03510016-selamed
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 03510016-selamed
1/99
DIAGONALISASI SECARA UNITER
PADA MATRIKS HERMITE
SKRIPSI
Oleh:
SELAMED
NIM. 03510016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG
MALANG
2008
-
8/18/2019 03510016-selamed
2/99
DIAGONALISASI SECARA UNITER
PADA MATRIKS HERMITE
SKRIPSI
Diajukan Kepada :
Universitas Islam Negeri Malang
untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Oleh :
SELAMED
NIM. 03510016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG
MALANG
2008
-
8/18/2019 03510016-selamed
3/99
DIAGONALISASI SECARA UNITER
PADA MATRIKS HERMITE
SKRIPSI
Oleh:
SELAMED
NIM : 03510016
Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji
Tanggal: 24 Maret 2008
Pembimbing I
Drs. H. Turmudi, M.Si
NIP.150 209 630
Pembimbing II
Munirul Abidin, M.Ag
NIP. 150 321 634
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M. Si
NIP. 150 318 321
-
8/18/2019 03510016-selamed
4/99
DIAGONALISASI SECARA UNITER
PADA MATRIKS HERMITE
SKRIPSI
Oleh:
SELAMED
NIM : 03510016
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan
Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
SUSUNAN DEWAN PENGUJI TANDA TANGAN
1. Penguji Utama Abdussakir, M.Pd
NIP. 150 327 247 1
2. Ketua Penguji Sri Harini, M.Si
NIP. 150 318 321 2
3. Sekretaris Penguji Drs. H. Turmudi, M.Si
NIP.150 209 630 3
4. Anggota Penguji Munirul Abidin, M.Ag
NIP. 150 321 634
4
Tanggal, 9 April 2008
Mengetahui dan Mengesahkan
Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M.Si
NIP. 150 318 321
-
8/18/2019 03510016-selamed
5/99
MOTTO
Kebenaran Itu Datangnya Dari Allah,
Sebab Itu Jangan Sekali-Kali Kamu Termasuk
Orang-Orang Yang Ragu.
-
8/18/2019 03510016-selamed
6/99
Persembahan
Takkala langkah semakin tak terarah
Kau berikan sinar cerah yang ku sebut anugrah.
Dengan segala kerendahan jiwa dan ketulusan hati
Ku persembahkan karya ini kepada yang terhormat
Bapak Much Ali Bura’i dan mak khalifah tersayang yang seatiasa
mendoakanku,mendidik dan mengayangiku
Abah Sudri Abdul Ghani dan mbuk Samik yang selalu memotivasi serta
penyemangat
Adinda Ahmad dan Nur Hidayati, Miftahul Adlim yang tulus dan iklas
mencurahkan cinta dan kasih sayang
Ustadz, Guru dan Dosen yang iklas memberikan ilmunya dan selalu memberi
motivasi
Istriku Ika Mas’ullah Rahmawati yang selalu menyayangi, memotivasi serta
senantiasa ikhlas menemaniku.
Teman-Temanku Evita, Fikri, Ipunk, Gusdur, Dani, Ghulam, Toni serta teman-
teman angkatan ’03 yang selalu menghibur baik suka ataupun duka
Semoga amal kebaikanya dicatat sebagai ibadah dan mendapatkan balasan
pahala dari Allah
-
8/18/2019 03510016-selamed
7/99
Tak kala langkah semakin tak terarah
Kau berikan sinar cerah yang ku sebut anugah
Segala kerendahan dan ketulusan hati
Ku persembahkan karya ini kepada yang terhormat:
Bapak Much Ali Bura’i dan Mak Khalifah tersayang yang senantiasa
mendoakan, mendidik dan menyayangiku.
Abah Sudri Abdul Ghani dan Mbuk Samik yang selalu memotivasi serta
penyemangat
Adinda Ahmad dan Nur Hidayati, yang tulus dan ikhlas mencurahkan
cinta dan kasih sayang
Ustad, Guru dan Dosen yang ikhlas memberikan ilmunya dan selalu
memberi motivasi
Sahabat-sahabatku angkatan ’03 yang selalu mendampingi, mendukung
hingga perjuangan akhirnya
Semoga amal kebaikannya dicatat sebagai ibadah dan mendapatkan
balasan pahala dari Allah
-
8/18/2019 03510016-selamed
8/99
KATA PENGANTAR
Syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT. yang telah melimpahkan
rahmat, taufik serta hidayah dan inayah-Nya sehingga skripsi dengan judul
“ Diagonalisasi Secara Uniter pada Matriks Hermite” ini dapat terselesaikan
dengan baik. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca, terutama dalam
pengembangan di bidang matematika.
Sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW
yang mana beliau telah mengantarkan manusia ke jalan kebenaran.
Keberhasilan penulisan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan, pengarahan,
dan bantuan dari berbagai pihak baik berupa pikiran, motivasi, tenaga, maupun
do’a dan restu. Karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Bapak Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor Universites Negeri
Malang (UIN) Malang.
2. Bapak Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU., DSc selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Malang.
3. Bapak Drs H. Turmudi, M.Si selaku dosen pembimbing dan Bapak Munirul
Abidin, M.Ag selaku dosen pembimbing agama yang telah memberikan
bimbingan dan petunjuk dalam menyelesaikan skripsi ini.
4. Ibu Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan
ijin dan kemudahan kepada penulis untuk menyusun skripsi.
i
-
8/18/2019 03510016-selamed
9/99
5. Bapak dan Ibu dosen, staf fakultas, dan jurusan matematika serta Bapak
Satpam yang selalu membantu dan memberikan dorongan semangat semasa
kuliah.
6. Bapak Ali dan Mak Kholifah yang tidak pernah berhenti memberikan kasih
sayang, do’a, dan dorongan semangat kepada penulis semasa kuliah hingga
akhir pengerjaan skripsi ini.
7. Ayah Qodim dan ibunda Maslikhah yang selalu memberi semangat kepada
penulis, sehingga penulis menjadi manusia yang bersabar.
8. Ika Mas’ullah Rahmawati yang selalu mendukung, menemani, dan
memberikan semangat serta membuat hari-hari penulis begitu menyenangkan,
terima kasih atas semua perhatian dan kebahagiaan.
9. Teman – teman matematika ’03 terima kasih atas semua kenangan dan
kegilaan kalian semasa kuliah.
10.
Semua pihak yang telah mendukung terselesaikannya skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Amin
Malang, Maret 2008
Penulis
ii
-
8/18/2019 03510016-selamed
10/99
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.................................................................................... i
DAFTAR ISI .................................................................................................. iii
ABSTRAK ..................................................................................................... vi
BAB I: PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ......................................................................... 3
1.3 Batasan Masalah ........................................................................... 4
1.4
Tujuan Penulisa.............................................................................. 4
1.5 Manfaat Penulisan.......................................................................... 4
1.6 Sistematika penulisan..................................................................... 5
BAB II: KAJIAN TEORI
2.1 Bilangan Kompleks.......................................................................... 6
2.2 Konsep Dasar Matriks. .................................................................... 7
2.3 Macam-Macam Matriks ................................................................... 8
2.3.1 Matriks Bujur Sangkar .......................................................... 8
2.3.2 Matriks Identias .................................................................... 9
2.3.2 Matriks Diagonal .................................................................. 10
2.4 Operasi Dalam Matriks .................................................................. 10
2.4.1 Penjumlahan Matriks. .......................................................... 10
2.4.1 Perkalia Matriks .................................................................... 11
iii
-
8/18/2019 03510016-selamed
11/99
2.5 Determinan...................................................................................... 13
2.6 Invers Matriks .............................................................................. 14
2.7 Eliminasi Gauss-Jordan. ................................................................ 18
2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ........................................................ 19
2.9 Diagonalisasi Matriks. .................................................................. 20
2.10 Ruang Vektor Kompleks. ............................................................... 23
2.11 Hasil Kali Dalam Euclidean Kompleks .......................................... 24
2.12 Matriks Uniter, Matriks Hermite, dan Matriks Normal ................. 27
2.12.1 Matriks Uniter ..................................................................... 28
2.12.2 Matriks Hermite. ................................................................. 30
2.12.3 Matriks Normal ................................................................... 31
2.13 Proses Gram-Schmidt. .................................................................. 32
2.14 Kajian Keagamaan. ....................................................................... 34
2.12.1 Allah Maha Matematis. ...................................................... 34
2.12.2 Allah Maha Menciptakan Sesuatu Berdasarkan Ukuran .... 35
2.12.3 Perintah Memahami Alam Semesta Secara Matematis ...... 37
BAB III : PEMBAHASAN
3.1 Diagonalisasi Secara Uniter Pada Matiks Hermite. ...................... 39
3.2 Contoh-contoh Diagonalisasi Secara Uniter ................................. 39
3.2.1
Contoh Diagonalisasi Secara Uniter Ordo 3 x 3 ................ 39
3.2.2
Contoh Diagonalisasi Secara Uniter Ordo 4 x 4 ................ 61
3.3 Tinjauan Agama Terhadap Hasil Pembahasan .............................. 77
iv
-
8/18/2019 03510016-selamed
12/99
BAB IV : PENUTUP
4.1 Kesimpulan .......................................................................................... 83
4.2 Saran..................................................................................................... 83
DAFTAR PUSTAKA
v
-
8/18/2019 03510016-selamed
13/99
ABSTRAK
Selamed, 2008: Diagonalisasi Secara Uniter Pada Matriks Hermite, Jurusan
Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri
Malang. Dosen Pembimbing: (1) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) Munirul
Abidin, M.Ag
Kata Kunci : Matriks, Diagonalisasi, Kompleks, Matriks Hermite
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen)
yang disusun menurut baris dan kolom. Suatu matriks dikatakan matriks riil atau
matriks kompleks sesuai dengan apakah unsurnya bilangan riil atau unsurnya bilangan kompleks.
Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalkan
(diagonalizable) jika ada suatu matriks yang dapat dibalik P sedemikian hingga PP
-
1 AP adalah suatu matriks diagonal D, matriks P dikatakan mendiagonalkan A.
Dalam skripsi akan di bahas diagonalisasi secara uniter pada matriks Hermite.
Berdasarkan hasil pembahasan, maka langkah-langkah diagonalisasi secara
uniter pada matriks Hermite sebagai berikut:
Langkah 1. Carilah polinom karakteristik matriks A.
Langkah 2. Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A.
Langkah 3. Terapkan eliminasi Gauss-Jodan.
Langkah 3. Carilah vektor-vektor eigen dari matriks A.
Langkah 4. Carilah basis untuk masing-masing ruang eigen A.
Langkah 5. terapkan proses Gram-Schmitd terhadap masing-masing basis untuk
mendapatkan basis ortonormal bagi masing-masing rang eigen.
Langkah 6. Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vetor basis
yang dibangun di langkah 5. Matriks P secara uniter mendiagonalkan A.
Langkah 7. Buktikan P dengan menunjukkan PP*= P
-1P , maka P mendigonalkan A
secara uniter.
Berdasarkan hasil pembahasan skripsi ini diperoleh penyelesaian matriks
berordo 3 x 3 dan 4 x 4, oleh karena itu diharapkan pada skripsi yang lain dapat
dikembangkan pada ordo 5 x 5 ke atas.
vi
-
8/18/2019 03510016-selamed
14/99
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Semua yang ada di alam ini, ada ukurannya, ada hitungannya, ada
rumusnya atau ada persamaannya. Ahli matematika atau fisika tidak membuat
suatu rumus sedikitpun, tetapi mereka hanya menemukan rumus atau persamaan
tersebut. Apabila dalam kehidupan terdapat suatu permasalahan, manusia harus
berusaha untuk menemukan selesaiannya atau solusinya. Firman Allah dalam Al-
Qur’an surat Al Furqan ayat 2.
Artinya: “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak
mempunyai anak, dan tidak ada sekutu bagiNya dalam kekuasaan(Nya),
dan dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-
ukurannya dengan serapi-rapinya.”(Q.S Al- Furqan: 2)
Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun
alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala
isinya diciptakan oleh Allah dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan
perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan
yang seimbang dan rapi. Sungguh tidak salah jika dinyatakan bahwa Allah adalah
Maha matematis. (Abdusysyakir,2007:79-80). Allah berfirman dalam Al-Qur’an
surat Al Qamar : 49
-
8/18/2019 03510016-selamed
15/99
Artinya: ”Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran”.
(Q.S Al- Qamar : 49).
Matematika merupakan salah satu bagian dari ilmu dasar (basic science)
yang memiliki peran penting di era kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi.
Peranan matematika dalam menyelesaikan masalah di dunia nyata sudah tidak di
ragukan lagi. Dengan matematika diharapkan akan diperoleh solusi akhir yang
tepat, valid dan dapat diterima secara ilmiah oleh dunia pengetahuan.
Pendiagonalisasian matriks merupakan salah satu bagian dari ilmu matematika
yang secara umum dapat memberikan cara-cara yang mudah untuk mendapatkan
solusi suatu permasalahan.
Diagonalisasi banyak diterapkan dalam berbagai ilmu pada umumnya
dan pada khususnya juga ilmu matematika itu sendiri. Penerapan dalam irisan
kerucut dan persamaan differensial merupakan contoh penerapan dalam bidang
matematika. Sedang selain ilmu matematika, diagonalisasi juga diterapkan antara
lain dalam ilmu genetika dan getaran, dimana dalam penerapannya diagonalisasi
dilakukan pada matriks dengan unsur riil.
Pada banyak penerapannya, diagonalisasi digunakan pada matriks
dengan unsur riil, sehingga pembahasan mengenai masalah tersebut banyak
dijumpai. Sampai saat ini dipandang hanya ruang-ruang vektor skalarnya berupa
bilangan riil saja yang digunakan dalam penerapan penting dalam vektor.
Penerapan lain dari diagonalisasi menghendaki diperbolehkan dilakukan pada
-
8/18/2019 03510016-selamed
16/99
matriks dengan unsur kompleks, dalam hal ini ruang yang digunakan adalah ruang
vektor yang yang mempunyai skalar kompleks.
Diagonalisasi matriks dapat dilakukan pada matriks dengan unsur
bilangan riil maupun pada matriks dengan unsur bilangan kompleks. Akan tetapi
pada kenyataannya diagonalisasi matriks lebih banyak dilakukan pada matriks
dengan unsur bilangan riil. Oleh karena itu bermaksud untuk mengkaji matriks
dengan unsur bilangan kompleks.
Melakukan diagonalisasi pada matriks yang mempunyai unsur bilangan
kompleks tidak jauh berbeda dengan diagonalisasi pada matriks dengan bilangan
riil, ini berkaitan dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan kompleks.
Berbeda dengan ruang vektor riil, dalam ruang vektor kompleks semua matriks
mempunyai nilai eigen. Diagonalisasi matriks dengan unsur bilangan kompleks
dilakukan pada matriks Hermite.
Bilangan kompleks mempunyai sifat-sifat tersendiri, sehingga ada
beberapa hal yang memerlukan pembahasan yang berkaitan sifat-sifat bilangan
kompleks, seperti ruang vektor kompleks, matriks uniter, matriks Hermite dan
matriks normal. Dimana nantinya akan memudahkan dalam prosedur
diagonalisasi matriks yang mempunyai skalar kompleks.
Oleh karena itu, penulis dalam skripsi ini mengambil judul tentang:
Diagonalisasi Secara Uniter Pada Matriks Hermite.
1.2 Rumusan Masalah
Bagaimana prosedur diagonalisasi secara uniter pada matriks Hermite.
-
8/18/2019 03510016-selamed
17/99
1.3 Batasan Masalah
Penulisan skripsi ini dibatasi pada matriks Hermite dengan ordo 3 x 3 dan
4 x 4.
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui proses
diagonalisasi secara uniter pada matriks Hermite.
1.5 Manfaat Penulisan
Penulisan skripsi ini diharapkan bisa bermanfaat bagi:
1. Bagi penulis, sebagai partisipasi penulis dalam memberikan kontribusi
terhadap pengembangan keilmuan, khususnya dalam bidang matematika.
Dapat menambah wawasan penulis untuk mengetahui lebih dalam teori-
teori aljabar linier lebih lanjut.
