02 deret tak hingga
TRANSCRIPT
Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected] 1
2. DERET BILANGAN REAL
2. 1 KEKONVERGENAN DERET
2.1.1 Definisi Deret takhingga 1 nna adalah pasangan terurut
1 1,n nn n
a s dimana 1n n
a adalah
barisan bilangan real dan
1 2 ... ,n ns a a a n
na disebut suku ke-n (nth term) dari deret. ns disebut jumlah parsial ke-n (nth partial sum) dari deret.
1 nna kadang kadang ditulis 1 2 ... na a a + … atau secara sederhana ditulis 1 2 ...a a
Boleh juga dalam penulisan indexnya diawali dengan 0, sehingga beberapa deret kadang ditulis dengan
1 nna (sehingga dalam kasus ini 0 1 2 ...n ns a a a a ) sebagai contoh deret 21 ...x x dapat
ditulis dengan 0
n
nx .
2.1.2 Definisi Misalkan 1 nna
adalah deret bilangan real dengan jumlah parsial
1 2 ... ,n ns a a a n . Jika 1n n
s konvergen ke A
maka deret 1 nna disebut deret yang
konvergen ke A. Jika 1n n
s divergen maka deret 1 nna disebut divergen.
Jika 1 nna
konvergen ke A maka bisa ditulis 1 nna
= A. Jadi 1 nna bukan hanya digunakan untuk
menyatakan deret, namun juga digunakan untuk menyatakan jumlah deret tersebut (jika deret tersebut konvergen).
2.1.3 Teorema Jika 1 nna
konvergen ke A dan 1 nnb
konvergen ke B maka deret 1 n nn
a b
konvergen ke A + B, juga jika c
maka 1 nnca konvergen ke cA.
Bukti:
2.1.4 Test Suku ke-n. Jika 1 nna konvergen maka lim 0n
na .
Bukti: gunakan definisi dan fakta bahwa 1n n na s s (Bartle, hal 91).
2.1.5 Kriteria Cauchy untuk Deret. Deret 1 nna konvergen jika dan hanya jika
0 00, sehingga jika m nn m n n s s
2.1.6 Teorema. Deret dg Suku Non Negatif. Misalkan 1n n
a adalah barisan bilangan real yang non negatif.
Maka deret 1 nna konvergen jika dan hanya jika
1k ks terbatas. Dan dalam kasus ini
1lim sup :n k kn k
a s s k
Bukti: gunakan teorema bahwa barisan yang monoton adalah konvergen jhj barisan tersebut terbatas (Bartle, hal 91).
2.1.7 Teorema. Test Deret Berganti Tanda. Misalkan 1n n
a adalah barisan bilangan real yang positif, jika:
1. 1n n
a barisan tidak naik.
2. lim 0nn
a
maka deret 1
1( 1)n
nna konvergen.
Bukti : Lihat Golberg, hal 73, Bartle, hal 264.
Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected] 2
2.1.8 Test Perbandingan. Misalkan
1n na dan
1n nb
adalah barisan bilangan real dan misalkan
0 0 sehingga , 0 n nn n n a b
maka berlaku:
1. jika 1 nnb konvergen maka
1 nna konvergen.
2. jika 1 nna divergen maka
1 nnb divergen.
Bukti: Lihat Bartle, hal 93.
2.1.9 Test Perbandingan Limit. Misalkan 1n n
a dan 1n n
b
adalah barisan bilangan positif dan misalkan
limit berikut ini ada di : lim n
nn
ar
b
1. jika 0r maka 1 nna konvergen jhj
1 nnb konvergen.
2. jika 0r , jika1 nnb konvergen maka
1 nna konvergen
Bukti: Lihat Bartle, hal 93.
2.1.10 Test Dirichlet. Misalkan 1n n
a
barisan tak naik dengan lim 0nn
a
dan jika jumlah parsial sn dari
1 nnb terbatas maka
1 n nna b konvergen.
2.1.11 Test Abel. Misalkan 1n n
a
barisan monoton dan konvergen dan 1 nnb konvergen maka
1 n nna b konvergen.
2.1.12 Contoh Soal
1. 1
n
nr konvergen untuk 1r . (gunakan definisi).
2. 1
1n
n divergen. (gunakan definisi).
3. 1
1
( 1)n n n konvergen. (pecah dulu jadi dua suku).
4. 1
1n n
divergen.
Bukti :
1 11 ... ,
2ns nn
dan 1
1 1 1 11 ...
2 1 1n ns sn n n
jelas bahwa
1 ,n ns s n . Jadi 1n n
s
adalah barisan tak turun. Untuk menunjukkan divergen tinggal
ditunjukkan kalau 1n n
s tak terbatas.
