa digunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas.

Contoh :

Sebuah penelitian yang dilakukan terhadap 240 lulusan Sekolah Menengah Umum dari suatu sekolah (penelitian ini dapat dikatakan sebagai eksperimen). Studi ini menunjukan bahwa 90 dari lulusan SMU tidak memilih jurusan yang sama sewaktu mereka berada di SMU. Misalnya seorang murid SMU jurusan IPA memilih untuk masuk jurusan Akuntansi. Berapa probabilitas bahwa seorang lulusan SMU akan memilih jurusan yang tidak sesuai dengan jurusan awalnya waktu di SMU ?

Berdasarkan rumus di atas maka dapat di hitung, probabilitas terjadinya suatu kejadian : P(A) = 90/240 = 0,375

Diketahui bahwa nilai ujian Statistik mahasiswa UMB (X) adalah sebagai berikut :

Nilai UjianBanyaknya mahasiswa

(1)(2)

< 30

30 60

60 90

9030

60

40

20

Jumlah150

Jika kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa dari sekelompok mahasiswa tersebut, berapakah probabilitasnya bahwa dia mendapat nilai 30 < X < 60, 60 < X < 90 , dan X 90

Jawab :

P( 30 < X < 60) = 60 / 150 = 0,4 atau 40%

P (60 < X < 90) = 40 / 150 = 0,27 atau 27%

dan X 90 = 20 /150 = 0,13 atau 13%

3) Probabilitas Subjektif

Probabilitas subjektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengalaman atau masa lalu sebagai dasar untuk perhitungan probabilitas, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subjektif. Hal ini biasanya terjadi dalam bentuk opini atau pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai.

2.Aturan probabilitas1. Peristiwa mutually exclusive

Contoh : sebuah mesin otomatis mengisi kantong plastik dengan campuran sayuran. Kebanyakan kantong tersebut beratnya tepat, tapi karena variasi dalam ukuran buncis dan sayuran lainnya, sebuah kantong mungkin saja terlalu ringan atau terlalu berat. Pemeriksaan terhadap 2000 kantong yang diisi bulan lalu menyatakan :

BeratKejadianJumlah kantongProbabilitas

Terlalu ringan

Memenuhi syarat

Terlalu BeratA

B

C300

1200

500

20000,15

0,6

0,25

1

Berapa probabilitas suatu kantong terlalu ringan atau terlalu berat ?

P (A atau C) = P(A) + P (C) = 0,15 + 0,25 = 0,40

2. Peristiwa tidak mutually exclusive

Contoh : Pemeriksaan fisik rutin dilakukan setiap tahun sebagai bagian dari program pelayanan kesehatan bagi pekerja General Concrete Inc. Ditemukan 6 % pekerja membutuhkan sepatu pengobatan, 20 % membutuhkan perawatan gigi dan 5% membutuhkan keduanya. Berapa probabilitas seorang pekerja yang dipilih secara acak membutuhkan sepatu pengobatan atau perawatan gigi ?

Jawab : P (A atau B) = P(A) + P (B)- P(A dan B) = 0,06 + 0,2 0,05 = 0,21

3. Partisi

4. Peristiwa yang komplimenter

Contoh : probabilitas sebuah kantong terlalu ringan adalah 0,15 dan probabilitas kantong terlalu berat adalah 0,25. gunakan aturan komplemen untuk menunjukkan probabilitas kantong yang memenuhi syarat. Gunakan diagram ven dalam menjawab.

Jawab : Probabilitas kantong memenuhi syarat jika tidak terlalu ringan atau terlalu berat. Jadi P(B) = 1 [P(A) + P (C)] = 1 - (0,15 + 0,25) = 1 - 0,40 = 0,60

5. Peristiwa Independent

a. Marginal probability

Probability terjadinya satu peristiwa

Contoh : P (A), P (B), P (R), P (S)

b. Joint probability

Probability dari 2 atau lebih peristiwa yang terjadi bersama-sama berurutan.