2. Bagi pembaca, khususnya bagi jurusan matematika dapat memberikan
masukan dalam memahami aljabar linier lebih lanjut.
3. Bagi pengembang ilmu, dapat dijadikan sebagai bahan kajian keilmuan
untuk menambah wawasan keilmuan.
-
8/18/2019 03510016-selamed
18/99
I. 6 Sistematika Pembahasan
Untuk memudahkan pembahasan dalam skripsi ini penulis membagi ke
dalam empat bab, yaitu :
BAB I PENDAHULUAN
Berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan
masalah, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II KAJIAN TEORI
Berisi tentang matriks dan operasi matriks, determinan dan invers
matriks, eliminasi Gauss-Jordan, matriks Uniter, Hermite, Normal,
proses Gram-Schmidt dan kajian keagamaan.
BAB III ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Berisi tentang diagonalisasi secara uniter pada matriks Hermite,
contoh diagonalisasi secara uniter pada matriks Hermite.
BAB IV PENUTUP
Berisi kesimpulan dan saran.
-
8/18/2019 03510016-selamed
19/99
BAB II
KAJIAN TEORI
2.1 Bilangan Kompleks
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut bilangan riil yang
dinyatakan oleh (a, b) atau a + bi. (Anton, 1997: 388).
Beberapa contoh bilangan kompleks dalam kedua notasi:
Pasangan terurut Notasi ekivalen
(2, 4)
(-2, 8)
(6, -3)
2 + 4i
-2 + 8
6 + (-3)
Kadang-kadang untuk memudahkan digunakan huruf tunggal, misalkan z,
untuk menyatakan bilangan kompleks. Sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
z = a +bi
dengan a dan b merupakan bilangan riil yang disebut bilangan kompleks dan ini
diperlakukan sesuai dengan aturan baku dengan tambahan sifat bahwa i2
= -1.
Dalam notasi himpunan, dapat dinyatakan bahwa
C = {a + b i ⏐a,b ∈ R, dan i2=-1}.
-
8/18/2019 03510016-selamed
20/99
2.2 Konsep Dasar Matriks
Definisi 1
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-
elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat
persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh
banyaknya kolom-kolom dan baris-baris (Supranto, 1993: 3).
Apabila suatu matriks A terdiri m baris dan n kolom, maka matriks dapat
dinyatakan sebagai berikut:
A m x n = =(a
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
..
:::
..
..
21
22221
11211
ij), i=1,2, …,m dan j= 1,2, ..,n
Bilangan-bilangan aij disebut elemen-elemen dari matriks A berukuran m x
n dengan i = 1, 2, 3,…, m, dan j = 1, 2, 3 …, n dan m, n adalah bilangan bulat
susunan unsur horisontal dinamakan baris atau vektor baris sedangkan susunan
unsur vertikal dinamakan kolom atau vektor kolom dari matriks A.
Suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris dinamakan suatu matriks
baris (atau vektor baris), sedangkan suatu matriks yang hanya mempunyai satu
kolom (vektor kolom). Jika banyaknya baris m dan kolom n sama, maka
matriksnya dinamakan matriks bujur sangkar berukuran n x n, atau disingkat
berukuran n. Suatu matriks dikatakan matriks riil atau matriks kompleks sesuai
dengan apakah unsurnya bilangan riil atau unsurnya bilangan kompleks
Susunan matriks persegi panjang disebut sebuah matriks m kali n (ditulis
m×n) karena memiliki m baris dan n kolom. Sebagai aturan, kurung siku [ ]
-
8/18/2019 03510016-selamed
21/99
kurung biasa ( ) atau bentuk . Hal ini suatu cara sederhana untuk menyajikan
suatu susunan (tabel) dari bilangan-bilangan.
Sebuah matriks pada umumnya merupakan susunan bilangan-bilangan
yang berdimensi dua, maka diperlukan dua subkrip yang menyatakan setiap
elemennya (isi, elemen-elemen matriks). Dengan perjanjian, subkrip pertama
berkaitan dengan barisan, dan kedua di kolom. Maka a23 berkaitan dengan baris
kedua dan kolom ketiga; dan aij berkaitan dengan elemen di baris ke-i dan kolom
ke- j. Tidak perlu ada hubungan antara jumlah baris dan jumlah kolom. Sebuah
matriks, misalkan, dapat memiliki 100 baris dan 10 kolom atau 1 baris dan 1000
kolom.
Setiap matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama
disebut matriks bujur sangkar. Sebuah matriks bujur sangkar dengan n baris dan n
kolom sering disebut matriks berordo-n. setiap matriks yang berordo-n sesuai
dengan definisi adalah matriks bujur sangkar.
2.3 Macam-Macam Matriks
2.3.1 Matriks Bujur Sangkar
Definisi 1
Matriks bujur sangkar adalah matriks dengan jumlah baris dan kolom
yang sama (Lipschut, 2004: 15).
Matriks bujur sangkar n x n dikatakan berordo n dan kadang-kadang
disebut matriks – n.
-
8/18/2019 03510016-selamed
22/99
Contoh:
Jika n = 3
Maka
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+−−
263
42
112
i
iii
iii
Contoh di atas adalah matriks bujur sangkar dengan ordo 3 x 3 dengan
unsur bilangan kompleks.
2.3.2 Matriks Identitas
Definisi 1
Matriks identitas bujur sangkar atau matriks satuan, dinotasikan dengan I n
atau singkatnya I , adalah matriks bujur sangkar dengan entri 1 pada
diagonalnya dan entri nol pada bagian lainnya. Matriks identitas mirip
dengan skalar 1 sehingga di dalam sebarang matriks bujur sangkar A, AI
=IA = A.
Contoh:
Jika n = 3
Maka
I 3 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100
010
001
Contoh di atas adalah matriks identitas karena diagonal utamanya 1.
-
8/18/2019 03510016-selamed
23/99
2.3.3 Matriks Diagonal
Definisi 1
Matriks bujur sangkar D= ijd disebut matriks diagonal jika seluruh entri
tak diagonalnya adalah nol. Matriks diagonal kadang-kadang dinotasikan
dengan :
D = diag (d 11 , d 22,…, d nn)
Di mana d 11 tidak boleh nol semua.
Contoh:
Jika n = 3
maka
D = D =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
400
020
001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
700
000
005
Contoh di atas adalah matriks diagonal karena sumbu utamanya taknol.
2.4 Operasi Dalam Matriks
2.4.1 Penjumlahan Matriks
Definisi 1
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah
A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama
entri yang bersesuaian dengan matriks tersebut. Matriks yang ukurannya
berbeda tidak dapat dijumlahkan. (Anton, 1997: 23).
-
8/18/2019 03510016-selamed
24/99
Contoh:
Jika A = B =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
+−
ii
i
2
3⎥⎦⎤⎢
⎣⎡−
−ii
i
31
15
maka
A+B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+
−++−
iii
ii
3)1)(12(
)1(35
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−
i
ii
4
)4(
3
5
2.4.2 Perkalian Matriks
Definisi 1
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali
(product) c• A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-
masing entri dari A dengan c (Anton, 1997: 24).
Contoh:
Jika A adalah matriks
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−
ii
i 3
2
maka
iA = i ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−
ii
i
2
3
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−22
2
2
3
iii
ii
-
8/18/2019 03510016-selamed
25/99
Definisi 2
Apabila Amxn = (aij), Bnxp = (bij), perkalian matriks A x B = AB = C ,
dimaksudkan suatu matriks (m x p); (AB = C), yaitu matriks dengan m
baris dan p kolom, di mana elemen C dari baris ke-i kolom ke- j diperoleh
degan rumus
Cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + … +ain bn j , 1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n (Supranto, 1993: 7).
Contoh:
Diketahui matriks-matriks
A = B =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−
ii
i
2
3⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
ii
i
31
15
maka
A B =• ⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
+
−
ii
i
2
3⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
−
−
ii
i
31
15
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−++
+−−−+−
iiiiiii
iiiii
3.)1).(2()1.(5).2(
3.3)1()1(35.
