1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam upaya untuk meningkatkan mutu pendidikan khususnya mata

pelajaran matematika, para pendidik atau guru dituntut untuk selalu

meningkatkan diri baik dalam pengetahuan matematika maupun pengelolaan

proses belajar mengajar. Hal ini dimaksudkan agar para siswa dapat

mempelajari matematika dengan baik dan benar sehingga mereka mampu

mengikuti perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, serta dapat

menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.

Keanekaragaman kemampuan intelektual siswa, khususnya dalam

matematika di SMA sangat bervariasi. Kemampuan ini menyangkut

kemampuan untuk: mengingat kembali, memahami, menginterpretasi

informasi, memahami makna simbol dan memanipulasinya, mengabstraksi,

menggeneralisasi, menalar, memecahkan masalah, dan masih banyak lagi.

Sikap dan perangai siswa pun beraneka ragam, baik dalam menanggapi

pembelajaran pada umumnya maupun matematika pada khususnya.

Demikian pula minat dan emosinya. Berbagai hal yang menyangkut siswa itu

juga berkembang bersama lingkungan belajarnya, baik yang langsung

dirasakan siswa maupun yang tidak langsung. Ketidakberhasilan siswa jangan

dipandang sebagai hal yang biasa saja terjadi untuk matematika. Dengan kata

lain, adalah hal yang biasa apabila ada siswa yang berhasil dan ada pula yang

tidak. Dorongan guru untuk memecahkan masalah kesulitan siswa merupakan

salah satu unsur dalam pengembangan profesi guru. Hal ini berlandas pada

prinsip diagnosis dalam konteks pemecahan masalah. Dalam konteks

demikian kita mengacu pada kecakapan hidup: masalah merupakan sesuatu

yang pasti ditemui dalam kehidupan yang harus dipecahkan, bukan dihindari,

karena dengan menghindarinya di samping akan muncul lagi masalah yang

2

sama atau serupa, juga memungkinkan menambah banyak masalah yang

semakin sulit dipecahkan. Dalam hal kesulitan yang dihadapi siswa, masalah

itu perlu ditemukan dan dipastikan sumbernya, menanganinya, dengan

harapan memecahkan masalahnya. Dalam hal ini guru bertindak sebagai

dokter yang harus mendiagnosis ‘penyakit’ atau sumber ‘penyakit’ siswanya,

untuk kemudian menuliskan resep pengobatannya.

Salah satu materi yang cukup sentral dalam matematika adalah materi

kalkulus. Sehingga materi ini harus mendapatkan perhatian yang cukup serius

menyangkut masalah penguasaan materi, pemilihan metode pembelajaran

yang tepat, dan penentuan strategi, serta teknik pembelajaran yang serasi. Di

samping itu, kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki esensinya

cukup tinggi dan cakupan aplikasi yang sangat luas, baik dalam matematika

itu sendiri, maupun dalam cabang‐cabang ilmu‐ilmu yang lain, seperti dalam

bidang sains, teknologi, ekonomi, dan sebagainya. Oleh karena itu, para siswa

harus mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik‐baiknya. Jika diperhatikan,

inti dari pelajaran kalkulus tak lain dan tak bukan adalah limit suatu fungsi.

Bahkan, secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian

tentang limit. Oleh karena itu, pemahaman tentang konsep dan macam‐

macam fungsi di berbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat‐sifat dan

operasi limit suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami

kalkulus diferensial dan kalkulus integral lebih lanjut.

Namun demikian, melihat kenyataan ternyata materi ini masih menjadi

kendala di lapangan. Masih banyak siswa yang kesulitan dalam mengerjakan

soal-soal yang berhubungan dengan limit fungsi. Berdasarkan pengalaman,

observasi serta pengamatan peneliti, materi ini menjadi momok menakutkan

bagi para siswa SMA. Berdasarkan hal tersebut peneliti melakukan observasi

untuk mendiagnosis kesulitan belajar siswa dalam pambelajaran limit fungsi

alajabar di SMA.

3

B. Rumusan Masalah

1. Kesulitan belajar apa yang dialami oleh siswa dalam pembelajaran konsep

limit fungsi alajabar di SMA?

2. Bagaimana solusi alternatif pemecahan dari diagnosis kesulitan belajar

siswa dalam pembelajaran konsep limit fungsi alajabar di SMA?

