5/23/2018 02_Peremuan3,4

1/59

TRANSFORMASI LAPLACE

5/23/2018 02_Peremuan3,4

2/59

SISTEM KENDALI KLASIK

Pemodelan MatematikaAnalisis

Diagram Bode, Nyquist, Nichols

Step & Impulse Response

Gain / Phase Margins

Root Locus

Disain

Simulasi

5/23/2018 02_Peremuan3,4

3/59

SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

5/23/2018 02_Peremuan3,4

4/59

PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP

5/23/2018 02_Peremuan3,4

5/59

SISTEM KENDALI GENERATOR

5/23/2018 02_Peremuan3,4

6/59

KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI

5/23/2018 02_Peremuan3,4

7/59

MODEL MATEMATIKA

Bagaimana membuat model matematika ?

5/23/2018 02_Peremuan3,4

8/59

MODEL MATEMATIKA

Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model

matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?

Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.

Misalnya:

Bagaimana hubungan antara input dan output. Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik

dari sistem kendali tersebut.

5/23/2018 02_Peremuan3,4

9/59

Dua metoda untuk mengembangkan model matematika darisistem kendali:

1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi(menggunakan Transformasi Laplace).

2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State SpaceEquations) dalam domain waktu.

5/23/2018 02_Peremuan3,4

10/59

RANGKAIAN RLC

V(t)

L

R

Ci(t)

( ) ( ) ( ) ( )R L Cv t v t v t v t

Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku

dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistemmekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikanmenggunakan Hukum Kirchoff.Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output

Menggunakan KVL:

0

( ) 1( ) ( ) ( )

t

R

di tv t v t L i d

dt C

Menggunakan persamaan diferensial (diturunkan dari KVL): Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ? Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan

Ouput dari sistem ? Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?

5/23/2018 02_Peremuan3,4

11/59

Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaandiatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.

Transformasi Laplace memberikan:

Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-

satuan terpisah. Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.

Keterbatasan dari Transformasi Laplace :

Bekerja dalam domain frekuensi.

Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..

5/23/2018 02_Peremuan3,4

12/59

TRANSFORMASI LAPLACEtambahkan dari buku dspguide

Time Domain

Circuit

Time Domain

Circuit

s-Domain

Circuit

L 1L

x(t) y(t)

X(s) Y(s)s j Complex Frequency2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

LaplaceTransform

Inverse

Laplace

Transform

5/23/2018 02_Peremuan3,4

13/59

TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapatdigunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.

Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoidateredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabarvariabel kompleks.

Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasialjabar pada bidang kompleks.

Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.

Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafikuntuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikanpersamaan diferensial sistem.

Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupunkomponen keadaan tunak (steady state).

5/23/2018 02_Peremuan3,4

14/59

VARIABEL KOMPLEKS

Variabel kompleks: s =

+ j

dengan : adalah komponen nyata

jadalah komponen maya

Bidang s

o

j

j1

1

s1

5/23/2018 02_Peremuan3,4

15/59

FUNGSI KOMPLEKS

Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx+ jGy

dengan : Gxdan Gyadalah besaran-besaran nyata

Bidang G(s)

O Re

Im

Gy

Gx

G

q

Besar dari besaran kompleks:

Sudut :

22yx GG)s(G

x

y

G

Gtan 1q

5/23/2018 02_Peremuan3,4

16/59

TURUNAN FUNGSI ANALITIK

Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:

s

Glim

s

)s(G)ss(Glim)s(G

ds

d

ss

00

Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.

Karena s = + j, maka s dapat mendekati nol dengantak-terhingga lintasan yang berbeda

5/23/2018 02_Peremuan3,4

17/59

Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)

yxyx

s

Gj

GGj

Glim)s(G

ds

d

0

Untuk lintasan s = j(lintasan sejajar sumbu maya), maka

yxyx

s

GGjjGj

jGlim)s(G

dsd

0

Jika dua harga turunan ini sama

x

yyx

Gj

GG

jG

Syarat Cauchy-Riemann

yx GG

xy GG

5/23/2018 02_Peremuan3,4

18/59

Contoh Soal

Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?

