limit file · web view3.2 teknik aljabar untuk menghitung limit. ... 2. hitung . penyelesaian:...

DAFTAR ISI

Halaman Judul

Daftar isi

Bab III LIMIT & KONTINU

3.1 Pengertian Limit .........................................................................................................1

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit...................................................................5

3.3 Limit Satu Sisi.............................................................................................................9

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga....................................................12

3.5 Limit Fungsi Trigonometri ......................................................................................18

3.6 Bilangan Alam..........................................................................................................19

3.7 Bilangan Kontinu......................................................................................................23

LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai

bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada

awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris

kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah

hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit

diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan

teknik penghitungan limit.

3.1 Pengertian Limit

Terlebih dahulu diperhatikan fungsi . Grafik diberikan pada

Gambar 3.1.1 di bawah ini.

Apa yang terjadi dengan apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1

berikut.

Tabel 3.1.1x x

3 12 1,5 5,25

2,05 7,2025 1,95 6,8025

2,001 7,004001 1,999 6,996001

2,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001

Gambar 3.1.1

●

2

7

Kelompok 6 _ LIMIT & KONTINU 1

Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka mendekati 7. Hal

ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung . Dalam hal ini

dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:

Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:

Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk . Tetapi

masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi

. Untuk ,

Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai

mendekati 2. Jadi,

Tabel 3.1.2

○

(a). (b).

1

Gambar 3.1.2


x x

2 3 0,5 1,5

1,05 2,05 0,99 1,99

1,001 2,001 0,999975 1,999975

1,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999

Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.

Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit

f(x) untuk x mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.

Contoh 1 Buktikan bahwa (2x –5) = 3.

Penyelesaian:

|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|

Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil = /2, maka untuk setiap x di

dalam domain f yang memenuhi 0 <|x – 4| < berlaku:

|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 = 2./2 = .

Contoh 2 Buktikan bahwa untuk c > 0, .


Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) mendekati L.

jika untuk setiap bilangan > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya)

terdapat bilangan > 0 sehingga untuk setiap dengan berlaku

.

Penyelesaian:

Ditinjau x >0 dengan sifat . Menurut ketidaksamaan segitiga:

Hal ini berakibat:

Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:

,

untuk setiap x>0. Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil

maka untuk setiap x>0 dengan berlaku:

Jadi, untuk setiap > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan

berlaku:

.

Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.

Bukti: Misalkan dan . Akan ditunjukkan bahwa .

Diberikan sebarang, maka terdapat sehingga:

i. , untuk setiap dengan .

ii. , untuk setiap dengan .


Teorema 3.1.2 Jika ada maka nilainya tunggal.

Apabila diambil maka untuk setiap dengan berlaku:

Hal ini berarti .

Contoh 3.1.2.1 Tunjukkan bahwa tidak ada.

Penyelesaian: Untuk ,

Sementara, untuk ,

Karena nilai limit tidak tunggal maka tidak ada.

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat

diperlukan dalam hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak

disertakan dalam buku ini).


Teorema 3.2.1 (i). , .

(ii). .

Teorema 3.2.2 Jika dan keduanya ada dan maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut:

i.

ii.

iii.

iv. , asalkan

v. Untuk : (a).

(b). , asalkan

Contoh 1.

(a).

(b).

(c). .

Contoh 2. Hitung .

Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak

dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di

atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama

dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk

diperoleh:

Sehingga:

.

Contoh 3. Tentukan .


Penyelesaian:

.


Penyelesaian:

.

Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat

digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal

limit dapat diselesaikan dengan cara demikian. Sebagai contoh, misalnya .

Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal

hitung limit.


Penyelesaian: Untuk , . Oleh karena itu, untuk berlaku:

Hal ini berakibat:


Teorema 3.2.3 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga

untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali

mungkin di c. Jika maka .

Selanjutnya, karena maka .

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. Jika , tunjukkan bahwa tidak ada.

Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21. 22.


3.3 Limit Satu Sisi

Kiranya mudah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan

untuk . Namun demikian, apabila maka ada dan nilainya sama dengan

0. Hal ini membawa kita kepada definisi berikut ini.

Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

(i). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap

berlaku .

(ii). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap

berlaku .


Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila

untuk x di dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka

dikatakan bahwa L merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:

(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di

dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan

bahwa L merupakan limit kiri f(x) untuk x mendekati c, ditulis:

Contoh 1. (a). dan tidak ada.

(b). Untuk bilangan bulat n,

dan

Contoh 2. Tentukan jika diketahui:

Penyelesaian:

(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), . Oleh karena

itu,

(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, . Sehingga:

Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, . Sehingga:

L

L

L

c c+δ

LL

L

c-δ c

Gambar 3.3.1

(a) (b)


.

Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi

ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi

ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya

sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.

Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:

Pada Contoh di atas, karena maka tidak ada.

Contoh 1. Diberikan:

Karena untuk , , maka:

.

Secara sama,

.

Selanjutnya, karena maka:

Contoh 2. Tentukan jika diketahui:

Penyelesaian:


Teorema 3.3.2 jika dan hanya jika .

Akibat 3.3.3 Jika maka tidak ada.

Jadi, .

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x

yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada table berikut ini.