C. Tujuan

1. Untuk mendiagnosis keselitan belajar siswa dalam pembelajaran konsep

limit fungsi aljabar di SMA.

2. Untuk memberikan solusi alternatif pemecahan dari hasil diagnosis

kesulitan belajar siswa dalam pembelajaran konsep limit fungsi alajabar di

SMA

D. Manfaat

Menambah wawasan dan referensi problematika pembelajaran matematika

khusunya materi limit fungsi.

4

BAB II

PEMBAHASAN

A. Instrumen

1. Tentukan nilai dari

Jawab :

2. Tentukan nilai dari

Jawab :

3. Tentukan nilai dari

Jawab :

3

22

23

~lim x

xx

x

~ 00

0131

21

3~

lim

xx

xx

5

B. Penentuan Subjek

Subjek dalam observasi ini adalah 3 siswa les privat dengan asumsi

mempunyai prestasi belajar tinggi, sedang dan kurang yang didadasarkan

pada sekolah asal, pengamatan dan nilai matematika pada raport.

C. Jawaban Tertulis dan Analisnya

1. Subjek 1 (S1)

Pada S1 (kemampuan tinggi) dapat menjawab semua soal dengan

benar, namun cara pengerjaannya terlihat menggunakan cara praktis

(pada soal nomor 1 dan nomor 2). Hal ini diduga siswa terbiasa dengan

pola belajar di bimbel yang mennggunakan cara praktis dan apakah

bisa menyelesaikannya dengan cara pada umumnya.

6

2. Subjek 2 (S2)

Pada S2 (kemampuan sedang) tampak bahwa siswa salah pada soal

nomor 2 dan 3. Pada soal nomor 2 siswa masih kurang dalam

pengoperasian aljabarnya karena terkecoh dengan bentuk akar dan ini

diduga kebiasaan menyelesaikan soal yang bentuk akar dengan

mengalikan sekawannya sehingga pada soal ini tetap menghasilkan

bentuk tak tentu (0/0).

Pada soal nomor 3, siswa diduga belum memahami konsep limit fungsi

tak hingga (misskonsepsi), yaitu membagi pangkat tertinggi masing-

masing penyebut dan pembilang walaupun secara algoritma

penyelesaiaannya sudah cukup baik.

7

Yang perlu diluruskan kembali adalah hilangnya tanda limit pada

penyederhanaan/pengubahan bentuk aljabarnya. Hal ini diduga siswa

belum mengerti definisi limit.

3. Subjek 3 (S3)

Pada S3 (kemampuan rendah) tampak bahwa siswa menjawab ketiga

soal dengan salah. Pada soal nomor 1 diduga siswa belum memahami

konsep limit yang sebenarnya karena masih menjawab dengan hasil

bentuk tak tentu (0/0).

Pada soal nomor 2 tampak bahwa pengerjaan siswa juga macet di

tengah jalan karena penyelesaiannya dengan mengalikan sekawannya,

hal ini diduga siswa terbiasa seperti itu. Begitu pula pada soal nomor 3

juga masih salah dalam solusi terakhirnya diduga siswa belum

memahami konsep limit,khusunya limit fungsi menuju tak hingga

karena 1/0 maeghasilkan 0.

8

D. Hasil wawancara dan analisisnya

Untuk mengklarifikasi dugaan/diagnosis kesulitan atas jawaban tertulis

pada subjek, maka dilakukan wawancara untuk menggali informasi lebih

dalam dan mengetahui apa yang sebenarnya tejadi.

1. Petikan wawancacara dengan S1

Apa yang kamu ketahui tentang limit?

- S1-limit adalah pendekatan pak....

Bisakah kamu menjelaskannya?

- S1-ya misalnya x mendekati 2 maka nilainya akan ketemu kalau itu

disubstitusikan pak.....baik dari kanan atau dari kiri....

Dari soal latihan tersebut soal mana yang paling sulit?

- hemmm,no 1 da no 2 itu saya kerjakan dengan rumus praktis

pak....

Dari mana kamu mendapatkan rumus praktis itu?

- Dari bimbel pak...

Apakah kamu tahu penggunaan cara praktis yang kamu pakai?

- Ya pokoknya begitu pak....

Itu namanya turunan (diferensial) yang akan kamu pelajari di kelas

XII nanti...

- Ooo...

Apakah kamu bisa menyelesaikannya tanpa rumus praktis?

bagaimana?