1

1

s

)s(G

Jawab:

yx jGGj

)j(G

1

1

dimana

2211

xG

221

yGdan

Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1,=0), G(s) memenuhisyara Cauchy-Riemann:

22222

1

1

yx GG

222112

xy GG

Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s

kecuali pada s=-1.

5/23/2018 02_Peremuan3,4

19/59

Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah

GxjGyGjG)s(G

dsd yx

211

j 211

s

Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanyadengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s

211

1

1

ssds

d

Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitikdisebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yangmenyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.

Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole

5/23/2018 02_Peremuan3,4

20/59

KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL

Zeros dari G(s) roots numerator

Poles dari G(s) roots denominator

Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0

Im

Re

Pola pole-zero

poles

zeros

5/23/2018 02_Peremuan3,4

21/59

Contoh Soal

Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut:

Jawab:

Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2 Mempunyai sebuah zero di s=-3.

Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan:

221

3

)s()s()s(K)s(G

02

s

Klim)s(Glimss

Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga.

Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu3 buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua

zero tak terhingga).

5/23/2018 02_Peremuan3,4

22/59

Pemetaan Konformal

Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga

ukuran maupun pengertian sudut.

Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram

tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan

Nyquist.

Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagaipemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z /

bidang F(s).

Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P

pasangannya pada bidang F(s). P adalah bayangan dari P. Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan

suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva

halus s=s(), yang melalui suatu titik ordiner.

5/23/2018 02_Peremuan3,4

23/59

Jika kita tulis zo=F(so), maka:

)ss(ss

)s(F)s(Fzz oo

oo

Dengan demikian,

o

o

oo ss

ss

)s(F)s(Fzz

s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor darisoke s.

Jika s mendekati sosepanjang kurva halus s(), maka s - soadalah sudut q1antara sumbu nyata positif dan garis singgung

kurva tersebut pada so.

Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zomendekatisudut 1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dangaris singgung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh

1 - q1 = F(so)

5/23/2018 02_Peremuan3,4

24/59

Dengan kurva halus yang lain s=s2(), yang melalui titik so, kita

dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh

2 - q2 = F(so)

Oleh karena itu

1 - q1 = 2 - q2atau

2 - 1 = q2 - q1

Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga.

Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s)adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) regulerdan F(s) 0.

5/23/2018 02_Peremuan3,4

25/59

Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai

0

dte)t(f)s(F)]t(f[L st

dengan:f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t

5/23/2018 02_Peremuan3,4

26/59

26

0

stdte)t(f)s(F)]t(f[L

1dte)t()]t([L0

st

0st

0

st0 edte)tt()]t(f[L

f(t)

t)t(

t

f(t)

)tt( 0

0t

Contoh fungsi Dirac

5/23/2018 02_Peremuan3,4

27/59

Contoh

Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut:f(t) = 0 untuk t < 0

= A untuk t > 0

s

A

s

eAdtAe)}t(f{

stst

0

0L

f(t)

t

A

Jawab:

5/23/2018 02_Peremuan3,4

28/59

28

2

0

st

0

st

0

st

s

adte

s

a

s

atedtate)]t(r[L

0 tuntukat)t(ff(t)

t

Transformasi Laplace dari fungsi Ramp

5/23/2018 02_Peremuan3,4

29/59

Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut:f(t) = 0 untuk t < 0

= Ae-at untuk t > 0

Jawab:

00dteAdteAe}Ae{ t)as(statatL

)as(

A

)as(

eA

t)as(

0

e-at

t

A

5/23/2018 02_Peremuan3,4

30/59

Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut:f(t) = 0 untuk t < 0

= A sint untuk t > 0

Jawab:

