MODUL 7

Rumus Trigonometri untuk Sudut Paruh

Modul ini menguraikan tentang rumus trigonometri untuk sudut paruh, yaitu

AdanAA2

1tan,

2

1cos,

2

1sin

Standar Kompetensi : Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya.

Kompetensi Dasar : Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua

sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut

tertentu.

a. Menurunkan rumus sudut pertengahan untuk menghitung sinus sudut tertentu.

b. Menggunakan rumus sudut pertengahan untuk menghitung sinus sudut tertentu.

c. Menurunkan rumus sudut pertengahan untuk menghitung kosinus sudut tertentu.

d. Menggunakan rumus sudut pertengahan untuk menghitung kosinus sudut tertentu.

e. Menurunkan rumus sudut pertengahan untuk menghitung tangen sudut tertentu.

f. Menggunakan rumus sudut pertengahan untuk menghitung tangen sudut tertentu.

Setelah selesai pembelajaran ini diharapkan siswa dapat:

a. Menurunkan rumus sudut pertengahan untuk menghitung sinus sudut tertentu.

b. Menggunakan rumus sudut pertengahan untuk menghitung sinus sudut tertentu.

c. Menurunkan rumus sudut pertengahan untuk menghitung kosinus sudut tertentu.

d. Menggunakan rumus sudut pertengahan untuk menghitung kosinus sudut tertentu.

e. Menurunkan rumus sudut pertengahan untuk menghitung tangen sudut tertentu.

f. Menggunakan rumus sudut pertengahan untuk menghitung tangen sudut tertentu.

Pendahuluan

Tujuan Pembelajaran

Indikator Pembelajaran

C. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen untuk Sudut Paruh

1. Rumus untuk A2

1sin

Berdasarkan rumus AA2sin212cos −= , maka dapat digunakan menentukan rumus

untuk A2

1sin .

Misal αα2

1 2 =⇒= AA , sehingga:

AA2sin212cos −=

αα2

1sin21cos 2

−=⇔

αα cos12

1sin2 2

−=⇔

2

cos1

2

1sin 2 α

α−

=⇔

2

cos1

2

1sin

αα

−±=⇔

Hal ini berarti:

2. Rumus untuk A2

1cos

Perhatikan rumus 1cos22cos 2−= AA , maka dapat digunakan menentukan rumus

untuk A2

1cos .

Misal αα2

1 2 =⇒= AA , sehingga:

1cos22cos 2−= AA

12

1cos2cos 2

−=⇔ αα

1cos2

1cos2 2

+=⇔ αα

2

1cos

2

1cos2 +

=⇔α

α

Uraian Materi

Rumus untuk 2

cos1

2

1sin

AA

−±= dengan tanda positif (+) untuk sudut A

2

1

berada di kuadran I atau II, dan tanda negatif (-) untuk sudut A2

1 berada di kuadran

III atau IV.

2

1cos

2

1cos

+±=⇔

αα

Hal ini berarti:

3. Rumus untuk A2

1tan

Pada pembahasan yang lalu telah kita peroleh:

2

cos1

2

1sin

AA

−±= dan

2

1cos

2

1cos

+±=

AA

Berdasarkan definisi dasar tangen, diperoleh:

A

AA

21

21

cos

sin

2

1tan =

2

1cos

2

cos1

+±

−±

=A

A

Bentuk A

AA

cos1

cos1tan

21

+

−±= , apabila pembilang dan penyebut dikalikan dengan

Acos1− dan disederhanakan akan diperoleh:

Apabila pembilang dan penyebut dikalikan dengan Acos1+ dan disederhanakan

akan diperoleh:

Rumus untuk 2

1cos

2

1cos

+±=

AA dengan tanda positif (+) untuk sudut A

2

1

berada di kuadran I atau IV, dan tanda negatif (-) untuk sudut A2

1 berada di

kuadran II atau III.

A

AA

cos1

cos1tan

21

+

−±=∴

A

AA

sin

cos1

2

1tan

−=

A

AA

cos1

sin

2

1tan

+=

=A21tan

Positif: kuadran

I dan III

Negatif: kuadran

II dan IV

Ingat!!!!

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 1:

Hitunglah nilai dari:

a. 8

cosπ

b. 015sin

Jawab:

a. 2

4cos1

8cos

π

π+

=

2

22

11+

=

4

22 +=

4

22

8cos

+=∴

π

b. 4

32

2

32

11

2

30cos115sin

00 −

=

−

=−

=

322

1−=

Contoh 2:

Diberikan 13

12sin

−=A , dengan A di kuadran III, hitunglah:

a. 2

cosA

b. 2

tanA

Jawab:

Rumus sinus, kosinus, dan tangen untuk sudut paruh A21 :

1. 2

cos1

2

1sin

AA

−±=

2. 2

1cos

2

1cos

+±=

AA

3. A

AA

sin

cos1

2

1tan

−= , 0sin ≠A

4. A

AA

cos1

sin

2

1tan

+= , 1cos −≠A

a. 13

4

213

513

2

13

51

2

cos1

2cos −=

⋅

−−=

−

−=+

−=AA

13

13

13

2

2cos ⋅−=

A

13

132

2cos −=∴

A

b. 135

135

1

1

cos1

cos1

2tan

−

+−=

+

−−=

A

AA

=4

9

8

18

138

1318

−=−=−

2

3

2tan −=∴

A

Rangkuman

1. Rumus-rumus trigonometri untuk sudut paruh.

(i). 2

cos1

2

1sin

AA

−±= , tanda (+) untuk sudut A

2

1di

kuadran I atau II

tanda (-) untuk sudut A2

1di kuadran

III atau IV

(ii). 2

1cos

2

1cos

+±=

AA , tanda (+) untuk sudut A

2

1di kuadran

I atau IV

tanda (-) untuk sudut A2

1di kuadran

II atau III

(iii). a. A

AA

cos1

cos1tan

21

+

−±= , tanda (+) untuk sudut A

2

1di

kuadran I atau III

tanda (-) untuk sudut A2

1di kuadran

II atau IV

b. A

AA

sin

cos1

2

1tan

−=

c. A

AA

cos1

sin

2

1tan

+=

Karena A di kuadran III berarti

00 270180 << A , maka 2

Adi kuadran II,

yaitu:

0000

1352

902

270

22

180<<⇔<<

AA

MEMO

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.

1. Diketahui π2

10 ,

13

12sin <<= AA

a. Tentukan nilai dari .2

1sin A

b. Tentukan nilai dari .2

1cos A

c. Tentukan nilai dari .2

1tan A

2. Jika13

52sin =x , maka tentukan nilai dari ( )xx cossin + .

3. Hitunglah:

a. 015tan

b. 05,22cos

c. 05,67sin

4. Jika 10

82cos =A dan A sudut lancip, tentukan tan A.

Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban evaluasi 3 yang ada di bagian

akhir modul ini. Hitunglah jumlah jawaban yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah

ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi pada modul 7.

Rumus:

Tingkat penguasaan %100100

xbenaryangjawabanskortotal

=

Arti tingkat penguasaan yang dicapai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Jika anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih anda dapat melanjutkan

dengan modul 8. Tapi kalau kurang dari 80% anda harus mencermati kembali modul 7

terutama bagian yang belum dikuasai.

Evaluasi 3