- Bisa pak dengan pemfaktoran tapi kelamaan jadi saya pakai cara

praktis aja...

Kalau begitu coba kamu kerjakan tanpa cara praktis !

- Oke pak...(sambil mengerjakan dan diselesaikan dengan benar

tanpa cara praktis)

Dari petikan wanwancara, tampak S1 sudah memahami konsep dan

mampu menerapkannya dalam pemecahan soal tentang limit fungsi

aljabar. Akan tetapi untuk penggunaan cara praktisnya perlu

9

diluruskan atau diberi pemahaman kembali agar siswa tidak terjebak

dalam penggunaan cara praktis tersbut.

2. Petikan wawancara dengan S2

.....

Apa yang kamu ketahui tentang limit?

S2 : limit adalah hampir mendekati...

Bisakah kamu menjelaskannya?

S2 : mendekati x pak....

Dari soal latihan tersebut soal mana yang paling sulit?

S2 : semua sulit pak...

Pada soal nomor 2 mengapa kamu kalikan dengan sekawannya?

S2 : ya kan soalnya bentuk akar kan pak, biasanya bentuk akar

dikalikan dengan sekawannya tapi hasilnya tetap nol pak, hehee

Lalu pada soal nomor 3 kenapa penyebut dan pembilang membagi

pangkat tertingginya tidak sama?

S2 : iya itu pak, pangkat tertinggi untuk pembilang kan x3 dan

penyebutnya x2

Lalu mengapa pada pengarjaanmu ini tanda limitnya kamu

hilangkan? (sambil menunjukkan hasil kerjaannya)

S2 : iya untuk menyingkat aja kok pak.....

Tapi apakah kamu tahu bahwa maknanya itu sudah berbeda?

S2 : hmmm....lupa pak...

.......

Dari petikan wawancara tersebut, S2 hanya kebiasaan saja

mengerjakan soal limit bentuk akar dengan mengalikan sekawannya,

sehingga kepekaan terhadap variasi soal masih kurang. S2 juga belum

memahami konsep limit, apalagi untuk limit di tak hingga sehingga

keliru untuk menerapkannya dalam pengerjaan soal (missconcept),

salah paham menentukan pangkat tertinggi dan menghilangkan tanda

limit diduga karena kekurangpahaman tentang definisi limit.

10

3. Petikan wawancara dengan S3

.....

Apa yang kamu ketahui tentang limit?

S3 : limit adalah pendekatan pak...

Bisakah kamu menjelaskannya?

S3 : memasukkan x ke fungsi pak....

Dari soal latihan tersebut soal mana yang paling sulit?

S3 : semua sulit pak...

Apakah kamu tahu bahwa hasil limit tak boleh bentuk tak tentu?

Seperti 0/0 ?

S3 :hemm,,lupa pak..

Gak tahu atau masih belum paham?

S3 : masih belum paham pak

Lalu untuk soal nomor 2 kenapa tidak sampai selesai pengerjaanya?

S3 : macet pak, malah tambah rumit

Apakah soal seperti itu harus dikalikan dengan sekawannya?

S3 : iya kan bentuk akar, jadi harus dengan sekawannya ta

pak...biasanya kan begitu contohnya pak...

Untuk nomor 3, mengapa 1/0 hasilnya nol ?

S3 : iya kan pak....

....

.

Dari petikan wawancara tersebut, S3 belum memahami konsep limit

apalagi untuk menerapkannya dalam soal karena masih menghasilkan

bentuk tak tentu dengan substitusi langsung. S3 hanya terkesan

kebiasaan saja mengerjakan model-model soal bentuk akar dan kurang

kepekaan terhadap variasi soal serta untuk limit fungsi di tak hingga

hasilnya 1/0 adalah nol.

11

E. Pembahasan Hasil

1. Siswa berkemampuan tinggi

Untuk siswa kemampuan tinggi tak ditemukan kesulitan yang cukup

berarti. Berdasarakan jawaban tertulis dan wawancara, yang perlu

ditekankan adalah kebiasaan penggunaan cara praktis yang diperoleh dari

bimbel. Hal ini perlu diberi perhatian dan pemahaman agar siswa tidak

terjebak dalam penggunaannya sehingga siswa tahu betul kapan cara itu

bisa digunakan.