Contoh : P (A B) = P (AB) = P (A) x P (B) P (B A) = P (A B) Contoh : Arin mengetahui bahwa terdapat probabilitas sebesar 0,60 bahwa ban XA-80 buatannya akan sanggup mencapai 65.000 mil sebelum rusak. Penyesuaian dilakukan terhadap ban yang tidak sanggup mencapai 65.000 mil. Anda membeli 4 ban. Berapa probabilitas ke-4 ban itu akan bertahan setidaknya 65.000 mil ?

P(A dan B dan C dan D ) = (0,60) (0,60) (0,60) (0,60) = 0,1296

c. Conditional Probability

Probability terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain telah terjadi. Contoh : P (A/B) = P(A)

P (B/A) = P (B)

6. Peristiwa Dependent

a. Conditional probability

b. Joint probability

c. Marginal Probability

Contoh soal :

1. Dari produksi makanan yang dibuat oleh para peserta adalah berjumlah 200, dimana 100 merupakan peserta Dalam Negeri dan sisanya peserta Luar Negeri. Sedangkan yang memproduksi kerajinan tangan ada 400 peserta, yang terdiri dari 250 peserta Dalam Negeri dan sisanya peserta Luar Negeri.

Peserta DNPeserta LNTotal

Makanan100100200

Kerajinan tangan250150400

Total350250600

a. Berapakah probabilita peserta Luar Negeri ?

P (LN) = 250/600 = 0.4167

b. Berapakah probabilita produksi makanan peserta Luar Negeri ?

c. Berapakah probabilita produksi makanan atau produksi kerajinan tangan ?

P ( M U KT) = P (M) + P (KT) = 200/600 + 400/600 = 600/600 = 1

d. Jika memilih produksi kerajinan tangan, berapa probabilita produksi yang berasal dari peserta Luar Negeri ?

P (LN/KT) = P (LN/KT) . P (LN) = 150/400 . 250/600 = 150/400 = 0.375

P (LN)

250/600

e. Berapakah probabilita yang bukan produksi kerajinan tangan ?

P ( KT) = 1 400/600 = 1 0.667 = 0.333

2. Dari hasil pengamatan di SMUN 78 tahun 2000, siswa kelas I berjumlah 225 orang, kelas II berjumlah 200 orang dan siswa kelas III berjumlah 180 orang. Diketahui pula bahwa siswa perempuan dari kelas I berjumlah 125 orang, dari kelas II yang wanita berjumlah 120 orang dan dari kelas III yang perempuan berjumlah 100 orang.

Kelas IKelas IIKelas IIIJumlah

Laki-laki1008080260

Perempuan125120100345

Jumlah225200180605

a. Berapa probabilita siswa di SMUN 78 tersebut perempuan ?

P ( P/KLS I ) = 125/225

P (KLS I) = 225/605

P ( P/KLS II ) = 120/200

P (KLS II) = 200/605

P ( P / KLS III ) = 100/180

P (KLS III) = 180/605

P (P) = P (P/KLS I).P (KLS I) + P( P/KLS II ) .P(KLS II) +P(P/KLS III).P(KLS III)

P (P) = 125/225 . 225/605 +120/200 . 200/605 + 100/180 . 180/605

P (P) = 125/605 + 120/605 + 100/605 = 345/605 = 0.57

b. Jika siswa tersebut laki-laki, berapa probabilita siswa tersebut dari kelas I ?