0 dtetsinA}tsinA{ st

L

0

2dte)ee(

jA)}t(f{ sttjtjL

ejt= cos t + j sin te-jwt= cos t - j sin t

)ee(j

tsin tjtj 2

1

22

1

2

1

2

s

A

jsj

A

jsj

A

5/23/2018 02_Peremuan3,4

31/59

f(t) F(s)

Step function, u(t)

e-at

te-at

sin(t )

cos(t )

t n

1/s

1/(s+a)

1/(s+a)2

/ ( s2+ 2)

/ ( s2+ 2)

n!/sn+1

)ee(ab

btat 1

)bs)(as( 1

5/23/2018 02_Peremuan3,4

32/59

f(t) F(s)=L[f(t)]

nt

ate

)t( 1

)t(u

t

)atsin(

)atcos(

)at(sh

)at(ch

)1n(s/!n

2s/1

)as/(1

)as/(a 22

)as/(s 22

)as/(a 22

)as/(s 22

s/1

)atsin(ebt ]a)bs/[(a 22

)bs)(as/(1

]a)bs/[()bs( 22 )atcos(ebt

ba )ab/()ee( atbt

ba )bs)(as/(s )ab/()aebe( atbt

5/23/2018 02_Peremuan3,4

33/59

SIFAT LINIERITAS)]t(f[L)s(F 11

)]t(f[L)s(F 22

tstanConsc,c 21

)s(F.c)s(F.c

)]t(f[L.c)]t(f[L.c

)]t(f.c)t(f.c[L

2211

2211

2211

5/23/2018 02_Peremuan3,4

34/59

SIFAT TRANSLASI

)as(F)]t(fe[Lat

a) Jika F(s)=L[f(t)]

)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(

0

st

0

atat

Contoh4s

s)]t2(Cos[L

2

5s2s

1s

4)1s(

1s)]t2(Cose[L

22

t

5/23/2018 02_Peremuan3,4

35/59

35

Translasi [time]

b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a

= 0 for t

5/23/2018 02_Peremuan3,4

36/59

36

Perubahan skala waktu

)a

s

(Fa

1

)]t.a(f[L )

a

s(F

a

1

a

due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a

su

0

st

0

Contoh

1s1)]t(Sin[L 2 9s

3

13

s

1

3

1)]t3(Sin[L

2

2

5/23/2018 02_Peremuan3,4

37/59

TEOREMA DIFERENSIASITransformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai

0

)()(dte

dt

tdf

dt

tdf stL

Integrasi bagian demi bagian memberikan

00 )()(

)(dtetfsetf

dt

tdf ststL

)t(fs)0(fdt

)t(df LL

Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubahpersamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.

5/23/2018 02_Peremuan3,4

38/59

38

Turunan Pertama [Derivative first order]

)0(f)s(F.s)]t(f[L]dtdf[L)]t('f[L

0

0

0

dt)t(fse)t(fedt)t(fe)]t('f[L ststst

)0(f)s(F.s)]t('f[L t)0(f

f(t)

)(f)s(sF 0

5/23/2018 02_Peremuan3,4

39/59

39

Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)