2. Siswa berkemampuan sedang

Untuk siswa kemampuan sedang, siswa belum memahami konsep limit

seutuhnya. Siswa terkesan hanya mengerti saja karena kebiasaan

mengerjakan soal. Dari soal nomor 2, berdasatkan jawaban tertulis dan

wawancara siswa menyelesaikannya karena beranggapan bahwa soal

yang berbentuk akar diselesaikan dengan mengalikan sekawannya. Dari

jawaban tertulis soal no 3 dan hasil wawancara, siswa juga belum

memahami betul konsep limit, apalagi konsep limit di tak hingga tarjadi

miss konsep menentukan pangkat tertinggi.

3. Siswa berkemampuan rendah

Untuk siswa kemampuan rendah, berdasarkan analisis jawaban tertulis

dan wawancara masih terjadi misskonsepsi dan kebiasaan melihat contoh

seperti terjadi pada soal nomor 2 yang menyelesaikannya dengan bentuk

akar.. Siswa belum memahami konsep seutuhnya. Hal ini takmpak pada

soal nomor 1, siswa masih melakukan substitusi langsung sehingga

diperoleh hasil bentuk tank tentu (0/0) dan untuk nomor 3 terjadi

ketidakpahaman konsep karena 1/0 adalah 0.

F. Solusi yang ditawarkan

Secara umum, salah satu solusi alternatif untuk mengatasi kesulitan yang

dialami siswa baik kemampuan tinggi, sedang maupun rendah dapat

dilakukan dengan pendekatan intuitif. Hal ini bertujuan untuk meningkatkan

pemahaman konsep limit fungsi alajabar pada siswa. Selain itu pendekatan

12

dengan intuitif juga bisa merangsang siswa untuk berpikir dan menambah

motivasi siswa karena rasa penasarannya. Karena sebagian besar kesulitannya

terletak pada pemahaman dan penerapan konsep limit fungsi aljabar

sedangkan untuk kemampuan untuk operasi aljabarnya bisa dilatih dengan

memperbanyak latihan soal yang bervariasi sehingga kepekaan siswa

terhadap soal bisa lebih tajam lagi.

Skenario pembelajaran yang ditawarkan adalah sebagai berikut.

1. Memahami limit fungsi secara intuintif

Untuk memberi motivasi agar siswa lebih tertarik untuk mempelajari

kalkulus, perlu diceriterakan sejarah tentang Augustin Louis Cauchy

(1789–1857), sesorang yang sangat besar jasanya dalam pengembangan

kalkulus.

a. Menggunakan persegi yang sisinya 1 satuan

Kegiatan awal yang dapat digunakan untuk mengawali dalam

memahami konsep limit, adalah sebagai berikut. Pandanglah suatu

luasan berbentuk persegi yang sisinya 1 satuan.

Suatu persegi sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1

satuan luas.

Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah ½

satuan.

Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah ½ + ¼

satuan.

Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah ½ + ¼ +

1/8 satuan.

13

Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus‐menerus maka

jumlah luas bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati 1 satuan

luas. Jadi, hasil penjumlahan dari ½ + ¼ + 1/8 +1/16 + 1/32 + . . .

adalah mendekati 1. Pengertian limit secara intuitif berangkat dari

pengertian mendekati di atas.

Dapat juga dikembangkan dengan alat peraga (untuk limit deret

geometri sebagai dasar untuk materi kelas XII nanti)

b. Memahami limit fungsi secara intuitif dengan grafik

Untuk lebih memudahkan siswa dalam mendalami konsep limit,

konteks yang diambil adalah secara vertikal dengan menggunakan apa

yang telah dipahami siswa pada kegiatan sebelumnya, yaitu grafik

suatu fungsi. Di bawah ini disajikan salah satu alternatif penyajian

limit dengan bantuan grafik fungsi.

2

-2 2

4

14

Pandanglah fungsi dengan domain Df = {x | x ∈R, x ≠2}.