P (KLS I/LK) = 100/260.260/605 = 0.165 = 0.384

1 0.57 0.437. Bayess Theorem

Contoh : Sebuah pabrik pemutar DVD membeli mikrocip tertentu, LS-24 dari tiga pemasok : Hall Electronics, Schuller Sales dan Crawford Components. 30% cip LS-24 dibeli dari Hall Electronics, 20% dari Schuller Sales dan sisanya 50% dari Crawford Components. Pabrik tersebut memiliki sejarah panjang dengan ketiga pemasok itu dan mengetahui bahwa 3% cip LS-24 dari Hall Electronics biasanya cacat, 5% dari Schuller Sales dan sisanya 4% dari Crawford Components. Ketika cip LS-24 tiba di pabrik, cip tersebut langsung disimpan dan tidak diperiksa dan tidak disimpan berdasarkan pemasoknya. Seorang pekerja memilih sebuah cip untuk dipasang disebuah pemutar DVD dan mendapati cip tersebut cacat. Berapa probabilitas cip tersebut dipasok oleh Sculler Sales ?

Jawab :

Probabilitas cip LS-24 cacat yang berasal dari Schuller Sales dapat secara formal diperoleh menggunakan teorema Bayes. P (A2|B1), dimana A2 mengacu pada Schuller Sales dan B1 adalah fakta bahwa LS-24 yang terpilih didapati cacat (defective)

Diagram pohon (tree diagram) adalah grafik yang berguna dalam menyusun perhitungan-perhitungan yang berlangsung dalam beberapa tahapan. Masing-masing bagian dalam pohon tersebut adalah satu tingkatan dari masalah. Cabang- cabang dari diagram pohon diberi bobot berdasarkan probabilitas.

Contoh : Berdasarkan hasil penelitian ternyata bahwa mahasiswa pria hanya 40% dari total jumlah mahasiswa di Jakarta. Berdasarkan pada tingkat kelulusan ternyata mahasiswa wanita 90% lulus tepat waktu, dan 80% mencapai IPK di atas 3,0. Sedang mahasiswa pria yang lulus tepat waktu hanya 40% dan IPK di atas 3,0 hanya 50%. Hitunglah:

a. Berapa persen, mahasiswa pria lulus tepat waktu dan IPK di bawah 3,0?b. Berapa peluang mahasiswi lulus tepat waktu dan IPK di atas 3,0? Jawab:

a. Peluang mahasiswa lulus tepat waktu di bawah 3,0 = P(N|F|B) = 0,4 x 0,4 x 0,5 = 0,12b. Peluang mahasiswi lulus tepat waktu dengan IPK di atas 3,0: P(G|C|A) = 0,6 x 0,9 x 0,8 = 0,4323. Ekspektasi

Kalau X merupakan variabel random yang memiliki nilai-nilai seperti X1, X2, X3, .., Xn dan probabilitanya adalah P(X1), P (X2), P (X3), .., P(Xn) maka nilai harapan dari X adalah sama dengan rata-rata populasi.

Rumus tersebut menyatakan bahwa jika tiap peristiwa diberi nilai maka pukul rata diharapkan tedapat nilai sejumlah pi di untuk eksperimen tersebut. Contoh : produksi semacam barang rusak 5%. Diambil sebuah sampel acak terdiri atas 60 barang. Maka setiap sampel diharapkan rata-rata berisi 0,05 x 60 = 3 barang rusak4. Permutasi dan Kombinasi

Permutasi

Permutasi suatu obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam urutan yang teratur.

1. Permutasi dari n obyek seluruhnya

nPn = n!

keterangan :

P= permutasi

n = jumlah obyek

n!= n factorial adalah penggandaan dari 1 sampai n

2. Permutasi sebanyak r dari n obyek / dengan metode ruang

nPr= n!

(n r)!

Keterangan :

P= permutasi

n = jumlah seluruh obyek

n!= n factorial adalah penggandaan dari 1 sampai n

r= jumlah obyek yang dipermutasikan

3. Permutasi keliling/ yang membentuk suatu lingkaran

(n -1)!

4. Permutasi r dari n obyek dengan pemulihan

nRr = nr

dengan ketentuan r < n dan merupakan bilangan bulat positif

R= permutasi dengan pemulihan

n = jumlah seluruh obyek

r= jumlah obyek yang dipermutasikan

5. Permutasi dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan

(n1,n2,.nk)= n!

n1!n2!.....nk!