2ns1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...
2 3 4 5 6 7 8 2 1 2n n
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...
2 4 4 8 8 8 8 2 2n n
1 1 1 11 ...
2 2 2 2
12
n
Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected] 3
Karena
2 1n
ns adalah sub barisan dari
1n ns
yang tak terbatas, maka
1n ns
tak terbatas
sehingga 1n n
s divergen, akibatnya 1
1n n
divergen.
Atau bisa juga ditunjukkan dengan menggunakan kriteria cauchy bahwa 1n n
s
bukan barisan cauchy
(yakni 2
1/ 2n ns s ) shg ia divergen.
5. 21
1n n
konvergen. (bartle hal 91)
6. 21
1n n n
konvergen (gunakan test perbandingan, bandingkan dg no 5)
7. 21
1
1n n nkonvergen. (gunakan test perbandingan limit, bandingkan dg no 5).
2.2 KONVERGEN BERSYARAT & KONVERGEN ABSOLUT
2.2.1 Definisi misalkan 1 nna deret bilangan real.
1. jika 1 nna konvergen maka
1 nna konvergen absolut.
2. jika 1 nna
konvergen, namun 1 nna
divergen, maka 1 nna
konvergen bersyarat (Konvergen
tidak absolut).
2.2.2 contoh
1. 21
1n n
konvergen absolut karena 21
1n n
konvergen
2. 1
1
1n
n nkonvergen bersyarat karena
1
1
1n
n nkonvergen namun
1
1 1
1 1n
n nn n
divergen.
TEST UNTUK KEKONVERGENAN ABSOLUT
2.2.3 Test Perbandingan Limit II. Misalkan 1n n
a dan 1n n
b
adalah barisan bilangan tidak nol, dan
misalkan limit berikut ini ada di : lim n
nn
ar
b
1. jika 0r maka 1 nna konvergen absolut jhj
1 nnb konvergen absolut.
2. jika 0r , jika1 nnb konvergen absolut maka
1 nna konvergen absolut.
Bukti: langsung dari test perbandingan limit.
2.2.4 Test Akar. Misalkan 1n n
a
adalah barisan real
1. jika 0, 1,r r n shg 1/
0,n
na r n n maka 1 nna konvergen absolut.
2. jika 0n shg 1/
01,n
na n n maka 1 nna divergen.
Bukti : bartle, hal 257
2.2.5 Akibat. Misalkan 1n n
a
adalah barisan real dan misalkan 1/
limn
nn
r a ada di maka
1. jika 1r maka 1 nna konvergen absolut.
2. jika 1r maka 1 nna divergen.
Catatan kuliah ini dapat di download di : http://math-76.co.nr kalau ada koreksi bisa kirim ke email: [email protected] 4
2.2.6 Test Rasio. Misalkan
1n na
adalah barisan real tidak nol.
1. jika 0, dengan 0 < 1,r r n shg 10,n
n
ar n n
a maka
1 nna konvergen absolut.
2. jika 0n shg 101,n
n
an n
a maka
1 nna divergen.
2.2.7 Akibat. Misalkan 1n n
a
adalah barisan real tidak nol dan misalkan 1lim n
nn
ar
a ada di maka
1. jika 1r maka 1 nna konvergen absolut.
2. jika 1r maka 1 nna divergen.
2.2.8 Test Integral. Misalkan f adalah fungsi tak turun dan positif pada : 1t t . Maka deret 1
( )n
f k
konvergen jhj
1 1
( ) lim ( )b
bf t dt f t dt ada.
Dalam kasus kekonvergenan, jumlah parsial 1
( )n
n ks f k dan
1( )
ks f k memenuhi perkiraan:
1
( ) ( )n
n n
f t dt s s f t dt
Bukti: bartle, hal 259
2.2.9 Contoh Soal. Kerjakan dulu sebelum kuliah.
1. 21
1n n
konvergen. (gunakan test perbandingan limit, bandingkan dg 1
1
( 1)n n n yang konvergen)
2. 1
1pn n
konvergen jika p > 1. (gunakan test integral)
3. periksa kekonvergenan deret dengan suku ke-n nya sbb:
a. 1
( 1)( 2)n n
b. ( 1)( 2)
n
n n
c. 1/2 n
d. 2n
n
e. 1/ 2( ( 1)n n
f. 2 1/ 2( ( 1)n n
g. !n
n
h. ( 1)
1
n n
n
4. Jika a dan b positif, maka 1( )
p
nan b konvergen jika p > 1 dan divergen jika 1p .