)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt

df

[L)]t('f[L

)0('f)0(f.s)s(F.s])t(f[L)]t("f[L 2

)1n()1(2n1nn

)n(

)0(f.....)0(fs)0(fs)s(Fs)]t(f[L

)1i(n

1i

inn)n(

)0(f.s)s(Fs])t(f[L

Jika discontinuity padaa

)]a(f)a(f[e)0(f)s(F.s)]t('f[L as

)a(f)a(f

5/23/2018 02_Peremuan3,4

40/59

40

Contoh Turunan

22s)]t(Sin[L 22s

s)]t(Cos[L

dt

)]t(Sin[d1)t(Cos

2222 s

s

)s(

s)0(Sin)]t(Sin[L

s)]t(Cos[L

)t(Cosdt

)]t[sin(d

)t(Sindt

)]t(Cos[d

dt)]t(Cos[d1

)t(Sin

)s(

)0(Cos)]t(Cos[L

s)]t(Sin[L

22

5/23/2018 02_Peremuan3,4

41/59

Aplikasi Rangkaian RC

C

R

e(t) v(t)0)0(v

)t(vdt

dvRC)t(e

Persamaan rangkaian

Transformasi Laplace: ]RCs1)[s(V)s(V)s(RCsV)s(E

RCs1

)s(E)s(V

5/23/2018 02_Peremuan3,4

42/59

INTEGRASI

t

0s

)s(F]du)u(f[L

)s(F)0(g)]t(g[sL)]t(g[L

)t(f)t(g

t

0

]du)u(f)t(g )]t(f[L)s(F

5/23/2018 02_Peremuan3,4

43/59

Perkalian dengan faktor t

dt)t(fe[dsd)s(F

ds)s(dF

0

st'

Leibnitzs rule

)]t(tf[Ldt])t(tf[e]dt)t(fe[sds

)s(dF

0

stst

0

)s(F)]t(tf[L '

