LIMITLIMITLIMITLIMIT

Standar Kompetensi

• A.11 Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

• Menjelaskan secara intuitis arti limit fungsi disuatu titik dan tak hingga

Indikator :

• Menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan di tak hingga.

Definisi Definisi Definisi Definisi

Definisi Limit :

Definisi Limit kanan :

Definisi Limit kiri :Definisi Limit kiri :

Teorema Limit

Jika n bilangan bulat positif, k konstanta :

1. Jika f(x) = k maka :Nilai limit fungsi konstanta adalah konstanta itu .

2. Jika f(x) = x maka :Nilai limit fungsi identitas adalah nilai pendekatan

peubahnya.

lim ( ) limx c x c

f x k k

lim ( ) limx c x c

f x x c c R

3. a. Penjumlahan :

Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah

masing – masing limit fungsi .

b. Pengurangan

Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan selisih

masing – masing limit fungsi .

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

4. Jika k suatu konstanta maka :

Limithasil kali konstanta dengan fungsi adalah hasil kali konstanta dengan limit itu.

lim . ( ) . lim ( )x c x c

k f x k f x

5. a. Perkalian:

Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali

masing – masing limit fungsi .

b. Pembagian

Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil

bagi masing – masing limit fungsi , dengan catatan pembagi tidak bolah sama dengan 0.

lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

lim ( )( )lim

( ) lim ( )x c

x cx c

f xf x

g x g x

6. a. Pangkat:

Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari

limit fungsi tersebut.

b. Akar

Limit akar pangkat n dari limit fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu, dengan catatan limit fungsi tidak negatif untuk n genap.

lim ( ) lim ( )n n

x c x cf x f x

lim ( ) lim ( )n nx c x c

f x f x

Penyelesaian :

Kompetensi Dasar :• A12.2 Menggunakan sifat limit

fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

Indikator :• Menggunakan sifat limit fungsi

untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar.

• Karakter : Ketekunan dan mandiri

Penyelesaian :1. Metode Substitusi2. Metode Pemfaktoran3. Metode Mengalikan dengan

sekawan

1.METODE SUBSTITUSI

43

123

268

12

22.32.2

1

232 22

2lim

x

xx

x

2. METODE PEMFAKTORAN

2

5 5

5

2

:

5 23 10

5 5

2

5 2 7

1:

3 10 0lim

5 0

lim lim

limx x

x

Dengan Metode Pemfaktoran

x xx x

x x

x

Contoh

x xBentuk TakTentu

x

2 4 2 4 2

2 2 20 0

6 4 3

4 20

:

3 2 3 2

5 5

0

50

2:

3 2 0lim

05

lim limx x

x

Dengan Metode Pemfaktoran

x x x x x x x

x x x

Contoh

x x xBentukTakTentu

x x

2

2

2

3

22

:

2 2 43

22 2

4 4 4

12

3:

8 0lim

03 2

lim2 2 48lim lim

( 2)( 1)3 2x

x

x

Dengan Metode Pemfaktoran

x x

x x

Contoh

xBentukTakTentu

x x

x x xxx xx x

3 3 3 23 33

3 38 8

2

23 3

38

:

2 2 42

3 2 28

( 8) 2 ( 8) 4

4 4 4

12

4:

8 0lim

02

8lim lim lim

2 x x

x

x

Dengan Metode Pemfaktoran

x x xx

x xx

Contoh

xBentuk TakTentu

x

x

x

3. METODE MENGALIKAN DENGAN SEKAWAN

3

3 3

2 23

3

3

1:

3 0

03

:

3 3 3.

3 3 3

3 3

3

3 3

3

3

3 3 2 3

lim

lim lim

lim

lim

lim

x

x x

x

x

x

Contoh

xBentuk Tak Tentu

x

Dengan Metode Mengalikan dengan Sekawan

x x x

x x x

x x

x

x x

x

x

2

23

2 2 2

2 2 23 3

2 2

22 23

2 2

23

2 2

23

3

2 :

9 0

07 4:

9 9 7 4.

7 4 7 4 7 4

9 7 4

7 4

9 7 4

7 16

9 7 4

9

lim

lim lim

lim

lim

lim

lim

x

x x

x

x

x

x

Contoh

xBentuk Tak Tentu

xDengan Metode Mengalikan dengan Sekawan

x x x

x x x

x x

x

x x

x

x x

x

2

2

7 4

3 7 4 4 4 8

x

Limit Fungsi yang tidak mempunyai limit

3

:

1...

3limx

Contoh

x

Jawab :

Dari Kiri Dari kanan

x f(x) x f(x)

2 -1 3,001 1.001

2,5 -2 3,1 10

2,9 -10 3,5 2

2,999 -1001 4 1

Kesimpulan :

• Jadi fungsi

tidak mempunyai limit

3

1...