6. Permutasi dari n obyek yang seluruhnya tidak dapat dibedakan

Jika seluruh obyek tidak dapat dibedakan atau obyek itu sama, maka permutasinya hanya 1.

KombinasiKombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemulihan obyek yang bersangkutan tanpamenghiraukan urutan obyek itu.

Kombinasi sebanyak r dari obyek n

nCr= n!

r! (n r)!

Koefisien binomial

Nilai nCr pada hakekatnya merupakan koefisien binomial dari :

2 2 2

(p + q)2 = ( ) p2 + ( ) pq + ( ) q2

0 1 2

1 p2 + 2 pq + 1 q2

Contoh soal :

1. Dalam berapa carakah 4 jilid buku yang berbeda dapat diatur dalam suatu urutan tertentu ?

nPn = n!

4P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

2. Dalam berapa cara 3 huruf yang berbeda dari kata merah dapat diatur dalam suatu urutan tertentu ?

nPr= n!

(n r)!

5P3= 5! = 5.4.3.2.1 = 60

(5 3)! 2.1

3. Sekelompok siswa yang terdiri dari 6 orang duduk mengelilingi meja bundar. Dalam berpa cara keenam mahasiswa diatas dapat diatur ?

(n 1)! = (6-1)! = 5! = 120 cara

4. Irwan ingin mengecat 4 bidang dinding rumahnya antara kanan, kiri, depan dan belakang dengan 3 macam cat warna yaitu merah, putih dan biru dengan ketentuan warna cat tersebut dapat juga dipilih untuk pengecatan yang lain, dalam berapa carakah dinding itu dapat dicat ?

nPr = nr

3P4 = 34 = 81

5. Dalam berapa carakah kata ananda dapat dipermutasikan ?

(n1,n2,.nk)= n!

n1!n2!.....nk!

6

= 6! = 60

3,2,1 3!2!1!

6. Berapa jumlah kombinasi sebanyak 4 unsur yang dipilih dari angka {1,2,3,4,5,6} ?

nCr= n!

r! (n r)!

6C4= 6! = 6.5.4! = 30

4! (6 4)! 4!2!Daftar PustakaSudjana, 2006, Statistika untuk Ekonomi dan Bisnis, Tarsito Bandung

J. Supranto, 2006, Statstika. Teori dan Aplikasi. Erlangga

Anto Dajan, 1964. Jilid 1. Pengantar Metode Statistik

Robert D. Mason, 1996, Teknik Statistika Bisnis dan Ekonomi

Sudjana, 1992, Metode Statistika, Tarsito, Bandung

Suharyadi dan Purwanto, Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, 2006Probabilitas = jumlah kemungkinan hasil

suatu peristiwa jumlah total kemungkinan hasil

P (A U B) = P (A) + P (B)

P (A1 U A2 U A3 . U Am) = P (A1) + P(A2) + P (A3) + .. + P (Am)

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A B)

P (A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B)- P (A C) + P (A B C)

P (A1) + P (A2) + P (A3) + . + P (Am) = 1

P () = 1 - P (A)

P (A/B) = P (A B)

P (B)

P (A/B) = P (A B)

P (B)

P (AB) = P (A B) = P (A/B) x P (B)

P (BA) = P (B/A) x P (A)

P (AB) = P (A B) = P (A/B) x P (B)

P (BA) = P (B/A) x P (A)

P (A) = P (A/Bi) P (Bi)

IPK>3,0

P(G) =0,8

Lulus Tepat

P(C) =0,9

IPK3,0

P(I) =0,8

IPK3,0

P(K) =0,5

Lulus Tepat

P(E) =0,4

Mahasiswa

P(B) =0,4

IPK3,0

P(M) =0,5

IPK