Tabel 3.4.1

x x

1 1 −1 1

0,5 4 −0,5 4

0,01 10.000 −0,01 10.000

0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000

0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000

Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0,

maka nilai menjadi semakin besar. Bahkan nilai akan menjadi besar

tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik

fungsi dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.

21)(x

xf

Gambar 3.4.1


Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Secara sama mudah diperlihatkan:

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:

Contoh;

(a). (b). .

Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan

berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai

apabila nilai x cukup besar.

Sebagai contoh, bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di

bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x

(arah positif), nilai semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:


(atau −∞) jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan real

sehingga untuk setiap dengan sifat berlaku (atau

)

Definisi 3.4.1 (i). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi

, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.

(ii). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x)

menjadi besar tak terbatas arah negatif.

Tabel 3.4.2 (a) (b)

x x

10 0,1 −1 −1

1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001

5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002

100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001

Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat

mendekati nol, yaitu:

Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam

definisi berikut.

Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:


Definisi 3.4.2 (i). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup

besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka

mendekati L.

(ii). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah

negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka mendekati L.

(i). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan

sehingga untuk setiap berlaku .

(ii). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan

sehingga untuk setiap berlaku .

Mudah ditunjukkan bahwa:

dan


Penyelesaian: Untuk , . Sehingga . Selanjutnya, karena

maka dengan Teorema Apit diperoleh:

.

Contoh 2. Hitung .

Penyelesaian: Karena:

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan

penyebut sama-sama dibagi dengan maka:

.



Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

.

Contoh 4. Hitung .

Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

.

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan

alasannya!

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.


16. 17. 18.

19. 20.

21. Tentukan , , dan jika diberikan:

22. Fungsi f yang terdefinisikan pada dikatakan genap (atau ganjil) jika

(atau ) untuk setiap . Jika maka

tentukan jika: (a). f genap, (b). f ganjil.

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.

Contoh; Hitung .

Penyelesaian:

Tetapi untuk berakibat dan , sehingga:

.


Teorema 3.5.1 (i). .

(ii). .

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.


3.6 Bilangan Alam

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk

sebarang dan :

Apabila diambil , maka dari (3.6.1) diperoleh:

Karena maka menurut Teorema Apit nilai ada. Berdasarkan

perhitungan, untuk diperoleh:

Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:

(3.6.2)

Mudah ditunjukkan bahwa untuk berlaku:

Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari

bilangan asli m dan n sehingga . Hal ini berakibat:

dan karena maka sekali lagi dengan Teorema Apit

diperoleh:

(3.6.3)

Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:

(3.6.4)


Selanjutnya, apabila diambil substitusi , maka untuk berakibat .

Sehingga, dari (3.6.3) dan (3.6.4) diperoleh:

(3.6.5)

Contoh 1. Hitung .

Penyelesaian: Apabila diambil substitusi maka berturut-turut diperoleh:

(i). , sehingga .

(ii). Karena maka untuk berakibat .

Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):

.


Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Diambil substitusi . Jika maka . Selanjutnya, menurut (3.6.5)

diperoleh:

.

Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit

yang berkaitan dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.


Teorema 3.6.1 Apabila dan maka:


Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Apabila berturut-turut diambil dan maka:

Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:

.

Contoh 3.6.5 Hitung .

Penyelesaian:

Selanjutnya, jika diambil dan maka:

Sehingga menurut Teorema 3.6.3:

.

Contoh 3.6.6 Selesaikan .

Penyelesaian: Tulis:


Berturut-turut diambil substitusi:

maka:

(i).

(ii).

Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:

.

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3.7 Fungsi Kontinu

Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai sama

dengan , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun tidak

terdefinisikan akan tetapi mungkin ada. Apabila = maka

dikatakan fungsi f kontinu di c.


Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di jika

Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a,

yaitu:

(i). f(a) ada atau terdefinisikan,

(ii). ada, dan

(iii).

Secara grafik, fungsi f kontinu di jika grafik fungsi f pada suatu interval

yang memuat a tidak terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka

dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam

kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena tidak

ada, diskontinu di x3 karena nilai tidak sama dengan nilai fungsi di x3

(meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh;

(a). Fungsi f dengan rumus diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh


a x1 x2 x3 x4 b

Gambar 3.7.1

diskontinu di x = 0 sebab tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan

. Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1

sebab .

Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.

Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu

sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini.

Contoh ;Diberikan Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada dan pada sebab f tidak terdefinisi pada

interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

Jadi, f kontinu pada (1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:

dan


Teorema 3.7.2 Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real,

maka f+g, f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula, kontinu di a asalkan

.

Definisi 3.7.3 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika .

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika

sehingga f kontinu dari kanan di x = 1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada

.

Contoh;

(a). kontinu pada R .

(b). kontinu pada R ; .

(c). kontinu pada .

Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.

Contoh; Hitung .

Penyelesaian: Namakan dan . Karena dan f

kontinu di x = 2 maka

.

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. 2. 3.

4. 5. 6.


Teorema 3.7.4 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma,

fungsi eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Teorema 3.7.5 Jika f kontinu di b dan maka

Dengan kata lain

7. 8.

9. Selidiki kontinuitas pada

10.Jika maka tunjukkan bahwa f kontinu pada .

Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada

R.

11.

12.


limit file · web view3.2 teknik aljabar untuk menghitung limit. ... 2. hitung . penyelesaian:...

Documents