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
+−−+−
ii
iiii
22510
92335
= ⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡
−+
−
ii
ii
22510
783
-
8/18/2019 03510016-selamed
26/99
-
8/18/2019 03510016-selamed
27/99
Contoh:
Misal diketahui matriks A =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
++
2
1
2
1
2
1
2
1
ii
ii
maka
det (A) = ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
1
2
1
2
1
2
1 iiii
= ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+−
4
11
4
11 iiii
= ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
4
2
4
2
=4
4− = -1
2.6 Invers Matriks
Definisi 1
Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor entri Aij dinyatakan
oleh M ij dan di definisikan sub-matriks yang tetap setelah baris ke- I dan
kolom ke- j dicoret dari A. Bilangan (-1) I + j
(M ij) dinyatakan oleh C
ij dan
dinamakan kofaktor entri aij (Anton, 1997: 77).
-
8/18/2019 03510016-selamed
28/99
Contoh :
Jika diketahui matriks
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−−
−
=
ii
ii A
3212
211
111
maka minor dari a11 adalah
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−−−
−
=iiii M
3212211
111
11
=ii
i
321
21
−+−
−
= 1 (-i) (-3i) – (-1 + 2i) (-3i)
= -3i + 3i2 – (3i – 6i2)
= -3- 3i- 3i – 6
=-9-6i
jadi, kofaktor dari a11 adalah
C11 = (-1) I + j (Mij) = M11 = - 9 - 6i
Definisi 2
Jika A adalah sebarang matriks n x n dan C ij kofaktor aij , maka matriks
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
C C C
C C C
C C C
21
22221
11211
MLMM
K
L
dinamakan matriks dengan kofaktor A. tranpos ini dinamakan adjoin A dan
dinyatakan dengan adj (A) (Anton, 1997: 81).
-
8/18/2019 03510016-selamed
29/99
Contoh:
Jika diketahui matriks
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−−
−
=
ii
ii A
3212
211
111
kofaktor dari A adalah
1312342
3169
333231
232221
131211
==+−= +−=−=−−=
==−−=
C iC iC iC iC iC
iC C iC
Sehingga matriks kofaktor adalah
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+−−−−
−−
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
131
2342
3169
333231
232221
131211
ii
iii
ii
C C C
C C C
C C C
dan adj(A) adalah
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−
+−−−−−
=
1233
1
314269
)(
ii
ii
iii
Aadj
Teorema 1
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, A-1
= )()det(
1 Aadj
A
(anton, 1997: 82).
Contoh:
Misal diketahui matriks A =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
++
2
1
2
12
1
2
1
ii
ii
Carilah invers matriks A
-
8/18/2019 03510016-selamed
30/99
Penyelesaian
det (A) =2
1.2
12
1.2
1 iiii −+−+−+
= -1
maka
A-1
= )(
)det(
1 Aadj
A
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
+−−
−2
1
2
12
1
2
1
1
1
ii
ii
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
−+−
2
1
2
12
1
2
1
ii
ii
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk membentuk invers
matriks bujur sangkar A diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Hitung determinan A.
2. Bentuk matriks C yang elemen-elemennya adalah kofaktor
elemen det (A).
3. Tuliskan tranpos matriks C , untuk memperoleh adj (A).
4. Bagi masing-masing elemen dengan det (A).
5. Matriks terakhir yang diperoleh adalah matriks invers.
-
8/18/2019 03510016-selamed
31/99
2.7 Eliminasi Gauss-Jordan
Untuk memecahkan suatu sistem persamaan linear dapat digunakan
metode eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan cara mereduksi sebarang matriks
menjadi bentuk baris eselon tereduksi. Misalnya :
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
::
..
:::
..
..
2
1
2
1
21
22221
11211
Jika elemen-elemen matriks b dituliskan dalam matriks A, maka diperoleh
matriks yang diperluas (augmented matriks) B untuk sistem persamaan tersebut,
yaitu :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
.
.....
.....
..
..
21
222221
111211
Eliminasikan elemen-elemen dalam kolom pertama, kecuali elemen a 11,
dengan cara mengurangi baris kedua dengan11
21
a
a, ( 011 ≠a ) kali baris pertama dan
mengurangi baris ketiga dengan11
31
a
a
, ( 011 ≠a ) kali baris pertama, dan seterusnya,
maka langkah-langkah ini akan menghasilkan matriks baru yang berbentuk :
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nmnm
n
n
d cc
d cc
baaa
.0
.....
.....
..0
..
2
2222
111211
-
8/18/2019 03510016-selamed
32/99
Proses tersebut diulangi lagi untuk mengeliminasi elemen kolom kedua c12
mulai dari baris ketiga ke bawah sehingga matriks terakhir akan berbentuk baris
eselon tereduksi.
2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 1
Jika A adalah suatu matriks n x n, maka vektor tak nol x pada Rn disebut
suatu vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah suatu
penggandaan skalar dari x, yaitu :
Ax = λ x
untuk suatu skalar λ . Skalar λ disebut nilai eigen (eigen value) dari A,
dan x disebut suatu vektor eigen dari a yang bersesuaian dengan
λ (Cullen, 1992 :134).
Untuk mencari suatu nilai eigen dari suatu matriks A yang berukuran n x n,
maka dapat dituliskan kembali Ax = λ x sebagai
Ax = λ Ix
atau:
Ax - λ Ix = 0
secara ekivalen :
(A-λ I)x = 0
Supaya λ merupakan nilai eigen dari suatu matriks, maka harus ada
pemecahan tak nol dari persamaan tersebut, jika dan hanya jika :
det (A-λ I) = 0
-
8/18/2019 03510016-selamed
33/99
Persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik dari A. Skalar-skalar
yang memenuhi persamaan diatas adalah nilai eigen dari A. Jika diperluas, maka
determinan (A -λ I) adalah sebuah polinomial di dalam λ yang dinamakan
polinomial karakteristik dari A. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n x n
berbentuk :
det(λ I – A) = λ n + c1λ
n-1 + … + cn
2.9 Diagonalisasi Matriks
Definisi 1
Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalkan
(diagonalizable) jika ada suatu matriks yang dapat dibalik P sedemikian
hingga PP-1 AP adalah suatu matriks diagonal D, matriks P dikatakan
mendiagonalkan A. (Anton, 1997:284).
Teorema 1
Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekivalen satu sama lain :
(a) A dapat didiagonalisasi
(b) A mempunyai n vektor eigen bebas linier
bukti (a) karena A dianggap didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang
dapat dibalik
)(b⇒
P = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
p p p
p p p
p p p
...
...
...
21
22221
11211
-
8/18/2019 03510016-selamed
34/99
Sehingga PP
-1 AP diagonal, katakanlah P-1
P
AP = D, dimana
D =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
...00
0...0
0...0
λ
λ
λ
Maka, AP = DP, yaitu :
AP =
= ……………………….1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
p p p
p p p
p p p
...
...
...
21
22221
11211
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
...00
0...0
0...0
λ
λ
λ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnnn
nn
nn
p p p
p p p
p p p
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
...
...
...
2211
2222211
1122111
Misalkan p1 , p2 , …, pn menyatakan vektor-vektor kolom P, maka bentuk 1)
kolom-kolom AP yang berurutan adalah nn p p p λ λ λ ,...,, 2211 . Akan tetapi,
kolom AP yang berurutan adalah . Jadi harus memperolehn
Ap Ap Ap ,...,, 21
nnn p Ap p p p Ap λ λ λ λ === ,...,, 2222111 ………………………2)
karena P dapat dibalik, maka vektor-vektornya taknol, jadi menurut 2)
nλ λ λ ,...,, 21 adalah nilai eigen A, dan p1 , p2 , …, pn adalah vektor eigen yang
bersesuaian. Karena P dapat dibalik maka menurut teorema diperoleh bahwa
p1 , p2 , …, pn bebas linier. Jadi, A mempunyai n vektor eigen bebas linier.
(b) Anggaplah bahwa A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.
Maka p
)(a⇒
1 , p2 , …, pn dengan nilai eigen yang bersesuaian nλ λ λ ,...,, 21 dan
misal :
-
8/18/2019 03510016-selamed
35/99
P = ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
p p p
p p p
p p p
...
...
...
