LINGKARAN DAN UNSUR-UNSURNYA

Lingkaran terjadi secara alami di alam semesta, mulai dari riak air sampai lingkar cahaya bulan. Di alam, lingkaran sering kali terbentuk apabila permukaan datar dipengaruhi oleh suatu gaya yang bekerja merata ke segala arah. Misalnya, saat sebuah kelereng jatuh ke dalam air dan menghasilkan gelombang yang menyebar rata ke segala arah sebagai serangkaian riak yang berbentuk lingkaran. Jam dinding, ban mobil, dan uang logam (Gambar 1) merupakan beberapa contoh benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar 2(a) Gambar. 1

Pada gambar 2(b), terdapat tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O, yaitu titik A, B dan C. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut sebagai titik pusat lingkaran. Gambar.2

A. Unsur-Unsur Lingkaran

Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran, di antaranya; titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut ;a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar.2(b), titik O merupakan titik pusat lingkaran. Sehingga lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

b. Jari-Jari (r)Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Pada Gambar.2(b), jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.

c. Diameter (d)Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r

d. BusurDalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada gambar disamping, garis

AA

Gambar.3

lengkung AC (ditulis AC () )merupakan busur lingkaran kecil atau busur pendek, dan garis lengkung AB (ditulis AB() ) merupakan busur lingkaran besar atau busur panjang O.

e. Tali BusurTali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat pada Gambar.3

f. TemberengTembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada gambar.3, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.

g. JuringJuring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar.3, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. ApotemaPada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Pada gambar.3 garis OE merupakan garis apotema pada lingkaran O.

Contoh Soal !

Perhatikan gambar lingkaran berikut ! Dari gambar tersebut, tentukan:

a. titik pusat, e. tali busur,b. jari-jari, f. tembereng,c. diameter, g. juring,d. busur, h. apotema.

Jawab: a. Titik pusat = titik Pb. Jari-jari = garis PU, PQ, dan PRc. Diameter = garis RUd. Busur = garis lengkung QR, RS, ST, TU, dan UQe. Tali busur = garis STf. Tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur ST dan tali busur STg. Juring = QPU dan QPR.h. Apotema = garis PV

B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN

1. Keliling Lingkaran

Gambar.4(a) menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik A terletak di sebarang lengkungan lingkaran. Jika lingkaran tersebut dipotong di titik A, kemudian direbahkan, hasilnya adalah sebuah garis lurus AA' seperti pada gambar.4(b). Panjang garis lurus tersebut merupakan keliling lingkaran. Jadi, keliling lingkaran adalah panjang lengkungan pembentuk lingkaran tersebut. Cara menghitung keliling lingkaran cukup sederhana. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang terbuat dari kawat. Keliling tersebut dapat dihitung dengan mengukur panjang kawat yang membentuk lingkaran tersebut.

Secara umum, keliling lingkaran dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Ket: K : keliling lingkaran

K = π . d π : 3,14 atau 227

d : diameter lingkaran.

Oleh karena panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jari maka:

K = π . d = π (2 . r) K = 2 π .r

Contoh Soal !

1) Panjang jari-jari sepeda adalah 50 cm. Tentukanlah:a. diameter ban sepeda tersebut,b. keliling ban sepeda tersebut.

Penyelesaian :

1) Diketahui r = 50 cma. d = 2 . r maka, d = 2·(50) = 100 cm ∴panjang diameternya adalah 100 cm.

b. K =π.d maka K = 3,14 × 100 cm

Gambar.4

= 314 cm ∴panjang kelilingnya adalah 314 cm.2. Luas Lingkaran

Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Luas lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus umum luas lingkaran. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 16 buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potongan-potongan tersebut disusun seperti gambar berikut :

(i) (ii)

Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (r), sehingga luas bangunan tersebut adalah luas persegi panjang = p x l. Maka ;

Luas persegi panjang = p × l

= 12 keliling lingkaran x r

= 12( 2πr¿ x r

L = πr2

Karena r ¿12

dmaka, L = π r2

= π ( 12

d )2

= 14

πd2

Jadi, luas daerah lingkaran tersebut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

L = πr2 atau L = 14 πd2 ket: L : luas lingkaran (cm/m2)

π : 3,14 atau 227

d : diameter (cm/m) r : jari-jari (cm/m)Contoh Soal !

Luas sebuah lingkaran adalah 1.386 cm2. Tentukan panjang jari-jari dan diameter lingkaran tersebut !