3limx x

Indikator :• Menghitung limit fungsi aljabar di

suatu titik dan di tak hingga.

Teorema Limit di Tak Hingga

Jika n bilangan bulat positif, k konstanta :1. a.

b. 2. a.

b.

3.

1lim 0

nx x

lim n

xx

1lim 0

nx x

,lim

,n

x

n genapx

n ganjil

limxk k

Jika ada dan ada maka :1.

2. a. Penjumlahan :

b. Pengurangan

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x

lim ( )x

f x

lim ( )x

g x

lim ( ) lim ( )x xk f x k f x

3. a. Perkalian:

b. Pembagian

dengan

lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( )x x x

f x g x f x g x

lim ( )( )lim

( ) lim ( )x

xx

f xf x

g x g x

lim ( ) 0x

g x

4. a. Pangkat:

b. Akar

dengan catatan limit fungsi tidak negatif untuk n genap.

lim ( ) lim ( )n n

x xf x f x

lim ( ) lim ( )n nx x

f x f x

Penyelesaian :1. Metode Substitusi2. Metode Membagi dengan Pangkat

Tertinggi3. Metode Mengalikan dengan

sekawan

1. Metode Substitusi

~

2~

1...

11 ...

1. lim

2. lim

x

x

x

x

Tentukan nilai dari limit :

Jawb:

~

2 2~ ~ ~

10

1 11 1 1 0 1

1. lim

2. lim lim lim

x

x x x

x

x x

2.Metode membagi dengan Pangkat Tertinggi

Jika dengan metode substitusi mendapatkan hasil:( Bentuk tak tentu)

2

2

2

2

2 6 1...

2 3

8 5...

2 3

3 23. ...

5 1

1. lim

2. lim

. lim

x

x

x

x x

x x

x

x

x x

x

Contoh :

2

2 2

22

2

2

2

2 6 12 6 1

2 32 3

6 12 2 0 0

22 3 1 0 01

lim lim

lim

x x

x

x xx x x

x xx xx

x x

x x

Contoh 1 :

2

22

2

2

2

8 58 5

2 32 3

8 50 0

03 2 02

lim lim

lim

x x

x

xx x

xxx

x x

x

Contoh 2:

2

2 2

2

2

2

3 23 2

5 15 1

1 23 3 0 05 1 0 0

lim lim

lim

x x

x

x xx x x

xxx

x x

x x

Contoh 3 :

KESIMPULAN:Misal m dan n adalah bilangan bulat positif maka :

Jika m > n maka L = ~atau L = -~ m = n maka L = a/p

m < n maka L = 0

1

1~

...lim

...

m m

n nx

ax bx cL

px qx r

Contoh :

Tentukan nilai dari Jawab :

2

2

2

3

2 4 1

3

1 1

3lim lim

4 1

1lim

4

1 0 1

24 0 0

xx

x x x xx

x

xx x

x

x x

2

3lim

4 1x

x

x x

3.Metode Mengalikan dengan Sekawan

Jika dengan metode substitusi mendapat hasil:

( Bentuk tak tentu)

Contoh 1: Tentukan nilai dari

lim 2 1 5 3x

x x

Jawab :

~0

3

00

03

3lim

lim

3512

43lim

3512

3512lim

3512

3512.3512lim3512lim

22

22

3512

4

~

3512

43

~

~~

~~

xxxx

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

xx

x

xx

xxxx

xxxxxx

KESIMPULAN:Misal a dan p adalah bilangan positif maka

Jika a > p maka L = ~ a = p maka L = 0

a < p maka L = - ~

~

limx

ax b px q L

Contoh 1: Tentukan nilai dari

2 2

~lim 2 1 5 3x

x x x x

Contoh 1: Tentukan nilai dari

2 22 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 1 5 3lim 2 1 5 3.

2 1 5 3

2 1 5 3 7 4lim lim

2 1 5 3 2 1 5 37 4

7 7lim

1 1 22 1 5 3

x

x x

x

x x x xx x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x x xxx

x x x xx x

KESIMPULAN:Misal a dan p adalah bilangan positif maka

Jika a > p maka L = ~ a = p maka L =

a < p maka L = - ~

2 2

~limx

ax bx c px qx r L

2

b q

a

Contoh 1: Tentukan nilai dari

2lim 4 2 1 2 3x

x x x

Contoh 1: Tentukan nilai dari

22

2

2 2

2 2

2

2

4 2 1 2 3lim 4 2 1 2 3 .

4 2 1 2 3

4 2 1 4 12 9 10 8lim lim

4 2 1 2 3 4 2 1 2 3

10 810 5

lim24 24 2 1 2 3

x

x x

x

x x xx x x

x x x

x x x x x

x x x x x x

xx

x x xx x