21
22221
11211
adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah p1 , p2 , …, pn , kolom
dari hasil kali AP adalah
n Ap Ap Ap ...,,, 21
tetapi
nnn p Ap p p p Ap λ λ λ λ === ...,,, 2222111
sehingga
AP =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnnn
nn
nn
p p p
p p p
p p p
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
...
...
...
2211
2222211
1122111
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
p p p
p p p
p p p
...
...
...
21
22221
11211
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
...00
0...0
0...0
λ
λ
λ
= PD …………………………………3)
Di mana D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai eigen
nλ λ λ ,...,, 21 pada diagonal utama. Karena vektor-vektor kolom dari P bebas
linier, maka P dapat dibalik, jadi persamaan 3) dapat dituliskan kembali
sehingga PP-1 AP = D dengan demikian A terdiagonalisasi.
-
8/18/2019 03510016-selamed
36/99
2.10 Ruang Vektor Kompleks
Misalkan V sebarang himpunan vektor yang dua operasinya telah
didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar dalam bentuk
bilangan kompleks. Penjumlahan disini berarti mengasosiasikan sebuah aturan
dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V , yang mengandung elemen u + v ,
yang dinamakan jumlah u dan v .
Sedangkan perkalian skalar diartikan sebagai aturan untuk
mengasosiasikan baik setiap skalar kompleks k maupun setiap vektor u pada V
yang mengandung elemen k u , yang dinamakan perkalian skalar u oleh k . Jika
aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua vektor u , v dan w pada V dan
semua skalar kompleks k dan l, maka V dinamakan sebuah ruang vektor
kompleks.
Aksioma-aksioma tersebut adalah sebagai berikut:
1. Jika u dan v adalah vektor pada V , maka u + v berada di V .
2. u + v = v + u
3. u + ( v + w ) = (u + v ) w
4. Ada sebuah vektor 0 di V sedemikian hingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua
u di V
5. Untuk semua u di V , ada sebuah vektor - u di V yang disebut sebagai negatif
u sedemikian hingga u + (-u ) = (-u ) + u = 0
6. Jika k sebarang skalar kompleks dan u sebarang vektor di V, maka k u berada
di V .
-
8/18/2019 03510016-selamed
37/99
7. k ( u + v ) = k u + k v
8. (k + 1) u = k u + lu
9. k ( l u ) = ( kl ) (u )
10. lu = u
Kombinasi linier dalam ruang vektor kompleks didefinisikan sama dengan
di ruang vektor riil, kecuali skalarnya berupa bilangan kompleks. Vektor W
dinamakan kombinasi linier dari vektor-vektor v1 , v2 ,…, vr jika W dapat
dinyatakan dalam bentuk:
W = k v1 + k b v2 + … + k vr
dimana k 1 , k 2 , …, k r adalah bilangan-bilangan kompleks.
2.11 Matriks Uniter, Matriks Hermite, dan Matriks Normal
Dalam matriks dengan unsur riil, matriks bujur sangkar A dikatakan
matriks ortogonal jika A-1 = At . A dikatakan simetris jika A = A
t . Matriks
ortogonal dan matriks simetris memiliki peran penting dalam diagonalisasi
matriks dengan unsur riil. Sedangkan matriks uniter, matriks Hermite, matriks
normal memiliki peranan penting dalam diagonalisasi matriks dengan unsur
kompleks.
Jika A merupakan matriks dengan unsur kompleks, maka tranpos sekawan
A, yang dinyatakan oleh A , didefinisikan oleh:∗
A = A∗t
-
8/18/2019 03510016-selamed
38/99
Contoh:
Misal diketahui matriks A = ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
−+−
iii
ii
32
2
maka
At = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−
−+
iii
ii
32
2
sehingga
A =A∗ t
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+ii
ii
3
212
2.11.1 Matriks Uniter
Definisi 1
Matriks bujur sangkar A dengan unsur kompleks disebut uniter jika :
A-1
= A* .(Anton : 1997:426)
Suatu matriks uniter sesungguhnya adalah suatu matriks ortogonal.
Teorema 1
Jika A matriks bujur sangkar dengan unsur kompleks, maka pernyataan
berikut ekivalen (setara):
a.
A dapat didiagonalkan secara uniter.
b. A mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen.
c.
A normal. (Anton : 1997 : 429)
Bukti (a) ⇒ (b) karena A dapat didiagonalkan secara uniter, maka terdapat
matriks P yang ortogonal sehingga PP-1 AP uniter. Jika ( p , p , ..., p )
menyatakan vektor-vekor kolom P, maka vektor kolom ke-n dari P adalah
1 2, n
-
8/18/2019 03510016-selamed
39/99
vektor eigen A. Karena P uniter, maka vektor-vektor kolom P ortonormal
sehingga A mempunyai n vektor eigen ortonormal.
Bukti (b) ⇒ (a) Anggaplah bahwa A mempunyai himpunan ortonormal dari n
vekor eigen { p1 , p2, , ..., pn }. maka matriks P dengan vektor-vektor eigen P
sebagai kolom-kolom akan mendiagonalkan A. Karena vektor-vekor eigen
P ortonormal, maka P ortogonal sehingga akan mendiagonalkan A secara
uniter.
Bukti (a) ⇒ (c) Dalam Bukti (a) ⇒ (b) menunjukkan bahwa matriks A yang
berukuran n x n dapat didiagonalkan oleh matriks P yang berukuran n x n
secara uniter yang yang kolom-kolomnya membentuk himpunan
ortonormal dari vektor-vektor eigen yang berukuran A. Misalkan D adalah
matriks diagonal.
D = P-1 AP
Jadi,
A = PDP-1
Atau, karena P ortogonal, maka
A = PDPt
sehingga
At =( PDP t)t
= PDt P
t
= PDPt
= A
yang menunjukkan bahwa A adalah normal.
-
8/18/2019 03510016-selamed
40/99
2.11.2 Matriks Hermite
Matriks simetrik memainkan peranan mendasar dalam masalah
pendiagonalan matriks secara ortogonal dengan unsur rill. Analog kompleks yang
paling alamiah dari matriks riil simetrik adalah Hermite .
Definisi 1
Matriks bujur sangkar A dengan unsur kompleks disebut Hermite, jika
A = A* (Anton , 1997 : 428).
Untuk memudahkan mengenali matriks hermite dengan pemeriksaan unsur-
unsur pada diagonal utama adalah biilangan rill “bayangan cermin” dari masing-
masing unsur terhadap diagonal utama adalah kompleks sekawan.(gambar 1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+
321
25
11
ii
ii
ii
Teorema 1
Nilai-nilai eigen matriks hermite adalah bilangan riil (leon. 2001 : 295)
Bukti. Jika λ nilai eigen dan v vektor eigen yang ber sesuaian dengan suatu
matriks hermite A yang berukuran n x n , maka
Av = λ v
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan ini dari kiri dengan tranpos
sekawan dari v vektor dan menghasilkan
v* Av = v
*(λ v) = λ v
* v …………………..1)
Akan ditunjukkkan bahwa matriks 1 x 1 v* A v dan v*v kedua mempunyai
unsur riil, sehingga dari persamaan 1) akan menyusul bahwa λ harus
berupa bilangan riil.
-
8/18/2019 03510016-selamed
41/99
Tetapi v* Av dan v*v adalah matriks hermite, karena
(v*
Av)*
= v*
A*
(v*
)*
= v*
Av
dan
(v* v)
* = v
* (v
*)* = v
* v
Karena matriks-matriks hermite mempunyai unsur riil pada diagonal
utamanya. Dan karena v* Av dan v
*v adalah 1 x 1 , menyusul bahwa matriks-
matriks ini mempunyai unsur riil, yang melengkapi pembuktian.