Penyelesaian :

Diket: L = 1386 cm2

L = πr2

1386 = 227 x r2

1386 x 722 = r2

√441 = r r = 21 cm

jika r = 21 cm, maka panjang diameter (d) = 2.r = 2. 21

= 42 cm

3. Sudut Pusat, Sudut Keliling Lingkaran, Luas Juring dan Panjang Busur

X

β α

Besar < XOYBesar < AOB = Panjang busur XY

Panjang busur AB = Luas juring XOYLuas juring AOB = β

α

Luas juring XOYLuas Lingkaran = Panjang busur XY

Keliling lingkaran = Besar < XOYBesar sudut lingkaran = β360°

*) Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur sama.

Contoh soal !

1. Pada gambar di samping, diketahui panjang busur PQ = 16,5 cm, panjang busur QR=22 cm, dan besar ¿POQ = 45o. Hitunglah :

a. besar<QORb. panjang jari-jari OP.c. Tentukan luas juring OPQ dan OQR.

Penyelesaian:

a.besar<POQbesar<QOR =

panjang busur PQpanjangbusur QR

B

A

O

Y

45°¿QOR =

16,522

45°

¿QOR = 33222

45°

¿QOR = 3344

< QOR = 44 x 45 °

33 < QOR = 60O

b. Panjang busur QR = ¿QOR360 °

x2 πr

22 = 60°

360°x 2 x 22

7xr

22 = 16

x 2 x 227

x r

22 = 4442

r

r = 22 x 42

44

r = 21 cm

c. Luas juring OPQ = ¿POQ360 °

x π r2

=45 °

360°x 22

7x212

= 173,25 cm2

Luas juring OQR = ¿QOR360 °

x π r2

= 60°

360°x 22

7x212

= 231 cm2

4. Garis Singgung Lingkaran

4.1 Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung pada suatu lingkaran adalah garis yang melalui/menyinggunglingkaran pada suatu titik.

Garis singgung pada suatu lingkaran selalu tegak lurus (┴) dengan jari-jarilingkaran yang melalui titik singgungnya.

Garis KL merupakan garis singgung lingkaran

Garis KL tegak lurus (┴) dengan jari-jari OA

Titik A disebut titik singgung

4.2 Panjang Garis Singgung Lingkaran

Rumus menghitung panjang garis singgung lingkaran :

AB2 = OA2 – OB2 atau AB = √OA2- OB2

4.3 Layang-layang Garis Singgung Lingkaran

Layang-layang garis singgung adalah segiempat yang terbentuk dari dua garis singgung yang berpotongan pada satu titik di luar lingkaran.

Segiempat OABC disebut layang-layang garis singgung. AB dan CB merupakan garis singgung lingkaran. OA dan OC merupakan jari-jari lingkaran.

5. Garis Singgung Persekutuan Lingkaran

5.1 Garis Singgung Persekutuan Dalam

K L

A

O A

B

OB

A

C

C

o

AB disebut garis singgung persekutuan dalam. Panjang AB = panjang CL.

Rumus mencari garis singgung persekutuan dalam :

AB = √ K L2−¿¿

Contoh soal !

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Penyelesaian :

Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm.Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm.Panjang jari-jari (r) salah satu lingkaran adalah 3 cm maka r1 = 3 cm.

d = √k2−¿¿ d = √172−¿¿ 15 2 = 172−¿ 225 = 289 – (3 + r)2

(3 + r)2 = 289 – 225(3 + r)2 = 64 3 + r = √64 R = 8 – 3 R2 = 5 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm

5.2 Garis Singgung Persekutuan Luar

K

A

B

L

r2

r2

r1

Jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R dan di Q = rPanjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = dJarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = pJika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh Garis SQ.Garis AB sejajar SQ, sehingga PSQ = PAB = 90o (sehadap).Garis AB//SQ, AS//BQ, dan PSQ = PAB = 90o.

PSQ siku-siku di S, sehingga berlaku ; QS2 = PQ2 – PS2

QS = √ PQ2−PS2

QS = √ PQ2−¿¿

Karena QS=AB=d, maka untuk mencari panjang garis singgung persekutuan luar dapat dinyatakan dalam rumus :

d = √ p2−¿¿ , R > r

Contoh Soal !

Pada gambar samping, lingkaran O berjari-jari 7 cm dan lingkaran P berjari-jari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar AB !

Penyelesaian :

AO = R = 7 cmBP = r = 5 cm

OP = R + r = 7 + 5 = 12 cm

AB = √¿¿ = √¿¿ = √(144−4) = √¿¿ = 2√35 cm Jadi, panjang garis singgung AB adalah 2

√35 cm