Rumus umum

n

nnn

ds

)s(Fd)1()]t(ft[L

5/23/2018 02_Peremuan3,4

44/59

Pembagian dengan faktor t

t

)t(f)t(g )t(tg)t(f

)s(Fds

)s(dG

ds

)]t(g[dL)]t(f[L

s

s

du)u(Fdu)u(F)s(G

s

du)u(F]t

)t(f[L

s

0)s(LimG

5/23/2018 02_Peremuan3,4

45/59

FUNGSI PERIODIK)t(f)kTt(f k,t

sT

T

0

st

e1

dte)t(f

)s(F)]t(f[L

......dt)t(fedt)t(fedt)t(fe)s(F)]t(f[L

T3

T2

st

T2

T

st

T

0

st

.......du)T2u(fedu)Tu(fedt)t(fe)s(F)]t(f[L

T

0

)T2u(s

T

0

)Tu(s

T

0

st

.......du)u(feedu)u(feedt)t(fe)s(F)]t(f[L

T

0

susT2

T

0

susT

T

0

st

]dt)t(fe[e)s(F)]t(f[L

T

0

st

0n

nsT

sT0n

nsT

e1

1e

F i i dik Si &

5/23/2018 02_Peremuan3,4

46/59

Fungsi periodik Sinus &

Cosinus )t(jSin)t(Cose tj

dtedtee)]t(Sin[jL)]t(Cos[L]e[L0

t)sj(

0

sttjtj

sT

T

0

t)sj(

tj

e1

dte

]e[L

]1e[sj

1]1ee[

sj

1e

sj

1dte sTsTTj

T

0

t)sj(

T

0

t)sj(

22

tj

s

js

)js)(js(

js

js

1]e[L

5/23/2018 02_Peremuan3,4

47/59

Perilaku Batas Limit : Nilai Inisial)0(f)s(sF)]t(f[L

s

0]dt)t(fe[Lim0

stExponential order

}s}.......{0t{)]s(sFlim[)]t(f[Lim

0t

)0(f)]t(f[Lim

s

)0(f)]s(sF[Lim

FUNGSI IMPULSIONAL

5/23/2018 02_Peremuan3,4

48/59

FUNGSI IMPULSIONAL

)t(e)t(e 0 0e)s(E RCs1e)s(V 0

RC

t

Impulse response

CR

t

0 eRC

e)t(v

RC

e0

CR

t

e

RC

e

)RC1s(

1)s(V 0

)1RCs(

se)s(sV 0

s

0s

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL

5/23/2018 02_Peremuan3,4

49/59

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL

)t(ue)t(e 0 s

e)s(E 0 )RCs1(s

e)s(V 0

)RC

1s(

e

s

e

)s(V

00

]e1[eeee)t(v CRt

0CR

t

00

e0

RC

0e63,0

]e1[e)t(v crt

0

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL

5/23/2018 02_Peremuan3,4

50/59

FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL

Step function dan initial conditions v(0) 0

RCs1

)0(RCv

)RCs1(s

e)s(V 0

)RC

1s(

e)0(v

s

e)s(V 00

CR

t

00 e]e)0(v[e)t(v

)0(RCv]RCs1)[s(V)s(V)]0(v)s(sV[RC)s(E

cr

t

00 e]e)0(v[e)t(v

0e

)0(v

1RCs

]e)0(v[RCse)s(sV 00

FUNGSI RAMP

5/23/2018 02_Peremuan3,4

51/59

FUNGSI RAMP

t)t(r)t(e 2s

1)s(E

)RCs1(s

1)s(V 2

)RC

1

s(

RC

s

RC

s

1)s(V

2

CR

t

RCeRCt)t(v

RC

CRt

)t(v

CR

t

e1dt

dv

)1RCs(s)RC(

RCs

1)s(sV

2

ANALISIS HARMONIK

5/23/2018 02_Peremuan3,4

52/59

ANALISIS HARMONIK

)tsin(e)t(e0

220 s

e)s(E

)22

0

s)(as(

ae)s(V

)s

CBs

as

A(ae)s(V

220

22

22

22

a

aC

a

1B

a

1A

)s

s

s

a

as

1(

a

ae)s(V

222222

0

RC

1a

5/23/2018 02_Peremuan3,4

53/59

)s

s

s

a

as

1

(a

ae

)s(V 2222220

)]tcos()tsin(RC

1e[

a

ae)t(v CR

t

22

0

RC)(tg2)RC(1

1)(Cos

]e)sin()t)[sin((Cose)t(v CRt

0

Forced Transient

5/23/2018 02_Peremuan3,4

54/59

INVERSE

Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?

)]s(F[L)t(f 1

ds).s(Fei..2

1)t(f)]s(F[L

.i

.i

st1

Pada kontour Bromwich

a) Method Analitik

b) Metoda Tabelate)t(f

as

1)s(F

5/23/2018 02_Peremuan3,4

55/59

n

i

tpi

n

n ieaps

a...

ps

a

ps

a

)s(A

)s(B)s(F

12

2

1

1

n

i

tpi

tpn

tptp in

eaea......eaea)t(f1

2121

c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda

Harga ak(residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan:

kk ps

kn

nkk

kk

ps

kk )ps(ps

a...)ps(ps

a...)ps(ps

a)ps()s(A

)s(Ba

1

1

Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh:

kps

kk )ps(

)s(A

)s(Ba

Contoh Soal

5/23/2018 02_Peremuan3,4

56/59

Contoh Soal

Carilah transformasi Laplace balik dari

)s)(s(s)s(F

213

Jawab:

Transformasi Laplace balik dari:

pt-

eaps

a

L

1

)s(

a

)s(

a

)s)(s(

s)s(F

2121

3 21

2121

3

1

1

s

)s()s)(s(

sa

1221

3

2

2

s

)s()s)(s(

sa

5/23/2018 02_Peremuan3,4

57/59

)s(L

)s(L)s(FL

21

12 111

0tuntukee)s(FL tt 21 2

Contoh Soal

5/23/2018 02_Peremuan3,4

58/59

Contoh Soal

)3s)(2s)(1s(4s2)s(F

2

)3s(27

)2s(43

)1s(61)s(F

27

43

6

32 ttt

eee)t(f

SIFAT SIFAT TRANSFORMASI

5/23/2018 02_Peremuan3,4

59/59

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI

LAPLACE

at

Time Function Laplace Function

Af(t) Bg(t) AF(s) BG(s)

e f(t) F(s a)

t f(t) dF(s)/ds

df

dt

t

0

sF(s) f(0 )

1f( ) d F(s)

s

See Table 14.3-2, See Website