2.11.3 Matriks Normal
Definisi 1
Matriks bujur sangkar A dengan unsur kompleks disebut normal jika
A A* = A
* A (Wiley & Sons : 342)
Contoh:
Setiap matriks hermite A adalah normal karena A A* = A A = A
* A
dan setiap matriks uniter normal karena A A* = I = A
* A
2.12 Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt adalah langkah-langkah untuk mengubah sebarang
basis di suatu ruang vektor menjadi basis ortonormal. Misalkan V adalah sebarang
ruang hasil kali dalam berdimensi n tak nol, misalkan S = (u1 , u2, …, un) adalah
sebarang basis untuk V . Langkah-langkah berikut akan menghasilkan basis
ortonormal (v1, v2 , …, vn).
langkah 1. v1
=1
1
u
u
-
8/18/2019 03510016-selamed
42/99
langkah 2. v2 =1121
1111
)(
.
vvuu
vvuu
−
>
-
8/18/2019 03510016-selamed
43/99
( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ −=
6
,
6
,
6
2
63
,
3
,
33
,0,0iiiiiiii
i
= ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2
,2
,0ii
karena itu,
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−=
2,
2,0,
6,
6,
6
2,
3,
3,
3
2,
2,0
2,
2,02
321
33
33
iiv
iiiv
iiiv
sehingga
iiii
u proyu
u proyuv
w
w
Membentuk suatu basis ortonormal untuk C 3
2.13 Kajian Keagamaan
2.13.1 Allah Maha Matematis
Matematika disebut sebagai ilmu hitung karena pada hakikatnya
matematika berkaitan dengan bilangan-bilangan dan masalah hitung menghitung.
Mempelajari bilangan dan angka-angka mendapat dorongan kuat dari Al Qur’an
yang membuka cakrawala baru dalam bidang matematika.
Matematika pada dasarnya berkaitan dengan pekerjaan menghitung,
sehingga tidak salah jika kemudian ada yang menyebut ilmu hitung atau ilmu Al-
hisab. Dalam urusan hitung menghitung ini, Allah adalah rajanya. Allah sangat
cepat dalam menghitung dan sangat teliti. Dalam hal ini Allah berfirman dalam
surat Al-Baqarah ayat 202:
-
8/18/2019 03510016-selamed
44/99
Artinya : “ Mereka itulah orang-orang yang mendapat bahagian daripada yang
mereka usahakan; dan Allah sangat cepat perhitungan-Nya”.
(QS Al-Baqarah: 202)
Allah juga menyebutkan dalam surat Ali Imran ayat 199:
Artinya :” Dan sesungguhnya diantara ahli kitab ada orang yang beriman kepada
Allah dan kepada apa yang diturunkan kepada kamu dan yang
diturunkan kepada mereka sedang mereka berendah hati kepada Allah
dan mereka tidak menukarkan ayat-ayat Allah dengan harga yang
sedikit. Mereka memperoleh pahala di sisi Tuhannya. Sesungguhnya
Allah amat cepat perhitungan-Nya”(QS Ali Imran:5).
Pada bagian sebelumnya, telah dijelaskan Allah maha matematis. Bukti-
bukti bahwa Allah maha matematis tertampang begitu jelas dalam alam semesta,
dalam masalah pemberian pahala,dan dalam masalah shalat. Bahkan Al-Qur’an
menjelaskan tentang perkalian dan perhitungan bilangan dalam berbagai peristiwa
dan dalam berbagai konteks.(Rahman, 2000: 100).
2.13.2 Allah Menciptakan Sesuatu Berdasarkan Ukuran
Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun
alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala
isinya diciptakan oleh Allah dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan
perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan
yang seimbang dan rapi. (Abdussakir, 2007: 79)
Allah berfirman dalam Al-Qur’an surat Al Qamar : 49 sebagai berikut:
-
8/18/2019 03510016-selamed
45/99
Artinya: ”Sesungguhnya Kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran”.
(Q.S Al- Qamar : 49).
Selain itu juga terdapat dalam Al-Qur’an surat Al Furqan ayat 2:
Artinya: “Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan Dia tidak
mempunyai anak, dan tidak ada sekutu bagiNya dalam kekuasaan(Nya),
dan dia telah menciptakan segala sesuatu, dan Dia menetapkan ukuran-
ukurannya dengan serapi-rapinya.”(Q.S Al- Furqan: 2)
Semua yang ada di alam ini, ada ukurannya, ada hitungannya, ada
rumusnya atau ada persamaannya. Ahli matematika atau fisika tidak membuat
suatu rumus sedikitpun, tetapi mereka hanya menemukan rumus atau persamaan
tersebut. Apabila dalam kehidupan terdapat suatu permasalahan, manusia harus
berusaha untuk menemukan selesaiannya atau solusinya.
Oleh karena itu, sangat penting sekali bagi manusia untuk belajar
matematika karena matematika memang ada dalam Al Quran, misalnya tentang
penjumlahan, pengurangan, persamaan, ilmu faraidh, dan lain sebagainya. Dengan
belajar matematika, selain untuk melatih dan menumbuhkan cara berpikir secara
sistematis, logis, analitis, kritis, kreatif dan konsisten, juga diharapkan dapat
menumbuhkan sikap teliti. Dalam hal ini, Allah berfirman dalam Al-Qur’an surat
Al-Mu’minuun ayat 112-114:
-
8/18/2019 03510016-selamed
46/99
Artinya: “ Allah bertanya: "Berapa tahunkah lamanya kamu tinggal di bumi?
Mereka menjawab: "Kami tinggal (di bumi) sehari atau setengah hari,
maka tanyakanlah kepada orang-orang yang menghitung."
Allah berfirman: "Kamu tidak tinggal (di bumi) melainkan sebentar
saja, kalau kamu sesungguhnya mengetahui”.
2.13.3 Perintah Memahami Alam Semesta Secara Matematis
Akal merupakan pemberian Allah yang hanya dimiliki oleh manusia, dan
tidak bagi makhluk yang lain. Perangkat hidup ini pada dasarnya harus dilengkapi
dengan sarana penunjang lainnya guna mencapai kesuksesan di dalam
menjalankan tugasnya, yaitu dengan adanya bimbingan hidayah dari sang
pembuatnya yakni Allah SWT. Meski tanpa bimbingan hidayah sebenarnya akal
tetap berfungsi, namun dalam jalan yang sesat dan menyesatkan.
Akal adalah suatu daya pikir untuk berusaha menempatkan sesuatu pada
tempatnya, supaya terhindar dari malapetaka atau suatu nilai kehinaan. Yaitu
dengan keterangan, bahwa makhluk yang berakal harus bisa berfikir, bersikap dan
berbuat atau berkata ke arah yang benar atau tepat. Dan diperoleh kesimpulan
pula, bahwa sebagai implementasi atau pelaksanaan atas makhluk yang berakal
adalah ia harus mempunyai prioritas tepat mengenai amal perbuatan yang
dilakukannya. Misalnya, jika ia sakit lambung, maka ia harus mengobatinya
dengan mengkonsumsi obat sakit lambung supaya sakitnya terobati. Sikap serta
-
8/18/2019 03510016-selamed
47/99
tindakan lainnya, yang bentuk karakteristiknya sangatlah beragam di kehidupan
dunia ini.
Sesungguhnya perintah Allah SWT kepada manusia muslim untuk
berfikir, mengadakan analisa, berusaha mengerti ilmu pengetahuan, mencoba
memahami fenomena yang ada atau mengadakan pengamatan terhadap alam
sekeliling termakna jelas pada ayat-ayat Al Qur’an. Di mana esensial perintah
Allah untuk berfikir ini jika kita simak sejarah turunnya kitab al Quran, ayat yang
pertama turun adalah mengisyaratkan bahwa manusia diberikan kelebihan berupa
akal untuk berfikir. Yaitu, supaya membaca guna memperoleh pengetahuan
tentang Allah yang telah menciptakan dirinya dan seluruh makhluk yang ada.
Allah berfirman dalam Al-Qur’an surat Al-Hadid ayat 3:
Artinya : “ Dialah Yang Awal dan Yang Akhir Yang Zhahir dan Yang Bathin dan
Dia Maha Mengetahui segala sesuatu”
Konsekuensinya bagi ulul albab yang paling signifikan adalah bahwa ia
harus mampu membantu memecahkan permasalahan umat dalam kehidupannya.