Pada x = 2, nilai fungsi f(2) (tidak tentu) . Tetapi jika kita

cari nilai‐nilai f(x) untuk x mendekati 2, kita akan dapatkan nilai

fungsi f(x) di sekitar x = 2 seperti tampak pada tabel berikut.

x 1,90 1,99 1,999 1,9999 ..... 2 ..... 2,001 2,01 2,1

F(x) 3,90 3,99 3,999 3,9999 ..... ..... 4,001 4,01 4,1

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik

dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4,

tetapi untuk x = 2 nilai f(x) tak tentu. Dari sini dapat dikatakan bahwa

limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan 4, dan ditulis dengan

notasi

c. Limit kiri dan limit kanan

Terkadang harga dari sebuah fungsi f(x) menuju ke limit‐limitnya

berbeda nilainya bila x mendekati sebuah bilangan c dari arah yang

berbeda pula. Apabila hal ini terjadi, kita menyebut limit dari f(x) bila

x mendekati c dari arah kanan sebagai limit kanan dari F ke c ditulis

dengan notasi , dan sebaliknya jika x mendekati c dari

arah kiri disebut sebagai limit kiri dari F ke c ditulis dengan notasi

. Dan apabila limit kiri dari f(x) untuk x mendekati c dari

kiri sama dengan limit kanan dari f(x) untuk x mendekati c dari kanan,

maka dikatakan limit f(x) ada untuk x mendekati c. Jadi, dapat

kitasimpulkan bahwa

15

d. Dilanjutkan dengan memberikan teorema-teorema pokok limit

dan cara penyelesaianya soal-soal limit.

e. Limit menuju tak hingga

Dapat diawali dengan sebuah paradaoks berikut.

Berdasar mitologi Yunani, terdapat cerita tentang pahlawan Perang

Troya yang terkenal yaitu Achilles. Jago lari ini berlomba lari dengan

seekor kura‐kura yang telah menempati posisi setengah dari jarak

yang mesti ditempuh oleh Achilles. Katakan saja jarak yang akan

ditempuh keduanya 2 km. Pada posisi start, Achilles berada 0 km dari

titik start, sehingga kura‐kura berada pada posisi 1 km di depannya.

Kecepatan Achilles dua kali kecepatan kura‐kura. Begitu Achilles

sampai 1 km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,5 km. Pada saat

Achilles mencapai 1,5 km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,75

km. Begitu Achilles sampai di posisi 1,75 km, kura‐kura telah sampai

pada posisi 1,875 km. Pertanyaannya, kapan Achilles dapat menyusul

kura‐kura? Kalau kegiatan ini diteruskan secara terus‐menerus maka

Achilles bagaimanapun juga tidak akan pernah dapat menyusul kura-

kura! Aneh bukan? Namun semua orang tahu bahwa dalam dunia

nyata Achilles pasti mampu menyusul kura‐kura. Paradox yang

diketengahkan oleh Zeno ini dapat dijadikan landasan pemikiran

untuk memahami konsep tentang limit fungsi yang menjadi landasan

dari kalkulus, baik kalkulus diferensial maupun kalkulus integral.

Mengapa logikanya Achilles tidak mampu menyusul kura‐kura? Para

filosof waktu itupun tidak mampu menjelaskan paradox Zeno tersebut.

Semua langkah‐langkah secara logis sudah dilaksanakan, namun

16

mengapa kesimpulannya salah? Hal ini membuat mereka terperangah

diakibatkan oleh paradox tersebut. Namun, sebenarnya yang menjadi

biang keladi dan akar permasalannya adalah ”ke‐takhingga‐an”

sehingga masalah ketakhinggaan harus dipahami betul oleh siswa.

f. Evaluasi dan refleksi

BAB III

KESIMPULAN

A. Kesulitan yang dialami siswa

Secara umum kesulitan yang dialami siswa dalam materi limit fungsi alajabar

adalah kurang pahammnya konsep atau pun definisi dari limit sehingga

terjadi misskonsepsi. Kesulitan lainnya adalah kurangnya kepekaan siswa

terhadap variasi soal.

B. Solusi alternatif pemecahannya

untuk mengatasi kesulitan siswa dalam pemahaman konsep atau pun definisi

limit dapat dilakukan dengan pendekatan intuitif. Pendekatan ini dapat

merangsang siswa untuk berpikir kritis dan menambah motivasi siswa karena

rasa penasarannya. Di sisi lain untuk meningkatkan ketajamanan siswa dalam

menyelesaikan variasi soal dapat dilakukan dengan latihan soal-soal yang

bervariasi.

17

ANALISIS KESULITAN BELAJAR SISWA SMA PADA

TOPIK LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN ALTERNATIF

PEMECAHANNYA

OLEH :

UBAYU WAHYUNING AWI GANGGA

NIM : S851302075

KELAS TAMBAHAN II

18

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA2013