-4-bab 1.pdf

5

BAB I (Minggu ke- 1,2,3) Konsep Dasar. Vektor

PENDAHULUAN

Learning Outcome:

Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa diharapkan:

Mampu menjelaskan perbedaan besaran skalar dan vektor dan mampu menyelesaikan setiap kasus kinematika yang diberikan.

Mampu menyelesaikan kasus transformasi koordinat dengan konsep perkalian dot product.

6

PENYAJIAN

12/15/2012 [email protected] 5

1 Konsep Dasar. Vektor

1.1 Pendahuluan

Tiga Konsep dasar Ruang dan Waktu

Mekanika Klasik: Entitas jelas/nyata dan saling bebas

Nilai dua entitas tersebut Absolut

Relativitas: Entitas tidak absolute dan tidak saling bebas

Mekanika Kuantum: Nilai dua entitas tersebut bersifat probabilitas


1.2 Hasil Skalar (dot product)

zzyyxx BABABABA ++=rr

ABBArrrr

=(Komutatif)

( ) CABACBA rrrrrrr +=+ (Distributif)cosABBA =

rr

7


1.3 Hasil Vektor (cross product)

zyx

zyx

BBBAAAkji

BA

=rr

ABBArrrr

=

( ) CABACBA rrrrrrr +=+( ) ( ) ( )BnABAnBAn rrrrrr ==


Ar

Br

BArr

( )nABBA sin= rr

8


1.4 Triple Products

(Triple scalar product)( )zyx

zyx

zyx

CCCBBBAAA

CBA =rrr

( ) ( ) ( )CBABCACBA rrrrrrrrr =(Triple vector product)


1.5 Perubahan Sistem Koordinat. Matrik Transformasi

zyx AkAjAiA ++=r

(dalam koordinat i,j,k)

''''

'' zyx AkAjAiA ++=

r(dalam koordinat i,j,k)

=

z

y

x

z

y

x

AAA

kkkjkijkjjjiikijii

AAA

'

''

'

''

'

''

'

'

'

(transformasi koordinat)

9


1.6 Derivatif Vektor

( ) ( ) ( ) ( )uAkuAjuAiuA zyx ++=r

dudAk

dudAj

dudAi

duAd zyx ++=r

( )duBd

duAdBA

dud

rrrr

+=+


1.7 Vektor Posisi Partikel. Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Cartesian

zkyjxir ++=r

( ) ( ) ( )tzztyytxx === ; ;zkyjxi

dtrd

v &&&

rr

++==

zkyjxidt

rddtvd

a &&&&&&

rrr

2

2

++===

10


Contoh soal:

1. Gerak proyektil. Coba Anda amati gerak yang dinyatakan oleh persamaan di bawah ini

( ) 02

2

kgtctjbtitr +

+=

r

Pers. ini menunjukkan gerak dalam bidang xy, ketika komponen zkonstan dan sama dengan nol.Kecepatan gerak partikel diperoleh dengan mendiferentialkan vektor posisi terhadap waktu, yaitu

( )gtcjbidtrd

v +== r

r

Sedangkan percepatan gerak partikelnya diperoleh dengan mendiferentialkan vektor kecepatan terhadap waktu, yaitu

gjdtvd

a ==

rr


2. Gerak Melingkar. Annggap vektor posisi suatu partikel diberikan oleh:

tbjtbir cossin +=rdengan adalah tetapan.

Coba kita analisa gerak tersebut. Jarak dari titik pusat tetap konstan

( ) btbtbrr =+== 212222 cossin rSehingga lintasannya adalah lingkaran beruji b terpusat pada titik pusat. Vektor kecepatan diperoleh dengan pendiferensialan vektor posisi

tbjtbidtrd

v sincos ==r

r

11


Partikel melintasi lintasannya dengan kecepatan konstan:

( ) btbtbvv =+== 21222222 sincosrPercepatan Partikel adalah:

tbjtbidtvd

a cossin 22 ==r

r

Dalam kasus ini percepatan tegak lurus terhadap kecepatan, sehingga dot product vektor kecetapan dan percepatan akan sama dengan nol:

( )( ) ( )( ) 0cossinsincos 22 =+= tbtbtbtbav rrPerbandingan dua pernyataan untuk vektor percepatan dan posisi, kita peroleh:

rarr 2=


1.8 Derivatif product vektor

( )duAd

nAdudn

duAnd

rr

r

+=

( )duBdAB

duAd

duBAd

rrr

rrr

+=

( )duBdAB

duAd

duBAd

rrr

rrr

+=

12


1.9 Komponen Tangensial dan Normal suatu percepatan

vv =r

dtd

vvdtvd

a

+== &r

r

ndd

=


v

ndtds

dsd

ndt

ddd

dtd

===

dds

=

nv

va 2

+= &

r

sva &&& ==

2v

an =

13


1.10 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Polar Bidang

rerr =r

dted

rerdtrd

v rr

+== &r

r

eer dtd

edted r

=


ree dtd

edted

r

=

ererv r &&r

+=

( )dted

rerrdted

rerdtvd

a rr

&&&&&&&&

rr

++++==

14


( ) ( ) errerra r 22 &&&&&&&r ++=2&&& rrar =

( ) &&&&& 212 rdtd

rrra =+=

Contoh 3.

Lintasan spiral dari rumah madu dinyatakan

dalam dengan kecepatan sudut

meningkat dengan lajut konstan:

Carilah kecepatan sebagai fungsi waktu.


ctbr =kt=&

15


ererv r &&r

+=

cr =& 0=r&&

( ) ektctbecv r +=r

( )[ ] 212222 tkctbcv +=


1.11 Kecepatan dan Percepatan dalam Koordinat Silinder dan Bola

Koordinat Silinder:

zR ezeRr +=r

zR ezeReRv &&&r

++= ( ) ( ) zR ezeRReRRa 22 &&&&&&&&&r +++=

16


Koordinat Bola:

rerr =r

&&&r rererev r sin ++=

( ) ( ) errrerrra r cossin2sin 2222 &&&&&&&&&r ++= ( ) errr cos2sin2sin &&&&& +++

17

PENUTUP Kriteria Assessment: Kognitif dan skill Metode Assessment: PR Bobot Nilai: 3 %


PR 1:

1. Diberikan tiga buah vektor

kjiCkjiBkjiA 42dan ; ;32 ++=++=++=rrr

carilah:

(a)

(b)

(C)

( ) ( ) CBACBA rrrrrr ++ dan ( ) ( ) CBACBA rrrrrr dan ( ) ( ) CBACBA rrrrrr dan


2. Nyatakan vektor kji 32 + dalam koordinat i j k, dengan x y adalah sumbu-sumbu x y yang diputar pada sumbu z dengan sudut 30o

xx

y

Y

z=z

3. Seekor lalat bergerak dalam lintasan helik sebagai berikut

( ) 2cossin ctktbjtbitr ++= rTunjukkan bahwa magnitudo dari percepatan lalat adalah konstan, dengan b, , dan c adalah konstan.

-4-bab 1.pdf

Documents