Sebaliknya, jika ia tidak mampu mengaktualisasikan kebenaran ayat-ayat Al
Quran, maka akan memungkinkan sekali apabila umat semakin menjauh dari
tuntunan Al Quran sebagai pedoman hidup. Dan dari bentuk perkembangannya,
ada isyarat (petunjuk) positif yang bisa digunakan oleh manusia muslim dalam
rangka mengemban kekhalifahannya di bumi ini. Yakni temuan yang menyatakan,
bahwa kehidupan manusia mempunyai bentuk dasar, di mana secara garis besar
-
8/18/2019 03510016-selamed
48/99
manusia mempunyai rasa kemanusiaan, karena permasalahan kehidupan manusia
itu mau tidak mau hanyalah biasa terurai dengan jalan berpikir secara islami.
-
8/18/2019 03510016-selamed
49/99
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Prosedur Diagonalisasi Secara Uniter Pada Matriks Hermite
Pada pembahasan ini akan dijelaskan mengenai prosedur pendiagonalisasi
secara uniter pada matriks Hermite. Pendiagonalisasi secara uniter pada
matriks Hermite memiliki langkah-lagkah sebagai berikut :
Langkah 1. Carilah polinom karakteristik matriks A.
Langkah 2. Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A.
Langkah 3. Terapkan eliminasi Gauss-Jodan.
Langkah 3. Carilah vektor-vektor eigen dari matriks A.
Langkah 4. Carilah basis untuk masing-masing ruang eigen A.
Langkah 5. terapkan proses Gram-Schmitd terhadap masing-masing basis
untuk mendapatkan basis ortonormal bagi masing-masing rang
eigen.
Langkah 6. Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vetor
basis yang dibangun di langkah 5. Matriks P secara uniter
mendiagonalkan A.
Langkah 7. Buktikan P dengan menunjukkan PP*= P
-1P , maka P
mendigonalkan A secara uniter.
-
8/18/2019 03510016-selamed
50/99
3.2 Contoh-Contoh Diagonalisasi Secara Uniter
3.2.1 Contoh Diagonalisasi Secara Uniter Ordo 3 X 3
Contoh 1:
Misalkan diketahui matriks
A =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+
312
152
221
ii
ii
ii
Dapat didiagonalkan secara uniter karena A adalah matriks Hermite dan
normal.
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A secara uniter.
Penyelesaian. Polinom karakteristik A adalah
det (λ I - A) = det -
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
λ
λ
λ
00
00
00
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+
312
152
221
ii
ii
ii
= det
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−
+−−
+−−−
312
152
221
λ
λ
λ
ii
ii
ii
= det
ii
i
i
ii
ii
ii
−−+−
−
−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−
+−−
+−−−
12
52
21
312
152
221
λ
λ
λ
λ
λ
)2)(5)(2()1)(1)(1()3)(2)(2(
)1)(2)(2()2)(1()2()3)(5)(1(
iiiiii
iiiiii
+−−+−−−−+−−−−−−
−−+−++−+−+−+−−−=
λ λ λ
λ λ λ
= (λ ) (λ - 2) (λ - 3) - (-2) ( λ -2) (-1)
= (λ ) (λ 2 -3 λ -2 λ + 6) – (-2) (- λ + 4)
= (λ ) (λ 2 -5 λ + 6) – (2λ -4)
-
8/18/2019 03510016-selamed
51/99
= λ 3 -5 λ 2 + 6λ -2λ + 4
= λ 3 -5λ 2 + 4λ + 4
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
= (λ - 1) (λ - 2)2 = 0
dan nilai-nilai eigen adalah λ = 1 dan+ λ = 2
Menurut definisi, x =
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
akan merupakan vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan
hanya jika x adalah penyelesaian dari taktrivial dari
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−−
+
312
152
221
ii
ii
ii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
Untuk mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 1, nilai ini
harus disubsitusikan ke persamaan 1)
=
……………..1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−
+−−
+−−−
312
152
221
λ
λ
λ
ii
ii
ii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
Untuk menyelesaikan persamaan ini memakai eliminasi Gauss-Jordan
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−−
0211
0111
0211
i
i
i
Tambahkan (i + 1) persamaan baris pertama ke persamaan baris kedua
untuk memperoleh
-
8/18/2019 03510016-selamed
52/99
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
0211
0320
0211
i
i
Tambahkan persamaan baris pertama ke persamaan baris ketiga untuk
memperoleh
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
04220
0320
0211
i
i
Bagi 2 persamaan baris kedua untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
04220
02
310
0211
i
i
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
0100
02310
0211 i
Menjadi bentuk eselon baris
Sistem yang bersesuian dengan matriks ini adalah
02)1( 321 =−−+ x xi x
02
332 =+ x x
03 =− x
Dengan menetapkan nilai sebarang -s untuk x , maka himpunan
pemecahan tersebut diberikan oleh rumus :
3
s x −=− 3
-
8/18/2019 03510016-selamed
53/99
s x =3
02
332 =+ x x 32
2
3 x x −=
s x2
32 −=
02)1( 321 =−−+ x xi x
( )
s
s
s
ss
ssi
x xi x
2
1
2
43
22
3
22
3
2231
2)1( 321
=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
−=
+−=
+⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −+−=
+−−=
Jadi, vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah vektor-
vektor taknol di C3 yang berbentuk
x = =
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
s
s
s
2
3
2
1
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
1
2
3
2
1
s
Jadi, ruang eigen berdimensi satu dengan basis adalah
-
8/18/2019 03510016-selamed
54/99
u1 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
1
2
3
2
1
…………………………………..2)
222
1 12
3
2
1+−=u
= 14
9
4
1
++
=4
491 ++
=2
7
p
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−==
2
7
1
2
7
2
3
2
7
2
1
1
1
1u
u =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
7
2
72
23
72
2
-
8/18/2019 03510016-selamed
55/99
Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap { p1} akan
menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal.
p =1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
7
2
72
23
72
2
adalah basis ortonormal untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 1.
Untuk mencari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 2, nilai
ini harus disubsitusikan ke persamaan 1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−
+−−
+−−−
312
152
221
λ
λ
λ
ii
ii
ii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−−
111
131
212
i
i
i
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
Untuk menyelesaikan persamaan ini memakai eliminasi Gauss-Jordan
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−−
0111
0131
0212
i
i
i
Bagi 2 persamaan baris pertama untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−−−
−−
0111
0131
012
11
i
i
i
-
8/18/2019 03510016-selamed
56/99
Tambahkan (i + 1) kali persamaan baris pertama ke persamaan
Baris kedua untuk memperoleh nol dibawah 1 utama
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
0111
0330
012
11
i
i
Tambahkan persamaan baris pertama ke persamaan
Baris ketiga untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
022
30
0330
012
11
i
i
Bagi -3 persamaan baris kedua untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
022
30
0110
012
11
i
i
Tambahkan 2 kali persamaan baris kedua ke persamaan baris ketiga untuk
mendapatkan
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
022
30
0110
012
11
i
i
Kalikan 2 persamaan baris ketiga untuk mempeoleh
-
8/18/2019 03510016-selamed
57/99
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0100
0010
002
11
i
Sistem yang bersesuian dengan matriks ini adalah
0
0
02
1
3
2
21
=
=
=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
x
x
xi
x
Dengan menetapkan nilai sebarang s untuk dan t untuk , maka
himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus
2 x 3 x
si
xi
x
s x
t x
2
1
2
1
21
2
3
+−=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
=
=
Jadi,vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 2 adalah
vektor-vektor taknol yang berbentuk
x = =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡ +−
=
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡ +−
1
0
0
0
1
2
1
2
1
t
i
s
t
s
si
-
8/18/2019 03510016-selamed
58/99
karena
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
=
0
1
2
1
2
i
u dan u3 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
0
0
adalah vektor-vektor bebas linier, maka vektor tersebut akan membentuk
basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 2.
2
2
2 12
1+
+−=
iu
= 14
1+
=4
5
p
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
==
0
4
5
1
4
5
2
1
2
2
2
i
u
u =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
5
1
4
2
2
2i
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
=
5
1
4
2
2
2
3
i
u
-
8/18/2019 03510016-selamed
59/99
222
3
5
1
4
2
2
2++
+−=
iu
5
11
5
111
3
3
=
++=
u
u
p
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡ +−
==
1
11
2
11
2
3
3
3
i
u
u
jadi, dengan menerapkan proses gram-schmidt terhadap { p2 , p3} akan
menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal.
