Penyelesaian Soal UAS

Fondasi Matematika

Prodi Pendidikan Matematika FKIP

Unmuh Ponorgo

1. Soal Pembuktian

a. .

b. untuk setiap .

Bukti.

a. Di sini ada 2 biimplikasi dengan pernyatataan sehingga total ada 6 implikasi. Untuk mudahnya, gunakan pembuktian taklangsung melalui kontraposisinya, yaitu

.

Misalkan , dan . Untuk itu cukup dibuktikan rute berikut: , dan .

Dibuktikan . Diketahui TRUE, yaitu rasional. Dapat ditulis dan . Diperoleh . Karena maka disimpulkan rasional, yaitu TRUE. Sebaliknya misalkan TRUE, yaitu rasional. Dapat ditulis dan . Diperoleh . Karena dan maka disimpulkan rasional. Terbukti .

Dibuktikan . Diketahui TRUE. Dapat ditulis , dan . Seperti sebelumnya diperoleh sehingga . Karena dan maka disimpulkan rasional. Terbukti .

Dibuktikan . Diketahui TRUE. Dapat ditulis dan . Diperoleh . Karena dan maka disimpulkan rasional. Terbukti .

b. Dibuktikan kebenaran untuk setiap di mana . Untuk diperoleh dan , yaitu . Jadi TRUE. Andai TRUE, yaitu berlaku . Kedua ruas dikalikan dengan diperoleh . Karena maka sehingga berlaku . Bentuk terakhir ini dapat ditulis . Ini membuktikan TRUE. Berdasarkan PIM maka kebenaran pernyataan di atas terbukti.

2. Penggunaan notasi elemen dan himpunan bagian (subset)

a. FALSE sebab tidak ada elemen di dalam himpunan . TRUE karena himpunan ini mempunyai anggota dan . Untuk pernyataan lainnya diselesaikan sendiri.

b. FALSE karena himpunan kosong hanya mempunyai 1 himpunan bagian yaitu dirinya sendiri, bukan . adalah FALSE karena himpunan hanya mempunyai 1 anggota sehingga ia memiliki 2 himpunan bagian, yaitu himpunan kosong dan dirinya sendiri. Sedangkan bukan salah satunya. Untuk pernyataan lainnya dapat dibutkikan sendiri.

3. Diberikan . Tuliskan semua anggota himpunan kuasa .

Penyelesaian. Ingat, karena maka dan . Pertama daftarkan semua anggota , yaitu

Selanjutnya diperoleh sebagai berikut

Jadi total anggota himpunan kuasa yang dimaksud adalah .

4. Diketahui dengan .

a. , tidak terdefinisi karena , tidak terdefinisi (??), .

b. Fungsi ini tidak injektif karena tetapi . Fungsi ini surjektif karena setiap , terdapat dengan . Ambil maka .

5. Fungsi pembulatan , .

a. Dengan mudah didapat .

b. Grafik fungsi pada selang .

Prepared by Julan HERNADI and Uki Suhendar Page 2

-5-4-3-2-1012345

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8