P2 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
5
1
4
2
2
2i
dan p
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
=
1
11
2
11
2
3
i
jadi, dengan menggunakan p1 , p2 , dan p3 sebagai vektor-vektor kolom
maka dapat dinyatakan
P = [ ]321 p p p =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
107
2
11
2
5
2
72
23
11
2
5
1
72
2 i
-
8/18/2019 03510016-selamed
60/99
sebagai pemeriksaan akan ditunjukkan bahwa PP-1 A P diagonal, katakan
PP-1
A P = D, dimana
D = P-1 A P
P =
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
107
2
11
2
5
2
72
23
11
2
5
1
72
2 i
, A =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−
+−−
+−−−
312
152
221
λ
λ
λ
ii
ii
ii
Maka
PP-1
= PadjPdet
1
det P =
07
15
2723
5
1
72
1
107
1
112
52
723
11
2
5
1
72
1
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
+− i
= ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
7
1.
5
2.
11
21.
72
3.
5
1
7
1.
11
2.
5
11.
5
2.
72
1 i
=5
1
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−
111
2
11
2
05
2
5
1
7
1
72
3
112
1
5
i
-
8/18/2019 03510016-selamed
61/99
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
511
10
11
15
05
10
5
5
7
5
72
15
112
5
D = P-1 A P
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
511
10
11
15
05
10
5
5
7
5
72
15
112
5
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−−+
321
2511
ii
iiii
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+−
107
1
11
2
5
2
72
3
11
2
5
1
72
1 i
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
511
100
0
5
100
0011
5
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
107
111
2
5
2
72
3
11
2
5
1
72
1 i
D =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
500
010
001
jadi, P mendiagonalisasi A secara uniter.
-
8/18/2019 03510016-selamed
62/99
Untuk melengkapi pembuktian, bahwa P mendiagonalkan A secara uniter
akan ditunjukkan PP-1
= P*:
P =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−
107
1
11
2
5
2
72
3
11
2
5
1
72
1 i
mempnyai vektor baris
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= 1,0,
7
1
11
2,
5
2,
72
3
11
2,
5
1,
72
1321 p p
i p
Relatif terhadap hasil kali dalam Euclidis pada C 3 ,
sehingga diperoleh
115
8
15
7
11
21
5
1
72
1222
1 =+=+−
++= p
1321 === p p p
dan
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
11
2
11
2
5
2
5
1
72
3
72
1. 21
i p p
= 077 =− ii
0..... 231332123121 ====== p p p p p p p p p p p p
sehingga vektor-vektor baris membentuk himpunan ortonormal di C 3.
-
8/18/2019 03510016-selamed
63/99
Jadi, P uniter dan membentuk:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
+−−
==−
107
1
11
2
5
2
72
3
11
2
5
1
72
1
*1
i
PP
Contoh 2 :
Misalkan diketahui matriks
A =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−
+
41
142
24
ii
ii
ii
Dapat didiagonalkan secara uniter karena A adalah matriks Hermite dan
normal.
Carilah matriks P yang mendiagonalkan A secara uniter.
Penyelesaian. Polinom karakteristik A adalah
det (λ I - A) = det -
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
λ
λ
λ
00
00
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−
+
41
142
24
ii
ii
ii
= det
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+−−+−
−−−−
41
142
24
λ
λ
λ
ii
ii
ii
= det
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+−−+−
−−−−
41
142
24
λ
λ
λ
ii
ii
ii
ii
i
i
−−
−+−
−−−
1
42
24
λ
λ
-
8/18/2019 03510016-selamed
64/99
))(4)(()1)(1)(4()4)(2)(2(
)1)(2)(())(1()2()4)(4)(4(
iiiiii
iiiiii
−−−−−+−−−−+−−−−
−−+−−++−+−−+−−−=
λ λ λ
λ λ λ
= (λ 2 -2λ + 2λ + 4) (λ -8)
=λ 3 -8λ 2+4λ -32
= (λ - 2) 2 (λ -8)
sehingga persamaan karakteristiknya adalah
= (λ - 2)2 (λ - 8) = 0
dan nilai-nilai eigen adalah λ = 2 atau λ = 8
Menurut definisi, x =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
akan merupakan vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan
hanya jika x adalah penyelesaian dari taktrivial dari
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−
+
41
142
24
ii
ii
ii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
Untuk mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 2, nilai ini
harus disubsitusikan ke persamaan 1)
=
……………1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+−−+−
−−−−
41
142
24
λ
λ
λ
ii
ii
ii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
Untuk menyelesaikan persamaan ini memakai eliminasi Gauss-Jordan
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+−−+−
−−−−
021
0122
022
ii
ii
ii
-
8/18/2019 03510016-selamed
65/99
Bagi (-2) persamaan baris pertama untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+−−+−
+
021
0122
02
11
ii
ii
ii
Tambahkan (2 - i) persamaan baris pertama ke persamaan baris kedua
untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
+
021
0110
02
11
ii
i
ii
Tambahkan (-i) persamaan baris pertama ke persamaan baris ketiga untuk
memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−−
+
0310
0110
02
11
i
i
ii
Kalikan (-) persamaan baris kedua untuk menperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
+−
+
0310
0110
0211
i
i
i
i
Tambahkan (i -1) persamaan baris kedua ke persamaan baris ketiga untuk
menperoleh
-
8/18/2019 03510016-selamed
66/99
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+−
+
0400
0110
02
11
i
ii
Bagi (-4) baris ketiga untuk memperoleh
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
0100
0110
02
11
i
ii
Tambahkan (1-i) persamaan baris ketiga ke persamaan baris kedua untuk
menperoleh
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
0100
0010
02
11i
i
Tambahkan (i
2− ) persamaan baris ketiga ke persamaan baris pertama
untuk menperoleh :
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ +
01000010
0011 i
Menjadi bentuk eselon baris
Sistem yang bersesuian dengan matriks ini adalah
x1 + (i+1) x2 =0
x2 = 0
x3 = 0
-
8/18/2019 03510016-selamed
67/99
Dengan menetapkan nilai sebarang s untuk x2 dan t untuk x3 , maka
himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus
x3 = t
x2 = s
x1 = - (i + 1) s
jadi, vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 2 adalah vektor-
vektor taknol yang berbentuk
x = = =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−
t
s
si )1(
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
1
0
0
0
1
1
t
i
s
sehingga
u 1 = dan u
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
0
1
1i
2=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
0
0
adalah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ = 2
222
1 011 +++−= iu
= 211 ++−
= 2
p
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
==
0
2
1
2
1
1
1
1
i
u
u
-
8/18/2019 03510016-selamed
68/99
jadi, dengan menerapkan proses gram-schmidt terhadap { p1} akan
menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal.
p =1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ +−
0
2
1
2
1i
2222 100 ++=u
= 1
p
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
1
1
0
0
2
2
2u
u
dengan menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap { p2} akan
menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal.
P2 =
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1
1
0
0
Untuk mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 8, nilai ini
harus disubsitusikan ke persamaan 1)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+−−+−
−−−−
41
142
24
λ
λ
λ
ii
ii
ii
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
x
x
x
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0
Untuk menyelesaikan persamaan ini memakai eliminasi Gauss
-
8/18/2019 03510016-selamed
69/99
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
0411
0141
0214
i
i
i
Bagi 4 persamaan baris pertama untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
0411
0141
02
1
4
11
i
i
i
Tambahkan (i + 1) kali persamaan baris pertama ke persamaan
baris kedua untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
0411
0340
02
1
4
11
i
i
Tambahkan persamaan baris pertama ke persamaan
baris ketiga untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
02220
0310
012
11
i
i
Bagi -2 persamaan baris kedua untuk memperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
0110
0310
012
11
i
i
-
8/18/2019 03510016-selamed
70/99
Tambahkan – i +1 kali persamaan baris kedua ke persamaan baris ketiga
untuk menperoleh
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
0100
0310
012
11
i
sistem yang bersesuian dengan matriks di atas adalah
0
03
02
1
3
32
321
=
=−
=−⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
x
x x
x xi
x
Dengan menetapkan nilai sebarang s untuk , maka himpunan
pemecahan tersebut diberikan oleh rumus
3 x
si
si
x
s x
s x
2
3
32
1
3
1
2
3
+−=